立體幾何初步講義匯編

第3講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系知識梳理平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.公理2的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面;推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.空間中兩直線的位置關(guān)系⑴空間兩直線的位置關(guān)系共面直線平行相交共面直線平行相交異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點o作直線a%，b‘〃b，把a與b'所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).范圍：(0，可⑶平行公理和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況.平面與平面的位置關(guān)系有王行、相交兩種情況.辨析感悟?qū)ζ矫婊拘再|(zhì)的認識兩個不重合的平面只能把空間分成四個部分.(X)兩個平面a，&有一個公共點A，就說a，&相交于A點，記作?n&=A.(X)(教材練習(xí)改編)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.(”)(教材練習(xí)改編)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.(X)對空間直線關(guān)系的認識已知a，b是異面直線、直線c平行于直線a，那么c與b不可能是平行直線.(”)沒有公共點的兩條直線是異面直線.(X)學(xué)習(xí)-----好資料［感悟?提升］一點提醒做有關(guān)平面基本性質(zhì)的判斷題時，要抓住關(guān)鍵詞，如“有且只有”、“只能”、“最多”等.如(1)中兩個不重合的平面還可把空間分成三部分..兩個防范一是兩個不重合的平面只要有一個公共點，那么兩個平面一定相交得到的是一條直線，如(2)；二是搞清“三個公共點”是共線還是不共線，如(4)..—個理解異面直線是指不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.不能錯誤地理解為不在某一個平面內(nèi)的兩條直線就是異面直線，如(6).考點一平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用【例1】(1)以下四個命題中，正確命題的個數(shù)是().不共面的四點中，其中任意三點不共線；若點A,B,C,D共面，點A,B,C,E共面，則A,B,C,D,E共面；若直線a,b共面，直線a,c共面，則直線b,c共面；依次首尾相接的四條線段必共面.A.0B.1C.2D.3(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P,Q,R分別是AB,AD,B1C1的中點，那么正方體的過P,Q,R的截面圖形是().A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形規(guī)律方法(1)公理1是判斷一條直線是否在某個平面的依據(jù)；公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據(jù)；公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù).要能夠熟練用文字語言、符號語言、圖形語言來表示公理.(2)畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個公共點即可確定，作圖時充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置.【訓(xùn)練1】如圖所示是正方體和正四面體，P,Q，R，S分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形的序號是考點二空間兩條直線的位置關(guān)系【例2】如圖是正四面體的平面展開圖，G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點，在這個正四面體中，A①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直.：?'匚以上四個命題中，正確命題的序號是.//y\\■JeJtL-規(guī)律方法空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、平行公理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對于垂直關(guān)學(xué)習(xí)-----好資料系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決.【訓(xùn)練2】形有在圖中，【訓(xùn)練2】形有在圖中，G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH,MN是異面直線的圖.(填上所有正確答案的序號).【例3】在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，匕DAB=60°,對角線AC與BD交于點O,PO±平面ABCD,PB與平面ABCD所成角為60°,求四棱錐的體積；若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值.規(guī)律方法(1)平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；計算：求該角的值，常利用解三角形；取舍：由異面直線所成角的取值范圍是0,n],當所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角.(2)求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍.【訓(xùn)練3】(2014-成都模擬)在正方體ABCD-AWCD中，E,F分別是棱A1B1，A1D1的中點，則A1B與EF所成角的大小為.|課堂小結(jié)|1.證明線共點問題，常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證交點在第三條直線上.證明點或線共面問題，一般有以下兩種途徑：首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余線(或點)均在這個平面內(nèi)；將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證平面重合.異面直線的判定方法(1)判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線；(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面.思想方法7——構(gòu)造模型判斷空間線面的位置關(guān)系【典例】(2012-上海卷)已知空間三條直線l,m,〃，若l與m異面，且l與n異面，則().更多精品文檔

學(xué)習(xí)-----好資料A.m與n異面B.m與n相交C.m與n平行D.m與n異面、相交、平行均有可能【自主體驗】（2013-浙江卷）設(shè)m,n是兩條不同的直線，a,8是兩個不同的平面（）.A.若m〃a,n〃a,則milnB.若mHa,m〃8，則all8C.若m〃n,mXa,則n^aD.若mHa,aX8,則m.8對于不同的直線m,n和不同的平面a,8,〃，有如下四個命題：①若mHa,mXn，則nXa；②若mXa,mXn,則n〃a；③若aX8,yX8，貝9a〃邛;④若mXa,m〃n,nU8,則aX8.其中真命題的個數(shù)是（）.A.1B.2C.3D.4基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題（2013-江西七校聯(lián)考）已知直線a和平面a,8,以。8=1，aS,。邛，且a在a,8內(nèi)的射影分別為直線b和c,則直線b和c的位置關(guān)系是（）.A.相交或平行B.相交或異面C.平行或異面D.相交、平行或異面在正方體AC1中，E,F分別是線段BC,CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是（）.A.相交B.異面C.平行D.垂直TOC\o"1-5"\h\z設(shè)P表示一個點，a,b表示兩條直線，a,8表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題是（）.①PEa,Pe婦aUa②aCb=P,bu.臺aU.③a〃b,aUa,PEb,PWaSbUa④aC8=b，PM，Pe8^PebA.①②B.②③C.①④D.③④如圖，在正方體ABCD-A1B1ClD1中，過頂點A1與正方體其他頂點的連線與直線BC1成60°角的條數(shù)為（）.1B.2C.3D.4七，「二、填空題如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直對.'JABM、N分別為棱C]D]、C1C的中點，有以下四個結(jié)論:6.如圖，在正方體ABCD-AlB1ClD1中，直線AM與CC1是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線AM與DD1是異面直線.M、N分別為棱C]D]、C1C的中點，有以下四個結(jié)論:其中正確的結(jié)論為（注：把你認為正確的結(jié)論的序號都填上）.7.（2013-江西卷）如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且AB〃CD,則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為三、解答題面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為三、解答題8.如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，ZBAD=ZF4B=90°,BC=?AD,BE=?F4,G,H分別為FA,FD的中點.8.如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形;更多精品文檔學(xué)習(xí)-----好資料（2）C,D,F,E四點是否共面？為什么？9.在正方體ABCD~AlB1ClDl中，對角線A1C與平面BDC1交于點O,AC,BD交于點M,求證：點C1,O,M共線.能力提升題組一、選擇題（2014.長春一模）一個正方體的展開圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點，則在原來的正方體中（）.TOC\o"1-5"\h\zA.ABIICDB.AB與CD相交.廣一.C.ABLCDD.AB與CD所成的角為60°'''在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為棱AA1,CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線（）.''："-A.不存在B.有且只有兩條]:C.有且只有三條D.有無數(shù)條|AB二、填空題3.（2013-安徽卷）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的（寫出所有正確命題的編號）.o.Ci當0<CQ<2時，S為四邊形；./I/當CQ=2時，S為等腰梯形；nJ---Uc—.31''當CQ=4時，S與C]D]的交點R滿足C]R=3；_3當4<CQ<1時，S為六邊形;一麻當CQ=1時，S的面積為M.三、解答題4如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，⑴求AG與B1C所成角的大??；:\（2）若E,F分別為AB,AD的中點，求A?與EF所成角的大小.第4講直線、平面平行的判定與性質(zhì)知識梳理直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形&bM■d//條件aHa=°aUa,bGa,a〃ba〃aa〃a，aUg，aH￡=b結(jié)論a〃ab〃aaHa=°a〃b2.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形7.市2/條件aHg=0aUg，bug，aHb=P，a〃g，aHy=a，a〃g，aUga〃a，b〃agHY=b結(jié)論a〃ga〃ga〃ba〃a辨析感悟?qū)χ本€與平面平行的判定與性質(zhì)的理解若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平面.(X)若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內(nèi)的任一條直線.(X)若直線a與平面a內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a〃a.(X)若直線a〃a，PE則過點P且平行于a的直線有無數(shù)條.(X)學(xué)習(xí)-----好資料對平面與平面平行的判定與性質(zhì)的理解如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.(X)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.(”)(教材練習(xí)改編)設(shè)l為直線，a，&是兩個不同的平面，若Wa\耶，則all"X)［感悟?提升］三個防范一是推證線面平行時，一定要說明一條直線在平面外，一條直線在平面內(nèi)，如(1)、(3).二是推證面面平行時，一定要說明一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一平面，如(5).三是利用線面平行的性質(zhì)定理把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，必須說明經(jīng)過已知直線的平面與已知平面相交，則該直線與交線平行，如(2)、(4).考點一有關(guān)線面、面面平行的命題真假判斷【例1】(1)(2013?廣東卷)設(shè)m，n是兩條不同的直線，a，&是兩個不同的平面，下列命題中正確的是().A.若a二6,mUa，nUg，貝mXnB.若a〃&，mUa，nUg，，貝mlnC.若mXn，mUa，nUg，則a「gD.若mXa，m〃n，n〃g，貝a里g(2)設(shè)m，n表示不同直線，a，g表示不同平面，則下列結(jié)論中正確的是().A.若m〃a，m〃n，則n〃aB.若mUa，nUg，m〃g，n〃a，貝a〃gC.若a〃g，m〃a，m〃n，貝n〃gD.若a〃g，m〃a，n〃m，nGg，貝n〃g規(guī)律方法線面平行、面面平行的命題真假判斷多以小題出現(xiàn)，處理方法是數(shù)形結(jié)合，畫圖或結(jié)合正方體等有關(guān)模型來解題.【訓(xùn)練1】(1)(2014.長沙模擬)若直線a±b，且直線a〃平面a，則直線b與平面a的位置關(guān)系是().A.bUaB.b〃aC.bUa或b〃aD.b與a相交或bUa或b〃a(2)給出下列關(guān)于互不相同的直線l，m，n和平面a，g，y的三個命題:①若l與m為異面直線，lUa，mUg，則a〃g；②若a〃g，lUa，mUg，則l〃m；③若aCg=l，gny=m，、Ca=n，l〃Y，則m〃n.其中真命題的個數(shù)為().A.3B.2C.1D.0考點二線面平行的判定與性質(zhì)【例2】如圖，直三棱柱ABC-A'BC，ZBAC=90°，AB=AC='B，AA'=1，點M，N分別為A'B和B'C【例2】如圖，直三棱柱ABC-A'B(1)證明：MN〃平面A'ACC'；(2)求三棱錐A'-MNC的體積.規(guī)律方法判斷或證明線面平行的常用方法:(1)利用線面平行的定義，一般用反證法;(2)利用線面平行的判定定理(aS,bUa,allb^alla)，其關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明更多精品文檔學(xué)習(xí)-----好資料時注意用符號語言的敘述;利用面面平行的性質(zhì)定理(J0auga〃您；利用面面平行的性質(zhì)3〃6,a邛，alga〃時.【訓(xùn)練2】如圖，在四面體A-BCD中，F(xiàn),E,H分別是棱AB,BD,AC的中點，G為DE的中點.證明：直線TOC\o"1-5"\h\zHG〃平面CEF.UC考點三面面平行的判定與性質(zhì)【例3】(2013-陜西卷)如圖，四棱柱ABCD-A1B1ClDl的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O±底面ABCD,ab=aai=&7"證明：平面A]BD〃平面CD?求三棱柱ABD-A]B]D1的體積.二'1.二「了廠：A'>規(guī)律方法(1)證明兩個平面平行的方法有：用定義，此類題目常用反證法來完成證明；用判定定理或推論(即“線線平行習(xí)面面平行”)，通過線面平行來完成證明；根據(jù)“垂直于同一條直線的兩個平面平行”這一性質(zhì)進行證明；借助“傳遞性”來完成.(2)面面平行問題常轉(zhuǎn)化為線面平行，而線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行，需要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.【訓(xùn)練3】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P分別是C1C,B1C1，C1D1的中點，求證：平面PMN〃平面A1BD.”'課堂小制平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化方向如圖所示：孩W產(chǎn)f'd■擇__面面平行1面啊平行峋，2.在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化”.答題模板8——如何作答平行關(guān)系證明題

學(xué)習(xí)-----好資料【典例】（12分）（2012?山東卷，文）如圖1,幾何體E-ABCD是四棱錐，^ABD為正三角形，CB=CD,EC±BD.E圖1（1）求證：BE=DE；（2）若/BCD=120°,M為線段AE的中點，求證：DM〃平面BEC.圖1［反思感悟］立體幾何解答題解題過程要表達準確、格式要符合要求，每步推理要有理有據(jù)，不可跨度太大，以免漏掉得分點.本題易忽視DMG平面EBC，造成步驟不完整而失分.?【自主體驗】（2013-福建卷改編）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB〃DC,AB=6,DC=3，若M為PA的中點，求證：DM〃平面PBC.基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題已知直線a，b，c及平面a，月，下列條件中，能使a〃b成立的是（）.A.a〃a，bUaB.a〃a，b〃aC.a〃c，b〃cD.a〃a，aAg=b在梯形ABCD中，AB#CD，ABU平面a，CDG平面a，則直線CD與平面a內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是（）.A.平行B.平行和異面C.平行和相交D.異面和相交（2014-陜西五校一模）已知直線a和平面a，那么a〃a的一個充分條件是（）.A.存在一條直線b，a〃b且bUaB.存在一條直線b，aXb且bXaC.存在一個平面8,aU且a〃^D.存在一個平面《，a〃$且a〃月（2014-汕頭質(zhì)檢）若m,n為兩條不重合的直線，a,$為兩個不重合的平面，則下列命題中正確的是（）.若m,n都平行于平面a,則m,n一定不是相交直線若m,n都垂直于平面a,則m,n一定是平行直線已知a,$互相平行，m,n互相平行，若m〃a，則n〃$若m,n在平面a內(nèi)的射影互相平行，則m,n互相平行在空間四邊形ABCD中，E,F分別為AB,AD上的點，且AE:EB=AF:FD=1:4，又H,G分別為BC,CD的中點，則（）.4BD〃平面EFG,且四邊形EFGH是平行四邊形EF〃平面BCD,且四邊形EFGH是梯形HG〃平面A8D,且四邊形EFGH是平行四邊形EH〃平面AQC,且四邊形EFGH是梯形二、填空題（2014-南京一模）下列四個命題：過平面外一點有且只有一條直線與該平面垂直；過平面外一點有且只有一條直線與該平面平行；如果兩個平行平面和第三個平面相交，那么所得的兩條交線平行；如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點且垂直于第二個平面的直線必在第一個平面內(nèi).其中所有真命題的序號是.（2014-衡陽質(zhì)檢）在正方體AC1中，E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為.（2014-金麗衢十二校聯(lián)考）設(shè)a，&，y是三個平面，a，b是兩條不同直線，有下列三個條件：①i〃*bu&；②a〃Y，b〃?，③b/鄧，auy.如果命題“W0=a，bu?，，則a〃b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是（把所有正確的題號填上）.三、解答題（2014?青島一模）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，N是PB中點，過A，N，D三點的平面交PC于M.（1）求證：PD〃平面ANC；（2）求證：M是PC中點.10.如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，G在BB1上，且AE=FC1=B1G=1，H是B1C1的中點.（1）求證：E，B，F(xiàn)，D1四點共面；（2）求證：平面A1GH〃平面BED1F.能力提升題組一、選擇題（2014.一、選擇題（2014.蚌埠模擬）設(shè)m，n是平面a內(nèi)的兩條不同直線；11，不必要條件是（）.A.m〃&且l/aB.mZl1且n〃l2下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，其所在棱的中點，能得出AB〃平面MNP的圖形的序號是（A.①③B.②③C.①④D.②④l2是平面&內(nèi)的兩條相交直線，則a〃&的一個充分而C.m〃&且n〃&D.m〃&且n〃l2學(xué)習(xí)-----好資料二、填空題C1D1，D1D，DC3.(2014-陜西師大附中模擬).如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H分別是棱CC1,的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，七ft、…_.一一直,;e則M滿足條件時，有MN〃平面B1BDD1.「*、/三、解答題L'Ww*’4.(2014-長沙模擬).一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示(其中M，N分別是AF，BC的中點).口求證：MN〃平面CDEF；求多面體A-CDEF的體積.C1D1，D1D，DC第5講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)知識梳理直線與平面垂直定義：若直線l與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面a垂直.判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂前線線垂直習(xí)線面垂直).即：aUa，bUa，lXa，lXb，aCb=Pm《a.性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.即:a±a，b±a^a#b.平面與平面垂直定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.即：aua，a*a±d性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.即：a頊，aUa，aC/3=b，aIb^a^ft.直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個平面所成的角.線面角e的范圍：監(jiān)［0，』.二面角的有關(guān)概念二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.二面角的平面角：二面角棱上的一點，在兩個半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角.辨析感悟?qū)€面垂直的理解⑴直線a，b，c；若alb，bIc，則a〃c.(X)直線l與平面a內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，則l±a.(X)(教材練習(xí)改編)設(shè)m,n是兩條不同的直線，a，&是兩個不同的平面，若m〃n，m±a，則n±a.(V)(教材習(xí)題改編)設(shè)l為直線，a，&是兩個不同的平面，若或撰，\〃a，則l冒.(X)對面面垂直的理解若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.(X)若平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面&內(nèi)的無數(shù)條直線，則a頊.(X)［感悟?提升］三個防范一是注意在空間中垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，還有可能異面、相交等，如H);二是注意使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就直于這個平面”，如(2)；三是判斷線面關(guān)系時最容易漏掉線在面內(nèi)的情況，如(6).考點一直線與平面垂直的判定和性質(zhì)【例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，力上底面ABCD，ABLAD，AC±CD，ZABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點.b\\i*\證明：(1)CDLAE；(2)PD±平面ABE.-,產(chǎn)規(guī)律方法證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法若兩條平行線中一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面.解題時，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；另外，在證明線線垂直時，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長度，經(jīng)計算滿足勾股定理)、直角梯形等等.?【訓(xùn)練1】如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB〃CD，ADLAB，AB=2，AD=".&，AA1=3，E為CD上一點，DE=1，EC=3,證明：BEL平面BB&C.且AC且AC=；2BC，點D【例2】(2014?深圳一模)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1L平面ABC，AB=BC=AA1，是AB的中點.證明：平面ABC1L平面B1CD.

規(guī)律方法證明兩個平面垂直，首先要考慮直線與平面的垂直，也可簡單地記為“證面面垂直，找線面垂直”，是化歸思想的體現(xiàn)，這種思想方法與空間中的平行關(guān)系的證明非常類似，這種轉(zhuǎn)化方法是本講內(nèi)容的顯著特征，掌握化歸與轉(zhuǎn)化思想方法是解決這類問題的關(guān)鍵.AA]=2,M是棱CC1的中點.【訓(xùn)練2】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1,證明：平面AA]=2,M是棱CC1的中點.考點三平行、垂直關(guān)系的綜合問題【例3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB±AC,AB±PA,AB#CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點.求證：CE〃平面PAD；求證：平面EFG±平面EMN.規(guī)律方法線面關(guān)系與面面關(guān)系的證明離不開判定定理和性質(zhì)定理，而形成結(jié)論的“證據(jù)鏈”依然是通過挖掘題目已知條件來實現(xiàn)的，如圖形固有的位置關(guān)系、中點形成的三角形的中位線等，都為論證提供了豐富的素材..【訓(xùn)練3】如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點.求證：BC±平面PAC；設(shè)Q為PA的中點，G^AAOC的重心，求證：QG〃平面PBC.考點四線面角、二面角的求法【例4】如圖，在四棱錐P-ABCD中，/^上底面ABCD,AB±AD,AC±CD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E是TOC\o"1-5"\h\zPC的中點.卜、⑴求PB和平面PAD所成的角的大?。?證明AE±平面PCD；*口求二面角A-PD-C的正弦值."規(guī)律方法(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成;計算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解.(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.【訓(xùn)練4】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為A也B坦a.3B.3|課堂小結(jié)|1.轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化c，3利定A也B坦a.3B.3|課堂小結(jié)|1.轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化c，3利定我我垂直：^^續(xù)面垂莊面面垂直t性覽性屈創(chuàng)新突破7——求解立體幾何中的探索性問題【典例】(2012-北京卷)如圖1,在RtAABC中，匕C=90°,D,E分別為AC,AB的中點，點F為線段CD上的一點.將^ADE沿DE折起到^A^E的位置，使A1F±CD，如圖2.TOC\o"1-5"\h\z求證：DE〃平面A］CB；1?*求證：A1F±BE；■''⑶線段A1B上是否存在點。，使A1C±平面DEQ?說明理由.弋'■，/'「圈1困2［反思感悟］(1)解決探索性問題一般先假設(shè)其存在，把這個假設(shè)作已知條件，和題目的其他已知條件一起進行推理論證和計算，在推理論證和計算無誤的前提下，如果得到了一個合理的結(jié)論，則說明存在，如果得到了一個不合理的結(jié)論，則說明不存在.(2)在處理空間折疊問題中，要注意平面圖形與空間圖形在折疊前后的相互位置關(guān)系與長度關(guān)系等，關(guān)鍵是點、線、面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化與平面幾何知識的應(yīng)用，注意平面幾何與立體幾何中相關(guān)知識點的異同，盲目套用容易導(dǎo)致錯誤.【自主體驗】更多精品文檔學(xué)習(xí)-----好資料（2014-韶關(guān)模擬）如圖1,在直角梯形ABCD中，匕ADC=90°,CD^AB,AD=CD^1AB=2,點E為AC中點，將△ADC沿AC折起，使平面ADC±平面ABC,得到幾何體D—ABC,如圖2.（1）求證：DA±BC；（2）在CD上找一點/，使AD〃平面EFB.基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題設(shè)平面a與平面&相交于直線m,直線a在平面a內(nèi)，直線b在平面&內(nèi)，且b±m(xù),則“aLQ”是“a^b”的（）.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件（2014-紹興調(diào)研）設(shè)a,&為不重合的平面，m,n為不重合的直線，則下列命題正確的是A.若aX&,aC&=n,mXn，貝mXaB.若mUa,nU&,mXn，貝nXaC.若nXa,nX&,m.&，貝mXaD.若m〃a,n〃&,mXn,則aX&TOC\o"1-5"\h\z（2013-新課標全國II卷）已知m,n為異面直線，mX平面a,nX平面&.直線l滿足lXm,lXn,lQa,1邛,則（）.A.a〃&且l〃aB.aX&且lX&C.a與&相交，且交線垂直于lD.a與&相交，且交線平行于l（2014-深圳調(diào)研）如圖，在四面體D-ABC中，若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點，則下列正確的是（）.A.平面人8。上平面ABDB.平面ABDX平面BDC平面ABCX平面BDE,且平面ADCX平面BDE二與＞日平面ABCX平面ADC,且平面ADCX平面BDE'（2014-鄭州模擬）已知平面a,&,y和直線l,m,且lXm,aXy,aH/=m,&H/=l,給出下列四個結(jié)論：①&Xy；②lXa:③mX&；④aX&.其中正確的是（）.A.①④B.②④C.②③D.③④二、填空題如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAX底面ABCD,且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足時，平面MBDX平面PCD（只要填寫一個你認為正確的條件即可）.「’廠兀~兀已知平面aX平面&,AEa,BE&,AB與兩平面a,&所成的角分別為4和6，過A，B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A',B',則AB:AzB'=.設(shè)a,&是空間兩個不同的平面，m,n是平面a及&外的兩條不同直線.從“①mXn:②aX&；③nX&；④mXa”中選取三個作為條件，余下一個作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題：（用代號表示）.三、解答題

學(xué)習(xí)-----好資料9.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB^CD,ABLAD,CD=2AB，平面PAD±底面ABCD,PA±AD.E和F分別是CD和PC的中點.求證：%.TOC\o"1-5"\h\z（1）P4±底面ABCD；:-'?.、（2）BE〃平面PAD；■■■n⑶平面BEF±平面PCD.、cDB=BC，DBLAC，點M是棱BB1上一點.10.（2013?泉州模擬）如圖所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,（1）求證：B1D1〃平面A1BD；（2）求證：MDXAC；（3）試確定點M的位置，使得平面DMC1±平面CC]D]D.DB=BC，DBLAC，點M是棱BB1上一點.能力提升題組一、選擇題1.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，匕BAC=90°，BC1±AC，貝C1在底面ABC上的射影H必在A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.AABC內(nèi)部.//■（2014.北京東城區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD='2，BDLCD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A'角線BD折成四面體A'-BCD，使平面A'BDL平面BCD，則下列結(jié)論正確的是A.A'CLBDB.ZBA'C=90°CA'與平面A'BD所成的角為30°四面體A-BCD的體積為3二、填空題3.（2013.河南師大附中二模）如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PAL平面ABC，PA=2AB，則下列結(jié)論中：①PBLAE；②平面ABCL平面PBC；③直線BC〃平面PAE；④ZPDA=45°.:乎、其中正確的有（把所有正確的序號都填上）.-AB三、解答題

學(xué)習(xí)-----好資料4.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SAL平面ABCD,二面角S~CD~A的平面角為45°,M為AB的中點，N為SC的中點.（1）證明：MN〃平面SAD；（2）證明：平面SMCL平面SCD；（3）記CD=^，求實數(shù)久的值，使得直線SM與平面SCD所成的角為30°.::，.-基礎(chǔ)回扣練一一空間幾何體及點、線、面之間的位置關(guān)系一、選擇題1.（2014-中山模擬）一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則這個幾何體的俯視圖不可能是2.（2013-豫西五校聯(lián)考）如圖是子中，匕ABC2.（2013-豫西五校聯(lián)考）如圖是子中，匕ABC的值為（）.A.30°B.45°C.60°D.90°個無蓋的正方體盒子展開后的平面圖，A，B，C是展開圖上的三點，則在正方體盒（2013-浙江五校聯(lián)盟聯(lián)考）關(guān)于直線1，m及平面a，必下列命題中正確的是（）.A.若1〃a，aC8=m，貝1〃mB.若1〃a，m〃a，則1〃mC.若1上a，1〃&，貝9a「6D.若1〃a，mX1，貝mXaTOC\o"1-5"\h\z若直線m平面a，則條件甲：直線1〃a是條件乙：1〃m的（）.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件（2014?揭陽二模）一個棱長為2的正方體沿其棱的中點截去部分后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）.224723A.7B—C.￡D~3636.（2013-溫州二模）下列命題正確的是（）.A.若平面a不平行于平面&，則&內(nèi)不存在直線平行于平面a

若平面a不垂直于平面介則&內(nèi)不存在直線垂直于平面a若直線l不平行于平面a,則a內(nèi)不存在直線平行于直線