離散證明題集錦

離散證明題集錦離散證明題集錦離散證明題集錦資料僅供參考文件編號：2022年4月離散證明題集錦版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：離散證明題集錦一．命題邏輯例：給出┐(P∧Q)?(┐P∨┐Q)的真值表PQ┐(P∧Q)?(┐P∨┐Q)00101111011011101010101111011000步驟②①③①②①解：一般說來，n個命題變元組成的命題公式共有2n種真值指派。定理1：任何兩個重言式的合取或析取，仍然是重言式。證明：設(shè)A、B為兩個重言式，則A∧B和A∨B的真值分別等于T∧T和T∨T。定理2：對一個重言式的同一分量都用任何一個命題公式置換，所得命題公式仍為一個重言式。（即代入規(guī)則）證明：由于重言式的真值與分量的真值指派無關(guān)，故對同一分量以任何一個命題公式置換后，重言式的真值不變。定理3：設(shè)A、B是兩個命題公式，AB當(dāng)且僅當(dāng)A?B是一個重言式。（前面已證）證明：若AB，則對于A、B所包含的分量的任意指派，A、B均取相同的真值，即A?B是一個重言式；若A?B是一個重言式，即對于分量的任意指派，A、B均取相同的真值，即AB定理1：設(shè)A1是命題公式A的子公式，若A1B1，則若將A中的A1用B1來替換，得到公式B，則B與A等價，即AB.(替換規(guī)則)。證明：因為對變元的任一組指派，A1與B1真值相同，故以B1取代A1后，公式B與公式A相對于變元的任一指派的真值也必相同，所以AB。證明下列命題公式(可以利用基本等價式)Q→(P∨(P∧Q))Q→P(P∧Q)∨(P∧┐Q)P(P→Q)→(Q∨R)P∨Q∨RP∧┐Q∨QP∨Q解：1.原式Q→(P∨P)∧(P∨Q)Q→P∧(P∨Q)Q→P2.原式(（P∧Q）∨P)∧((P∧Q)∨┐Q)(P∨P)∧(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(Q∨┐Q)P∧(P∨Q)∧(P∨┐Q)P∧PP3.原式┐（┐P∨Q）∨(Q∨R)(P∧┐Q)∨(Q∨R)(P∨Q∨R)∧(Q∨┐Q∨R)P∨Q∨R（零率）4.原式（P∧┐Q）∨Q（P∨Q）∧(┐Q∨Q)P∨Q（運(yùn)算次序優(yōu)先級：┐，∧，∨，→，?）例:求證:(P→Q)∨┐(P→Q)為永真式。解：原式（┐P∨Q）∨（P∧┐Q）(┐P∨Q∨P)∧（┐P∨Q∨┐Q）T例：求證┐Q∧(P→Q)┐P證法1：前件真推導(dǎo)后件真證法2：后件假推導(dǎo)前件假證法3：定義定理：設(shè)P、Q為任意兩個命題公式，PQ的充分必要條件是PQ且QP。證明：若PQ，則P?Q為重言式，即P→Q和Q→P是重言式；若有PQ且QP，則P→Q和Q→P是重言式，即P?Q為重言式例已知A是B的充分條件,B是C的必要條件，C是D的必要條件,D是B的必要條件,問：(1)A是D的什么條件(2)B是D的什么條件解已知AB,CB,DC,BD,故有(1)AB,BD,所以AD,即A是D的充分條件(2)DC,CB,所以DB,又因為BD,所以BD,即B是D的充要條件。定理：如果AB，則A*B*。證明：設(shè)P1,P2,…,Pn是出現(xiàn)在命題公式A、B中的原子變元，因為AB，即：A(P1,P2,…,Pn)?B(P1,P2,…,Pn)是一個重言式。故有：A(┐P1,┐P2,…,┐Pn)?B(┐P1,┐P2,…,┐Pn)是一個重言式。即A(┐P1,┐P2,…,┐Pn)B(┐P1,┐P2,…,┐Pn)┐A*┐B*，即A*B*例判斷下面各推理是否正確.(1)如果天氣涼快,小王就不去游泳.天氣涼快,所以小王沒去游泳.(2)如果我上街,我一定去新華書店.我沒上街.所以我沒去新華書店.解:解上述類型的推理問題,應(yīng)先將命題符號化,然后寫出前提、結(jié)論和推理的形式結(jié)構(gòu),最后進(jìn)行判斷.(1)P：天氣涼快;Q：小王去游泳.前提：P→Q,P.結(jié)論：Q.推理的形式結(jié)構(gòu)為((P→Q)∧P)→Q.(*)判斷(*)是否為重言式.①真值表法真值表的最后一列全為1,因而(*)是重言式.所以推理正確.②等價演算法(P→Q)∧P)→Q1.③主析取范式法((P→Q)∧P)→Qm0∨m1∨m2∨m3由②,③同樣能判斷推理正確.(2)P：我上街;Q：我去新華書店.前提：P→Q,P.結(jié)論：Q.推理的形式結(jié)構(gòu)為((P→Q)∧P)→Q.(**)((P→Q)∧P)→Qm0∨m2∨m3可見(**)不是重言式,所以推理不正確.還可用其他方法判斷之.例證明下列前提是不相容的。1.若A因病缺了許多課,那么他中學(xué)考試失敗。2.若A中學(xué)考試失敗,則他沒有知識。3.若A讀了許多書,則他有知識。4.A因病缺了許多課,而且讀了許多書。證明符號化題目: P:因病缺了許多課, Q:中學(xué)考試失敗, R:有知識, S:讀了許多書。 問題要證明前提 PQ,QR,SR,P∧S是不相容的。下面我們用另外一種形式的格式證明（即后面講的“構(gòu)造證明”的格式）：編號 公式 依據(jù) (1) P∧S P (2) P (1);I1 (3) S (1);I2 (4) PQ P (5) Q (2),(4);I8 (6) SR P (7) R (3),(6);I8 (8) QR P (9) R (5),(8);I9 (10) R∧R (7),(9)例張三說李四在說謊,李四說王五在說謊,王五說張三、李四都在說謊。問誰說真話,誰說假話解設(shè)A:張三說真話;B:李四說真話;C:王五說真話 依題意有AB,BC,CA∧B。 (AB)∧(BC)∧(CA∧B)(AB)∧(BA)∧(BC)∧(CB)∧(C(A∧B))∧((A∧B)C)(A∧B∧C)∧((A∨B)∧C))∧((A∧B∧C)∨(A∧C)∨(B∧C))A∧B∧C即:李四說真話,張三和王五說假話。例：求證：S是前提W，W→┐Q,┐Q→R和R→S的有效結(jié)論。證明：{1} (1) W→┐Q P{2} (2) ┐Q→R P{1,2} (3) W→R T,(1)(2)I11{3} (4) W P{1,2,3} (5) R T,(3)(4)I8{4} (6) R→S P{1,2,3,4} (7) S T,(5)(6)I8（這部分的T，I8等是另外一本書的內(nèi)容，所以不用管，只要會推就行）例前提:如果馬會飛或羊吃草,則母雞就會是飛鳥;如果母雞是飛鳥,那么烤熟的鴨子還會跑;烤熟的鴨子不會跑。結(jié)論:羊不吃草。解符號化上述語句,P:馬會飛,Q:羊吃草,R:母雞是飛鳥,S:烤熟的鴨子還會跑,S:烤熟的鴨子不會跑,Q:羊不吃草。 前提集合{P∨QR,RS,S},結(jié)論C:Q。 (1) S P (2) RS P (3) R (1),(2),I9 (4) P∨QR P (5) (P∨Q) (3),(4),I9 (6) P∧Q (5),E5 (7) Q (6),I2例如果我的考試通過,那么我很快樂。如果我快樂,那么陽光很好。現(xiàn)在是凌晨一點,天很暖和。試給出結(jié)論。解設(shè)P:我的考試通過,Q:我很快樂,R:陽光很好,S:天很暖和。把“凌晨一點”理解為陽光不好。 前提為: PQ,QR,R∧S。 編號 公式 依據(jù) (1) PQ P (2) QR P (3) PR (1),(2)；I11 (4) R∧S P (5) R (4)；I1 (6) P (3),(5)；I9 結(jié)論:P,我的考試沒通過。例前提:P∨Q,PR,RS; 結(jié)論:SQ。證明(1) S CP(2) RS P(3) SR (2),E(4) R (1),(3),I(5) PR P(6) RP (5),E(7) P (4),(6),I(8) P∨Q P(9) PQ (8),E(10) Q (7),(9),I(11) SQ (1),(10),CP（CP規(guī)則這部分因為好像多了一個條件，所以用起來可能會比較簡單）例：證明R→S可從前提P→(Q→S)，┐R∨P和Q推出。證明：(CP規(guī)則，因為結(jié)論R→S為條件式){1} (1) ┐R∨P P{2} (2) R P(附加前提){1,2} (3) P T,(1)(2)I10{3} (4) P→(Q→S) P{1,2,3} (5) Q→S T,(3,4)I8{4} (6) Q P{1,2,3,4} (7) S T,(5)(6)I8{1,3,4} (8) R→S CP,(2)(7)例：證明從前提P→Q，┐(Q∨R)可演繹出┐P.證明：(反證法){1} (1) P P（附加前提）{2} (2) P→Q P{1,2} (3) Q T,(1)(2)I8{3} (4) ┐(Q∨R) P{3} (5) ┐Q∧┐R T,(4)E5{3} (6) ┐Q T，(5)I1{1,2,3} (7) Q∧┐Q T,(3)(6)例“如果春暖花開,燕子就會飛回北方。如果燕子飛回北方,則冰雪融化。所以,如果冰雪沒有融化,則沒有春暖花開?！弊C明這些語句構(gòu)成一個正確的推理。證:令P:春暖花開。Q:燕子飛回北方。R:冰雪融化。則上述問題轉(zhuǎn)化成證明:PQ,QRRP利用CP規(guī)則,將R作為附加前提,推導(dǎo)P,從而推導(dǎo)出RP。編號公式依據(jù)(1)QRP(2)RP(附加前提)(3)Q(1),(2);I9(4)PQ前提(5)P(3),(4);I9課堂練習(xí)：1.用基本等價公式的轉(zhuǎn)換方法驗證下列推斷是否有效。(1)PQ，R∧S，QR∧S；(2)PQ，QR，RPP∨Q∨R；(3)P，QR，R∨SQS；(4)Q∧R，R∧P，QP∨Q。2.用推理規(guī)則證明下述論斷的正確性。(1)P，P(Q(R∧S))QS；(2)P(QR)，R(QS)P(QS)；(3)P(QR)(Q(RS))(P(QS))；(4)(PQ)(R∨S)，(QP)∨R，RPQ。3.A,B,C,D四人中要派兩個人出差，按下述三個條件有幾種派法如何派(1)若A去，則C和D中要去一人。(2)B和C不能都去。(3)C去則D要留下。4.A,B,C,D四人參加考試后，有人問它們，誰的成績最好。A說“不是我”，B說“是D”，C說“是B”，D說“不是我”。四人的回答只有一人符合實際，問是誰的成績最好只有一人成績最好的是誰5.判斷下列推理是否正確：(1)如果我是小孩，我會喜歡熊貓。我不是小孩，所以我不喜歡熊貓。(2)如果太陽從西邊出來，那么地球停止轉(zhuǎn)動。太陽從西邊出來了，所以地球停止了轉(zhuǎn)動。二．謂詞邏輯例試用量詞、謂詞表示下列命題：①所有大學(xué)生都熱愛祖國；②每個自然數(shù)都是實數(shù)；③一些大學(xué)生有遠(yuǎn)大理想；④有的自然數(shù)是素數(shù)。解①令S(x)：x是大學(xué)生，L(x)：x熱愛祖國，則所有大學(xué)生都熱愛祖國(x)(S(x)→L(x))②令N(x)：x是自然數(shù)，R(x)：x是實數(shù)，則每個自然數(shù)都是實數(shù)(x)(N(x)→R(x))全稱量詞(x)后跟條件式。③令S(x)：x是大學(xué)生，I(x)：x有遠(yuǎn)大理想，則一些大學(xué)生有遠(yuǎn)大理想(x)(S(x)∧I(x))④令N(x)：x是自然數(shù)，P(x)：x是素數(shù)。則有的自然數(shù)是素數(shù)(x)(N(x)∧P(x))存在量詞(x)后跟合取式。例令f(x):x小于88，g(x):x是奇數(shù)，(x)(f(x)∧g(x))。個體變元x是約束變元。這已經(jīng)不是一個命題函數(shù),而是一個命題。它相當(dāng)于說“存在有小于88的奇數(shù)”,這是一個真命題例令f(y):y是辣椒，g(y):y是紅的，(y)(f(y)→g(y))。個體變元y是約束變元。 這也不是一個命題函數(shù),而是一個命題。對于其中的個體變元不需要再作代入,它的含義是確定的,它斷定“一切辣椒都是紅的”,這當(dāng)然是一個假命題。例：將公式(x)(P(x)→Q(x,y))∧R(x,y)中的約束變元改名。下面哪個正確（注意到此公式中，約束變元只有x）,1）(y)(P(y)→Q(y,y))∧R(x,y)2）(z)(P(z)→Q(x,y))∧R(x,y)3）(z)(P(z)→Q(z,y))∧R(x,y)例：將公式(x)(P(y)→Q(x,y))∧R(x,y)中的自由變元代入。（注意到此公式中y為自由變元，x既是約束出現(xiàn)，也是自由出現(xiàn)。）我們以y為例，試判斷下面哪個正確1）(x)(P(z)→Q(x,z))∧R(x,y)2）(x)(P(x)→Q(x,z))∧R(x,x)3）(x)(P(z)→Q(x,z))∧R(x,z)例在公式(x)(Q(x)→R(x,y))∨(z)P(x,z)中，x既為約束出現(xiàn)，又為自由出現(xiàn)，下面用兩種方法，使變元x在公式中只呈一種形式出現(xiàn)解用約束變元的改名規(guī)則得: (u)(Q(u)→R(u,y))∨(z)P(x,z);或用自由變元得代入規(guī)則得: (x)(Q(x)→R(x,y))∨(z)P(u,z)。（重做前一例題，將自由出現(xiàn)的x進(jìn)行代入）重做例：將公式(x)(P(y)→Q(x,y))∧R(x,y)中的自由變元代入。注意到此公式中y為自由變元，x既是約束出現(xiàn)，也是自由出現(xiàn)。這次，我們將自由出現(xiàn)的x代入，得：(x)(P(y)→Q(x,y))∧R(z,y)例試證明下面蘇格拉底論證：所有人都是要死的，蘇格拉底是人，因此，蘇格拉底是要死的。證明：令M(x):x是人，D(x):x是要死的，s:蘇格拉底，原題可符號化為：(x)(M(x)→D(x))，M(s)┣D(s)推證如下：{1} (1)(x)(M(x)→D(x))P{1} (2)M(s)→D(s)UI,(1){3} (3)M(s)P{1,3}(4)D(s)T,(2),(3),I例證明(x)A(x)(x)B(x)(x)(A(x)B(x))證明：反證法(1) (x)(A(x)B(x)) P(附加前提)(2) (x)(A(x)B(x)) T,(1),E(3) (A(a)B(a)) T,(2),ES(4) A(a)∧B(a) T,(3),I(5) A(a) T,(4),I(6) B(a) T,(4),I(7) (x)A(x) T,(5),EG(8) (x)A(x)(x)B(x) P前提(9) (x)B(x) T,(7)(8),I(10) B(a) T(11) B(a)∧B(a) (6)(10)矛盾三．集合例在一個住著一些人家的僻靜孤島上,島上只有一個理發(fā)師a,a給且只給島上所有不能自己理發(fā)的人理發(fā)。問誰給a理發(fā)解:設(shè)S={x|x是不能自己理發(fā)的人}。(1)若aS,則a給自己a理發(fā)。又由題意知,a只給不能自己理發(fā)的人理發(fā),所以a是不能自己理發(fā)的人,即aS,矛盾。(2)若aS,則a是不能自己理發(fā)的人。又由題意知,a只給集合S中的人理發(fā),所以a要給a理發(fā),即aS,矛盾。無論如何,都有aS和aS同時成立。這是著名的羅素悖論paradox。例令A(yù)={{1,2},{3},4},B={4,{5},{5,6}},則∪A={1,2}∪{3}={1,2,3},∪B={5}∪{5,6}={5,6},∩A={1,2}∩{3}=,∩B={5}∩{5,6}={5}四．關(guān)系例設(shè)A={1,3,5},B={2,4,6,8},定義A到B的二元關(guān)系R:?a,b?R當(dāng)且僅當(dāng)a?b,則稱R為A到B的“小于”關(guān)系。R={?1,2?,?1,4?,?1,6?,?1,8?,?3,4?,?3,6?,?3,8?,?5,6?,?5,8?}是A到B的一個關(guān)系,顯然RA×B。而?3,2?R,?5,2?R,?5,4?R。例設(shè)A={1,2,3,4,5,6},B={a,b,c,d},關(guān)系R={?2,a?,?2,b?,?3,b?,?4,d?,?6,d?},則dm(R)={2,3,4,6},rn(R)={a,b,d},fl(R)={2,3,4,6,a,b,d}。例設(shè)A={1,2,3},B={1,2,3,4},從A到B上的關(guān)系R={?1,1?,?2,2?,?3,3?},S={?1,1?,?1,2?,?1,3?,?1,4?}，則R∪S={?1,1?,?2,2?,?3,3?,?1,2?,?1,3?,?1,4?}R∩S={?1,1?}R-S={?2,2?,?3,3?}S-R={?1,2?,?1,3?,?1,4?}R'={?1,2?,?1,3?,?1,4?,?2,1?,?2,3?,?2,4?,?3,1?,?3,2?,?3,4?}要注意的是,作為關(guān)系,補(bǔ)運(yùn)算是對全域關(guān)系而言的,并不是對全集U而言的。例設(shè)A和B分別是學(xué)校的所有學(xué)生和所有課程的集合。假設(shè)R由所有有序?qū)?a,b?組成，其中a是選修課程b的學(xué)生。S由所有有序?qū)?a,b?構(gòu)成，其中課程b是a的必修課。什么是關(guān)系R∪S，R∩S，RS，R-S和S-R解：關(guān)系R∪S由所有的有序?qū)?a,b?組成，其中a是一個學(xué)生，他或者選修了課程b，或者課程b是他的必修課。R∩S是所有有序?qū)?a,b?的集合，其中a是一個學(xué)生，他選修了課程b并且課程b也是a的必修課。RS由所有有序?qū)?a,b?組成，其中學(xué)生a已經(jīng)選修了課程b，但課程b不是a的必修課，或者課程b是a的必修課，但a沒有選修它。R-S是所有有序?qū)?a,b?的集合，其中a已經(jīng)選修了課程b但課程b不是a的必修課。S-R是所有有序?qū)?a,b?的集合，其中課程b是a的必修課，但a沒有選它。例設(shè)A={a,b,c,d},A上的關(guān)系 R={?a,a?,?a,b?,?b,d?}, S={?a,d?,?b,c?,?b,d?,?c,b?}。求R*S和S*R。解:R*S={?a,d?,?a,c?}；S*R={?c,d?}。顯然R*S≠S*R從本例可知復(fù)合關(guān)系不滿足交換律。兄弟關(guān)系和父子關(guān)系的復(fù)合是——叔侄關(guān)系例設(shè)A={a,b,c,d,e,f}, R={?a,b?,?b,c?,?c,d?,?d,e?,?e,f?}。 求Rn(n=1,2,3,4,…)。解：R1=R；R2=R*R={?a,c?,?b,d?,?c,e?,?d,f?}；R3=R2*R={?a,d?,?b,e?,?c,f?}；R4=R3*R={?a,e?,?b,f?}；R5=R4*R={?a,f?}；R6=R5*R=；R7=； … Rn=(n＞5)。例設(shè)A={a,b,c,d,1,2,3,4},A上的關(guān)系R={?a,2?,?b,2?,?b,3?,?d,4?},則R–1={?2,a?,?2,b?,?3,b?,?4,d?}。例設(shè)A={a,b,c},B={0,1},有A到B的關(guān)系R={?a,0?,?b,0?,?c,1?},S={?a,1?,?b,1?,?c,1?}則R–1={?0,a?,?0,b?,?1,c?},S–1={?1,a?,?1,b?,?1,c?} R∪S={?a,0?,?b,0?,?c,1?,?a,1?,?b,1?}； (R∪S)–1=R–1∪S–1 ={?0,a?,?0,b?,?1,c?,?1,a?,?1,b?}； R∩S={?c,1?}; (R∩S)–1=R–1∩S–1={?1,c?}; R–S={?a,0?,?b,0?}； (R–S)–1=R–1–S–1={?0,a?,?0,b?}； dmR–1=rnR={0,1}； rn(S–1)=dm(S)={a,b,c}例設(shè)A={2,3,4},B={2,3,4,5,6},定義A到B的二元關(guān)系R: aRb當(dāng)且僅當(dāng)a整除b。 R={?2,2?,?2,4?,?2,6?,?3,3?,?3,6?,?4,4?} 23456 210101 MR=301001 400100例S={a,b,c},S上的關(guān)系R1={?a,a?,?b,b?,?c,c?,?b,c?}R2={?a,b?,?b,a?}R3={?b,b?,?c,c?}R1是自反的,R2不是自反的,R3也不是自反的。R1不是非自反的,R2是非自反的,R3也不是非自反的。例設(shè)A＝{2,3,5,7}，R＝{?x,y?|(x-y)/2是整數(shù)}，驗證R在A上是自反和對稱的。證：因為對于任意x∈A，(x-x)/2＝0,即?x,y?∈R，故R是自反的。又設(shè)x,y∈A，如果?x,y?∈R，即(x-y)/2是整數(shù)，則(y-x)/2是整數(shù)，即?y,x?∈R，故R是對稱的。事實上，關(guān)系R＝{?2,2?,?3,3?,?5,5?,?7,7?,?3,5?,?5,3?,?3,7?,?7,3?,?5,7?,?7,5?}例設(shè)X＝{1,2,3}，R1＝{?1,2?,?2,2?}，R2＝{?1,2?}，R3＝{?1,2?,?2,3?,?1,3?,?2,1?}，R1,R2,R3都是傳遞關(guān)系嗎證：根據(jù)傳遞的定義，R1和R2是傳遞的。但對于R3,因為?1,2?∈R3，?2,1?∈R3，但?1,1?R3,，故R3不是傳遞的。注意：R2是傳遞的。例在集合S={a,b,c,d}上的關(guān)系 R＝{?b,c?,?c,c?,?c,d?,?d,c?},判斷R的性質(zhì)。解R不是自反的；?c,c?R，所以R不是非自反的；?b,c?R,但?c,b?R,所以R不是對稱的；?c,c?R，所以R不是非對稱的； cd,但?c,d?R且?d,c?R,所以R不是反對稱的； ?b,c?R,?c,d?R,但?b,d?R,所以R不是可傳遞的。例A={1,2,3,4,5,6,7},R是A上的模3同余關(guān)系。顯然R是A上的等價關(guān)系,A中各元素關(guān)于R的等價類分別是: [1]R={1,4,7}, [4]R={1,4,7},[7]R={1,4,7} [2]R={2,5}, [5]R={2,5}, [3]R={3,6}, [6]R={3,6},可以看出,彼此等價的元素其等價類是相同的,所以不同的等價類僅有3個,它們是[1]R,[2]R和[3]R。例若A={2,3,4,6,8},偏序關(guān)系是整除關(guān)系, 則2和3是A的極小元,6和8是A的極大元。我們先看極小元,從最大的數(shù)8開始,因為4≤8(即4整除8),故8不是極小元，那么4是不是極小元呢因為2≤4,所以4也不是極小元，那么2是不是極小元呢由于A中沒有任何其它元素x,滿足x≤2,故2是A的極小元。同理，3也是A的極小元。4不是，因為2≤4。對于極大元，我們從最小的數(shù)2開始,因為2≤4(即2整除4),故2不是極大元，那么4是不是極大元呢因為4≤8,所以4也不是極大元，那么8是不是極大元呢由于A中沒有任何其它元素x,滿足8≤x,故8是A的極大元。同理，6也是A的極大元。4不是，因為4≤8。從本例可知,極小元和極大元不是唯一的。例若A={2,3,4,6,8},偏序關(guān)系是整除關(guān)系，則A中既沒有最小元,也沒有最大元。因為2不能整除A中所有元素(如2不能整除3),所以2不是A的最小元，顯然其余元素也不是。同理，8也不能被A中所有元素所整除，所以8不是A的最大元。實際上，A中所有元素的(最大)公約數(shù)和(最小)公倍數(shù)均不屬于A,所以A中既沒有最小元,也沒有最大元。又如B={2,4,6,8},偏序關(guān)系是整除關(guān)系,則B的最小元是2,沒有最大元。