2020八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第五章分式與分式方程試題北師大

2020版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第五章分式與分式方程試題(新版)北師大版2020版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第五章分式與分式方程試題(新版)北師大版15/152020版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第五章分式與分式方程試題(新版)北師大版第五章分式與分式方程分式的看法及應(yīng)用分式的判斷：依照是看分母中可否含有字母，若是含有字母則是分式，若是不含有字母則不是分.【例1】以下式子是分式的是()A.

B.

C.+y

D.【標(biāo)準(zhǔn)解答】選B.由于，有字母，因此是分式.

+y，的分母中均不含有字母，因此它們是整式，而不是分式

.

分母中含(2)分式有意義、沒心義、值為零的條件：若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：①分子為

0；②分母不為

0.這兩個(gè)條件缺一不可以

.分式有意義的條件是分母不為

0；分式?jīng)]心義的條件是分母等于

0.【例2】若是分式的值為0，則x的值應(yīng)為________.【標(biāo)準(zhǔn)解答】依照分式的分子為0且分母不為0時(shí)，分式的值是0，可得解得x=-3.答案：-31.以下式子：

，

，

(a+b)

，，

，

，，

，其中分式的個(gè)數(shù)是

(

)

2.若分式的值為0，則x的值等于______.3.當(dāng)x________時(shí)，分式有意義.4.當(dāng)x________時(shí)，分式的值為負(fù).分式的基本性質(zhì)及應(yīng)用(1)分式的基本性質(zhì)：利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形時(shí)，要特別注意同乘(或除以)的整式不等于0.【例

1】若分式

的a，b的值同時(shí)擴(kuò)大到原來的

10倍，則此分式的值

(

)A.是原來的

20倍

B.是原來的

10倍C.是原來的D.不變【標(biāo)準(zhǔn)解答】選D.依照分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變；可知該運(yùn)算中分式的值沒有改變.分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用——約分在分式的化簡(jiǎn)中，若分子、分母中是多項(xiàng)式時(shí)，要把多項(xiàng)式先分解因式，再依照分式的基本性質(zhì)“分式的分子、分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)非0的數(shù)或式子，分式的值不變”進(jìn)行約分、化簡(jiǎn).【例2】化簡(jiǎn)分式的結(jié)果是________.【標(biāo)準(zhǔn)解答】==.答案：(3)分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用——通分找最簡(jiǎn)公分母的方法：①找系數(shù)：若是各分母的系數(shù)都是整數(shù)，那么取它們的最小公倍數(shù).②找字母：凡各分母因式中出現(xiàn)的全部因式或含字母的式子都要選.③找指數(shù)：取各分母因式中出現(xiàn)的全部字母或含字母的式子中指數(shù)的最大值.【例3】以下三個(gè)分式，，的最簡(jiǎn)公分母是()A.4(m-n)xB.2(m-n)x

2C.D.4(m-n)x

2【標(biāo)準(zhǔn)解答】選2，4(m-n)，x的最簡(jiǎn)公分母為4(m-n)x2.1.以下運(yùn)算正確的選項(xiàng)是()=-==x+y=-2.化簡(jiǎn)：=________.3.分式通分：和.分式的運(yùn)算分式的乘除運(yùn)算：第一依照分式除法的運(yùn)算法規(guī)“分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒地址后，與被除式相乘”把除法轉(zhuǎn)變成乘法，今后把分子、分母分解因式，再進(jìn)行約分即可.能正確進(jìn)行約分是解題要點(diǎn).【例1】化簡(jiǎn)：÷.【標(biāo)準(zhǔn)解答】原式=·=.(2)分式的加減運(yùn)算：第一通分，今后依照同分母的分式加減運(yùn)算法規(guī)求解即可

.【例2】計(jì)算-的結(jié)果是()B.C.D.【標(biāo)準(zhǔn)解答】選A.-=-==-.分式的混雜運(yùn)算：分式的混雜運(yùn)算的序次與實(shí)數(shù)的混雜運(yùn)算的序次相似，依照先乘方、再乘除、最后算加減的序次進(jìn)行，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的，假憂如級(jí)運(yùn)算，按從左到右的序次進(jìn)行.本題可依照分式的混雜運(yùn)算法規(guī)進(jìn)行，先將括號(hào)里面的通分，今后將除法變換成乘法，約分化簡(jiǎn)獲取最簡(jiǎn)分式或整式.注意運(yùn)算序次.【例3】計(jì)算：÷.【標(biāo)準(zhǔn)解答】原式=÷=·=.分式的化簡(jiǎn)求值：第一對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，先算括號(hào)里的，通分，把除法轉(zhuǎn)變成乘法，再進(jìn)行約分，把分式化成最簡(jiǎn)分式或整式，最后代入求值.【例4】先化簡(jiǎn)÷，今后從-2≤x≤2的范圍內(nèi)采用一個(gè)合適的整數(shù)作為x的值代入求.【標(biāo)準(zhǔn)解答】原式=·=

.x滿足-2≤x≤2且為整數(shù)，若使分式有意義，

x只能取

0，-2.當(dāng)x=0時(shí)，原式=-(或當(dāng)x=-2時(shí)，原式=).1.計(jì)算-的結(jié)果為()A.B.2.化簡(jiǎn)

÷的結(jié)果是

(

)

B.-m+1C.-mn+m

3.化簡(jiǎn)：÷的結(jié)果為________.4.先化簡(jiǎn)÷，今后從不等式組的解集中，采用一個(gè)你認(rèn)為符合題意的x的值代入求值.分式運(yùn)算中的常用技巧整體通分法因后兩項(xiàng)不含分母，若將后兩項(xiàng)看作一個(gè)整體，則可以整體通分，即可簡(jiǎn)捷求解.【例1】化簡(jiǎn)：-a-1.【標(biāo)準(zhǔn)解答】-a-1=-(a+1)=-==.逐項(xiàng)通分法注意到分式中各分母的特點(diǎn)，聯(lián)想乘法公式，采用逐項(xiàng)通分法計(jì)算簡(jiǎn)單.【例2】計(jì)算.【標(biāo)準(zhǔn)解答】=--=--=-=-=0.先約分，后通分關(guān)于某些分式，依照其特點(diǎn)，可以將分子、分母先分解因式，約分后再通分求值計(jì)算簡(jiǎn)單.【例3】計(jì)算：+.【標(biāo)準(zhǔn)解答】+=+=+==2.整體代入法若把已知條件直接代入所求代數(shù)式求值無法代入，可將已知條件和所求代數(shù)式進(jìn)行合適變形，整體代入求值簡(jiǎn)單了然.【例4】已知+=5，求的值.【標(biāo)準(zhǔn)解答】方法一：∵+=5，∴xy≠0，∴====.方法二：由+=5得，=5，x+y=5xy，∴====.1.已知a>b，若是+=，ab=2，那么a-b的值為__________.2.已知+=3，則代數(shù)式的值為________.3.先化簡(jiǎn)，再求值：-÷，其中2x+4y-1=0.分式運(yùn)算中的不圓滿法不圓滿法是從一個(gè)或幾個(gè)(但不是全部)特別情況得出一般性的推理做一般法.不圓滿法是依照某事物部分象的觀察而得出一般性的推理形式全法可將“察、、猜、”與“推理”有機(jī)合起來.【例】察下面的形律：

.不圓滿法又叫.運(yùn)用不完=1-；=-；=-；?解答下面的：(1)若n正整數(shù)，你猜想=________.(2)明你猜想的.(3)求和：+++?+.【準(zhǔn)解答】(1)-.(2)-=-==.(3)原式=1-+-+-+?+-=1-=.1.察以下一數(shù)：

，，

，，

，?，它是按必定律排列的，那么一數(shù)據(jù)的第

n個(gè)數(shù)是________.2.已知：=；=；算：=________；猜想：=________.分式運(yùn)算在生活中的用分式是刻畫數(shù)量關(guān)系的一種重要的數(shù)學(xué)模型，與我平常生活有著親近的系，其用十分廣泛，解決此類問題的要點(diǎn)有兩點(diǎn)：(1)挖掘題意中的數(shù)量關(guān)系列出分式.(2)依照題意確定運(yùn)算的種類，最后依照法規(guī)進(jìn)行計(jì)算即可.【例1】甲、乙兩地間鐵路長(zhǎng)2400千米，經(jīng)技術(shù)改造后，列車實(shí)現(xiàn)了加快.加快后比加快前速度增加20千米/時(shí)，設(shè)加快后列車速度為x千米/時(shí)，則列車從甲地到乙地行駛時(shí)間減少多少小時(shí)?【標(biāo)準(zhǔn)解答】加快后列車速度為x千米/時(shí)，則加快前列車從甲地到乙地行駛時(shí)間為小時(shí)，加快后列車從甲地到乙地行駛時(shí)間為小時(shí).-=2400=，因此加快后列車從甲地到乙地行駛時(shí)間減少小時(shí).【例2】某商場(chǎng)銷售某種商品，第一個(gè)月將此商品的進(jìn)價(jià)提高25%作為銷售價(jià)，共盈利6000元.第二個(gè)月商場(chǎng)搞促銷活動(dòng)，將商品的進(jìn)價(jià)提高10%作為銷售價(jià)，設(shè)此商品進(jìn)價(jià)為x元，若要商場(chǎng)第二個(gè)月比第一個(gè)月多盈利400元，則第二個(gè)月的銷售量必定比第一個(gè)月多多少件?【標(biāo)準(zhǔn)解答】此商品進(jìn)價(jià)為x元，依照題意，得第二個(gè)月的銷售量為件，第一個(gè)月的銷售量為件，又-=(件)，因此第二個(gè)月的銷售量必定比第一個(gè)月多件.【例3】某一工程，在工程招標(biāo)時(shí)，接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的招標(biāo)書.工程領(lǐng)導(dǎo)小組依照甲、乙兩隊(duì)的招標(biāo)書測(cè)算，有以下方案：(1)甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要比規(guī)定日期少用1天.(2)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要比規(guī)定日期多用1天.(3)若甲先做1天，余下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做也正好如期完成.試問：在不耽誤工期的前提下，設(shè)規(guī)定日期為x天，若采用第三種施工方案時(shí)，求甲隊(duì)1天完成的工作量與乙隊(duì)(x-1)天完成的工作量的積.【標(biāo)準(zhǔn)解答】分別用分式表示出甲隊(duì)1天完成的工作量，乙隊(duì)(x-1)天完成的工作量，再求出它們的積.由題意可知，甲隊(duì)的工作效率為，乙隊(duì)的工作效率為，則甲隊(duì)1天完成的工作量為，乙隊(duì)(x-1)天完成的工作量為，又×=.因此甲隊(duì)1天完成的工作量與乙隊(duì)(x-1)天完成的工作量的積為.為了支援災(zāi)區(qū)，某中學(xué)師生自覺捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人數(shù)比第一天捐款人數(shù)多50人，設(shè)第一天捐款x人，則第二天人均捐款是第一天人均捐款的多少倍?分式方程妙用分式方程的增根解分式方程時(shí)，一般要將分式方程變形為整式方程.由于這種變形可能擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，所以使得方程產(chǎn)生增根，很多同學(xué)經(jīng)常只重視對(duì)增根的檢驗(yàn)，忽視充分發(fā)揮增根的隱蔽作用.若是能進(jìn)一步仔細(xì)分析增根產(chǎn)生的原因，那么在確定有關(guān)分式方程字母系數(shù)的值時(shí)，經(jīng)?？梢郧擅畹媒?【例1】若關(guān)于x的方程+=2-有增根x=-1，求a的值.【標(biāo)準(zhǔn)解答】去分母整理得(a-2)x2+4x+3=0，①∵已知方程有增根x=-1，∴把x=-1代入①，解得a=3，即當(dāng)a=3時(shí)滿足題意.【例2】當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程+=會(huì)產(chǎn)生增根?【標(biāo)準(zhǔn)解答】去分母得，2(x+2)+mx=3(x-2).整理得(m-1)x=-10，當(dāng)m=1時(shí)，方程無解.當(dāng)m≠1時(shí)，x=.若是方程產(chǎn)生增根，那么必定有最簡(jiǎn)公分母(x+2)(x-2)=0，即x=2或x=-2.(1)當(dāng)x=2時(shí)，2=，解得m=-4；(2)當(dāng)x=-2時(shí)，-2=，解得m=6.綜上所述，當(dāng)m=-4或m=6時(shí)，原方程會(huì)產(chǎn)生增根.1.已知關(guān)于x的分式方程+=1的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是()A.m>2≥2≥2且m≠3D.m>2且m≠32.關(guān)于x的分式方程=有解，則字母a的取值范圍是()A.a=5或a=0B.a≠0C.a≠5D.a≠5且a≠03.若關(guān)于x的方程-1=0有增根，則a的值為________.4.若分式方程-=2有增根，則這個(gè)增根是________.分式方程研究題解決分式方程研究題的三個(gè)步驟：①仔細(xì)觀察所給的已知條件，依照已知條件搜尋規(guī)律；②對(duì)所找的規(guī)律進(jìn)行考據(jù)；③寫出正確的答案.【例】先閱讀以下一段文字，今后解答問題.下面是一類方程和它的解的情況：x-=1的解是x1=2，x2=-；x-=2的解是x1=3，x2=-；x-=3的解是x1=4，x2=-；x-=4的解是x1=5，x2=-；問題：觀察上述方程及其解，再猜想出方程x-=10的解，并寫出檢驗(yàn).【標(biāo)準(zhǔn)解答】由于1=2-，2=3-，3=4-，4=5-，10=11-，因此由此可以猜想出方程x-=10的解是x1=11，x2=-.：當(dāng)x1=11，x-=11-=10，當(dāng)x2=-，x-=--=10，因此x1=11，x2=-都是方程x-=10的解.以下資料：關(guān)于x的方程：x+=c+的解是x1=c，x2=；x+=c+的解是x1=c，x2=；x+=c+的解是x1=c，x2=；?察上述方程與解的特點(diǎn)，比關(guān)于x+=c+(m≠0)與它的關(guān)系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的看法行.(2)用個(gè)解關(guān)于x的方程：x+=a+.追蹤訓(xùn)練答案分析分式的看法及應(yīng)用【追蹤訓(xùn)練】1.【分析】選D.分母中含有字母的式子有4個(gè)，它們是，，，.【分析】由分式的值為零的條件得x2-1=0，x+1≠0，由x2-1=0，得x=-1或x=1，由x+1≠0，得x≠-1，∴x=1.答案：13.【分析】由分式有意義，得3-x≠0，因此x≠3.答案：≠34.【分析】∵x2+1≥1，∴分式的值為負(fù)時(shí)，只需分子為負(fù)數(shù)，由此，可得一元一次不等式：2x-1<0，解得：x<.答案：<分式的基本性質(zhì)及應(yīng)用【追蹤訓(xùn)練】1.【分析】選D.A項(xiàng)：=-=-；B，C兩項(xiàng)沒有公因式可以約分.2.【分析】由于x2-9=(x+3)(x-3)，分子、分母有公因式x-3，因此約分后的結(jié)果為x+3.答案：x+33.【分析】==，=.分式的運(yùn)算【追蹤訓(xùn)練】1.【分析】選C.-==-1.2.【分析】選B.原式=·=-m+1.3.【分析】原式=×=×=x-6.答案：x-64.【分析】÷=·=·=x+5.解不等式組得-5≤x<6.可采用不為±5，0的x的值代入求值，如當(dāng)x=1時(shí)，原式=x+5=1+5=6.分式運(yùn)算中的常用技巧【追蹤訓(xùn)練】1.【分析】∵+=，∴=，ab=2，∴a+b=3，∵a>b，∴a-b====1.答案：12.【分析】由+=3得=3，因此2b+a=6ab，===-.答案：-3.【分析】原式=-×=-=.∵2x+4y-1=0，∴x+2y=，∴原式==2.分式運(yùn)算中的不圓滿法【追蹤】【分析】分子依次1，3，5，7，9，?，可表示2n-1；分母依次22，32，42，52，62，?，可表示(n+1)2，因此第答案：2.【分析】由

n個(gè)數(shù)是=；

.==，算得==，由上面三個(gè)式子可以察出分子等于n+1個(gè)1相加，果等于n+1；分母是(4n+3)+(4n-1)+?+3==(n+1)(2n+3)，因此：==.答案：分式運(yùn)算在生活中的用【追蹤】【分析】因第一天捐款x人，第二天捐款(x+50)人，第一天人均捐款元，第二天人均捐款元，又÷=×=.因此第二天人均捐款是第一天人均捐款的倍.分式方程妙用分式方程的增根【追蹤】1.【分析】選C.方程兩邊同乘以x-1得：m-3=x-1，解得x=m-2，由題意x≥0，且x-1≠0，即m-2≥0，m-2-10，解得m≥2且m≠3.2.【分析】選D.=去分母得：5(x-2)=ax

，，去括號(hào)得：5x-10=ax，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：(5-a)x