八年級上全等三角形專題講解

全等三角形專題講解專題一全等三角形判別方法的應(yīng)用專題概說：判定兩個三角形全等的方法一般有以下4種：1．三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“”）2．兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“”）3．兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“”）4．兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“”）而在判別兩個直角三角形全等時，除了可以應(yīng)用以上4種判別方法外，還可以應(yīng)用“斜邊、直角邊”，即斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“”）．也就是說“斜邊、直角邊”是判別兩個直角三角形全等的特有的方法，它僅適用于判別兩個直角三角形全等．三角形全等是證明線段相等，角相等最基本、最常用的方法，這不僅因為全等三角形有很多重要的角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等和未知的結(jié)論聯(lián)系起來．那么我們應(yīng)該怎樣應(yīng)用三角形全等的判別方法呢？（1）條件充足時直接應(yīng)用在證明和線段或角相等的有關(guān)問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等，而從近年的中考題來看，這類試題難度不大，證明兩個三角形的條件比較充分．只要同學(xué)們認(rèn)真觀察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等．例1已知：如圖1，⊥于點E，⊥于點D，、交于點O，且平分∠．那么圖中全等的三角形有對．分析：由⊥，⊥，得∠∠90o．由平分∠，得∠∠．又為公共邊，所以△≌△．所以，．又∠∠90o，∠∠，所以△≌△．由，∠∠90o，∠為公共角，所以△≌．所以．又∠∠，為公共邊，所以△≌△．圖1所以圖中全等的三角形一共有4對．（2）條件不足，會增加條件用判別方法此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補充使三角形全等的條件．解這類問題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，逐步分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案．例2如圖2，已知，∠1=∠2，要使△≌△，還需添加的條件是（只需填一個）．分析：要使△≌△，注意到∠1=∠2，所以∠1+∠∠2+∠，即∠∠．要使△≌△，根據(jù)可知只需圖2即可；根據(jù)可知只需∠∠D；根據(jù)可知只需∠∠E．故可添加的條件是或∠∠D或∠∠E．（3）條件比較隱蔽時，可通過添加輔助線用判別方法在證明兩個三角形全等時，當(dāng)邊或角的關(guān)系不明顯時，可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等．例3已知：如圖3，，∠1=∠2．求證：平分∠．分析：要證平分∠，即證∠∠，要證∠∠，只需證∠和∠所在的兩個三角形全等．而由已知條件知，只需再證明即可．證明：連結(jié)．因為，所以∠＝∠．因為∠1=∠2，所以∠∠1＝∠∠2．圖3即∠3=∠4，所以．因為，，，所以△≌△．所以∠∠，即平分∠．（4）條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時，會通過構(gòu)造全等三角形用判別方法有些幾何問題中，往往不能直接證明一對三角形全等，一般需要作輔助線來構(gòu)造全等三角形．例4已知：如圖4，在△中，∠90o，，D為的中點，⊥于E，交于F，連接．求證：∠∠．證明：過B作⊥交延長線于G，所以∥．所以∠∠．因為⊥，⊥，所以∠∠．所以∠∠．因為，∠＝∠90o，所以圖4△≌△．所以．因為∠∠45o，，所以△≌△．所以∠∠．所以∠＝∠．所以∠＝∠．說明：常見的構(gòu)造三角形全等的方法有如下三種：①涉及三角形的中線問題時，常采用延長中線一倍的方法，構(gòu)造出一對全等三角形；②涉及角平分線問題時，經(jīng)過角平分線上一點向兩邊作垂線，可以得到一對全等三角形；③證明兩條線段的和等于第三條線段時，用“截長補短”法可以構(gòu)造一對全等三角形．（5）會在實際問題中用全等三角形的判別方法新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，注意培養(yǎng)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，形成解決簡單實際問題的能力﹒在近年中考出現(xiàn)的和全等三角形有關(guān)的實際問題，體現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)理念，應(yīng)當(dāng)引起同學(xué)們的重視．例5要在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件限制，無法直接度量A，B兩點間的距離﹒請你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識按以下要求設(shè)計一測量方案﹒(1)畫出測量圖案﹒(2)寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示）﹒圖5(3)計算A、B的距離（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）﹒分析：可把此題轉(zhuǎn)化為證兩個三角形全等．第(1)題，測量圖案如圖5所示．第(2)題，測量步驟：先在陸地上找到一點O，在的延長線上取一點C，并測得，在的延長線上取一點D，并測得，這時測得的長為，則的長就是．第(3)題易證△≌△，所以，測得的長即可得的長．解：(1)如圖6示．(2)在陸地上找到可以直接到達(dá)A、B的一點O，在的延長線上取一點C，并測得＝，在的延長線上取一點D，并測得＝，這時測出的長為，則的長就是．(3)理由：由測法可得，．又∠∠，∴△≌△．∴．圖6評注：本題的背景是學(xué)生熟悉的，提供了一個學(xué)生動手操作的機(jī)會，重點考查了學(xué)生的操作能力，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識﹒練習(xí)：1．已知：如圖7，D是△的邊上一點，∥，交于點E，．圖7求證：．2．如圖8，在△中，點E在上，點D在上，已知∠∠，∠∠．求證：．圖83．用有刻度的直尺能平分任意角嗎？下面是一種方法：如圖9所示，先在∠的兩邊上取，再取，連接、，得交點C，則射線平分∠．你能說明道理嗎？圖94．如圖10，△中，，過點A作∥，角平分線、相交于點H，它們的延長線分別交于點E、G．試在圖10中找出3對全等三角形，并對其中一對全等三角形給出證明．圖105．已知：如圖11，點C、D在線段上，．請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明．所添條件為，你得到的一圖11對全等三角形是△≌△．6．如圖12，∠1=∠2，，那么需要補充一個直接條件（寫出一個即可），才能使△≌△．圖127．如圖13，在△和△中，，∠∠C．求證：△≌△．圖138．如圖14，直線和相交于點O，且，．求證：．圖149．已知△，，E、F分別為和延長線上的點，且，交于G．求證：．圖1510．已知：如圖16，，，點F是的中點，⊥．求證：∠∠E．圖1611．如圖17，某同學(xué)把一把三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊大小形狀完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（）﹒(A)帶①和②去(B)帶①去(C)帶②去(D)帶③去圖1712．有一專用三角形模具，損壞后，只剩下如圖18中的陰影部分，你對圖中做哪些數(shù)據(jù)度量后，就可以重新制作一塊和原模具完全一樣的模具，并說明其中的道理．圖1813．如圖19，將兩根鋼條'、'的中點O連在一起，使'、'可以繞著點O自由轉(zhuǎn)動，就做成了一個測量工件，則A'B'的長等于內(nèi)槽寬，那么判定△≌△的理由是（）（A）邊角邊（B）角邊角（C）邊邊邊（D）角角邊圖19專題二角的平分線從一個角的頂點出發(fā)，把一個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．角的平分線有著重要的作用，它不僅把角分成相等的兩部分，而且角的平分線上的點到角兩邊的距離相等，到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，再加上角的平分線所在的直線是角的對稱軸．因此當(dāng)題目中有角的平分線時，可根據(jù)角的平分線性質(zhì)證明線段或角相等，或利用角的平分線構(gòu)造全等三角形或等腰三角形來尋找解題思路．（1）利用角的平分線的性質(zhì)證明線段或角相等例6如圖20，∠1＝∠2，⊥于E，⊥于D，交點為C．求證：．圖20證法：∵⊥，⊥，∴∠∠．∵∠1＝∠2，∴．在△和△中，∠∠，，∠3＝∠4．∴△≌△()，∴．說明：本題若用全等方法證明點C到、距離相等，浪費時間和筆墨，不如直接應(yīng)用角平分線性質(zhì)證明，原因在于同學(xué)們已經(jīng)習(xí)慣了用全等的方法，不善于直接應(yīng)用定理，仍去找全等三角形，結(jié)果相當(dāng)于重新證明了一次定理，以后再學(xué)新定理，應(yīng)用時要注意全等定勢的干擾，注意采用簡捷證法．例7已知：如圖21，△中，，∠1＝∠2．求證：平分∠．證明：過D作⊥于E，⊥于F．圖21在△和△中，∠1＝∠2，∠＝∠＝，，∴△≌△()．∴＝，∴平分∠．說明：遇到有關(guān)角平分線的問題時，可引角的兩邊的垂線，先證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出垂線段相等，再利用角的平分線性質(zhì)得出兩角相等．（2）利用角的平分線構(gòu)造全等三角形①過角平分線上一點作兩邊的垂線段例8如圖22，∥，E為上一點，且、分別平分∠、∠．求證：．分析：由于角平分線上一點到角的兩邊的距離相等，而點E是兩條角平分線的交點，因此我們自然想到過點E分別作、、的垂線段．證明：過點E作⊥，交的延長線于點F，作⊥，垂足為G，作⊥，垂足為H．∵平分∠，⊥，⊥，∴．同理．∴．∵∥，∴∠∠D．∵⊥，⊥，∴∠∠90o．圖22在△和△中，∠∠，，∠∠D．∴△≌△．∴．②以角的平分線為對稱軸構(gòu)造對稱圖形例9如圖23，在△中，平分∠，∠2∠B．求證：．分析：由于角平分線所在的直線是這個角的對稱軸，因此在上截取，連接，我們就能構(gòu)造出一對全等三角形，從而將線段分成和兩段，只需證明就可以了．證明：在上截取，連接．∵平分∠，∴∠∠．圖23在△和△中，∠∠，，，∴△≌△．∴∠∠C，．∵∠2∠B，∴∠2∠B．∵∠∠∠，∴∠∠．∴．∴．∵，∴．③延長角平分線的垂線段，使角平分線成為垂直平分線例10如圖24，在△中，平分∠，⊥于E．求證：∠∠∠．分析：注意到平分∠，⊥，于是可延長交于點F，即可構(gòu)造全等三角形．證明：延長交于點F．∵平分∠，∴∠∠．∵⊥，∴∠∠90o．在△和△中，∠∠，，∠∠．圖24∴△≌△．∴∠∠．∵∠∠∠，∴∠∠∠．（3）利用角的平分線構(gòu)造等腰三角形如圖25，在△中，平分∠，過點D作∥，交于點E．易證△是等腰三角形．因此，我們可以過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形．圖25例11如圖26，在△中，，平分∠，⊥于D，交于點E．求證：．分析：要證，可將分成兩條線段，然后再證明和這兩條線段都相等．證明：過點D作∥交于點F．∵平分∠，∴∠1=∠2．∵∥，∴∠1=∠3，∠4=∠．圖26∴∠2=∠3，∴．∵⊥，∴∠2+∠90o，∠3+∠5=90o．∴∠∠5．∴．∵，∴∠∠C．∴∠4=∠C，．∴，即．練習(xí)：1．如圖27，在△中，∠90o，為∠的平分線，⊥于F，．求證：．圖272．已知：如圖28，是△的中線，⊥于E，⊥于F，且．求證：（1）是∠的平分線；（2）．圖283．在△中，∠60o，∠40o，平分∠交于P，平分∠交于Q．求證：．圖294．如圖30，在△中，平分∠，．求證：∠2∠B．圖305．如圖31，E為△的∠A的平分線上一點，＞．求證：＞．圖316．如圖32，在四邊形中，＞，，平分∠．圖32求證：∠∠180o．7．如圖33所示，已知∥，∠1=∠2，∠3=∠4，直線過點E作交于點D，交于點C．求證：．圖338．已知，如圖34，△中，∠90o，，是∠A的平分線，⊥于D．求證：．圖349．△中，，