線代第一節(jié)矩陣定義

第二章 矩陣的定 矩陣的運(yùn)第三節(jié)第四節(jié)方程組的矩陣解§ 矩陣的例1.某商場9月份電視機(jī)銷售統(tǒng)21 29 34 長 康 107 107

與數(shù)表應(yīng)例2.線性方

a11x+a12y+a13z=b1a21x+a22y+a23z=b2a31x+a32y+a33z=b3

b1

b2 b 二、矩陣的定義mn個(gè)數(shù)aiji1,2,Lm;j1,2,Lm行n列的表 表 am

M稱為mn矩陣. a1nA

2n m

mn

的元

a這mn個(gè)數(shù)稱為A的元素,簡稱為元元素都是實(shí)數(shù)——實(shí)矩

512 12 4 是一個(gè)14矩陣（4維的行向量

4是一11矩陣（一個(gè)數(shù) 2 3 6

與

4是同型矩 定義2兩個(gè)矩陣A(aij)mn 與B(bij)mn為同型矩陣,且對(duì)應(yīng)元素相等,即:aij (i1,2,L, j1,2,L,則稱A與B相等 記為A如 2

1 幾種特殊矩陣Specialformofomno 0例

0 000 00 0只有一行的矩陣A an

B m m3、A(aij稱A(aij

為A的負(fù)矩 a1n

2n

L

nn主對(duì)角5、除主對(duì)角線上元素外，其它

OOn(diagonal6、

方陣E L L1 1

全為稱為單位矩陣（或單位陣 0 0 L k8、

0A0

nn9、下三角形矩陣 0A nn10、

a11

a1n若aija

A 2n(i,j=1,2,…,

MMO M 如

1/

nn 3 311、稱矩naijaji

0

a1n(i,j=1,2,…,

A

2naLMMaL如 2

0 3 稱矩 0 0線性方程組的一般形式a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=………………am1x1+am2x2+…+amnxn=

b1

b 線性方

2

增廣 b m線性方程組的一般形式a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=………………am1x1+am2x2+…+amnxn=

a1n

x1

x

A

2n

X

2

B L

x

系數(shù) mn系數(shù)

n

m§ 矩陣的一、矩陣的加１、定設(shè)有兩

矩陣A ,B

,那么矩A與B的和記作AB，規(guī)定

AB L

2 2n am

am

bmn說明1.只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)2.兩個(gè) 5例 5

1 1

2 2

04

4. 62 81 2陣加法的運(yùn)算1交換律ABB2結(jié)合律ABCAB3A矩陣的減法：A－BA－B)bijA1、定數(shù)與矩陣A的乘積記作A或 ,規(guī)定 a1n AA

2n

mn2、數(shù)（A、B為mn矩陣，,為數(shù)1結(jié)合律A2分配律AAA;ABA例1設(shè) ，求2A+B解2A+B= 3 0 4 7 １、定設(shè)A

矩陣B sn矩陣，那么規(guī)定矩陣A與矩陣B 矩陣C ，其s ai1b1jai2b2

L

aikki1,2,Lm;j1,2,L,并把此乘積記 Ccijai1b1jai2b2jL

a1s

L

1n

b2n第i行

i L

L

snsn m ms

L

c1n

第i行第j

mn例C 4 4 222

622?224(3) 244(6)? 12(2)(3) 14(2)(6)2 2例 1 2

4 1

求ABA1 0 B

1 1 4 1 QA

B

ABC

03403412131121 2 A B04 04

4 1CAB

4 1 7 2 注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣1

例 1

不存在

12 312 2

13223

13

1 312 2

13223

13

13

2 2 2

33

1 1 1

3 AB

9 6 3 例

A

1 B

1AB

BA

2 故AB注矩陣的乘法不滿換律，即在一般情況下，AB≠BA.另外，A≠O B≠O時(shí)，可以AB=O因此由AB=O，不能推出A=O或例 設(shè)A 2，B

0，C 1 3

4 0 AC 1 BC 1 0 0 即ACBC，但A可見,矩陣乘法不滿足消注:

ABABCB AC 或B因?yàn)?，A≠O，B≠O時(shí)，可以 0

B 例外:A 2

1 1AB

，BA

2， 2 2 此時(shí)AB２、矩陣乘法的運(yùn)算>分配律(B+C))=5若A是n階方陣，則 為A的k次冪，142 AALA并且Am Amk, k142kmk為正整注意矩陣不滿換律，即ABkAk(AB)k1424例5設(shè) ，求1 1 解A2AA 1

1 1,

A3A2A 21

1 3, 1

例6設(shè)ABC其中B

2,C=3

則A=

6,A2013 CB= 3]3

=11+22+33=A2013==B(CB)(CB)C…B(CB)(CB)C==結(jié)合m個(gè)方程n個(gè)未知量的線性方程ax

x...

x

若B=0，稱之

齊次線性方a21

a22

...a2n

若B≠0，稱之為齊次線性方

...amnxn系數(shù)矩陣

a1n

x1 b1 記A a2n

Xx2 Bb2

...

...

x

b

mn

n

mm×n線性方程組的矩陣

AX四、矩陣的其１、轉(zhuǎn)置定義A …a1n a22 …定義A……… … …am1 …

的轉(zhuǎn)置矩………AT……… …

5; 66B18

轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算2ABT3ATAT

BT4ABTBTAT BTAT BpnpCij

ajkk1

BTAT的(i,j)位置元素 BT的i行元素乘AT的j列元的i的jdijCij

pkp

bkiajk例 已

A

B 3

求ABT210 2 210 解法

3 QAB

1

3, 10例 已

A

B 3

求ABT210 2 210 解法ABTBT

1 3 132 2

n2、方陣可參與多n多項(xiàng)式

f(x)an

L

xA是n階方陣f(A)aAn

L a0 如 A

1,

f(x)2x2x f(A)2A2A 13 0 2 2 1 0 5 1 3 6 五、關(guān)于特殊矩陣的幾點(diǎn)1、對(duì)角矩陣

n仍為同階對(duì)角T

則kAAB2、單位矩陣 1 EmAmnAmn AmnEnAmn A0En.3、數(shù)量矩陣

1 A

a a 1 AAB(ABaEnB4、

0 0A

0 0

A

ann ann

則kAAB5、對(duì)稱陣與稱定義設(shè)為階方陣，如果滿足 即aija i,j1,2,L,那么A稱為對(duì)稱陣 對(duì)任意矩陣Amn, (ATA)T?ATA(ATA)TAT(AT)TAT ""AB(AB)TBTAT

ABAn階方陣,如果滿

ATAaijajiij12L那么A稱為稱陣設(shè)A與B為n階方陣,問等A2B2 A A成立的充要條件是什么思考題QABABA2BAABB2A2B2ABAB成立的充要條AB§ 逆矩一、逆矩陣的概念和 對(duì)于n階方陣A，如果有一個(gè)n階方陣B， ABBAE,則說矩陣是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣A的逆A1.即BA1A

1 11 1 1 1Q B是A的一個(gè)逆矩陣A 0 0

00 aiaa0n QABEn0

BAEn B 2 2

a

設(shè)B,C都是的逆矩陣 則ABBA ACCA BBEnB(AC)(BA)CEnC結(jié)論:可逆矩陣的逆矩陣唯逆矩陣的(A1)1若k

(kA)11k(AB)(B1A1)?(AB)(B1A1)?EnB)(B1A1)1(B1A1)(AB) )A1AEn證:A

(

C1B1AA1(B1A1)(AB)B1(A1A)B (AT)(A1)TEn(A1)(AT)(A1)TEn(A1)T(AT)En 證 (AT)(A1 (A1A)T(E)T (A1)T(AT (AA1)T(En)T例

A

求A的逆陣 解設(shè)B b 利用待定系數(shù)法

的逆矩陣 dAB

b

0 d 12a 2bd 12ac a2a 2bd 0

2bd

b

1

a

cAB

b

1 1 0,

1 1

所

. . 2問題1：方陣都可問題2：在什么條件下，方陣是可逆問題3：如果方陣是可逆的，如何求它的逆矩應(yīng)用的前提是 A是方陣；AnnXn1Bn1 AXB(A1A)XA1BXm×n線性方程組的一般形式a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=……………… …amnxn=問題：如何來求解一般的線性方程組§ 線性方程組的a11x1+a12x2+…+a1nxn=

b1 x x+… x=

b

2………………

am1x1+am2x2+…+amnxn=

b m下面三種矩陣行之間的變換稱為矩陣的初等行變換兩行互換（對(duì)調(diào)i,j兩行，記為rirj某一行的每一個(gè)元素乘以不為零的常數(shù)（i行乘k，記為rik把某一行的每一個(gè)元素乘以常數(shù)k后，加（第i行的k倍加到j(luò)行，記為rikrj 1

1

r2r3

記作 ri2一非零常數(shù)乘矩陣的某行—1

1

1012

ri注: 3某一行k倍加到另一行—1

注注用矩陣的初等行變換解方§1.2引例求消元法解下列線 2x1x2x3x4 x1x22x3x4 4x6x2x

324

解：增廣

214 14 439 39 2

4(2) 4

2 1

4

2 9 4

9 4

6 6

4 4 3 913113146001300130 0 00 00

上11411436001300004x1x22x3x4 43x2

3

(B對(duì)應(yīng)的方程組為解方

x4 0 行階梯形

14 14 的下方全為零

3 0、每個(gè) 有一階梯線的122個(gè)元素為非零元

不是行階梯形矩陣 0行階梯形矩陣后，再求解所對(duì)應(yīng)的線性方程 x2 x3例1求解線性方程組 x x x2x2 2x x 對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行初等變換

1

2A

1

2

1 5

1 5

1

2 2

2 0 x1

x3 對(duì)應(yīng)的方程

x2x31x1

解之

唯一