§9.3扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬法

§9.3扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬法學(xué)習(xí)思路:

扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力解法具有一個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)，它能夠借助于所謂的薄膜比擬（Prandtl比擬）法，使對(duì)應(yīng)的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題運(yùn)算和分析變的更為直觀。薄膜比擬法是由德國(guó)力學(xué)家Prandtl提出的。

薄膜比擬法的基本思想是：受均勻壓力的薄膜與柱體的扭轉(zhuǎn)，有著相似的微分方程和邊界條件，因此可以通過(guò)測(cè)試薄膜變形，分析柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力分布。當(dāng)柱體受外力矩作用發(fā)生扭轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)于非圓截面桿件，其橫截面將產(chǎn)生翹曲。

薄膜比擬法的主要作用是定性地分析橫截面的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力。這一方法借助薄膜等高線直觀地說(shuō)明橫截面的切應(yīng)力方向與大小。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.薄膜比擬；

2.薄膜垂度與扭轉(zhuǎn)應(yīng)力；

3.薄膜等高線與切應(yīng)力；扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力解法具有一個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)，它能夠借助于所謂的薄膜比擬（Prandtl比擬）法，使對(duì)應(yīng)的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題運(yùn)算和分析變的更為直觀。薄膜比擬的基本思想是：假設(shè)一個(gè)與柱體橫截面形狀相同的孔，孔上敷以張緊的均勻薄膜，那么，受均勻壓力的薄膜與柱體的扭轉(zhuǎn)，有著相似的微分方程和邊界條件。因此，可以通過(guò)測(cè)試薄膜彎曲的情況，分析柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面的應(yīng)力分布。設(shè)有一塊均勻的薄膜，張?jiān)谝粋€(gè)與扭轉(zhuǎn)柱體橫截面形狀相似的水平邊界上。當(dāng)薄膜承受微小的均勻壓力q作用時(shí)，薄膜上各點(diǎn)將產(chǎn)生微小的垂度。將邊界所在水平面作為Oxy平面，z軸垂直向下，如圖所示。

由于薄膜的柔順性，可以假設(shè)它不承受彎矩，扭矩，剪力和壓力，而只承受均勻的張力。設(shè)薄膜內(nèi)單位寬度的張力為FT。

現(xiàn)在考慮薄膜中微分單元abcd的平衡。微分單元受的總壓力為qdxdy，薄膜的垂度用Z表示。

ad邊上的張力為FTdy，它在z軸上的投影為；

bc邊上的張力也是FTdy，它在z軸上的投影為；

ab邊的張力在z軸上的投影為；

cd邊上的張力在z軸上的投影為。根據(jù)薄膜微分單元平衡條件,則

簡(jiǎn)化可得

這就是薄膜平衡時(shí)垂度Z所滿足的微分方程，垂度Z在邊界上顯然是等于零。有Z=0

垂度Z所滿足的微分方程與扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)相同，均為泊松方程，只是常數(shù)不同。

下面考察薄膜垂度Z所滿足的邊界條件。討論薄膜所圍的體積，有

上述分析表明，薄膜垂度Z與扭轉(zhuǎn)應(yīng)力具有相同的函數(shù)形式，邊界條件的差別僅是一個(gè)常數(shù)。雖然確定薄膜體積與扭矩的關(guān)系仍然是困難的，但是通過(guò)薄膜曲面，可以形象地描述柱體橫截面的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分布。由于薄膜垂度Z與扭轉(zhuǎn)應(yīng)力具有相同的函數(shù)形式，其差別僅是一個(gè)常數(shù)。因此我們可以通過(guò)薄膜曲面，形象地表示出橫截面上的應(yīng)力分布情況。我們可以想象一系列的和Oxy平面平行的平面與薄膜曲面相截，得到一系列曲線，顯然這些曲線是薄膜的等高線。

對(duì)于薄膜的等高線上的任意點(diǎn)的垂度Z為常數(shù)，所以，Z對(duì)等高線方向的導(dǎo)數(shù)為零，因此，，這就是說(shuō)。

將扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分量計(jì)算公式中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成曲線坐標(biāo)，可以寫出切應(yīng)力分別沿等高線的切線和法線方向的分量表達(dá)式：上式表明柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的切應(yīng)力的方向總是沿著薄膜上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的等高線的切線方向，切應(yīng)力的數(shù)值與等高線的法線導(dǎo)數(shù)成正比，如圖所示。

因此，薄膜的等高線，對(duì)應(yīng)于扭轉(zhuǎn)桿件橫截面上這樣的曲線，各點(diǎn)的切應(yīng)力均與曲線相切。因此這一曲線稱為切應(yīng)力線。

這個(gè)結(jié)論對(duì)于研究柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力分布是很重要的。因?yàn)椋m然我們很難完全通過(guò)薄膜比擬測(cè)定柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面的應(yīng)力分布，但是通過(guò)這種比擬，至少可以定性的描述出橫截面上應(yīng)力分布的大致情況。例如，要知道橫截面上哪一點(diǎn)的應(yīng)力最大，只要看一下對(duì)應(yīng)的薄膜上哪一點(diǎn)的斜率最大。也就是說(shuō)，薄膜上斜率最大的點(diǎn)，就是對(duì)應(yīng)橫截面上切應(yīng)力最大的作用點(diǎn)。

由此可知，最大切應(yīng)力一定發(fā)生在橫截面的周界上，而且橫截面的周界是一條切應(yīng)力線。§9.4橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)學(xué)習(xí)思路:

對(duì)于自由扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力解法，橢圓橫截面柱體扭轉(zhuǎn)問(wèn)題是最成功的應(yīng)用。本節(jié)通過(guò)橢圓截面柱體的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題，對(duì)應(yīng)力解法作全面介紹。

應(yīng)力解法的關(guān)鍵是應(yīng)力函數(shù)的確定。根據(jù)邊界應(yīng)力函數(shù)值為零，橢圓橫截面柱體扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力函數(shù)是容易確定的。對(duì)于待定常數(shù)根據(jù)基本方程，即泊松方程確定。

端面面力邊界條件的應(yīng)用確定了外力偶與柱體應(yīng)力的關(guān)系。通過(guò)這個(gè)條件，可以建立待定常數(shù)與外力偶的關(guān)系。

應(yīng)力函數(shù)確定后，可以確定橫截面切應(yīng)力以及最大切應(yīng)力關(guān)系式。橢圓形橫截面的最大切應(yīng)力在長(zhǎng)邊的中點(diǎn)。

本節(jié)最后討論橫截面的翹曲，即扭轉(zhuǎn)變形。對(duì)于非圓橫截面柱體，在扭矩作用下，橫截面將發(fā)生翹曲。因此對(duì)于非圓橫截面柱體的扭轉(zhuǎn)，平面假設(shè)不能使用。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.橢圓截面直桿應(yīng)力函數(shù)；

2.橢圓截面切應(yīng)力；

3.橢圓截面翹曲；設(shè)有橢圓截面直桿，它的橫截面為橢圓邊界，橢圓的長(zhǎng)短半軸分別為a和b，如圖所示。橢圓方程可以寫作

根據(jù)自由扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的基本方程，應(yīng)力函數(shù)在橫截面的邊界上應(yīng)該等于零，所以假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：這一應(yīng)力函數(shù)滿足c=0。

將上述應(yīng)力函數(shù)代入基本方程，則即

則扭轉(zhuǎn)基本方程滿足。將應(yīng)力函數(shù)代入端面邊界條件公式，則設(shè)

計(jì)算可得?；卮傻脩?yīng)力函數(shù)表達(dá)式

將上述應(yīng)力函數(shù)代入應(yīng)力分量計(jì)算公式，可以得到橫截面應(yīng)力分量為

橫截面上的任意一點(diǎn)的合成切應(yīng)力為根據(jù)薄膜比擬，最大切應(yīng)力發(fā)生在橢圓邊界上，邊界切應(yīng)力最大值在橢圓短軸處，而最小值在橢圓的長(zhǎng)軸處，如圖所示。有下面討論橢圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面的翹曲，將應(yīng)力分量代入翹曲函數(shù)公式，則

將上面兩式分別對(duì)x和y積分，則

比較上述兩式，必然有f1(x)=f1(x)＝k(常數(shù))，所以其中，k表示橫截面沿z方向的剛體平動(dòng)，對(duì)變形沒(méi)有影響，因此可以略去。