《不等式選講》全冊教案

WORD完整版----可編輯----教育資料分享選修4--5不等式選講一、課程目標(biāo)解讀選修系列4-5專題不等式選講，內(nèi)容包括：不等式的基本性質(zhì)、含有絕對值的不等式、不等式的證明、幾個著名的不等式、利用不等式求最大（?。┲?、數(shù)學(xué)歸納法與不等式。通過本專題的教學(xué)，使學(xué)生理解在自然界中存在著大量的不等量關(guān)系和等量關(guān)系，不等關(guān)系和相等關(guān)系都是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，它們在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要的作用；使學(xué)生了解不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深對這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析問題解決問題的能力。二、教材內(nèi)容分析作為一個選修專題，雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了高中必修課程的5個模塊和三個選修模塊，教材內(nèi)容仍以初中知識為起點，在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對的完整性．整個專題內(nèi)容分為四講，結(jié)構(gòu)如下圖所示：第一講是“不等式和絕對值不等式”，為了保持專題內(nèi)容的完整性，教材回顧了已學(xué)過的不等式6個基本性質(zhì)，從“數(shù)與運算”的思想出發(fā)，強調(diào)了比較大小的基本方法?；仡櫫硕静坏仁?，突出幾何背景和實際應(yīng)用，同時推廣到n個正數(shù)的情形，但教學(xué)中只要求理解掌握并會應(yīng)用二個和三個正數(shù)的均值不等式。對于絕對值不等式，借助幾何意義，從“運算”角度，探究歸納了絕對值三角不等式，并用代數(shù)方法給出證明。通過討論兩種特殊類型不等式的解法，學(xué)習(xí)解含有絕對值不等式的一般思想和方法，而不是系統(tǒng)研究。第二講是“證明不等式的基本方法”，教材通過一些簡單問題，回顧介紹了證明不等式的比較法、綜合法、分析法，反證法、放縮法。其中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標(biāo)準(zhǔn)才引入到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的內(nèi)容。這些方法大多在選修2-2“推理與證明”已經(jīng)學(xué)過，此處再現(xiàn)也是為了專題的完整性，對于新增的放縮法，應(yīng)通過實際實際例子，使學(xué)生明確不等式放縮的幾個簡單途徑和方法，比如舍掉或加進一些項，在分式中放大或縮小分子或分母，應(yīng)用基本不等式進行放縮等（見分節(jié)教學(xué)設(shè)計）。本講內(nèi)容也是本專題的一個基礎(chǔ)內(nèi)容。第三講是“柯西不等式和排序不等式”。這兩個不等式也是本專題實質(zhì)上的新增內(nèi)容，教材主要介紹柯西不等式的幾種形式、幾何背景和實際應(yīng)用。其中柯西不等式及其在證明不等式和求某些特殊類型函數(shù)極值中的應(yīng)用是教材編寫和我們教學(xué)的重點。事實上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的簡單應(yīng)用，二者同樣重要，在某些問題中，異曲同工。比如課本P41頁，習(xí)題3.2第四題。排序不等式只作了解，建議在老師指導(dǎo)下由學(xué)生閱讀自學(xué)，了解教材中展示的“探究——猜想——證明——應(yīng)用”的研究過程，初步認識排序不等式的有關(guān)知識。第四講是“數(shù)學(xué)歸納法證明不等式”．?dāng)?shù)學(xué)歸納法在選修2-2中也學(xué)過，建議放在第二講，結(jié)合放縮法的教學(xué)，進一步理解“歸納遞推”的證明。同時了解貝努利不等式及其在數(shù)學(xué)估算方面的初步運用。三、教學(xué)目標(biāo)要求1．不等式的基本性質(zhì)掌握不等式的基本性質(zhì)，會應(yīng)用基本性質(zhì)進行簡單的不等式變形。2．含有絕對值的不等式理解絕對值的幾何意義，理解絕對值三角不等式，會解絕對值不等式。3．不等式的證明通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法4．幾個著名的不等式(1)認識柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，會用二維三維柯西不等式進行簡單的證明與求最值。(2)理解掌握兩個或三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式并應(yīng)用。(3)了解9個正數(shù)的均值不等式，n維柯西不等式，排序不等式，貝努利不等式5．利用不等式求最大(小)值會用兩個或三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值。6．?dāng)?shù)學(xué)歸納法與不等式了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍；會用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的不等式。會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式。四、教學(xué)重點難點1、本專題的教學(xué)重點：不等式基本性質(zhì)、均值不等式及其應(yīng)用、絕對值不等式的解法及其應(yīng)用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式及其應(yīng)用、排序不等式；2、本專題的教學(xué)難點：三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式及其應(yīng)用、絕對值不等式解法；用反證法，放縮法證明不等式；運用柯西不等式和排序不等式證明不等式以及求最值等。五、教學(xué)總體建議1、回顧并重視學(xué)生已學(xué)知識學(xué)習(xí)本專題，學(xué)生已掌握的知識有： 完整版學(xué)習(xí)資料分享 第一、初中課標(biāo)要求的不等式與不等式組(1)根據(jù)具體問題中的大小關(guān)系了解不等式的意義，并探索不等式的基本性質(zhì)。(2)解簡單的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集。解由兩個一元一次不等式組成的不等式組，并會用數(shù)軸確定解集。(3)根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式和一元一次不等式組，解決簡單的問題第二、高中必修5不等式內(nèi)容：(1)不等關(guān)系。通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實際背景。(2)一元二次不等式。(3)二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題。(4)基本不等式及其應(yīng)用(求最值)。第三、高中選修2-2推理與證明中的比較法、綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等內(nèi)容。回顧并重視學(xué)生在學(xué)習(xí)本課程時已掌握的相關(guān)知識，可適當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生閱讀自學(xué)，設(shè)置梯度恰當(dāng)?shù)牧?xí)題，采用題組教學(xué)的形式，達到復(fù)習(xí)鞏固系統(tǒng)化的效果，類似于高考第二輪的專題復(fù)習(xí)，構(gòu)建知識體系。2、控制難度不拓展在解絕對值不等式的教學(xué)中，要控制難度：含未知數(shù)的絕對值不超過兩個；絕對值內(nèi)的關(guān)于未知數(shù)的函數(shù)主要限于一次函數(shù)。解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來加以討論，把含有絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式；不等式證明的教學(xué)，主要使學(xué)生掌握比較法、綜合法、分析法，其它方法如反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法，應(yīng)用柯西不等式和排序不等式的證明，只要求了解。代數(shù)恒等變換以及放縮法常常使用一些技巧。這些技巧是極為重要的，但對大多數(shù)學(xué)生來說，往往很難掌握這些技巧，教學(xué)中要盡力使學(xué)生理解這些不等式以及證明的數(shù)學(xué)思想，對一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教學(xué)陷在過于形式化的和復(fù)雜的技巧之中。3、重視不等式的應(yīng)用不等式應(yīng)用的教學(xué)，主要是引導(dǎo)學(xué)生解決涉及大小比較、解不等式和最值問題，其中最值問題主要是用二個或三個正數(shù)平均不等式、二維或三維柯西不等式求解。對于超過3個正數(shù)的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；貝努里不等式的應(yīng)用不作要求。4、重視展現(xiàn)著名不等式的背景幾個重要不等式大都有明確的幾何背景。教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生了解重要不等式的數(shù)學(xué)意義和幾何背景，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中把握這些幾何背景，力求直觀理解這些不等式的實質(zhì)。特別是對于n元柯西不等式、排序不等式、貝努利不等式等內(nèi)容，可指導(dǎo)學(xué)生閱讀了解相關(guān)背景知識。第一講不等式和絕對值不等式課題：第01課時不等式的基本性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：1．理解用兩個實數(shù)差的符號來規(guī)定兩個實數(shù)大小的意義，建立不等式研究的基礎(chǔ)。2．掌握不等式的基本性質(zhì)，并能加以證明；會用不等式的基本性質(zhì)判斷不等關(guān)系和用比較法，反證法證明簡單的不等式。教學(xué)重點：應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)推理判斷命題的真假；代數(shù)證明，特別是反證法。教學(xué)難點：靈活應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)。教學(xué)過程：一、引入：不等關(guān)系是自然界中存在著的基本數(shù)學(xué)關(guān)系。《列子?湯問》中膾炙人口的“兩小兒辯日”：“遠者小而近者大”、“近者熱而遠者涼”，就從側(cè)面表明了現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的廣泛存在；日常生活中息息相關(guān)的問題，如“自來水管的直截面為什么做成圓的，而不做成方的呢?”、“電燈掛在寫字臺上方怎樣的高度最亮？”、“用一塊正方形白鐵皮，在它的四個角各剪去一個小正方形，制成一個無蓋的盒子。要使制成的盒子的容積最大，應(yīng)當(dāng)剪去多大的小正方形？”等，都屬于不等關(guān)系的問題，需要借助不等式的相關(guān)知識才能得到解決。而且，不等式在數(shù)學(xué)研究中也起著相當(dāng)重要的作用。本專題將介紹一些重要的不等式(含有絕對值的不等式、柯西不等式、貝努利不等式、排序不等式等)和它們的證明，數(shù)學(xué)歸納法和它的簡單應(yīng)用等。人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實世界中的量，不等是普遍的、絕對的，而相等則是局部的、相對的。還可從引言中實際問題出發(fā)，說明本章知識的地位和作用。生活中為什么糖水加糖甜更甜呢?轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，則糖水更甜了，為什么？ b b+mb+mb分析：起初的糖水濃度為一，加入m克糖后的糖水濃度為 ，只要證 >—即可。a a+m a+ma怎么證呢?二、不等式的基本性質(zhì)：1、實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總大于左邊的點所表示的數(shù)，從實數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知：a>b今a-b>0a=b=a-b=0a<b今a-b<0得出結(jié)論：要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可。2、不等式的基本性質(zhì)：①、如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b。(對稱性)②、如果2>上且b>c，那么2>如即a>b，b>cna>c。③、如果a>b，那么a+c>b+c,即a>b=a+c>b+c。推論：如果2>上且c>d,那么a+c>b+d.即a>b,c>dna+c>b+d.④、如果a>b，且c>0,那么ac>bc；如果a>果且c<0,那么ac<bc.⑤、如果a>b>0，那么an>bn(ncN，Mn>1)⑥、如果a>b>0，那么na>nb(ncN，且n>1)。三、典型例題：例1、比較.+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小。分析：通過考察它們的差與0的大小關(guān)系，得出這兩個多項式的大小關(guān)系。例2、已知a>b,c<d，求證：a-c>b-d.例3、已知a〉b〉0,c〉d〉0,求證：:a也\：7>vC°四、課堂練習(xí)：1：已知X>3，比較x3+11x與6x2+6的大小。ba2：已知a〉b〉0,c<d<0,求證： < 。a—cb—d五、課后作業(yè)：課本P9第1、2、3、4題六、教學(xué)后記：課題：第02課時基本不等式教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)會推導(dǎo)并掌握均值不等式定理；2.能夠簡單應(yīng)用定理證明不等式并解決一些簡單的實際問題。教學(xué)重點：均值不等式定理的證明及應(yīng)用。教學(xué)難點：等號成立的條件及解題中的轉(zhuǎn)化技巧。教學(xué)過程：一、知識學(xué)習(xí)：定理1：如果a、b￡R,那么a2+b2三2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"=”號) 完整版學(xué)習(xí)資料分享 證明：a2+b2—2ab=（a—b）2當(dāng)aWb時，（a—b）2>0,當(dāng)a=b時，（a—b）2=0所以，（a—b）2三0 即a2+b2三2ab由上面的結(jié)論，我們又可得到定理2（基本不等式）：如果a,b是正數(shù)，那么a+辿，?瓜（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號）證明：?/（?）2+（）2^2\'ab...a+b三2、Jab ,即a［，N\；abTOC\o"1-5"\h\z" 2a+b ■—顯然，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，一"一=，\；ab2a+b^ 一一■~~ 一說明：1）我們稱丁為a,b的算術(shù)平均數(shù)，稱\；ab為a,b的幾何平均數(shù)，因而，此定理2又可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).一一一a+ba2+b2三2ab和〒N\；ab成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實數(shù)，而后者乙要求a,b都是正數(shù).“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件.4）幾何意義.二、例題講解：例1已知乂，y都是正數(shù)，求證：（1）如果積xy是定值P,那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值2-JF；（2）如果和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y時，積xy有最大值4S2證明：因為x,y都是正數(shù)，所以WyN\，xy2（1）積xy為定值P時，有寺M./P 小+丫三2\相2TOC\o"1-5"\h\z上式當(dāng)x=y時，取“=”號，因此，當(dāng)x=y時，和x+y有最小值2Vp..一 . .?—S 1~（2）和x+y為定值S時，有\(zhòng),：xyWj .xyW S2乙 仕上式當(dāng)x=y時取"=”號，因此，當(dāng)x=y時，積xy有最大值4s2.說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個條件：i）函數(shù)式中各項必須都是正數(shù)；ii）函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；WORD完整版----可編輯----教育資料分享iii)等號成立條件必須存在。例2：已知&、b、c、d都是正數(shù)，求證：(ab+cd)(ac+bd)三4abcd分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認識.證明：由a、b、c、d都是正數(shù)，得TOC\o"1-5"\h\zab+cd i- ,---N\；ab?cd>0,2.(ab+cd)(ac+bd)ac+bd . ----三飛；ac?bd>0,\o"CurrentDocument"2 、三abcd即(ab+cd)(ac+bd)三4abcd例3某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m,如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化,即建立函數(shù)關(guān)系式,然后求函數(shù)的最值,其中用到了均值不等式定理.解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm,水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得1=240000+720(x+1600)^240000+720X2飛；'x-1600x x=240000+720X2X40=297600當(dāng)x：1600，即x=40時，1有最小值297600x因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元.評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用,應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立,又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用,應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件.三、課堂練習(xí)：課本P91練習(xí)1,2,3,4.四、課堂小結(jié)：通過本節(jié)學(xué)習(xí),要求大家掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理,并會應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值,,但是在應(yīng)用時,應(yīng)注意定理的適用條件。五、課后作業(yè)課本P10習(xí)題，6,7題六、教學(xué)后記：課題：第03課時 三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式教學(xué)目標(biāo)：1．能利用三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題；2．了解基本不等式的推廣形式。教學(xué)重點：三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式教學(xué)難點：利用三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題教學(xué)過程：一、知識學(xué)習(xí)：定理3：如果a,b,ceR+，那么a+1b+c>3樂。當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立。推廣：a1+a2+一+a^三naa…a。當(dāng)且僅當(dāng)a=a=…=a時，等號成立。

n ’12n 1 2 n語言表述：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。思考：類比基本不等式，是否存在：如果a,bceR+，那么a3+b3+c3>3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立）呢？試證明。二、例題分析：

解一:解二:???y'"二3"一一求函數(shù)y―2x2+-(x>0)的最小值。X解一:解二:???y'"二3"一一求函數(shù)y―2x2+-(x>0)的最小值。Xy=2x2+3=2x2+-+2>33'2x2--X XX X?——33,4/.y―3x4X min- 3 3 --r— —y=2x2 +— >2,2x2 ?— =2\：6x 當(dāng)2x2 =3 v12一—即X——--時X 2—2...,6-上—2v3312—26/324min\ 2上述兩種做法哪種是錯的？錯誤的原因是什么？變式訓(xùn)練1若a,beR且a>b,求a+的最小值。

+ (a—b)b由此題，你覺得在利用不等式解決這類題目時關(guān)鍵是要例2:如下圖，把一塊邊長是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿名著虛線折轉(zhuǎn)成一個無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大?變式訓(xùn)練2已知：長方體的全面積為定值S,試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值.由例題，我們應(yīng)該更牢記一三者缺一不可。另外，由不等號的方向也可以知道：積定，和定三、鞏固練習(xí)y―3X+12(X>0)的最小值是(X2A.6B.6v6A.6, 16尸4X2+正正的最小值是3.函數(shù)y=x4(2—x2)(0<x<<2)的最大值是(A.0B.116C.A.0B.116C.—2732D.—274.（2009浙江自選）已知正數(shù)九y,z滿足％+y+z=1,求4-+4y+4z2的最小值。一 1 1 15（2008，江蘇，21）設(shè)a,b,c為正實數(shù)，求證：——+—+—+abc>23a3b3c3四、課堂小結(jié)：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，，但是在應(yīng)用時，應(yīng)注意定理的適用條件。五、課后作業(yè)P1習(xí)題11，12,13題六、教學(xué)后記：課題：第04課時 絕對值三角不等式教學(xué)目標(biāo)：1：了解絕對值三角不等式的含義，理解絕對值三角不等式公式及推導(dǎo)方法，會進行簡單的應(yīng)用。2：充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。教學(xué)重點：絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解和運用。教學(xué)難點：絕對值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)、取等條件。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：關(guān)于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。本節(jié)課探討不等式證明這類問題。1．請同學(xué)們回憶一下絕對值的意義。-，如果->0N=<0,如果-=0?！?，如果-<0幾何意義：在數(shù)軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。2．證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外，經(jīng)常還要用

到關(guān)于絕對值的和、差、積、商的性質(zhì)：(1)\a\>a,當(dāng)且僅當(dāng)〃>0時等號成立，同2一〃.當(dāng)且僅當(dāng)“V0時等號成立。(2)4二7〃2, (3)(29b=Cl-b\, (4)777=丁SW。)\b\b那么a+|Z?|=a+Z?|?|^|-|Z?|=\a+b?二、講解新課： (探究：ih,例上+b|.|〃-之間的什么關(guān)系？ r―5結(jié)論：㈤+同(當(dāng)且僅當(dāng)而三o時，等號成立.)(當(dāng)且僅當(dāng)曲三。時，等號成立.)2o.當(dāng)ab〈O時，(當(dāng)且僅當(dāng)曲三。時，等號成立.)2o.當(dāng)ab〈O時，ab=—\ab\,\a+b\=J(q+b)2=+2ab+Z72=^\a\2-2\ab\+\b\2<^\a\2+l\a\\b\+\b\2=J(lqI+16)2=\a\+\b\ab=1abI,\a+b\={(a+b)2=+2ab+b2=a\2+2\a\\b\+\b\2=^(\a\+\b1)2=\a\+\b\綜合1。，2。知定理成立.方法二：分析法，兩邊平方(略)定理1如果由萬是實數(shù)，則卜+川〈卜|+同(當(dāng)且僅當(dāng)諦N0時，等號成立.)(1)若把。/換為向量2B情形又怎樣呢？

根據(jù)定理i,有a+b+|—b>a+b—向，就是，a+b+mi>a。所以，a+b>ai—ib定理(絕對值三角形不等式)如果a,b是實數(shù)，貝如aI-|b||Wa土b|WaI+|b|注：當(dāng)a,b為復(fù)數(shù)或向量時結(jié)論也成立.推論1：a1+a2+???+a?<aj+aj+???+a?推論2：如果a、b、c是實數(shù)，那么a-c\Wa-b\+b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)三0時，等號成立.思考：如何利用數(shù)軸給出推論2的幾何解釋?(設(shè)A,B,C為數(shù)軸上的3個點，分別表示數(shù)a,b,c,則線段AB<AC+CB.當(dāng)且僅當(dāng)C在A,B之間時，等號成立。這就是上面的例3。特別的，取c=0(即C為原點)，就得到例2的后半部分。)三、典型例題：例1、已知k-a<C,b-b\<C，求證|(X+y)-(a+b)|<c.(1)(2)證明|(x + y)— (a + b)| =|(x — a) +(y — b)| < |x—a\+ |y—b|(1)(2)ccX-X-a\+|y—b|22由(1),(2)得：|(x+y)-(a+b)|<c例2、已知|x|<4,|y|<6.求證：|2x—3y|<a。證明,「|X|<—,|y|<—,.?.|2X|<—,|3y|<—,4 6 2 2由例1及上式，|2x—3y|<|2x|+13y|<a-+a-=a。注意：在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于不等WORD完整版----可編輯----教育資料分享號方向相同的不等式。例3兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工,這兩個地點分別位于公路路碑的第10公里和第20公里處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū),每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次,要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應(yīng)該建于何處?解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第xkm處，兩施工隊每天往返的路程之和為S(x)km那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)10 x 20四、課堂練習(xí)：.(課本P20習(xí)題1.2第1題)求證：⑴a+b\+a-bi三2ai1⑵a+bi-a一“<2例.(課本P19習(xí)題1.2第3題)求證：|x-a\+|x-b|三a-b；⑵|x-a|-|x-b|0|a-b(1)、已知|A-a<c,B-b\<c.求證：|(A-B)-(a-b)|<c。121 12 ' 1c c(2)、已知|x-a|<4,|y一b|<求證：|2x-3y-2a+3b|<c。五、課堂小結(jié)：.實數(shù)a的絕對值的意義：'a(a>0)⑴|a|=<0(a=0)；(定義)-a(a<0)⑵|a|的幾何意義：2.定理(絕對值三角形不等式)如果a,b是實數(shù)，則||a|-bl|W|a土b\W|a|+例注意取等的條件。六、課后作業(yè)：課本P19第2,4,5題七.教學(xué)后記：課題：第05課時絕對值不等式的解法教學(xué)目標(biāo)：1：理解并掌握閔<a與|M>a(a>0)型不等式的解法.2：掌握阿+b\<。與|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法.教學(xué)重點：國<a與國>a(a>0)型不等式的解法.教學(xué)難點：把絕對值不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式(組)來求解.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：在初中課程的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)對不等式和絕對值的一些基本知識有了一定的了解。請同學(xué)們回憶一下絕對值的意義。在數(shù)軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。即x，如果x>0XI=<0,如果x=0?！猉，如果X<0在此基礎(chǔ)上，本節(jié)討論含有絕對值的不等式。二、新課學(xué)習(xí)：關(guān)于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。下面分別就這兩類問題展開探討。1、解在絕對值符號內(nèi)含有未知數(shù)的不等式(也稱絕對值不等式)，關(guān)鍵在于去掉絕對值符號化成普通的不等式。主要的依據(jù)是絕對值的幾何意義.2、含有絕對值的不等式有兩種基本的類型。 完整版學(xué)習(xí)資料分享 第一種類型：設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，不等式W<〃的解集是{xl-〃<x<〃}，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離小于a的點的集合是開區(qū)間（—a,a）,如圖所示。圖1-1如果給定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的結(jié)果來解。第二種類型：設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，不等式|x|>〃的解集是{xlx>a或x<-a卜它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離大于a的點的集合是兩個開區(qū)間（-8,-a）,（a,吟的并集。如圖1-2所示。-a a圖1-2同樣,如果給定的不等式符合這種類型,就可以直接利用它的結(jié)果來解。3、|ax+b\Gc和|ax+b|>c型不等式的解法。|ax+b|<co-c<ax+b<cax+b|>coax+b<-c或ax+b>c4、|x-a|+|x-b|<c和|x-a|+|x-b|>c型不等式的解法。（三種思路）三、典型例題：例1、解不等式|3x-1|<x+2。例2、解不等式|3x-1|>2-x。方法1：分類討論。方法2：依題意，原不等式等價于3x-1>2-x或3x-1<x-2，然后去解。例3、解不等式|2x+1|+|3x-2|>5。

例4、解不等式|x-2|+卜-1|>5。解：本題可以按照例3的方法解，但更簡單的解法是利用幾何意義。原不等式即數(shù)軸上的點x到1,2的距離的和大于等于5。因為1,2的距離為1,所以x在2的右邊，與2的距離大于等于2(=(5—1)+2)；或者x在1的左邊，與1的距離大于等于2。這就是說，x>4或x<-1.例5、不等式|x-1|+|x+3|>〃，對一切實數(shù)x都成立，求實數(shù)〃的取值范圍。解下列不等式：四、課堂練習(xí)：1解下列不等式：四、課堂練習(xí)：1、22x-1|>1.4、|x+1|>2-x.7、|x|+|x-2|>410、 |x|-|x-4||>2.2、41-3x|-1<05、 x2—2x—4<18、|x-1|+|x+3|>6.3、 3-2x|<x+46、 x2—1>x+2.9、 |x|+|x+1|<2五、課后作業(yè)：課本20第6、7、8、9題。六、教學(xué)后記：第二講證明不等式的基本方法課題：第01課時不等式的證明方法之一：比較法教學(xué)目標(biāo)：能熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。教學(xué)重、難點：能熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。教學(xué)過程：一、新課學(xué)習(xí)：要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可，即利用不等式的性質(zhì)：a>b今a-b>0a=b=a-b=0a<b今a-b<0二、典型例題：例1、設(shè)a,b都是正數(shù)，且a豐b，求證：a3+b3>a2b+ab2。例2、若實數(shù)x中1，求證：3(1+x2+x4)>(1+x+x2)2.證明：采用差值比較法：3(1+x2+x4)一(1+x+x2)2=3+3x2+3x4-1一x2一x4-2x-2x2-2x3=2(x4-x3-x+1)=2(x-1)2(x2+x+1)13=2(x-1)2[(x+-)2+-].13x中1,從而5-1)2>0,且(x+2)2+->0,WORD完整版----可編輯----教育資料分享1 3??? 2(x-1)2[(x+-)2+-]>0,：. 3(1+X2+x4)>(1+x+x2)2.討論：若題設(shè)中去掉xw1這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？例3、已知a,bGR+,求證aabb>abba.本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行。證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于a,b對稱，不妨設(shè)a>b>0.?/a-b>0，從而原不等式得證。/.aabb—abba=abbb(aa-b-ba-b)>02)商值比較法：設(shè)a>b>0,a aabb av->1,a—b>0,a^—=(-)aa-b>1.故原不等式得證。b abba b例4、甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點。甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m豐n，問甲、乙兩人誰先到達指定地點。分析：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是S，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為(,12。要回答題目中的問題，只要比較11,12的大小就可以了。解：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是S，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為t1,12，tt SS 2S S(m+n)TOC\o"1-5"\h\z根據(jù)題意有寸m+4n=S，~~+~T~=t，可得t= ，t= ，2 2 2m2n2 1m+n2 2mn2S S(m+n)S[4mn—(m+n)2] S(m—n)2從而t—t= - = =- ，2m+n 2mn 2(m+n)mn 2(m+n)mn其中S,m,n都是正數(shù)，且m豐n。于是t1-t2<0，即t1<t2。從而知甲比乙首先到達指定地點。討論：如果m=n，甲、乙兩人誰先到達指定地點？三、課堂練習(xí)：1．比較下面各題中兩個代數(shù)式值的大?。?)X2與％2-x+1；(2)X2+x+1與(x+1)2.2a.已知〃豐1.求證：(1)a2>2a-1;(2) <1.+a2a*b*c3.若a>b>c>0，求證aabbc>(abc)3.四、課時小結(jié)：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差(或作商)、變形、判斷符號?！白冃巍笔墙忸}的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。五、課后作業(yè)：課本23頁第1、2、3、4題。六、教學(xué)后記：課題：第02課時不等式的證明方法之二：綜合法與分析法教學(xué)目標(biāo)：1、結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法。2、了解分析法和綜合法的思考過程。教學(xué)重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程。教學(xué)難點：根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法。教學(xué)過程：一、引入：綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。由于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性，這里將其放在一起加以認識、學(xué)習(xí)，以便于對比研究兩種思路方法的特點。所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式，逐步推導(dǎo)出要證的不等式。而分析法，則是由結(jié)果開始，倒過來尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已知中。前一種是“由因及果”，后一種是“執(zhí)果索因”。打一個比方：張三在山里迷了路，救援人員從駐地出發(fā)，逐步尋找，直至找到他，這是“綜合法”；而張三自己找路，直至回到駐地，這是“分析法”。二、典型例題：例1、已知a,b,c>0，且不全相等。求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc分析：用綜合法。例2、設(shè)a>0,b>0，求證a3+b3>a2b+ab2.證法一分析法要證a3+b3>a2b+ab2成立.只需證(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立，又因a+b>0，只需證a2—ab+b2>ab成立，又需證a2—2ab+b2>0成立， 完整版學(xué)習(xí)資料分享 即需證（?！猙）2>0（〃—b）2>0顯然成立.由此命題得證。證法二綜合法（a一b）2>0na2—2ab+b2>0na2—ab+b2>ab注意到a>0,b>0，即a+b>0，由上式即得（a+b）（a2-ab+b2）>ab（a+b），從而a3+b3>a2b+ab2成立。議一議：根據(jù)上面的例證，你能指出綜合法和分析法的主要特點嗎？a+maTOC\o"1-5"\h\z例3、已知a，b，m都是正數(shù)，并且a<b.求證：-——>-. （1）b+mb證法一要證（1），只需證b（a+m）>a（b+m） （2）要證（2），只需證bm>am （3）要證（3），只需證b>a （4）已知（4）成立，所以（1）成立。上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。證法二因為b>a,m是正數(shù)，所以bm>am兩邊同時加上ab得b（a+m）>a（b+m）兩邊同時除以正數(shù)b（b+m）得（1）。例4、證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。分析：當(dāng)水的流速相同時，水管的流量取決于水管橫截面面積的大小。設(shè)截面的周長為L，一 L .（L12 ― L ，L32則周長為L的圓的半徑為 截面積為兀 ；周長為L的正方形為:，截面積為-。2人 I2k） 4 14）（L）2所以本題只需證明兀—12兀） _ （L）2 證明：設(shè)截面的周長為L，則截面是圓的水管的截面面積為?！?，截面是正方形的水管12兀） (L\2的截面面積為—(4)（LV。只需證明：?！?兀）兀L L為了證明上式成立，只需證明不>正。TOC\o"1-5"\h\z~~~~ ' 1 1 ' ；兩邊同乘以正數(shù)——，得：一〉:。因此，只需證明4〉口。L2 九4一小，、一 （L上式顯然成立，所以?！?2兀這就證明了：通過水管放水，當(dāng)流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。例5、證明：a2+b2+c2>ab+bc+ca。證法一：因為a2+b2>2ab證法二:b2+c2>2bcc2+a2>2ca所以三式相加得2(證法一：因為a2+b2>2ab證法二:b2+c2>2bcc2+a2>2ca所以三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ca)兩邊同時除以2即得（1）。1 , 、 1 / 1 、 1/ 、ca2+b2 +c2一(ab+bc +ca)= — (a-b)2+—(b- c)2 +—(c-a)2 >0,f"<2 f""2 ^2所以（1）成立。例6、證明：(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2.（1）證明(1)O(a2+b2)(c2+d2)一(ac+bd)2>0（2）=a2c2+b2c2+a2d2+b2d2-(a2c2+2abcd+b2d2)>0(3)=b2c2+a2d2-2abcd>0（4）例7、分析:=(bc-ad)2>0（5）顯然成立。因此（1）成立。（5）已知a,b,c都是正數(shù)，求證a3+b3+c3>3abc.并指出等號在什么時候成立?本題可以考慮利用因式分解公式a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc一ca)著手。證明：a證明：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)1=—(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2].2由于a,b,c都是正數(shù)，所以a+b+c>0.而(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2>0,可矢口a3+b3+c3-3abc>0即a3+b3+c3>3abc(等號在a=b=c時成立)探究：如果將不等式a3+b3+c3>3abc中的a3,b3,c3分別用a,b,c來代替，并在兩邊同除以3，會得到怎樣的不等式？并利用得到的結(jié)果證明不等式：(1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)>27，其中a,b,c是互不相等的正數(shù)，且abc=1.三、課堂小結(jié)：解不等式時，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時加上(或減去)一個數(shù)或代數(shù)式，移項，在不等式的兩邊同時乘以(或除以)一個正數(shù)或一個正的代數(shù)式，得到的不等式都和原來的不等式等價。這些方法，也是利用綜合法和分析法證明不等式時常常用到的技巧。四、課堂練習(xí)：1、已知x>0,求證：x+—>2.x11 42、已知x>0,y>0,x豐y,求證一+-> .xyx+y3、已知a>b>0,求證Ja-b>、；a-bb.4、已知a>0,b>0.求證:(1)(a+b)(a-1+b-1)>4.(2) (a+b)(a2+b2)(a3+b3)>8a3b3.5、已知a,b,c,d都是正數(shù)。求證:(1)>abb(1)>abb+ccd;(2)a+b+c+d>4abcd.6、已知a,b,c都是互不相等的正數(shù)，求證(a+b+c)(ab+bc+ca)>9abc.五、課后作業(yè)：課本25頁第1、2、3、4題。六、教學(xué)后記：課題：第03課時不等式的證明方法之三：反證法教學(xué)目標(biāo)：通過實例，體會反證法的含義、過程與方法，了解反證法的基本步驟，會用反證法證明簡單的命題。教學(xué)重點：體會反證法證明命題的思路方法，會用反證法證明簡單的命題。教學(xué)難點：會用反證法證明簡單的命題。教學(xué)過程:一、引入：前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說，直接從題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對于一些較復(fù)雜的不等式，有時很難直接入手求證，這時可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假，或轉(zhuǎn)而證明它的等價命題為真，以間接地達到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方法。反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾。具體地說，反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先肯定命題的條件p，并否定命題的結(jié)論q，然后通過合理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來的結(jié)論是正確的。利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；第二步作出與所證不等式相反的假定；第三步從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。二、典型例題：例1、已知a>b>0，求證：na>nb(neN且n>1)例1、設(shè)a3+b3=2，求證a+b<2.證明：假設(shè)a+b>2，則有a>2—b，從而a3>8-12b+6b2—b3,a3+b3>6b2-12b+8=6(b-1)2+2.因為6(b-1)2+2>2，所以a3+b3>2，這與題設(shè)條件a3+b3=2矛盾，所以，原不等式a+b<2成立。1例2、設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+px+q，求證：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于5.1證明：假設(shè)If(1)|，|f(2)|,|f(3)|都小于不，則

(1)(2)If(1)|+2f(2)|+|f(3)|<(1)(2)另一方面，由絕對值不等式的性質(zhì)，有If(1)|+2|f(2)|+|f(3)|>|f(1)-2f(2)+f(3)|二|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2(1)、(2)兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來的結(jié)論正確。注意：諸如本例中的問題，當(dāng)要證明幾個代數(shù)式中，至少有一個滿足某個不等式時，通常采用反證法進行。議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點？1例3、設(shè)0<a,b,c<1,求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，不可能同時大于4111證：設(shè)(1-a)b>4,(1-b)c>4,(1-c)a>4,164(1—a)+a則三式相乘：ab<(1-a)b?(1-b)c?(1-c64(1—a)+a又0<a,b,c<1 ；.0<(1—a)a<同理：(1-b)b<-,(1-c)c<4464以上三式相乘：(1-a)a?(1-b)b?(1-c)cW 與①矛盾.??原式成立64例4、已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求證:a,b,c>0證：設(shè)a<0,abc>0,/.bc<0又由a+b+c>0,則Ub+c=-a>0；.ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0與題設(shè)矛盾又：若a=0,則與abc>0矛盾，必有a>0同理可證：b>0,c>0三、課堂練習(xí)：i a+ma1、利用反證法證明：若已知a,b,m都是正數(shù)，并且a<b，則-——>-.2、3、設(shè)0<a,b,c<2,求證：(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b2、3、1+y―1+x.若x,y>0,且x+y>2,貝U 和 中至少有一個小于2。1+y 1+x 一提示：反設(shè)一-^2,——三2???％,y>0,可得x+yW2與x+y>2矛盾。xy四、課時小結(jié)：利用反證法證明不等式,一般有下面幾個步驟：第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；第二步作出與所證不等式相反的假定；第三步從條件和假定出發(fā),應(yīng)用證確的推理方法,推出矛盾結(jié)果；第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因,在于開始所作的假定不正確,于是原證不等式成立。五、課后作業(yè)：課本29頁第1、4題。六、教學(xué)后記：課題：第04課時不等式的證明方法之四：放縮法教學(xué)目標(biāo)：1．感受在什么情況下,需要用放縮法證明不等式。2．探索用放縮法證明不等式的理論依據(jù)和技巧。教學(xué)重、難點：1．掌握證明不等式的兩種放縮技巧。 完整版學(xué)習(xí)資料分享 2.體會用放縮法證明不等式時放大或縮小的“度”。教學(xué)過程:一、引入:所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。?，使之得出明顯的不等量關(guān)系后，再應(yīng)用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時用處更為廣泛。下面我們通過一些簡單例證體會這種方法的基本思想。二、典型例題:例1、若n是自然數(shù)…1 1 1 1c求證一十——十—H H——<2.12 22.體會用放縮法證明不等式時放大或縮小的“度”。教學(xué)過程:一、引入:所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。怪贸雒黠@的不等量關(guān)系后，再應(yīng)用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時用處更為廣泛。下面我們通過一些簡單例證體會這種方法的基本思想。二、典型例題:例1、若n是自然數(shù)…1 1 1 1c求證一十——十—H H——<2.12 22 32 n21證明：丁丁<

k2--1,k=2,3,4，…，n.k(k-1) k-1k1 1 1 111 1,—+——+—+…+一<-+——+ +…+12 22 32n2 11?22?3(n-1)?n\o"CurrentDocument"1 1 1 1 1=-+(—- -)+(—--)+…+(1 1 2 2 3=2-1< 2.n一、 1 1 1 1 -一注意：實際上，我們在證明一+—+—+…+—<2的過程中，已經(jīng)得到一個更強的結(jié)論122232 n21111c1 --+—+—+-+—<2—-,這恰恰在一定程度上體現(xiàn)了放縮法的基本思想。122232 n2 n11 1例2、求證：1+1+—+缶/證明：由 < 1義2義3義?一義k1-2?2?…?2+…+ 1義2義3義?…義n1<3.11 1得1+—+ + 11*21義2義3+…+ 1義2義3義?一義n—,（k是大于2的自然數(shù)）2k-11<1+1+1+―+...+

222 23—=1+2n-1例3、若a,b,c,dgR+,求證:1—-2n1-12b=3— <3.2n-1a

1< + +a+b+db+c+acd + <2c+d+bd+a+c證：記m=a^+b^d+b+c+a+c+d+b+di+a+cm> + + + a+b+c+da+b+c+ac+d+a+bd+a+b+cabcd即原式成立。m< + + + =2即原式成立。a+ba+bc+dd+c例4、當(dāng)n>2時，求證：log(n-1)log(n+1)<1證：,">2 .\log(n-1)>0,log(n+1)>0,「J10g(n-1)+10g(n+D］2rlog(n2-1)??.log(n-1)log(n+1)<—n n I=I—f TOC\o"1-5"\h\zn n |_ 2 JI2［用］2=1：.n>2時，log(n-1)log(n+1)<1三、課堂練習(xí)：\o"CurrentDocument"1 1 1 111、設(shè)n為大于1的自然數(shù)，求證+ -+ +…+->—.n+1n+2n+3 2n21 3 5 2n-1 12、設(shè)n為自然數(shù)，求證(2--)(2--)(2-―)…(2-——)>-.nnn n n!四、課時小結(jié)：常用的兩種放縮技巧：對于分子分母均取正值的分式，(I)如果分子不變，分母縮小(分母仍為正數(shù))，則分式的值放大；(II)如果分子不變，分母放大，則分式的值縮小。五、課后作業(yè)：課本29頁第2、3題。第三講柯西不等式與排序不等式課題：第01課時二維形式的柯西不等式(一)教學(xué)目標(biāo)：認識二維柯西不等式的幾種形式，理解它們的幾何意義，并會證明二維柯西不等式及向量形式.教學(xué)重點：會證明二維柯西不等式及三角不等式.教學(xué)難點：理解幾何意義.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：.提問：二元均值不等式有哪幾種形式？答案：Wb>工防(a>0,b>0)及幾種變式..練習(xí)：已知a、b、c、d為實數(shù)，求證(g+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2證法：(比較法)(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2二….=(ad-bc)2>0二、講授新課：1.柯西不等式：①提出定理1：若a、b、c、d為實數(shù)，則(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2.一即二維形式的柯西不等式一什么時候取等號？②討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？證法二：(綜合法)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(ac+bd)2+(ad-bc)2>(ac+bd)2. (要點：展開一配方)證法三：(向量法)設(shè)向量m=(a,b),n=(c,d)，則Im1=7a2+b2,In\=\c2+d2. >—> >—> >—> >—> >—>:m?n=ac+bd，且m?n=ImIInIcos<m,n〉，則Im?nI<ImIInI. .\…..證法四：(函數(shù)法)設(shè)f(x)=(a2+b2)x2-2(ac+bd)x+c2+d2，貝|f(x)=(ax-c)2+(bx-d)220恒成立.???A=[-2(ac+bd)]2-4(a2+b2)(c2+d2)-0,即…..③討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？變式：aa2+b27c2+d2>Iac+bdI或aa2+b2^cc2+d2>IacI+1bdI或aa2+b2?\c2+d2>ac+bd.④提出定理2：設(shè)a,P是兩個向量，則G-BI<IaIIPI.即柯西不等式的向量形式(由向量法提出)一討論：上面時候等號成立？(P是零向量，或者a,P共線)⑤練習(xí)：已知a、b、c、d為實數(shù)，求證va2+b2+cc2+d2>y(a-c)2+(b-d)2.證法：(分析法)平方一應(yīng)用柯西不等式 一討論：其幾何意義？(構(gòu)造三角形)2.教學(xué)三角不等式：①出示定理3：設(shè)x1,y/x2,y2gR，則U7x；+yj+^x2+y2><(x1-xJ+(y-yJ2.分析其幾何意義一如何利用柯西不等式證明一變式：若x1,y1,x2,y2,x3,y3gR，則結(jié)合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？三、應(yīng)用舉例：例1：已知a,b為實數(shù)，求證(a4+b4)(a2+b2)>(a3+b3)2說明：在證明不等式時，聯(lián)系經(jīng)典不等式，既可以啟發(fā)證明思路，又可以簡化運算。所以，經(jīng)典不等式是數(shù)學(xué)研究的有力工具。例題2：求函數(shù)y=5、x-1+"0-2x的最大值。分析：利用不等式解決最值問題，通常設(shè)法在不等式的一邊得到一個常數(shù)，并尋找不等式取等號的條件。這個函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化為ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。I I(Iac+bdl<a22+b2?%：c2+d2)解：函數(shù)的定義域為【1,5］，且y>0y—5義xx—1+<2*v5—x<<52+(<2)2x.f'Qx-1)2+(\；5一x)2―V27X4―6v3■ 7 1 - 127 ■—當(dāng)且僅當(dāng)％2xx--1—5X\：5-x時，等號成立，即x—亍時，函數(shù)取最大值6<3課堂練習(xí)：1.證明：(x2+y4)(a4+b2)三(a2x+by2)2y—3Jx-5+4<6-x的最大值.例3.設(shè)a,b是正實數(shù)，a+b=1,求證1+1>4ab分析：注意到-+-—(a+b)(-+1),有了(a+b)(-+-)就可以用柯西不等式了。ab ab ab四、鞏固練習(xí)：.練習(xí)：試寫出三維形式的柯西不等式和三角不等式.已知x+2y=1,求x2+y2的最小值.五、課堂小結(jié)：二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式；三角不等式的兩種形式(兩點、三點)六、布置作業(yè)：P37頁，4,5,7,8,9七、教學(xué)后記：課題：第02課時二維形式的柯西不等式(二)教學(xué)目標(biāo)：會利用二維柯西不等式及三角不等式解決問題,體會運用經(jīng)典不等式的一般方法——發(fā)現(xiàn)具體問題與經(jīng)典不等式之間的關(guān)系,經(jīng)過適當(dāng)變形,依據(jù)經(jīng)典不等式得到不等關(guān)系.教學(xué)重點：利用二維柯西不等式解決問題.教學(xué)難點：如何變形,套用已知不等式的形式.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：提問：二維形式的柯西不等式、三角不等式？幾何意義？答案：(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2；Jx2+y2+x22+y2>J(x-x)2+(y-y)2討論：如何將二維形式的柯西不等式、三角不等式,拓廣到三維、四維？如何利用二維柯西不等式求函數(shù)y"-一1+：'2一-的最大值？要點：利用變式Iac+bdl<aa2+b2?4c2+d2.二、講授新課：最大(小)值：①出示例1：求函數(shù)y=3、.■=+110-2x的最大值？分析：如何變形？一構(gòu)造柯西不等式的形式一板演一變式：y=<3x-1+<10-2x一推廣：y=aJbx+c+d《e-fx,(a,b,c,d,e,fgR十)②練習(xí)：已知3x+2y=1,求x2+y2的最小值.1 11解答要點：(湊配法)x2+y2=13(x2+y2)(32+22)>13(3x+2y)2=！3討論：其它方法(數(shù)形結(jié)合法)不等式的證明：①出示例2：若x,ygR,x+y=2，求證：—+—>2.+ xy分析：如何變形后利用柯西不等式？(注意對比一構(gòu)造)要點：1+1=1(x+y)(1+-)=1(、x)2+(、；y)2][(1)2+(i)2]>要點：xy2xy2 yx、.；y討論：其它證法(利用基本不等式)②練習(xí)：已知a、bgR，求證：(a+b)(1+1)>4.+ ab三、應(yīng)用舉例：1例1已知a,a,…,a都是實數(shù)，求證：—(a+a++a)2<a2+a2++a212n n1 2 n1 2 n分析：用n乘要證的式子兩邊，能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。例2已知a,b,c,d是不全相等的實數(shù)，證明：a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da分析：上式兩邊都是掘,b,c,d這四個數(shù)組成的式子，特別是右邊式子的字母排列順序啟發(fā)我們,可以用柯西不等式進行證明。例3、已知x+2y+3z=1,求x2+y2+z2的最小值.分析：由x+2y+3z=1以及x2+y2+z2的形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過構(gòu)造12+22+32)作為一個因式而解決問題。四、鞏固練習(xí)：.練習(xí)：教材P378、9題二 '~~= "149~~練習(xí)：1.設(shè)x,y,z為正實數(shù)，且x+y+z=1,求一++一的最小值。xyz.已知a+b+c+d=1,求a2+b2+c2+d2的最小值。.已知2,b,c為正實數(shù)，且a+2b+3c=9,求3aa+v2b+cc的最大值。選做：4.已知a,b,c為正實數(shù)，且a2+2b2+3c2=6,求a+b+c的最小值。（08廣一模）111.已知2,b,c為正實數(shù)，且a+2b+c=1,求一+—+—的最小值。（08東莞二模）abc.已知*+丫+%=2U5，則m=x2+2y2+z2的最小值是.（08惠州調(diào)研）五、布置作業(yè)：教材P371、6、7題ab①已知x,y,a,bgR+，且一+—=1,則x+y的最小值.xyab要點：X+y=（一+—）（x+y）=…. 一其它證法xy②若x,y,zgRj且x+y+z=1,求x2+y2+z2的最小值.（要點：利用三維柯西不等式）變式：若x,y,zgR，且x+y+z=1,求&+J~y+zfz的最大值.六、課堂小結(jié)：比較柯西不等式的形式,將目標(biāo)式進行變形,注意湊配、構(gòu)造等技巧.七、教學(xué)后記：課題：第03課時一般形式的柯西不等式教學(xué)目標(biāo)：.認識柯西不等式的幾種不同形式,理解其幾何意義；2.通過運用這種不等式分析解決一些問題,體會運用經(jīng)典不等式的一般方法教學(xué)重點：一般形式柯西不等式的證明思路,運用這個不等式證明不等式。教學(xué)難點：應(yīng)用一般形式柯西不等式證明不等式。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：定理1：（柯西不等式的代數(shù)形式）設(shè)a,b,c,d均為實數(shù)，則（a2+b2）（c2+d2）>（ac+bd）2，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時成立。定理2：（柯西不等式的向量形式）設(shè)a,p為平面上的兩個向量，則IaI-IP1>1a-Pl,其中等號當(dāng)且僅當(dāng)兩個向量方向相同或相反（即兩個向量共線）時成立。 完整版學(xué)習(xí)資料分享 定理3：(三角形不等式)設(shè)x1,y1,元2?2,元3,y3為任意實數(shù)，則：\：(X—x2)2+(y1—y2)2+J(x2—x3)2+(y2—y3)2之式x1—x3)2+(y1—y3)2二、講授新課：類似的，從空間向量的幾何背景業(yè)能得到|a.B|W|a||B|.將空間向量的坐標(biāo)代入，可得到-4- -(a2+a2+a2)(b2+b2+b2)>(ab+ab+ab)2當(dāng)且僅當(dāng)a,B共線時，、十123123 112233 這即B=0,或存在一個實數(shù)k, 使得a二kbi(i=1,2,3)時，等號成立.就是三維形式的柯西不等式.對比二維形式和三維形式的柯西不等式,你能猜想出一般形式的柯西不等式嗎？定理4：(一般形式的柯西不等式)：設(shè)n為大于1的自然數(shù)，ai,bi(i=1,2,…，n)為任意實數(shù)，則：(a2+a2h—a2)(b2+b2h—b2)>(ab+abh—ab)1 2 n1 2 n 11 22 nn即Za2Zb2iiiZa2Zb2iii=1i=1b=f時成立(當(dāng)a=0時，約ain>(乙abj，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)—=一TOC\o"1-5"\h\zi=1 1 2定b=0,i=1,2,…，n)。證明：構(gòu)造二次函數(shù)：f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+.?.+J，—bn)2即構(gòu)造了一個二次函數(shù)：f(x)=(Za.2)x2.2(Zaibi)x+Znbi2i=1 i=1 i=1由于對任意實數(shù)x,f(x)>0恒成立，則其A<0,\o"CurrentDocument"即：A=4(Znab)2—4(Za2)(Zb2)<0,ii i ii=1 i=1 i=1\o"CurrentDocument"即：(Zab)2<(Za2)(Zb2)，ii i ii=1 i=1 i=1等號當(dāng)且僅當(dāng)ax-b=ax-b=…=ax-b=0,即等號當(dāng)且僅當(dāng)b=匕=?=b時成立(當(dāng)a=0時，約定b=0,i=1,2,…，n)。aaa i i12 n如果ai(1<i<n)全為0,結(jié)論顯然成立。三、應(yīng)用舉例：例3已知a,a,…,a都是實數(shù)，求證：1(a+a+…+a)2<a2+a2+…+a212 n n1 2 n 1 2 n分析：用n乘要證的式子兩邊，能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。例4已知a,b,c,d是不全相等的實數(shù)，證明：a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da分析：上式兩邊都是由a,b,c,d這四個數(shù)組成的式子，特別是右邊式子的字母排列順序啟發(fā)我們,可以用柯西不等式進行證明。例5、已知％+2y+3z=1,求％2+y2+z2的最小值.分析：由X+2y+3z=1以及X2+y2+z2的形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過構(gòu)造（12+22+32）作為一個因式而解決問題。四、鞏固練習(xí)：練習(xí)：1.設(shè)x,y,z為正實數(shù)，且x+y+z=1,求1+4+9的最小值。Xyz.已知a+b+c+d=1,求a2+b2+c2+d2的最小值。.已知2,b,c為正實數(shù)，且a+2b+3c=9,求，13a+2bb+-cC的最大值。選做：4.已知a,b,c為正實數(shù)，且a2+2b2+3c2=6,求a+b+c的最小值。（08廣一模）111.已知2,b,c為正實數(shù)，且a+2b+c=1,求一+—+—的最小值。（08東莞二模）abC.已知*+丫+%=245，則m=x2+2y2+z2的最小值是.（08惠州調(diào)研）五、課堂小結(jié)：重點掌握三維柯西不等式的運用。六、布置作業(yè)：P41習(xí)題3.2 2,3,4,5七、教學(xué)后記：課題：第04課時排序不等式教學(xué)目標(biāo)：.了解排序不等式的基本形式，會運用排序不等式分析解決一些簡單問題;.體會運用經(jīng)典不等式的一般思想方法，教學(xué)重點：應(yīng)用排序不等式證明不等式教學(xué)難點：排序不等式的證明思路教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：提問：前面所學(xué)習(xí)的一些經(jīng)典不等式？（柯西不等式、三角不等式）舉例：說說兩類經(jīng)典不等式的應(yīng)用實例.二、講授新課：1.教學(xué)排序不等式：①看書：P：,，如如圖，設(shè)ZAOB=a，自點O沿OA邊依次取n個點A1,A2,--?,An,OB邊依次取取n個點B1,B2，…,Bn,在OA邊取某個點A,與OB邊某個點B連接，得到AAOB，這樣一一搭配，一共可得到n個三角形。顯然，不同的搭配方法，得到的AAOBij不同，問：OA邊上的點與OB邊上的點如何搭配，才能使n個三角形的面積和最大（或最?。?？設(shè)OA=a,OB=b（i,j=1,2，…,n），由已知條件，得a<a<a<???<a,b<b<b<???<b因為A因為AAOB的面積是

ij，而是常數(shù)，于是，上面的幾何問題就可以歸結(jié)為代數(shù)問題：設(shè),,c2,…,cn是數(shù)組b,b，…,b的任何一個排列則S=ac+代數(shù)問題：設(shè),,c2,…,cn何時取最大（或最?。┲?我們把S=ac+ac+-?+aC叫做數(shù)組（a,a，…,a）與（b,b，…,b）的亂序和.其中，S=ab+ab+abHbab稱為 序和.1 1n2n-1 3n-2=ab+ab+ab+…+ab稱為—序和.這樣的三個和大小關(guān)系如何?c,c,???c是b,b,???,b的設(shè)有兩個有序?qū)崝?shù)組：a<c,c,???c是b,b,???,b的任一排列,則有ab+ab+ab+ab+???+ab（同序和）2ac+ac+???+ac11 22序和）（亂序和）2ab+ab+???+ab（反當(dāng)且僅當(dāng)a=a或b=b當(dāng)且僅當(dāng)a=a（要點：理解其思想，記住其形式）三、應(yīng)用舉例:例1：設(shè)a-a2,…,an是n個互不相同的正整數(shù)，求證:f+r+…+f.2232 n2分析：如何構(gòu)造有序排列？如何運用套用排序不等式？---完整版學(xué)習(xí)資料分享---證明過程:設(shè)b1,b2，…,b是a1,a2,???,a的一個排列，且b1<b2<...<b，則b>1,b>2,…,b>n.又1>X>X>...>X，由排序不等式，得2232 n2aaa1bbb...a+f+r+…+—>>b+r+r+…+—>12232n2 12232n2小結(jié)：分析目標(biāo)，構(gòu)造有序排列.四、鞏固練習(xí)：.練習(xí)：教材P451題a,b,c為正數(shù)，求證：2（a3+b3+c3）>a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）?解答要點：由對稱性，假設(shè)a<b<c，則a2<b2<c2，于是a2a+b2b+c2c>a2c+b2a+c2b，a2a+b2b+c2c>a2b+b2c+c2a，兩式相加即得.五、課堂小結(jié)：排序不等式的基本形式.六、布置作業(yè)：教材P453、4題七、教學(xué)后記：第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課題：第01課時數(shù)學(xué)歸納法（一）教學(xué)目標(biāo)：.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題；.進一步發(fā)展猜想歸納能力和創(chuàng)新能力，經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程,體會類比的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)重點：數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析和對數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟的掌握。教學(xué)難點：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解。教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題（1）不完全歸納法：今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生嗎？因為清晨我在學(xué)校門口看到第一個進校園的是男同學(xué)，第二個進校園的也是男同學(xué)，第三個進校園的還是男同學(xué)。于是得出結(jié)論：學(xué)校里全部都是男同學(xué)，同學(xué)們說我的結(jié)論對嗎？（這顯然是一個錯誤的結(jié)論，說明不完全歸納的結(jié)論是不可靠的，進而引出第二個問題）（2）完全歸納法：一個火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是紅色的，抽出第二根也是紅色的，請問怎樣驗證五根火柴都是紅色的呢？(將火柴盒打開，取出剩下的火柴，逐一進行驗證。)注：對于以上二例的結(jié)果是非常明顯的，教學(xué)中主要用以上二題引出數(shù)學(xué)歸納法。結(jié)論：不完全歸納法一結(jié)論不可靠；完全歸納法一結(jié)論可靠。問題：以上問題都是與正整數(shù)有關(guān)的問題，從上例可以看出，要想正確的解決一個與此有關(guān)的問題，就可靠性而言，應(yīng)該選用第幾種方法？(完全歸納法)情境一：(播放多米諾骨牌視頻)問：怎樣才能讓多米諾骨牌全部倒下？二、講授新課：探究一：讓所有的多米諾骨牌全部倒下，必須具備什么條件？條件一：第一張骨牌倒下；條件二：任意相鄰的兩張骨牌，前一張倒下一定導(dǎo)致后一張倒下。探究二：同學(xué)們在看完多米諾骨牌視頻后，是否對怎樣證明n(n+1)(2n+1)I2+22+32+…+n2— - 有些啟發(fā)？6n(n+1)(2n+1)得出結(jié)論：證明12+22+32+…+n2= 的兩個步驟：6(1)證明當(dāng)n=1時，命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k>1,keN*)時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n°eN*)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k>n°,keN*)時命