機(jī)械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)課件

機(jī)械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)1機(jī)械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)1第一章信號及其描述第一節(jié)信號的分類與描述第二節(jié)周期信號與離散頻譜第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜第四節(jié)隨機(jī)信號2第一章信號及其描述第一節(jié)信號的分類與描述2第一節(jié)信號的分類與描述一、信號的分類1、確定性信號和隨機(jī)信號確定性信號：可表示為一個確定的時間函數(shù)，因而可確定其任何時刻的量值。隨機(jī)信號：具有不能被預(yù)測的特性，無法用數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述，只能通過統(tǒng)計(jì)觀察來加以描述的信號。3第一節(jié)信號的分類與描述一、信號的分類3確定性信號又分為周期信號和非周期信號。周期信號：定義：滿足下面關(guān)系式的信號：x(t)=x(t+nT0)

式中，T0——周期。非周期信號：定義：不具有周期重復(fù)性的確定性信號。非周期信號又可分成準(zhǔn)周期信號和瞬態(tài)信號兩類。4確定性信號又分為周期信號和非周期信號。4非周期信號又可分成準(zhǔn)周期信號和瞬變非周期信號兩類。準(zhǔn)周期信號：由多個具有不成比例周期的正弦波之和形成，或者稱組成信號的正（余）弦信號的頻率比不是有理數(shù)。瞬變非周期信號：或在一定時間內(nèi)存在，或隨著時間的增長而衰減至零的信號。5非周期信號又可分成準(zhǔn)周期信號和瞬變非周期信號兩類。5x(t)—矩形脈沖信號；y(t)－衰減指數(shù)脈沖信號；z(t)－正弦脈沖；三種瞬變非周期信號6x(t)—矩形脈沖信號；三種瞬變非周期信號6772、連續(xù)信號和離散信號分類依據(jù)：自變量（即時間t）是連續(xù)的還是離散的。信號的幅值是連續(xù)的還是離散的；連續(xù)信號：自變量和幅值均為連續(xù)的信號稱為模擬信號；自變量是連續(xù)、但幅值為離散的信號，則稱為量化信號。離散信號：信號的自變量為離散值、但其幅值為連續(xù)值時，則稱該信號為被采樣信號。信號的自變量及幅值均為離散的，則稱為數(shù)字信號；82、連續(xù)信號和離散信號8993、能量信號和功率信號能量信號：例如：在右圖所示的電路中，x(t)表示電壓，瞬時功率P（t)=x2(t)/R;若R=1，P（t)=x2(t)。瞬時功率對時間的積分即為能量。定義：當(dāng)x（t）滿足關(guān)系式

則稱信號x（t）為有限能量信號，簡稱能量信號。矩形脈沖、衰減指數(shù)信號等均屬這類信號。X(t)R103、能量信號和功率信號X(t)R10功率信號：若信號在區(qū)間（－∞，＋∞）的能量是無限的但它在有限區(qū)間（t1,t2)的平均功率有限，即 亦即信號具有有限的（非零）平均功率，則稱信號為功率有限信號，簡稱功率信號。11功率信號：11二、信號的時域描述和頻域描述時域描述：以時間為獨(dú)立變量；反映信號的幅值隨時間變化的關(guān)系；頻域描述：以頻率為獨(dú)立變量，由信號的時域描述通過適當(dāng)方法變換得到；反映信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值、相位關(guān)系。圖1－4周期方波的傅里葉級數(shù)展開式：12二、信號的時域描述和頻域描述12上式可改寫為：式中ω0=2π/T0。ω0稱為基波頻率，簡稱基頻。以ω為獨(dú)立變量，此式即為該周期方波的頻域描述。在信號分析中，將組成信號的各頻率成分找出，按序排列，得出信號的“頻譜”。若以頻率為橫坐標(biāo)、分別以幅值或相位為縱坐標(biāo)，便分別得到信號的幅頻譜和相頻譜。圖1－5。13上式可改寫為：式中ω0=2π/T0。ω0稱為基波頻率，簡稱基14141515表1－1的說明:

每個信號都有其特有的幅頻譜和相頻譜，因此，在頻域中每個信號都需要同時用幅頻譜和相頻譜描述才是完整的。16表1－1的說明:16為什么要對信號進(jìn)行頻域描述：信號的時域描述反映了信號瞬時值隨時間變化的情況，頻域描述反映了信號的頻率組成及其幅值、相角的大小。為解決不同問題，需掌握信號不同方面的特征，因而可采用不同的描述方式。例如：評定機(jī)器振動烈度（時域描述）和尋找振源（頻域描述）。兩種描述方法能互相轉(zhuǎn)換，而且包含同樣的信息量。17為什么要對信號進(jìn)行頻域描述：17

例如某大型水電站在某一發(fā)電工況下，其廠房產(chǎn)生強(qiáng)烈振動。按理論分析和經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，振源可能來自水輪機(jī)或發(fā)電機(jī)的機(jī)械振動，或來自流道某一部份（如引水管、渦殼、導(dǎo)葉、尾水管）的水體振動。為查找振源及振源向廠房傳遞的路徑，在水輪發(fā)電機(jī)組和廠房的多處安置拾振器，在流道多處安置壓力傳感器。試驗(yàn)時，用多臺磁帶記錄儀同步記錄近百個測點(diǎn)的振動及壓力波動。試驗(yàn)完后，對記錄的信號進(jìn)行頻譜分析，查找出強(qiáng)振振源來自導(dǎo)葉與尾水管間的局部水體共振。

18例如某大型水電站在某一發(fā)電工況下，其廠房產(chǎn)生強(qiáng)烈第二節(jié)周期信號與離散頻譜一、傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式

在有限區(qū)間上，一個周期信號x（t）當(dāng)滿足狄里赫利條件時可展開成傅里葉級數(shù)：

式中，(1-7)19第二節(jié)周期信號與離散頻譜一、傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式(1信號x（t）的另一種形式的傅里葉級數(shù)表達(dá)式：

式中，

An稱信號頻率成分的幅值，稱初相角。n＝1,2,…20信號x（t）的另一種形式的傅里葉級數(shù)表達(dá)式：n＝1,2,討論：式中第一項(xiàng)a0為周期信號中的常值或直流分量；從第二項(xiàng)依次向下分別稱信號的基波或一次諧波、二次諧波、三次諧波、……、n次諧波；將信號的角頻率ω0作為橫坐標(biāo)，可分別畫出信號幅值A(chǔ)n和相角隨頻率ω0變化的圖形，分別稱之為信號的幅頻譜圖和相頻譜圖。

由于n為整數(shù)，各頻率分量僅在nω0的頻率處取值，因而得到的是關(guān)于幅值A(chǔ)n和相角的離散譜線。

★周期信號的頻譜是離散的!例題1－1，求圖1－6中周期三角波的傅里葉級數(shù)。21討論：21二、傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式由歐拉公式可知：

代入式（1－7）有：

令

22二、傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式22則或這就是傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)展開形式。(1-15)23則或這就是傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)展開形式。(1-15)23求傅里葉級數(shù)的復(fù)系數(shù)Cn一般情況下，Cn是復(fù)數(shù)，可寫成其中24求傅里葉級數(shù)的復(fù)系數(shù)Cn一般情況下，Cn是復(fù)數(shù)，可寫成其中2繪制復(fù)指數(shù)形式的頻譜：幅頻譜圖和相頻譜圖實(shí)頻譜圖和虛頻譜圖注意：復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜（幅頻譜為偶函數(shù)，相頻譜為奇函數(shù)），三角函數(shù)形式的頻譜為單邊譜，二者的量值關(guān)系：25繪制復(fù)指數(shù)形式的頻譜：注意：復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜（幅例題1－2：畫出余弦、正弦函數(shù)的實(shí)、虛部頻譜圖。周期信號的頻譜的特點(diǎn)：周期信號的頻譜是離散譜；周期信號的譜線僅出現(xiàn)在基波及各次諧波頻率處；各頻率分量的譜線高度表示該諧波的幅值或相位角。幅值譜中各頻率分量的幅值隨著頻率的升高而減小，頻率越高，幅值越小。在頻譜分析中，沒必要取次數(shù)過高的諧波分量。26例題1－2：畫出余弦、正弦函數(shù)的實(shí)、虛部頻譜圖。26三、周期信號的強(qiáng)度表述峰值和峰－峰值均值和絕對均值有效值和平均功率27三、周期信號的強(qiáng)度表述27第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜一、傅里葉變換

設(shè)x（t）為(-T0/2,T0/2)區(qū)間上的一個周期函數(shù)。它可表達(dá)為傅里葉級數(shù)的形式：

式中 將cn代入上式得

28第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜一、傅里葉變換28

當(dāng)T0→∞時，區(qū)間(-T0/2,T0/2)變成(-∞,∞)，另外，頻率間隔Δω=ω0=2π/T0變?yōu)闊o窮小量，離散頻率nω0變成連續(xù)頻率ω。將上式中括號中的積分記為X(ω),則有

（1－26）（1－27）（1－25）29當(dāng)T0→∞時，區(qū)間(-T0/2,T0/2)變成(-∞,

在數(shù)學(xué)上，稱X(ω)為x(t)的傅里葉變換，

x(t)為X(ω)的傅里葉逆變換，記為把ω＝2πf代入式（1－25），則1-26和1－27變?yōu)?1-28)(1-29)這樣就避免了傅里葉變換中出現(xiàn)1/2π,簡化了公式，且有30在數(shù)學(xué)上，稱X(ω)為x(t)的傅里葉變換，(1

非周期函數(shù)x（t）存在傅里葉變換的充分條件是x（t）在區(qū)間(-∞,∞)上絕對可積，即

但上述條件并非必要條件。因?yàn)楫?dāng)引入廣義函數(shù)概念之后，許多原本不滿足絕對可積條件的函數(shù)也能進(jìn)行傅里葉變換。31非周期函數(shù)x（t）存在傅里葉變換的充分條件是x（t小結(jié)：從式（1－29）可知，一個非周期函數(shù)可分解成頻率f連續(xù)變化的諧波的疊加。式中X(f)df的是諧波ej2πf的系數(shù)，決定著信號的振幅和相位。X(f)或X(ω)為x(t)的連續(xù)頻譜。由于X(f)一般為實(shí)變量f的復(fù)函數(shù)，故可將其寫為

將上式中的稱非周期信號x(t)的連續(xù)幅值譜，稱x(t)的連續(xù)相位譜。例題1－3，求矩形窗函數(shù)的頻譜。32小結(jié)：323333求該函數(shù)的頻譜:34求該函數(shù)的頻譜:343535函數(shù)的幅頻譜和相頻譜分別為36函數(shù)的幅頻譜和相頻譜分別為36二、傅里葉變換的主要性質(zhì)奇偶虛實(shí)性37二、傅里葉變換的主要性質(zhì)37討論：38討論：38對稱性時間尺度改變特性39對稱性39對稱性舉例40對稱性舉例40

尺度改變性質(zhì)舉例

a)k=1b)k=0.5c)k=241尺度改變性質(zhì)舉例41時移和頻移特性42時移和頻移特性424343卷積特性44卷積特性44微分和積分特性45微分和積分特性45三、幾種典型信號的頻譜矩形窗函數(shù)的頻譜46三、幾種典型信號的頻譜46結(jié)論：矩形窗函數(shù)在時域中有限區(qū)間取值，但頻域中頻譜在頻率軸上連續(xù)且無限延伸。實(shí)際工程測試總是時域中截取有限長度(窗寬范圍)的信號，其本質(zhì)是被測信號與矩形窗函數(shù)在時域中相乘，因而所得到的頻譜必然是被測信號頻譜與矩形窗函數(shù)頻譜在頻域中的卷積，所以實(shí)際工程測試得到的頻譜也將是在頻率軸上連續(xù)且無限延伸。47結(jié)論：47δ函數(shù)及其頻譜（1）定義

在ε時間內(nèi)矩形脈沖Sε(t)，其面積為1,當(dāng)ε→0時，Sε(t)的極限稱為δ函數(shù),也稱為單位脈沖函數(shù)。δ函數(shù)用標(biāo)有1的箭頭表示。顯然δ(t)的函數(shù)值和面積(通常表示能量或強(qiáng)度)分別為SSS48δ函數(shù)及其頻譜SSS484949（2）采樣性質(zhì)若f(t)為一連續(xù)信號，則有f(0)δ(t)的函數(shù)值無窮大，強(qiáng)度為f(0)。在（－∞，＋∞）積分，有對于有延時t0的δ函數(shù)δ（t-t0)，有50（2）采樣性質(zhì)對于有延時t0的δ函數(shù)δ（t-t0)，有50（3）與其他函數(shù)的卷積x(τ)51（3）與其他函數(shù)的卷積x(τ)51（4）頻譜對δ(t)取傅里葉變換

可見δ函數(shù)具有等強(qiáng)度、無限寬廣的頻譜，這種頻譜通常稱為“均勻譜”。

52（4）頻譜

5353利用對稱、時移、頻移性質(zhì)，還可以得到以下傅里葉變換對。54利用對稱、時移、頻移性質(zhì)，還可以得到以下傅里葉變換對。54正、余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)余弦函數(shù)的頻譜

利用歐拉公式，余弦函數(shù)可以表達(dá)為：

其傅里葉變換為

正弦函數(shù)的頻譜

同理，利用歐拉公式及其傅里葉變換有：

55正、余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)余弦函數(shù)的頻譜正弦函數(shù)的頻譜55656等間隔的周期單位脈沖序列函數(shù)稱為梳狀函數(shù)，表達(dá)式為：

式中

Ts

為周期，n為整數(shù)，n=0,±1,±2,±3,…。因?yàn)橹芷诿}沖序列函數(shù)為周期函數(shù)，所以可以寫成傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)形式

周期單位脈沖序列的頻譜57等間隔的周期單位脈沖序列函數(shù)稱為梳狀函數(shù)，表達(dá)式為：周期單5858因此，有周期單位脈沖序列函數(shù)的傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)表達(dá)式：

根據(jù)式

59因此，有周期單位脈沖序列函數(shù)的傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)表達(dá)式：59可得周期單位脈沖序列函數(shù)的頻譜，

周期單位脈沖序列的頻譜仍是周期脈沖序列。時域周期為

，頻域周期則為

；時域脈沖強(qiáng)度為1，頻域脈沖強(qiáng)度則為

。60可得周期單位脈沖序列函數(shù)的頻譜，606161第四節(jié)隨機(jī)信號一、概述隨機(jī)信號特點(diǎn)：不能用確定的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述；具有不能被預(yù)測的瞬時值；其值的變動服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律；描述隨機(jī)信號必須采用概率統(tǒng)計(jì)的方法樣本函數(shù)：隨機(jī)信號按時間歷程所作的各次長時間的觀察，記作xi(t)。樣本記錄：在有限時間區(qū)間上的樣本函數(shù)。隨機(jī)過程：同一試驗(yàn)條件下的全部樣本函數(shù)的集合（總體），記為{x(t)}。62第四節(jié)隨機(jī)信號一、概述626363對隨機(jī)過程常用的統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)：均值、均方值、方差、概率密度函數(shù)、概率分布函數(shù)和功率譜密度函數(shù)等。均值：均方值：這些特征參數(shù)均是按照集合平均來計(jì)算的，即在集合中的某個時刻對所有的樣本函數(shù)的觀測值取平均。為了與集合平均相區(qū)別，把按單個樣本的時間歷程進(jìn)行平均的計(jì)算叫做時間平均。64對隨機(jī)過程常用的統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)：64隨機(jī)過程的分類：平穩(wěn)隨機(jī)過程

過程的統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)不隨時間的平移而變化的過程。對于一個平穩(wěn)隨機(jī)過程，若它的任一單個樣本函數(shù)的時間平均統(tǒng)計(jì)特征等于該過程的集合平均統(tǒng)計(jì)特征，則該過程稱為各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程，本文僅限于討論各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的范圍。

兩點(diǎn)說明：工程中遇到的許多過程都可認(rèn)為是平穩(wěn)的，其中的許多都具有各態(tài)歷經(jīng)性；有的雖不是嚴(yán)格的各態(tài)歷經(jīng)過程，也可當(dāng)作各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程處理。測試工作中常以一個或幾個有限長度的樣本記錄來推斷整個隨機(jī)過程，以其時間平均來估計(jì)集合平均。非平穩(wěn)隨機(jī)過程

65隨機(jī)過程的分類：65二、隨機(jī)信號的主要特征參數(shù)均值、方差和均方值均值各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號

的平均值

反映信號的常值分量，即常值分量：

式中，T為樣本長度，即觀測時間。方差

方差

描述隨機(jī)信號的波動分量，反映

偏離均值的波動情況，表示為：

66二、隨機(jī)信號的主要特征參數(shù)均值式中，T為樣本長度，即觀測時間均方值

各態(tài)歷經(jīng)信號的均方值

反映信號的能量或強(qiáng)度，表示為：

標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差

為方差的正的平方根：

均方根值

均方根值為

正的平方根，即

67均方值標(biāo)準(zhǔn)差均方根值67概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)是指一個隨機(jī)信號的瞬時值落在指定區(qū)間（x,x+Δx）內(nèi)的概率對Δx比值的極限值。x(t)落在區(qū)間（x,x+Δx）內(nèi)的時間為Tx:當(dāng)T趨于無窮大，Tx/T的比值就是幅值落在區(qū)間（x,x+Δx）的概率，即68概率密度函數(shù)686969幅值概率密度函數(shù)p(x)為：

不同的隨機(jī)信號具有不同的概率密度函數(shù)圖形，可以借此來識別信號的性質(zhì)：（a）正弦信號（初始相角為隨機(jī)量）（b）正弦加隨機(jī)噪聲（c）窄帶隨機(jī)信號（d）寬帶隨機(jī)信號70幅值概率密度函數(shù)p(x)為：不同的隨機(jī)信號具狄里赫利(Dirichlet)充條件71狄里赫利(Dirichlet)充條件71機(jī)械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)72機(jī)械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)1第一章信號及其描述第一節(jié)信號的分類與描述第二節(jié)周期信號與離散頻譜第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜第四節(jié)隨機(jī)信號73第一章信號及其描述第一節(jié)信號的分類與描述2第一節(jié)信號的分類與描述一、信號的分類1、確定性信號和隨機(jī)信號確定性信號：可表示為一個確定的時間函數(shù)，因而可確定其任何時刻的量值。隨機(jī)信號：具有不能被預(yù)測的特性，無法用數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述，只能通過統(tǒng)計(jì)觀察來加以描述的信號。74第一節(jié)信號的分類與描述一、信號的分類3確定性信號又分為周期信號和非周期信號。周期信號：定義：滿足下面關(guān)系式的信號：x(t)=x(t+nT0)

式中，T0——周期。非周期信號：定義：不具有周期重復(fù)性的確定性信號。非周期信號又可分成準(zhǔn)周期信號和瞬態(tài)信號兩類。75確定性信號又分為周期信號和非周期信號。4非周期信號又可分成準(zhǔn)周期信號和瞬變非周期信號兩類。準(zhǔn)周期信號：由多個具有不成比例周期的正弦波之和形成，或者稱組成信號的正（余）弦信號的頻率比不是有理數(shù)。瞬變非周期信號：或在一定時間內(nèi)存在，或隨著時間的增長而衰減至零的信號。76非周期信號又可分成準(zhǔn)周期信號和瞬變非周期信號兩類。5x(t)—矩形脈沖信號；y(t)－衰減指數(shù)脈沖信號；z(t)－正弦脈沖；三種瞬變非周期信號77x(t)—矩形脈沖信號；三種瞬變非周期信號67872、連續(xù)信號和離散信號分類依據(jù)：自變量（即時間t）是連續(xù)的還是離散的。信號的幅值是連續(xù)的還是離散的；連續(xù)信號：自變量和幅值均為連續(xù)的信號稱為模擬信號；自變量是連續(xù)、但幅值為離散的信號，則稱為量化信號。離散信號：信號的自變量為離散值、但其幅值為連續(xù)值時，則稱該信號為被采樣信號。信號的自變量及幅值均為離散的，則稱為數(shù)字信號；792、連續(xù)信號和離散信號88093、能量信號和功率信號能量信號：例如：在右圖所示的電路中，x(t)表示電壓，瞬時功率P（t)=x2(t)/R;若R=1，P（t)=x2(t)。瞬時功率對時間的積分即為能量。定義：當(dāng)x（t）滿足關(guān)系式

則稱信號x（t）為有限能量信號，簡稱能量信號。矩形脈沖、衰減指數(shù)信號等均屬這類信號。X(t)R813、能量信號和功率信號X(t)R10功率信號：若信號在區(qū)間（－∞，＋∞）的能量是無限的但它在有限區(qū)間（t1,t2)的平均功率有限，即 亦即信號具有有限的（非零）平均功率，則稱信號為功率有限信號，簡稱功率信號。82功率信號：11二、信號的時域描述和頻域描述時域描述：以時間為獨(dú)立變量；反映信號的幅值隨時間變化的關(guān)系；頻域描述：以頻率為獨(dú)立變量，由信號的時域描述通過適當(dāng)方法變換得到；反映信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值、相位關(guān)系。圖1－4周期方波的傅里葉級數(shù)展開式：83二、信號的時域描述和頻域描述12上式可改寫為：式中ω0=2π/T0。ω0稱為基波頻率，簡稱基頻。以ω為獨(dú)立變量，此式即為該周期方波的頻域描述。在信號分析中，將組成信號的各頻率成分找出，按序排列，得出信號的“頻譜”。若以頻率為橫坐標(biāo)、分別以幅值或相位為縱坐標(biāo)，便分別得到信號的幅頻譜和相頻譜。圖1－5。84上式可改寫為：式中ω0=2π/T0。ω0稱為基波頻率，簡稱基85148615表1－1的說明:

每個信號都有其特有的幅頻譜和相頻譜，因此，在頻域中每個信號都需要同時用幅頻譜和相頻譜描述才是完整的。87表1－1的說明:16為什么要對信號進(jìn)行頻域描述：信號的時域描述反映了信號瞬時值隨時間變化的情況，頻域描述反映了信號的頻率組成及其幅值、相角的大小。為解決不同問題，需掌握信號不同方面的特征，因而可采用不同的描述方式。例如：評定機(jī)器振動烈度（時域描述）和尋找振源（頻域描述）。兩種描述方法能互相轉(zhuǎn)換，而且包含同樣的信息量。88為什么要對信號進(jìn)行頻域描述：17

例如某大型水電站在某一發(fā)電工況下，其廠房產(chǎn)生強(qiáng)烈振動。按理論分析和經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，振源可能來自水輪機(jī)或發(fā)電機(jī)的機(jī)械振動，或來自流道某一部份（如引水管、渦殼、導(dǎo)葉、尾水管）的水體振動。為查找振源及振源向廠房傳遞的路徑，在水輪發(fā)電機(jī)組和廠房的多處安置拾振器，在流道多處安置壓力傳感器。試驗(yàn)時，用多臺磁帶記錄儀同步記錄近百個測點(diǎn)的振動及壓力波動。試驗(yàn)完后，對記錄的信號進(jìn)行頻譜分析，查找出強(qiáng)振振源來自導(dǎo)葉與尾水管間的局部水體共振。

89例如某大型水電站在某一發(fā)電工況下，其廠房產(chǎn)生強(qiáng)烈第二節(jié)周期信號與離散頻譜一、傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式

在有限區(qū)間上，一個周期信號x（t）當(dāng)滿足狄里赫利條件時可展開成傅里葉級數(shù)：

式中，(1-7)90第二節(jié)周期信號與離散頻譜一、傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式(1信號x（t）的另一種形式的傅里葉級數(shù)表達(dá)式：

式中，

An稱信號頻率成分的幅值，稱初相角。n＝1,2,…91信號x（t）的另一種形式的傅里葉級數(shù)表達(dá)式：n＝1,2,討論：式中第一項(xiàng)a0為周期信號中的常值或直流分量；從第二項(xiàng)依次向下分別稱信號的基波或一次諧波、二次諧波、三次諧波、……、n次諧波；將信號的角頻率ω0作為橫坐標(biāo)，可分別畫出信號幅值A(chǔ)n和相角隨頻率ω0變化的圖形，分別稱之為信號的幅頻譜圖和相頻譜圖。

由于n為整數(shù)，各頻率分量僅在nω0的頻率處取值，因而得到的是關(guān)于幅值A(chǔ)n和相角的離散譜線。

★周期信號的頻譜是離散的!例題1－1，求圖1－6中周期三角波的傅里葉級數(shù)。92討論：21二、傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式由歐拉公式可知：

代入式（1－7）有：

令

93二、傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式22則或這就是傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)展開形式。(1-15)94則或這就是傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)展開形式。(1-15)23求傅里葉級數(shù)的復(fù)系數(shù)Cn一般情況下，Cn是復(fù)數(shù)，可寫成其中95求傅里葉級數(shù)的復(fù)系數(shù)Cn一般情況下，Cn是復(fù)數(shù)，可寫成其中2繪制復(fù)指數(shù)形式的頻譜：幅頻譜圖和相頻譜圖實(shí)頻譜圖和虛頻譜圖注意：復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜（幅頻譜為偶函數(shù)，相頻譜為奇函數(shù)），三角函數(shù)形式的頻譜為單邊譜，二者的量值關(guān)系：96繪制復(fù)指數(shù)形式的頻譜：注意：復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜（幅例題1－2：畫出余弦、正弦函數(shù)的實(shí)、虛部頻譜圖。周期信號的頻譜的特點(diǎn)：周期信號的頻譜是離散譜；周期信號的譜線僅出現(xiàn)在基波及各次諧波頻率處；各頻率分量的譜線高度表示該諧波的幅值或相位角。幅值譜中各頻率分量的幅值隨著頻率的升高而減小，頻率越高，幅值越小。在頻譜分析中，沒必要取次數(shù)過高的諧波分量。97例題1－2：畫出余弦、正弦函數(shù)的實(shí)、虛部頻譜圖。26三、周期信號的強(qiáng)度表述峰值和峰－峰值均值和絕對均值有效值和平均功率98三、周期信號的強(qiáng)度表述27第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜一、傅里葉變換

設(shè)x（t）為(-T0/2,T0/2)區(qū)間上的一個周期函數(shù)。它可表達(dá)為傅里葉級數(shù)的形式：

式中 將cn代入上式得

99第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜一、傅里葉變換28

當(dāng)T0→∞時，區(qū)間(-T0/2,T0/2)變成(-∞,∞)，另外，頻率間隔Δω=ω0=2π/T0變?yōu)闊o窮小量，離散頻率nω0變成連續(xù)頻率ω。將上式中括號中的積分記為X(ω),則有

（1－26）（1－27）（1－25）100當(dāng)T0→∞時，區(qū)間(-T0/2,T0/2)變成(-∞,

在數(shù)學(xué)上，稱X(ω)為x(t)的傅里葉變換，

x(t)為X(ω)的傅里葉逆變換，記為把ω＝2πf代入式（1－25），則1-26和1－27變?yōu)?1-28)(1-29)這樣就避免了傅里葉變換中出現(xiàn)1/2π,簡化了公式，且有101在數(shù)學(xué)上，稱X(ω)為x(t)的傅里葉變換，(1

非周期函數(shù)x（t）存在傅里葉變換的充分條件是x（t）在區(qū)間(-∞,∞)上絕對可積，即

但上述條件并非必要條件。因?yàn)楫?dāng)引入廣義函數(shù)概念之后，許多原本不滿足絕對可積條件的函數(shù)也能進(jìn)行傅里葉變換。102非周期函數(shù)x（t）存在傅里葉變換的充分條件是x（t小結(jié)：從式（1－29）可知，一個非周期函數(shù)可分解成頻率f連續(xù)變化的諧波的疊加。式中X(f)df的是諧波ej2πf的系數(shù)，決定著信號的振幅和相位。X(f)或X(ω)為x(t)的連續(xù)頻譜。由于X(f)一般為實(shí)變量f的復(fù)函數(shù)，故可將其寫為

將上式中的稱非周期信號x(t)的連續(xù)幅值譜，稱x(t)的連續(xù)相位譜。例題1－3，求矩形窗函數(shù)的頻譜。103小結(jié)：3210433求該函數(shù)的頻譜:105求該函數(shù)的頻譜:3410635函數(shù)的幅頻譜和相頻譜分別為107函數(shù)的幅頻譜和相頻譜分別為36二、傅里葉變換的主要性質(zhì)奇偶虛實(shí)性108二、傅里葉變換的主要性質(zhì)37討論：109討論：38對稱性時間尺度改變特性110對稱性39對稱性舉例111對稱性舉例40

尺度改變性質(zhì)舉例

a)k=1b)k=0.5c)k=2112尺度改變性質(zhì)舉例41時移和頻移特性113時移和頻移特性4211443卷積特性115卷積特性44微分和積分特性116微分和積分特性45三、幾種典型信號的頻譜矩形窗函數(shù)的頻譜117三、幾種典型信號的頻譜46結(jié)論：矩形窗函數(shù)在時域中有限區(qū)間取值，但頻域中頻譜在頻率軸上連續(xù)且無限延伸。實(shí)際工程測試總是時域中截取有限長度(窗寬范圍)的信號，其本質(zhì)是被測信號與矩形窗函數(shù)在時域中相乘，因而所得到的頻譜必然是被測信號頻譜與矩形窗函數(shù)頻譜在頻域中的卷積，所以實(shí)際工程測試得到的頻譜也將是在頻率軸上連續(xù)且無限延伸。118結(jié)論：47δ函數(shù)及其頻譜（1）定義

在ε時間內(nèi)矩形脈沖Sε(t)，其面積為1,當(dāng)ε→0時，Sε(t)的極限稱為δ函數(shù),也稱為單位脈沖函數(shù)。δ函數(shù)用標(biāo)有1的箭頭表示。顯然δ(t)的函數(shù)值和面積(通常表示能量或強(qiáng)度)分別為SSS119δ函數(shù)及其頻譜SSS4812049（2）采樣性質(zhì)若f(t)為一連續(xù)信號，則有f(0)δ(t)的函數(shù)值無窮大，強(qiáng)度為f(0)。在（－∞，＋∞）積分，有對于有延時t0的δ函數(shù)δ（t-t0)，有121（2）采樣性質(zhì)對于有延時t0的δ函數(shù)δ（t-t0)，有50（3）與其他函數(shù)的卷積x(τ)122（3）與其他函數(shù)的卷積x(τ)51（4）頻譜對δ(t)取傅里葉變換

可見δ函數(shù)具有等強(qiáng)度、無限寬廣的頻譜，這種頻譜通常稱為“均勻譜”。

123（4）頻譜

12453利用對稱、時移、頻移性質(zhì)，還可以得到以下傅里葉變換對。125利用對稱、時移、頻移性質(zhì)，還可以得到以下傅里葉變換對。54正、余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)余弦函數(shù)的頻譜

利用歐拉公式，余弦函數(shù)可以表達(dá)為：

其傅里葉變換為

正弦函數(shù)的頻譜

同理，利用歐拉公式及其傅里葉變換有：

126正、余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)余弦函數(shù)的頻譜正弦函數(shù)的頻譜512756等間隔的周期單位脈沖序列函數(shù)稱為梳狀函數(shù)，表達(dá)式為：

式中

Ts

為周期，n為整數(shù)，n=0,±1,±2,±3,…。因?yàn)橹芷诿}沖序列函數(shù)為周期函數(shù)，所以可以寫成傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)形式

周期單位脈沖序列的頻譜128等間隔的周期單位脈沖序列函數(shù)稱為梳狀函數(shù)，表達(dá)式為：周期單12958因此，有周期單位脈沖序列函數(shù)的傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)表達(dá)式：

根據(jù)式

130因此，有周期單位脈沖序列函數(shù)的傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)表達(dá)式：59可得周期單位脈沖序列函數(shù)的頻譜，