概率論6一維離散型隨機變量課件

一維隨機變量及其分布一維隨機變量及其分布1

在前面的學習中,我們用字母A、B、C...表示事件，并視之為樣本空間Ω的子集；針對等可能概型，主要研究了用排列組合手段計算事件的概率。本章，將用隨機變量表示隨機事件，以便采用高等數學的方法描述、研究隨機現象。

隨機變量及其分布RandomVariableandDistribution在前面的學習中,我們用字母A、B、C...表示2隨機變量基本思想將樣本空間數量化,即用數值來表示試驗的結果有些隨機試驗的結果可直接用數值來表示.例如:在擲骰子試驗中,結果可用1,2,3,4,5,6來表示例如:擲硬幣試驗,其結果是用漢字“正面”和“反面”來表示的可規(guī)定:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”RandomVariable有些隨機試驗的結果不是用數量來表示，但可數量化隨機變量基本思想將樣本空間數量化,即用數值來表示試驗的結果3例

設箱中有10個球，其中有2個紅球，8個白球；從中任意抽取2個,觀察抽球結果。取球結果為:兩個白球;兩個紅球;一紅一白

特點：試驗結果數量化了，試驗結果與數建立了對應關系如果用X表示取得的紅球數，則X的取值可為0，1，2。此時，“兩只紅球”=“X取到值2”,可記為{X=2}

“一紅一白”記為{X=1},“兩只白球”記為{X=0}試驗結果的數量化例設箱中有10個球，其中有2個紅球，8個白球；從中任意4一維隨機變量(one-dimensionrandomvariable)定義——設隨機試驗的樣本空間的每一個樣本點均有唯一的實數與之對應，稱為上的一維隨機變量。如：擲骰子一顆，觀察其點數。樣本點表示“點數為”令與之對應，則是一維隨機變量。又如：觀察一電子元件的壽命。樣本點表示“壽命為小時”令與之對應，則也是一維隨機變量。一維隨機變量(one-dimensionrandomva5研究隨機變量主要掌握的兩個問題1）找出隨機變量的所有可能取值；2）求出隨機變量的概率規(guī)律.如：擲骰子一顆，取其向上面點數為隨機變量X的所有可能取的值為X=1,2,3,4,5,6。其概率規(guī)律為？設Ｘ是隨機變量，則它的取值規(guī)律稱為Ｘ的概率分布（簡稱分布distribution）．隨機變量的分布反映了隨機事件出現的可能性的大小。研究隨機變量主要掌握的兩個問題1）找出隨機變量的所有可能6一維隨機變量的分布函數定義說明：設為隨機變量，是任意實數，則稱函數為隨機變量的分布函數。分布函數的定義——1、分布函數實際上是一個概率，即隨機變量小于等于的概率，也就是，表示落在內的概率。2、分布函數完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性。一維隨機變量的分布函數定義說明：設為隨機變量，7隨機變量的分布函數有以下重要性質：1、單調不減性：2、右連續(xù)性：3、4、隨機變量的分布函數有以下重要性質：1、單調不減性：2、右連續(xù)8設隨機變量X的分布函數為：試求：（1）系數A與B；（2）X落在(-1,1]內的概率。解：（1）由設隨機變量X的分布函數為：解：（1）由9一維離散型隨機變量的分布若離散型隨機變量X的所有可能取值為ai，而X取值ai的概率為pi，即如果隨機變量的所有取值是有限或可數的，則稱之為離散型隨機變量。稱為隨機變量的分布密度或分布律或概率分布或概率函數。一維離散型隨機變量的分布密度有以下重要性質：或：一維離散型隨機變量的分布若離散型隨機變量X的所有可能取10例

設X的分布律為求P(0<X≤2)P(0<X≤2)=P（X=1）+P（X=2）=1/2+1/6=2/3分布律確定概率例設X的分布律為求P(0<X≤2)P(0<X≤211求分布律舉例例1設有一批產品20件，其中有3件次品，從中任意抽取2件，如果用X表示抽得的次品數，求隨機變量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。解：X的可能取值為0，1，2=P(抽得的兩件全為正品)P(X=1)P(X=2)=P(只有一件為次品)=P(抽得的兩件全為次品)P(X=0)求分布律舉例例1設有一批產品20件，其中有3件次品，12故X的分布律為而“至少抽得一件次品”=(X≥1)=(X=1)(X=2)P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)注意：(X=1)與(X=2)是互不相容的！

實際上，這仍是等可能概型的計算題，只是表達事件的方式變了故故X的分布律為而“至少抽得一件次品”=(X≥1)=(X=13解：由故X的分布律是：例2設隨機變量X的分布律如下，求及X的分布函數。當時，當時，當時，當時，解：由故X的分布律是：例2設隨機變量X的分布14......綜上所述，......綜上所述，15幾種常見的一維離散型隨機變量的分布律二點分布(0-1分布)△定義：

若隨機變量X的分布律為:1－pp

P

01

X則稱X服從參數為p的二點分布或(0-1)分布△背景：樣本空間只有兩個樣本點的情況,都可以用兩點分布來計算。如：拋硬幣一次。幾種常見的一維離散型隨機變量的分布律二點分布(0-116

重復獨立試驗（n重貝努里試驗）則恰好有一次出現點“6”的概率貝努里試驗：每次試驗只有兩個結果的試驗－出現和不出現。n次獨立試驗：n次試驗條件不變，各次相互獨立。例5擲骰子三次，求恰好有一次出現點“6”的概率。解：設表示第次出現點“６”，二項分布重復獨立試驗（n重貝努里試驗）則恰好有一次出現點“617設在一次試驗中事件Ａ出現的概率為X表示Ａ在次貝努里試驗中出現的次數，X的分布律為：此分布稱為二項分布。記作二項分布設在一次試驗中事件Ａ出現的概率為X表示Ａ在18一級品數X的分布密度。若取出的零件中有一級品，求恰有例2一大批零件的一級品率是。從中任取4個，求取出的解：由于零件數目很多，故可將取4個零件視作4次貝努里試驗。即一個一級品的概率。故所求概率為一級品數X的分布密度。若取出的零件中有一級品，求恰有例219若隨機變量X的分布密度是：則稱X服從泊松分布，記作泊松分布描述的是大量試驗中稀有事件出現的次數的概率分布。其中參數正是試驗次數與事件的概率之乘積（即事件出現的平均數）。所以它的一個重要應用是——則近似地，有若且較大,（），較小,（）即：，其中：若隨機變量X的分布密度是：則稱X服從泊松分布，記作泊20服務臺在某時間段內接待的服務次數X；交換臺在某時間段內接到呼叫的次數Y;礦井在某段時間發(fā)生事故的次數;顯微鏡下相同大小的方格內微生物的數目；單位體積空氣中含有某種微粒的數目實際問題中若干R.v.X是服從或近似服從Poisson分布的實際問題中若干R.v.X是服從或近似服從21已知某電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數X服從的泊松分布，分別求（1）每分鐘內恰好接到3次呼喚的概率；（2）每分鐘不超過4次的概率例3解已知某電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數X服從的泊松分22例4某商店出售某種貴重商品，根據以往經驗，每月銷售量服從參數為，的泊松分布，問在月初進貨時要庫存多少件此種商品，才能以99%的概率充分滿足顧客的需要。

解：設月初庫存件k，則

查本書后面的泊松分布表得：即月初進貨時，要庫存8件這種商品，才能以99%的概率充分滿足顧客的需要。例4某商店出售某種貴重商品，根據以往經驗，每月銷售量解：設23解：400次上街400重Bernoulii實驗記X為出事故的次數，則P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.98400-400（0.02)(0.98399)≈0.9972

=1-e-8-8e-8

≈0.9970

泊松定理

結果表明，隨著實驗次數的增多，小概率事件總會發(fā)生的！例：某人騎摩托車上街,出事故率為0.02，獨立重復上街400次，求出事故至少兩次的概率。解：400次上街400重Bernoulii實驗記X為出24若某人做某事的成功率為1%，他重復努力400次，則至少成功一次的概率為成功次數服從二項概率有百分之一的希望，就要做百分之百的努力若某人做某事的成功率為1%，他重復努力400次，成功次數服從25幾何分布（geometricdistribution）設在一次試驗中，事件Ａ發(fā)生的概率為p(0<p<1)，則在n重貝努里試驗中，事件Ａ在第k次試驗中首次發(fā)生的概率為幾何分布（geometricdistribution）設在26超幾何分布（Hypergeometricdistribution）一批產品共有Ｎ件，其中Ｍ件次品．從中任意取出n(n≤Ｍ)件產品，則這n件產品中次品數Ｘ的分布律為應用于產品檢驗，藥物試驗等實際問題中可建立超幾何分布的模型超幾何分布（Hypergeometricdistribut27作業(yè)習題22，4，5，7，9作業(yè)習題228一維隨機變量及其分布一維隨機變量及其分布29

在前面的學習中,我們用字母A、B、C...表示事件，并視之為樣本空間Ω的子集；針對等可能概型，主要研究了用排列組合手段計算事件的概率。本章，將用隨機變量表示隨機事件，以便采用高等數學的方法描述、研究隨機現象。

隨機變量及其分布RandomVariableandDistribution在前面的學習中,我們用字母A、B、C...表示30隨機變量基本思想將樣本空間數量化,即用數值來表示試驗的結果有些隨機試驗的結果可直接用數值來表示.例如:在擲骰子試驗中,結果可用1,2,3,4,5,6來表示例如:擲硬幣試驗,其結果是用漢字“正面”和“反面”來表示的可規(guī)定:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”RandomVariable有些隨機試驗的結果不是用數量來表示，但可數量化隨機變量基本思想將樣本空間數量化,即用數值來表示試驗的結果31例

設箱中有10個球，其中有2個紅球，8個白球；從中任意抽取2個,觀察抽球結果。取球結果為:兩個白球;兩個紅球;一紅一白

特點：試驗結果數量化了，試驗結果與數建立了對應關系如果用X表示取得的紅球數，則X的取值可為0，1，2。此時，“兩只紅球”=“X取到值2”,可記為{X=2}

“一紅一白”記為{X=1},“兩只白球”記為{X=0}試驗結果的數量化例設箱中有10個球，其中有2個紅球，8個白球；從中任意32一維隨機變量(one-dimensionrandomvariable)定義——設隨機試驗的樣本空間的每一個樣本點均有唯一的實數與之對應，稱為上的一維隨機變量。如：擲骰子一顆，觀察其點數。樣本點表示“點數為”令與之對應，則是一維隨機變量。又如：觀察一電子元件的壽命。樣本點表示“壽命為小時”令與之對應，則也是一維隨機變量。一維隨機變量(one-dimensionrandomva33研究隨機變量主要掌握的兩個問題1）找出隨機變量的所有可能取值；2）求出隨機變量的概率規(guī)律.如：擲骰子一顆，取其向上面點數為隨機變量X的所有可能取的值為X=1,2,3,4,5,6。其概率規(guī)律為？設Ｘ是隨機變量，則它的取值規(guī)律稱為Ｘ的概率分布（簡稱分布distribution）．隨機變量的分布反映了隨機事件出現的可能性的大小。研究隨機變量主要掌握的兩個問題1）找出隨機變量的所有可能34一維隨機變量的分布函數定義說明：設為隨機變量，是任意實數，則稱函數為隨機變量的分布函數。分布函數的定義——1、分布函數實際上是一個概率，即隨機變量小于等于的概率，也就是，表示落在內的概率。2、分布函數完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性。一維隨機變量的分布函數定義說明：設為隨機變量，35隨機變量的分布函數有以下重要性質：1、單調不減性：2、右連續(xù)性：3、4、隨機變量的分布函數有以下重要性質：1、單調不減性：2、右連續(xù)36設隨機變量X的分布函數為：試求：（1）系數A與B；（2）X落在(-1,1]內的概率。解：（1）由設隨機變量X的分布函數為：解：（1）由37一維離散型隨機變量的分布若離散型隨機變量X的所有可能取值為ai，而X取值ai的概率為pi，即如果隨機變量的所有取值是有限或可數的，則稱之為離散型隨機變量。稱為隨機變量的分布密度或分布律或概率分布或概率函數。一維離散型隨機變量的分布密度有以下重要性質：或：一維離散型隨機變量的分布若離散型隨機變量X的所有可能取38例

設X的分布律為求P(0<X≤2)P(0<X≤2)=P（X=1）+P（X=2）=1/2+1/6=2/3分布律確定概率例設X的分布律為求P(0<X≤2)P(0<X≤239求分布律舉例例1設有一批產品20件，其中有3件次品，從中任意抽取2件，如果用X表示抽得的次品數，求隨機變量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。解：X的可能取值為0，1，2=P(抽得的兩件全為正品)P(X=1)P(X=2)=P(只有一件為次品)=P(抽得的兩件全為次品)P(X=0)求分布律舉例例1設有一批產品20件，其中有3件次品，40故X的分布律為而“至少抽得一件次品”=(X≥1)=(X=1)(X=2)P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)注意：(X=1)與(X=2)是互不相容的！

實際上，這仍是等可能概型的計算題，只是表達事件的方式變了故故X的分布律為而“至少抽得一件次品”=(X≥1)=(X=41解：由故X的分布律是：例2設隨機變量X的分布律如下，求及X的分布函數。當時，當時，當時，當時，解：由故X的分布律是：例2設隨機變量X的分布42......綜上所述，......綜上所述，43幾種常見的一維離散型隨機變量的分布律二點分布(0-1分布)△定義：

若隨機變量X的分布律為:1－pp

P

01

X則稱X服從參數為p的二點分布或(0-1)分布△背景：樣本空間只有兩個樣本點的情況,都可以用兩點分布來計算。如：拋硬幣一次。幾種常見的一維離散型隨機變量的分布律二點分布(0-144

重復獨立試驗（n重貝努里試驗）則恰好有一次出現點“6”的概率貝努里試驗：每次試驗只有兩個結果的試驗－出現和不出現。n次獨立試驗：n次試驗條件不變，各次相互獨立。例5擲骰子三次，求恰好有一次出現點“6”的概率。解：設表示第次出現點“６”，二項分布重復獨立試驗（n重貝努里試驗）則恰好有一次出現點“645設在一次試驗中事件Ａ出現的概率為X表示Ａ在次貝努里試驗中出現的次數，X的分布律為：此分布稱為二項分布。記作二項分布設在一次試驗中事件Ａ出現的概率為X表示Ａ在46一級品數X的分布密度。若取出的零件中有一級品，求恰有例2一大批零件的一級品率是。從中任取4個，求取出的解：由于零件數目很多，故可將取4個零件視作4次貝努里試驗。即一個一級品的概率。故所求概率為一級品數X的分布密度。若取出的零件中有一級品，求恰有例247若隨機變量X的分布密度是：則稱X服從泊松分布，記作泊松分布描述的是大量試驗中稀有事件出現的次數的概率分布。其中參數正是試驗次數與事件的概率之乘積（即事件出現的平均數）。所以它的一個重要應用是——則近似地，有若且較大,（），較小,（）即：，其中：若隨機變量X的分布密度是：則稱X服從泊松分布，記作泊48服務臺在某時間段內接待的服務次數X；交換臺在某時間段內接到呼叫的次數Y;礦井在某段時間發(fā)生事故的次數;顯微鏡下相同大小的方格內微生物的數目；單位體積空氣中含有某種微粒的數目實際問題中若干R.v.X是服從或近似服從Poisson分布的實際問題中若干R.v.X是服從或近似服從49已知某電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數X服從的泊松分布，分別求（1）每分鐘內恰好接到3次呼喚的概率；（2）每分鐘不超過4次的概