人教版九年級數學上冊知識點總結

人教版九年級數學上冊知識點總結21.1一元二次方程知識點一一元二次方程的定義等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下幾點：只含有一個未知數；②未知數的最高次數是2；③是整式方程。知識點二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項。知識點三一元二次方程的根使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據。典型例題：1、已知關于x的方程（m+）x+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法知識點一直接開平方法解一元二次方程如果方程的一邊可以化成含未知數的代數式的平方，另一邊是非負數，可以直接開平方。一般地，對于形如x2=a(a≥0)的方程，根據平方根的定義可解得x1=,x2=.直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接開平方法。用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質，即正數的平方根有兩個，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項；②使二次項系數或含有未知數的式子的平方項的系數為1；③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知識點二配方法解一元二次方程通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。配方法的一般步驟可以總結為：一移、二除、三配、四開。（1）把常數項移到等號的右邊；（2）方程兩邊都除以二次項系數；（3）方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，把左邊配成完全平方式；（4）若等號右邊為非負數，直接開平方求出方程的解。21.2.2公式法知識點一公式法解一元二次方程一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的兩個根為x=，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程。公式法解一元二次方程的具體步驟：①方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值②確定公式中a,b,c的值，注意符號；③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，則把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，則方程無實數根。知識點二一元二次方程根的判別式式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b2-4ac.△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數根一元二次方程△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數根根的判別式△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數根21.2．3因式分解法知識點一因式分解法解一元二次方程把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉化為求兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。因式分解法的詳細步驟：移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0；把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；令每一個因式分別為零，得到一元一次方程；解一元一次方程即可得到原方程的解。知識點二用合適的方法解一元一次方程方法名稱理論依據適用范圍直接開平方法平方根的意義形如x2=p或（mx+n）2=p(p≥0)配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法當ab=0，則a=0或b=0一邊為0，另一邊易于分解成兩個一次因式的積的一元二次方程。21.2.4一元二次方程的根與系數的關系若一元二次方程x2+px+q=0的兩個根為x1,x2,則有x1+x2=-p,x1x2=q.若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有兩個實數根x1,x2,則有x1+x2=,x1x2=22.3實際問題與一元二次方程知識點一列一元二次方程解應用題的一般步驟：審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間的等量關系。設：是指設元，也就是設出未知數。列：列方程是關鍵步驟,一般先找出能夠表達應用題全部含義的一個相等含義，然后列代數式表示這個相等關系中的各個量，就得到含有未知數的等式，即方程。解：就是解方程，求出未知數的值。驗：是指檢驗方程的解是否保證實際問題有意義，符合題意。答：寫出答案。知識點二列一元二次方程解應用題的幾種常見類型數字問題三個連續(xù)整數：若設中間的一個數為x，則另兩個數分別為x-1，x+1。三個連續(xù)偶數（奇數）：若中間的一個數為x，則另兩個數分別為x-2,x+2。三位數的表示方法：設百位、十位、個位上的數字分別為a,b,c，則這個三位數是100a+10b+c.（2）增長率問題設初始量為a，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經過兩次的增長或降低后的等量關系為a（1）2=b。（3）利潤問題利潤問題常用的相等關系式有：①總利潤=總銷售價-總成本；②總利潤=單位利潤×總銷售量；③利潤=成本×利潤率（4）圖形的面積問題根據圖形的面積與圖形的邊、高等相關元素的關系，將圖形的面積用含有未知數的代數式表示出來，建立一元二次方程。中考回顧1.(2017四川綿陽中考)關于x的方程2x2+mx+n=0的兩個根是-2和1,則nm的值為(C)A.-8 B.8 C.16 D.-162.(2017新疆中考)已知關于x的方程x2+x-a=0的一個根為2,則另一個根是(A)A.-3 B.-2 C.3 D.63.(2017河南中考)一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情況是(B)A.有兩個相等的實數根 B.有兩個不相等的實數根C.只有一個實數根D.沒有實數根4.(2017青海西寧中考)若x1,x2是一元二次方程x2+3x-5=0的兩個根,則QUOTEx2+x1QUOTE的值是15.

5.(2017內蒙古赤峰中考)如果關于x的方程x2-4x+2m=0有兩個不相等的實數根,那么m的取值范圍是m<2.

6.(2017四川成都中考)已知x1,x2是關于x的一元二次方程x2-5x+a=0的兩個實數根,且QUOTE=10,則a=QUOTE模擬預測1.方程x2+x-12=0的兩個根為(D)A.x1=-2,x2=6 B.x1=-6,x2=2C.x1=-3,x2=4 D.x1=-4,x2=32.對形如(x+m)2=n的方程,下列說法正確的是(C)A.都可以用直接開平方得x=-m±QUOTEB.都可以用直接開平方得x=-n±QUOTEC.當n≥0時,直接開平方得x=-m±QUOTED.當n≥0時,直接開平方得x=-n±QUOTE3.三角形的兩邊長分別為2和6,第三邊是方程x2-10x+21=0的解,則第三邊的長為(A)A.7 B.3C.7或3 D.無法確定4.為解決群眾看病貴的問題,有關部門決定降低藥價,對某種原價為289元的藥品進行連續(xù)兩次降價后為256元,設平均每次降價的百分率為x,則下面所列方程正確的是 (A)A.289(1-x)2=256 B.256(1-x)2=289C.289(1-2x)=256D.256(1-2x)=2895.若關于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常數項為0,則m的值等于()A.1B.2C.1或2D.0解析:由常數項為零,知m2-3m+2=0,解之,得m1=1,m2=2.又二次項系數m-1≠0,所以m≠1.綜上可知,m=2.故選B.6.若關于x的一元二次方程x2-3x-2a=0有兩個實數根,則a可取的最大負整數為.

解析:由題意可知Δ=9+8a≥0,故a≥-QUOTE,所以a可取的最大負整數為-1.7.已知x1,x2是關于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0的兩個不相等的實數根,且滿足x1+x2=m2,則m的值是.

解析:因為一元二次方程有兩個不相等的實數根,所以[-(2m+3)]2-4m2>0,即m>-QUOTE;由根與系數的關系可知x1+x2=2m+3,所以2m+3=m2,得m1=-1,m2=3,故m=3.8.某地特產專賣店銷售核桃,其進價為40元/千克,如果按60元/千克出售,那么平均每天可售出100kg.后來經過市場調查發(fā)現,單價每降低2元,則平均每天的銷售量可增加20kg.若該專賣店銷售這種核桃想要平均每天獲利2240元,請回答:(1)每千克核桃應降價多少元?(2)在平均每天獲利不變的情況下,為盡可能讓利于顧客,贏得市場,該店應按原售價的幾折出售?(1)設每千克核桃應降價x元,根據題意,得(60-x-40)QUOTE=2240.化簡,得x2-10x+24=0.解得x1=4,x2=6.答:每千克核桃應降價4元或6元.(2)由(1)可知每千克核桃可降價4元或6元,因為要盡可能讓利于顧客,所以每千克核桃應降價6元.此時,售價為60-6=54(元),所以QUOTE100%=90%.答:該店應按原售價的九折出售.

第22章二次函數知識點歸納及相關典型題第一部分基礎知識1.定義：一般地，如果是常數，，那么叫做的二次函數.2.二次函數的性質（1）拋物線的頂點是坐標原點，對稱軸是軸.（2）函數的圖像與的符號關系.①當時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當時拋物線開口向下頂點為其最高點.（3）頂點是坐標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函數的圖像是對稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線.4.二次函數用配方法可化成：的形式，其中.二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①；②；③；④；⑤.6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.①的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；越大，拋物線的開口越小；越小，拋物線的開口越大。②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數，如果二次項系數相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.（3）拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱點的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.9.拋物線中，的作用（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側，“左同右異”.（3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：①，拋物線經過原點;②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負半軸.10.幾種特殊的二次函數的圖像特征如下：函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標當時開口向上當時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0,)(,0)(,)()11.用待定系數法求二次函數的解析式（1）一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.（2）頂點式：.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.（3）交點式：已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：.12.直線與拋物線的交點（1）軸與拋物線得交點為(0,).（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).（3）拋物線與軸的交點二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點拋物線與軸相交；②有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；③沒有交點拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線的交點同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數根.（5）一次函數的圖像與二次函數的圖像的交點，由方程組的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;②方程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點.（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故中考回顧1.(2017天津中考)已知拋物線y=x2-4x+3與x軸相交于點A,B(點A在點B左側),頂點為M.平移該拋物線,使點M平移后的對應點M'落在x軸上,點B平移后的對應點B'落在y軸上,則平移后的拋物線解析式為(A)A.y=x2+2x+1 B.y=x2+2x-1C.y=x2-2x+1D.y=x2-2x-12.(2017四川成都中考)在平面直角坐標系xOy中,二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列說法正確的是(B)A.abc<0,b2-4ac>0B.abc>0,b2-4ac>0C.abc<0,b2-4ac<0D.abc>0,b2-4ac<03.(2017內蒙古赤峰中考)如果關于x的方程x2-4x+2m=0有兩個不相等的實數根,那么m的取值范圍是m<2.

4.(2017內蒙古赤峰中考)如圖,二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象交x軸于A,B兩點,交y軸于點D,點B的坐標為(3,0),頂點C的坐標為(1,4).備用圖(1)求二次函數的解析式和直線BD的解析式;(2)點P是直線BD上的一個動點,過點P作x軸的垂線,交拋物線于點M,當點P在第一象限時,求線段PM長度的最大值;(3)在拋物線上是否存在異于B,D的點Q,使△BDQ中BD邊上的高為2QUOTE,若存在求出點Q的坐標;若不存在請說明理由.解:(1)設二次函數的解析式為y=a(x-1)2+4.∵點B(3,0)在該二次函數的圖象上,∴0=a(3-1)2+4,解得:a=-1.∴二次函數的解析式為y=-x2+2x+3.∵點D在y軸上,所以可令x=0,解得:y=3.∴點D的坐標為(0,3).設直線BD的解析式為y=kx+3,把(3,0)代入得3k+3=0,解得:k=-1.∴直線BD的解析式為y=-x+3.（2）設點P的橫坐標為m(m>0),則P(m,-m+3),M(m,-m2+2m+3),PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-QUOTE,PM最大值為QUOTE(3)如圖,過點Q作QG∥y軸交BD于點G,作QH⊥BD于點H,則QH=2QUOTE設Q(x,-x2+2x+3),則G(x,-x+3),QG=|-x2+2x+3-(-x+3)|=|-x2+3x|.∵△DOB是等腰直角三角形,∴∠3=45°,∴∠2=∠1=45°.∴sin∠1=QUOTE,∴QG=4.得|-x2+3x|=4,當-x2+3x=4時,Δ=9-16<0,方程無實數根.當-x2+3x=-4時,解得:x1=-1,x2=4,Q1(4,-5),Q2(-1,0).模擬預測1.已知二次函數y=kx2-6x+3的圖象與x軸有交點,則k的取值范圍是(D)A.k<3 B.k<3,且k≠0C.k≤3 D.k≤3,且k≠02.若點M(-2,y1),N(-1,y2),P(8,y3)在拋物線y=-QUOTEx2+2x上,則下列結論正確的是(C)A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1<y3<y2解:x=-2時,y1=-QUOTEx2+2x=-QUOTE(-2)2+2×(-2)=-2-4=-6,x=-1時,y2=-QUOTEx2+2x=-QUOTE(-1)2+2×(-1)=-QUOTE-2=-2QUOTE,x=8時,y3=-QUOTEx2+2x=-QUOTE82+2×8=-32+16=-16.∵-16<-6<-2QUOTE,∴y3<y1<y2.故選C.3.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩個實數根x1,x2滿足x1+x2=4和x1·x2=3,則二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象有可能是()解析:∵x1+x2=4,∴-QUOTE=4.∴二次函數的對稱軸為x=-QUOTE=2.∵x1·x2=3,QUOTE=3.當a>0時,c>0,∴二次函數圖象交于y軸的正半軸.4.小明在用“描點法”畫二次函數y=ax2+bx+c的圖象時,列了如下表格:x…-2-1012…y…-6QUOTE-4-2QUOTE-2-2QUOTE…根據表格中的信息回答問題:該二次函數y=ax2+bx+c在x=3時,y=-4.

5.若關于x的函數y=kx2+2x-1與x軸僅有一個公共點,則實數k的值為k=0或k=-1.

6.拋物線y=-x2+bx+c的圖象如圖,若將其向左平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度,則平移后的解析式為.

解析:由題中圖象可知,對稱軸x=1,所以-QUOTE=1,即b=2.把點(3,0)代入y=-x2+2x+c,得c=3.故原圖象的解析式為y=-x2+2x+3,即y=-(x-1)2+4,然后向左平移2個單位,再向下平移3個單位,得y=-(x-1+2)2+4-3,即y=-x2-2x.答案:y=-x2-2x7.如圖①,若拋物線L1的頂點A在拋物線L2上,拋物線L2的頂點B也在拋物線L1上(點A與點B不重合),我們把這樣的兩拋物線L1,L2互稱為“友好”拋物線,可見一條拋物線的“友好”拋物線可以有很多條.(1)如圖②,已知拋物線L3:y=2x2-8x+4與y軸交于點C,試求出點C關于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標;(2)請求出以點D為頂點的L3的“友好”拋物線L4的解析式,并指出L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍;(3)若拋物線y=a1(x-m)2+n的任意一條“友好”拋物線的解析式為y=a2(x-h)2+k,請寫出a1與a2的關系式,并說明理由.解:(1)∵拋物線L3:y=2x2-8x+4,∴y=2(x-2)2-4.∴頂點為(2,-4),對稱軸為x=2,設x=0,則y=4,∴C(0,4).∴點C關于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標為(4,4).(2)∵以點D(4,4)為頂點的L3的友好拋物線L4還過點(2,-4),∴L4的解析式為y=-2(x-4)2+4.∴L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍是2≤x≤4.(3)a1=-a2,理由如下:∵拋物線L1的頂點A在拋物線L2上,拋物線L2的頂點B也在拋物線L1上,∴可以列出兩個方程QUOTE由①+②,得(a1+a2)(m-h)2=0,∴a1=-a2.

第二十三章旋轉23.1圖形的旋轉知識點一旋轉的定義在平面內，把一個平面圖形繞著平面內某一點O轉動一個角度，就叫做圖形的旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。我們把旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向稱為旋轉的三要素。知識點二旋轉的性質旋轉的特征：（1）對應點到旋轉中心的距離相等；（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；（3）旋轉前后的圖形全等。理解以下幾點：圖形中的每一個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。（2）對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。（3）圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。知識點三利用旋轉性質作圖旋轉有兩條重要性質：（1）任意一對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；（2）對應點到旋轉中心的距離相等，它是利用旋轉的性質作圖的關鍵。步驟可分為：①連：即連接圖形中每一個關鍵點與旋轉中心；②轉：即把直線按要求繞旋轉中心轉過一定角度（作旋轉角）③截：即在角的另一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點；④接：即連接到所連接的各點。23.2中心對稱知識點一中心對稱的定義中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。注意以下幾點：中心對稱指的是兩個圖形的位置關系；只有一個對稱中心；繞對稱中心旋轉180°兩個圖形能夠完全重合。知識點二作一個圖形關于某點對稱的圖形要作出一個圖形關于某一點的成中心對稱的圖形，關鍵是作出該圖形上關鍵點關于對稱中心的對稱點。最后將對稱點按照原圖形的形狀連接起來，即可得出成中心對稱圖形。知識點三中心對稱的性質有以下幾點：關于中心對稱的兩個圖形上的對應點的連線都經過對稱中心，并且都被對稱中心平分；關于中心對稱的兩個圖形能夠互相重合，是全等形；關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或共線）且相等。知識點四中心對稱圖形的定義把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。知識點五關于原點對稱的點的坐標在平面直角坐標系中，如果兩個點關于原點對稱，它們的坐標符號相反，即點p（x,y）關于原點對稱點為（-x,-y）。中考回顧1.(2017四川綿陽中考)下列圖案中,屬于軸對稱圖形的是 (A)2.(2017天津中考)在一些美術字中,有的漢字是軸對稱圖形.下面4個漢字中,可以看作是軸對稱圖形的是(C)3.(2017內蒙古呼和浩特中考)圖中序號①②③④對應的四個三角形,都是△ABC這個圖形進行了一次變換之后得到的,其中是通過軸對稱得到的是(:A)A.① B.② C.③ D.④解析:∵軸對稱是沿著某條直線翻轉得到新圖形,∴通過軸對稱得到的是①.故選A.4.(2017西寧中考)下列圖形中,是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是(A)A.等邊三角形 B.平行四邊形 C.正六邊形 D.圓5.(2017江蘇淮安中考)點P(1,-2)關于y軸對稱的點的坐標是(C)A.(1,2) B.(-1,2)C.(-1,-2) D.(-2,1)解析:P(1,-2)關于y軸對稱的點的坐標是(-1,-2),故選C.6.(2017四川宜賓中考)如圖,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,將△ABE沿BE折疊,使點A恰好落在對角線BD上的點F處,則DE的長是(C)A.3 B.QUOTE C.5 D.QUOTE解析:∵在矩形ABCD中,∠BAE=90°,且由折疊可得△BEF≌△BEA,∴∠BFE=90°,AE=EF,AB=BF,在Rt△ABD中,AB=CD=6,BC=AD=8,根據勾股定理得BD=10,即FD=10-6=4,設EF=AE=x,則有ED=8-x,根據勾股定理得x2+42=(8-x)2,解得x=3,所以DE=8-3=5,故選C.7.(2017山東棗莊中考)如圖,把正方形紙片ABCD先沿對邊中點所在的直線對折后展開,折痕為MN,再過點B折疊紙片,使點A落在MN上的點F處,折痕為BE.若AB的長為2,則FM的長為(B)A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.1解析:∵四邊形ABCD為正方形,AB=2,過點B折疊紙片,使點A落在MN上的點F處,∴FB=AB=2,BM=1,則在Rt△BMF中,FM=QUOTE,故選B.8.(2017湖南長沙中考)如圖,將正方形ABCD折疊,使頂點A與CD邊上的一點H重合(H不與端點C,D重合),折痕交AD于點E,交BC于點F,邊AB折疊后與邊BC交于點G.設正方形ABCD的周長為m,△CHG的周長為n,則QUOTE的值為(B)A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.隨H點位置的變化而變化解析:設CH=x,DE=y,則DH=QUOTE-x,EH=EA=QUOTE-y,∵∠EHG=90°,∴∠DHE+∠CHG=90°.∵∠DHE+∠DEH=90°,∴∠DEH=∠CHG,又∵∠D=∠C=90°,△DEH∽△CHG,∴QUOTE,即QUOTE,∴CG=QUOTE,HG=QUOTE,△CHG的周長n=CH+CG+HG=QUOTE,在Rt△DEH中,DH2+DE2=EH2,即QUOTE+y2=QUOTE,整理得QUOTE-x2=QUOTE,∴n=CH+HG+CG=QUOTE.故QUOTE.故選B.模擬預測1.下列標志中,可以看作是中心對稱圖形的是(D)2.下列圖形中,是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形的是(B)3.如圖,把一張矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊,點B的對應點為B',AB'與DC相交于點E,則下列結論一定正確的是()A.∠DAB'=∠CAB' B.∠ACD=∠B'CDC.AD=AE D.AE=CE答案:D4.如圖,把一張長方形紙片對折,折痕為AB,再以AB的中點O為頂點把平角∠AOB三等分,沿平角的三等分線折疊,將折疊后的圖形剪出一個以O為頂點的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是(D)A.正三角形 B.正方形C.正五邊形 D.正六邊形解析:根據第一次對折以及三等分平角可知將360°進行6等分,即多邊形的中心角為60°,由最后的剪切可知所得圖形符合正六邊形特征.故選D.5.如圖,直線l是四邊形ABCD的對稱軸.若AB=CD,有下面的結論:①AB∥CD;②AC⊥BD;③AO=OC;④AB⊥BC.其中正確的結論有.(填序號)

答案:①②③6.如圖,在四邊形ABCD中,點M,N分別在AB,BC上,將△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN∥DC,則∠B=95°.

解析:∵FN∥DC,∴∠BNF=∠C=70°.∵MF∥AD,∴∠BMF=∠A=100°.由翻折知,∠F=∠B.又∵∠BMF+∠B+∠BNF+∠F=360°,∴100°+∠B+70°+∠F=360°,∴∠F=∠B=QUOTE=95°.7.如圖,在平面直角坐標系中,若△ABC與△A1B1C1關于點E成中心對稱,則對稱中心點E的坐標是(3,-1)8.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,M為邊BC上的點,連接AM(如圖).如果△ABM沿直線AM翻折后,點B恰好落在邊AC的中點處,那么點M到AC的距離是2.

解析:如圖,過點M作MN⊥AC于N,由折疊性質可知,∠BAM=∠CAM=45°.∵點B恰好落在邊AC的中點處,∴AC=2AB=6.∵∠ANM=90°,∴∠CAM=∠AMN=45°.∴MN=AN.由Rt△CNM∽Rt△CAB,得QUOTE,∴QUOTE.∴MN=2.9.△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖.(1)作出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1,并寫出△A1B1C1各頂點的坐標;(2)將△ABC向右平移6個單位,作出平移后的△A2B2C2,并寫出△A2B2C2各頂點的坐標;(3)觀察△A1B1C1與△A2B2C2,它們是否關于某直線對稱?若是,請在圖上畫出這條對稱軸.解:(1)△A1B1C1如圖,A1(0,4),B1(2,2),C1(1,1).(2)△A2B2C2如圖.A2(6,4),B2(4,2),C2(5,1).(3)△A1B1C1與△A2B2C2關于直線x=3對稱.如圖.

第二十四章圓24.1.1圓知識點一圓的定義圓的定義：第一種：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫作圓。固定的端點O叫作圓心，線段OA叫作半徑。第二種：圓心為O，半徑為r的圓是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進行描述的，第二種是運用集合的觀點下的定義，但是都說明確定了定點與定長，也就確定了圓。知識點二圓的相關概念弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫作直徑?；。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。等圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長度相等的弧。24.1.2垂直于弦的直徑知識點一圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。知識點二垂徑定理MABDMABDo⌒⌒垂足為CAC=BCAM=BMC⌒⌒垂足為CAC=BCAM=BMC垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧如上圖所示，直徑MD與非直徑弦AB相交于點C，⌒⌒CD⊥AB⌒⌒⌒⌒AC=BCAM=BM⌒⌒AD=BD注意：因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結論不成立。24.1.3弧、弦、圓心角知識點弦、弧、圓心角的關系弦、弧、圓心角之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余的各組量也相等。注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丟掉這個條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個同心圓中，兩個圓心角相同，但此時弧、弦不一定相等。24.1.4圓周角知識點一圓周角定理圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對弦是直徑。圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關系?！巴』虻然　笔遣荒芨臑椤巴一虻认摇钡模駝t就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩類。知識點二圓內接四邊形及其性質圓內接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。圓內接四邊形的性質：(1)圓內接四邊形的對角互補。(2)四個內角的和是360°(3)圓內接四邊形的外角等于其內對角24.2點、直線和圓的位置關系24.2.1點和圓的位置關系知識點一點與圓的位置關系點與圓的位置關系有：點在圓外，點在圓上，點在圓內三種。用數量關系表示：若設⊙O的半徑是r，點P到圓的距離OP=d，則有：點P在圓外d＞r；點p在圓上d=r；點p在圓內d＜r。知識點二（1）經過在同一條直線上的三個點不能作圓（2）不在同一條直線上的三個點確定一個圓，即經過不在同一條直線上的三個點可以作圓，且只能作一個圓。知識點三三角形的外接圓與外心經過三角形三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。知識點四反證法反證法：假設命題的結論不成立，經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。反證法的一般步驟：假設命題的結論不成立；從假設出發(fā)，經過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結論；由矛盾判定假設不正確，從而得出原命題正確。24.2.2直線和圓的位置關系知識點一直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系有：相交、相切、相離三種。直線與圓的位置關系可以用數量關系表示若設⊙O的半徑是r，直線l與圓心0的距離為d，則有：直線l和⊙O相交d＜r；直線l和⊙O相切d=r；直線l和⊙O相離d＞r。知識點二切線的判定和性質切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。切線的其他性質：切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離等于半徑；經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；必過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。知識點三切線長定理切線長的定義：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。注意：切線和切線長是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長是一條線段的長，這條線段的兩個端點一個是在圓外一點，另一個是切點。知識點四三角形的內切圓和內心三角形的內切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。這個三角形叫做圓的外切三角形。三角形的內心：三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心。注意：三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，所以當三角形的內心已知時，過三角形的頂點和內心的射線，必平分三角形的內角。直角三角形內切圓半徑的求解方法：①直角三角形直角邊為a.b，斜邊為c，直角三角形內切圓半徑為r.a-r+b-r=c,得。②根據三角形面積的表示方法：ab=,.24.3正多邊形和圓知識點一正多邊形的外接圓和圓的內接正多邊形正多邊形與圓的關系非常密切，把圓分成n（n是大于2的自然數）等份，順次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識點二正多邊形的性質各邊相等，各角相等；都是軸對稱圖形，正n邊形有n條對稱軸，每一條對稱軸都經過n邊形的中心。正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個全等的直角三角形。所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都經過正n邊形的中心；當正n邊形的邊數為偶數時，這個正n邊形也是中心對稱圖形，正n邊形的中心就是對稱中心。正n邊形的每一個內角等于，中心角和外角相等，等于。24.4弧長和扇形面積知識點一弧長公式L=在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的弧長就是圓的周長C=2πR，所以n°的圓心角所對的弧長的計算公式L=×2πR=。知識點二扇形面積公式在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積S=πR2，所以圓心角為n°的扇形的面積為S扇形=。比較扇形的弧長公式和面積公式發(fā)現：S扇形=知識點三圓錐的側面積和全面積圓錐的側面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側面展開，容易得到圓錐的側面展開圖是一個扇形。設圓錐的母線長為，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為，扇形的弧長為2πr，因此圓錐的側面積。圓錐的全面積為。中考回顧1.(2017甘肅天水中考)如圖,AB是☉O的直徑,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4QUOTE,則S陰影=(B)A.2πB.QUOTEπC.QUOTEπD.QUOTEπ2\(2017四川中考)如圖,AB是☉O的直徑,且AB經過弦CD的中點H,已知cos∠CDB=QUOTE,BD=5,則OH的長度為(D)A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE3.(2017甘肅蘭州中考)如圖,在☉O中,QUOTE,點D在☉O上,∠CDB=25°,則∠AOB=(B)A.45° B.50° C.55° D.60°4.(2017山東青島中考)如圖,AB是☉O的直徑,點C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,則∠BCD的度數為(B)A.100° B.110°C.115° D.120°5.(2017湖北黃岡中考)如圖,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,則∠ADC的度數為(B)A.30° B.35° C.45° D.70°6.(2017福建中考)如圖,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上位于AB異側的兩點.下列四個角中,一定與∠ACD互余的角是(D)A.∠ADC B.∠ABD C.∠BAC D.∠BAD7.(2017貴州黔東南州中考)如圖,☉O的直徑AB垂直于弦CD,垂足為E,∠A=15°,半徑為2,則弦CD的長為(A)A.2 B.-1 C.QUOTE D.4模擬預測1.如圖,點A,B,C在☉O上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,則∠BOC等于(B)A.60° B.70°C.120° D.140°解析:如圖,過點A作☉O的直徑,交☉O于點D.在△OAB中,∵OA=OB,∴∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=64°.同理可得,∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°,∴∠BOC=∠BOD+∠COD=140°.故選D.2.如圖,AB是☉O的弦,半徑OA=2,∠AOB=120°,則弦AB的長是(B)A.2QUOTE B.2QUOTEC.QUOTE D.3QUOTE3.如圖,四邊形ABCD內接于☉O,F是QUOTE上一點,且QUOTE,連接CF并延長交AD的延長線于點E,連接AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,則∠E的度數為(B)A.45° B.50° C.55° D.60°4.如圖,☉O是△ABC的外接圓,∠B=60°,☉O的半徑為4,則AC的長等于(A)A.4QUOTE B.6QUOTEC.2QUOTE D.85.如圖,AB是☉O的直徑,弦CD交AB于點E,且AE=CD=8,∠BAC=QUOTE∠BOD,則☉O的半徑為(B.)A.4QUOTEB.5C.4 D.3∵∠BAC=QUOTE∠BOD,∴QUOTE,∴AB⊥CD.∵AE=CD=8,∴DE=QUOTECD=4.設OD=r,則OE=AE-r=8-r.在Rt△ODE中,OD=r,DE=4,OE=8-r.∵OD2=DE2+OE2,∴r2=42+(8-r)2,解得r=5.6.若☉O的半徑為1,弦AB=QUOTE,弦AC=QUOTE,則∠BAC的度數為15°或75°.

7.如圖,△ABC是☉O的內接三角形,點D是QUOTE的中點,已知∠AOB=98°,∠COB=120°.則∠ABD的度數是101°.

8.如圖,將三角板的直角頂點放在☉O的圓心上,兩條直角邊分別交☉O于A,B兩點,點P在優(yōu)弧AB上,且與點A,B不重合,連接PA,PB.則∠APB為45°.

9.如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,點P在第一象限,☉P與x軸交于O,A兩點,點A的坐標為(6,0),☉P的半徑為QUOTE,則點P的坐標為(3,2).

10.如圖,已知AB是☉O的直徑,AC是弦,過點O作OD⊥AC于點D,連接BC.(1)求證:OD=QUOTEBC;(2)若∠BAC=40°,求QUOTE的度數.(1)證明:(證法一)∵AB是☉O的直徑,∴OA=OB.又OD⊥AC,∴∠ODA=∠BCA=90°.∴OD∥BC.∴AD=CD.∴OD=QUOTEBC.(證法二)∵AB是☉O的直徑,∴∠C=90°,OA=QUOTEAB.∵OD⊥AC,即∠ADO=90°,∴∠C=∠ADO.又∠A=∠A,∴△ADO∽△ACB.∴QUOTE.∴OD=QUOTEBC.(2)解:(解法一)∵AB是☉O的直徑,∠A=40°,∴∠C=90°∴QUOTE的度數為:2×(90°+40°)=260°.(解法二)∵AB是☉O的直徑,∠A=40°,∴∠C=90°,∴∠B=50°.∴QUOTE的度數為100°.∴QUOTE的度數為260°.

第25章隨機事件與概率25.1.1隨機事件知識點一必然事件、不可能事件、隨機事件在一定條件下，有些事件必然會發(fā)生，這樣的事件稱為必然事件；相反地，有些事件必然不會發(fā)生，這樣的事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生也可能不會發(fā)生的事件稱為隨機事件。必然事件和不可能事件是否會發(fā)生，是可以事先確定的，所以它們統(tǒng)稱為確定性事件。知識點二事件發(fā)生的可能性的大小必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，隨機事件發(fā)生的可能性有大有小。不同的隨機事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同。25.1.2概率知識點概率一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數值，稱為隨機事件A發(fā)生的概率，記作P（A）。一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=。由m和n的含義可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1.當A為必然事件時，P（A）=1；當A為不可能事件時，P（A）=0.25.2用列舉法求概率知識點一用列舉法求概率一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=。知識點二用列表發(fā)求概率當一次試驗要涉及兩個因素并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常用列表法。列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數和方式，并求出概率的方法。知識點三用樹形圖求概率當一次試驗要涉及3個或更多的因素時，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖。樹形圖是反映事件發(fā)生的各種情況出現的次數和方式，并求出概率的方法。樹形圖法同樣適用于各種情況出現的總次數不是很大時求概率的方法。在用列表法和樹形圖法求隨機事件的概率時，應注意各種情況出現的可能性務必相同。25.3用頻率估計概率知識點在隨機事件中，一個隨機事件發(fā)生與否事先無法預測，表面上看似無規(guī)律可循，但當我們做大量重復試驗時，這個事件發(fā)生的頻率呈現出穩(wěn)定性，因此做了大量試驗后，可以用一個事件發(fā)生的頻率作為這個事件的概率的估計值。一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定于某一個常數P，那么事件A發(fā)生的頻率P（A）=p。中考回顧1.(2017新疆中考)下列事件中,是必然事件的是(B)A.購買一張彩票,中獎B.通常溫度降到0℃以下,純凈的水結冰C.明天一定是晴天D.經過有交通信號燈的路口,遇到紅燈2.(2017四川自貢中考)下列成語描述的事件為隨機事件的是(B)A.水漲船高 B.守株待兔 C.水中撈月D.緣木求魚3.(2017浙江紹興中考)在一個不透明的袋子中裝有4個紅球和3個黑球,它們除顏色外其他