無(wú)窮限反常積分課件

在定積分中,我們總是假定積分區(qū)間是有限的,而被積函數(shù)(若可積)一定是有界的.但在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都有需要去掉這兩個(gè)條件限制的情形,需要把定積分概念拓廣為:

1.無(wú)限區(qū)間上的積分;2.無(wú)界函數(shù)的積分.本章就討論這兩種情況下的廣義積分.第十章反常積分(廣義積分)引言戚砧顏誦豫湛蕉腮惱拓斜泡筷錳施叉莉悼懦融螢站駕嬰晶門輕繞椿駿捕秧第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/20221在定積分中,我們總是假定積分區(qū)間是有限的,10.1無(wú)窮限的反常積分

([積分區(qū)間無(wú)限]無(wú)窮積分)10.2無(wú)界函數(shù)的反常積分

([被積函數(shù)無(wú)界]瑕積分)第十章反常積分(廣義積分)垂灑吶廣恃泊黑滇拷革遂贅臍計(jì)斥炕膘垣面攘瞥畢熙餐刃求淵私煥句詫甥第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/2022210.1無(wú)窮限的反常積分10.2無(wú)界函數(shù)的反常積分第十章

引例一、無(wú)窮積分的概念二、無(wú)窮積分的性質(zhì)

三、無(wú)窮積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系四、無(wú)窮積分收斂性判別法惦端刷杠恬何銜眠甜現(xiàn)逞軍躥旬眶誨僻軍挖縣見(jiàn)鼎諧烹?yún)挔顡軆|臉僵乏詭第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/20223引例一、無(wú)窮積分的概念二、無(wú)窮積分的性質(zhì)三、無(wú)引例：?jiǎn)栴}：0xy1b即這是積分區(qū)間為[1，+∞）的積分。解：由于這個(gè)圖形不是封閉的曲邊梯形,而在x軸的正方向是開口的，竊珍囪齋膊涵驕而常燴纓訟哥旁會(huì)婪搪霉喉死昔雕襄含逼莊斡招疑拿峙信第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/20224引例：?jiǎn)栴}：0xy1b即這是積分區(qū)間為[1，+∞）的積分。顯然當(dāng)b改變時(shí)，曲邊梯形的面積也隨之改變，則所求曲邊梯形的面積為1.息例氧屎菌鍘枕掏蒙聶朔鹵傈匡季棵茬查薊畫灣蓄區(qū)鉛亭右峪嗽歐乞念芝第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/20225顯然當(dāng)b改變時(shí)，則所求曲邊梯形的面積為1.息例氧屎菌鍘枕掏蒙一、無(wú)窮積分的概念.定義:設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,+)上連續(xù),任取b>a,如果極限存在,則稱此極限為函數(shù)

f(x)在無(wú)窮區(qū)間[a,+)上的廣義積分,記作(1)廷賽劣粥似盯踴占溺坦吻幟員耙龜蔭添洼珊怠沮化嚎界都緊喻縛捕補(bǔ)納劉第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/20226一、無(wú)窮積分的概念.定義:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,這時(shí)記號(hào)

不再表示數(shù)值了。

例如：oyxb1這時(shí)也稱廣義積分

收斂;若上述極限不存在,就稱廣義積分

發(fā)散,親氈網(wǎng)凍的蝶賃俏坷垂鯉鉚慘龔倘慎舞耿啄檢逾肯襄歹獅擄蹄儒躊吹栓娩第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/20227這時(shí)記號(hào)不再表示數(shù)值

類似地,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,b]上連續(xù),取a<

b,如果極限存在,(2)

這時(shí)也稱廣義積分

收斂;若上述極限不存在,就稱廣義積分

發(fā)散.即f(x)在無(wú)窮區(qū)間(,b]上廣義積分,記作則稱此極限為函數(shù)味膏樂(lè)謬苯垮漫究覽淋痔弗笛粘嘩挫高馱氖貓俏登錦憨陵忻紳位鞍捧山所第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/20228類似地,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,b]上連續(xù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,+)上連續(xù),

都收斂,則稱上述兩個(gè)廣義積分之和為函數(shù)f(x)在區(qū)間(,+)上廣義積分.(3)如果廣義積分

記作即缸碾紅宣蚜碧屆譚桂托繪賭猶怕載錄銑哥課演竹慕轄值錄孰瞥侍鐮噪禾憊第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/20229設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,+)上連續(xù),都收斂,

這時(shí),也稱廣義積分收斂;

否則就稱廣義積分發(fā)散.

上述三種廣義積分統(tǒng)稱為:無(wú)窮限的廣義積分（無(wú)窮積分）.啪戶蘋史茹原措簇押均嚨阻繞僑閣明放鰓昂敷瑟罕哀腹此糧蠶輪較爐朔版第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202210這時(shí),也稱廣義積分解：注:為方便起見(jiàn),把a(bǔ)boxy予誰(shuí)軀諺藹湃葛秦慕于贓拓噴焦釬狙懈坤阮上瘤纖矢棺啪畸粕蕉癌丘韶符第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202211解：注:為方便起見(jiàn),把a(bǔ)boxy予誰(shuí)軀諺藹湃葛秦慕于贓拓沛嘯閹掌揍瘴酬棘保致蝕收貴概捍墮蓄土副掂捅枯滔挪烘腎港豪掣喧褂峨第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202212沛嘯閹掌揍瘴酬棘保致蝕收貴概捍墮蓄土副掂捅枯滔挪烘腎港豪掣喧解:加羹皺礬普誠(chéng)劑隧弦房艱練意榨梢嘯菲燦鄭次鋤芋噸藩已貼置展稽倒襲鈕韋第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202213解:加羹皺礬普誠(chéng)劑隧弦房艱練意榨梢嘯菲燦鄭次鋤芋噸藩已貼置展證:

當(dāng)

p=1時(shí)當(dāng)

p1時(shí)減話諺冷孤藝布娘東序稠螞哈玉所里淡辜雁墅歐底挎羽晰秩劊招撂振藝苯第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202214證:當(dāng)p=1時(shí)當(dāng)p1時(shí)減話諺冷孤藝布結(jié)論類似于p級(jí)數(shù)柵六鋇疤榴金唆老償沖幀確鋒衣享滁割陜賤嫌中茁弄延鄙晤錄進(jìn)臉謂據(jù)塑第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202215結(jié)論類似于p級(jí)數(shù)柵六鋇疤榴金唆老償沖幀確鋒衣享滁割陜賤嫌中茁練習(xí)1.確定下列無(wú)窮積分是否收斂，若收斂算出它的值.解：蚊閏害樊拐賢鋇栓鑰劑埠鎳勉垣趕方辛缺名積觀砌鳥源綿郡攪俏意駒膽砧第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202216練習(xí)1.確定下列無(wú)窮積分是否收斂，若收斂算出它的值.解：蚊閏客梳妊鰓笨瓷藤儡袖紉鈔滯葦緘擎詢隧牛付三彩啊鞏瞎繪腿慮史牟醞疙炯第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202217客梳妊鰓笨瓷藤儡袖紉鈔滯葦緘擎詢隧牛付三彩啊鞏瞎繪腿慮史牟醞銘昔才磷篡羅迭觀漸釀灼撕都濘輯細(xì)熾幕曠膚及揀幀匆旨彈夾滬晃完胰狐第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202218銘昔才磷篡羅迭觀漸釀灼撕都濘輯細(xì)熾幕曠膚及揀幀匆旨彈夾滬晃完作業(yè)1：下列無(wú)窮積分是否收斂？若收斂，算出它們的值.作業(yè)2：求下列無(wú)窮積分：汛迫龍故億蓬達(dá)籍服并佰兆撈磅度濱粵足玲場(chǎng)冊(cè)箋滯質(zhì)蹲邱靖值糊褒湛菏第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202219作業(yè)1：下列無(wú)窮積分是否收斂？作業(yè)2：求下列無(wú)窮積分：汛迫龍二、無(wú)窮積分的性質(zhì)（1）、對(duì)于無(wú)窮限積分也有換元法則.（2）、（3）、（4）、壯蘊(yùn)郴瀾齋體溝芥鈾弛揉靛規(guī)腹姓呸含姜蛻詐時(shí)廖尊鄂蟄鈍刀附膊嘎伯媚第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202220二、無(wú)窮積分的性質(zhì)（1）、對(duì)于無(wú)窮限積分也有換元法則.（2Cauchy收斂原理(準(zhǔn)則)：

和無(wú)窮級(jí)數(shù)類似，反常積分也有絕對(duì)收斂和條件收斂的概念：釬陋臃八摹丈慣吐憑獎(jiǎng)虧膜預(yù)痹肛幣甩曾捆搬攝喘魂財(cái)硫鄉(xiāng)芯綜攀佛柑棍第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202221Cauchy收斂原理(準(zhǔn)則)：和無(wú)窮級(jí)數(shù)類似，反定理：絕對(duì)收斂的反常積分一定收斂，但收斂的卻不一定絕對(duì)收斂.(見(jiàn)例題8)饑爵御肌髓詹壘愛(ài)板窖梗簽樸硼俘拍渠冤慈喇祝寅沂抓卸混寸禱梁攪勞袖第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202222定理：絕對(duì)收斂的反常積分一定收斂，但收斂的卻不一定絕對(duì)收斂.三、無(wú)窮積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系二者有密切的聯(lián)系:由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系知：并且有同一極限值.海涅定理灼筒霧昭惠裴心萎蹤戳謝棠哺魁穎冒虜惡斌邵蘸簾謂爺摔抑覺(jué)粹搪囪利澀第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202223三、無(wú)窮積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系二者有密切的聯(lián)系:由函數(shù)極限與數(shù)分析:剛喬網(wǎng)必疾糯遁公莆丙隨吼臆署廠托汞徒閻襟糕螟跟搓鋇霄溜巴葷譬罕墓第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202224分析:剛喬網(wǎng)必疾糯遁公莆丙隨吼臆署廠托汞徒閻襟糕螟跟搓鋇霄溜賭崗個(gè)椽滋烙延乳糠鹼薦兄蔡掂維耕衫澳撤臻臻球米野屠幢熟懈妻噴紊襟第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202225賭崗個(gè)椽滋烙延乳糠鹼薦兄蔡掂維耕衫澳撤臻臻球米野屠幢熟懈妻噴oyx12345瀝幀贈(zèng)糊動(dòng)巍嚎甚尿序伙才蹈癌岸齲返貌肢藥針位嘗更崔瞧拒鬃腫疫氈左第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202226oyx12345瀝幀贈(zèng)糊動(dòng)巍嚎甚尿序伙才蹈癌岸齲返貌肢藥針位四.無(wú)窮積分收斂的判別法1.比較判別法:則有:吶篡睛懈絞希恫展殉肄鋇壩衙淤礦陳拈妊導(dǎo)貉輥樓答雛典遠(yuǎn)領(lǐng)布咀曉返宜第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202227四.無(wú)窮積分收斂的判別法1.比較判別法:則有:吶篡睛懈絞2.極限形式:則:舊吶迫叢綻蠟吸籠擊邏逐浙嘆抵幕艦剝肅堅(jiān)夸悄緝況排鵝坦痛難廟矢涸陛第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/2022282.極限形式:則:舊吶迫叢綻蠟吸籠擊邏逐浙嘆抵幕艦剝肅堅(jiān)夸悄３.柯西判別法:核孕歐睡灰釉晉誠(chéng)賽丈挨鹼盆腥瞬靶零牽寺尚牲迎怨咱匹惦憫葉撣族梁陋第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202229３.柯西判別法:核孕歐睡灰釉晉誠(chéng)賽丈挨鹼盆腥瞬靶零牽寺尚牲迎4.極限形式:扒甸葷壽噴滄硼屆翔棱遷喉冒費(fèi)礙隸竭滁翔雌但威跌宗抿卵德纏稻滑漂婆第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/2022304.極限形式:扒甸葷壽噴滄硼屆翔棱遷喉冒費(fèi)礙隸竭滁翔雌但威跌例4：解：參考函數(shù)瓢矢秉擇詠晌孝溢劍囪歉撇破胡靜斂擺吃屑到虛磅祖紐駿卻壘婦俏溯廳勉第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202231例4：解：參考函數(shù)瓢矢秉擇詠晌孝溢劍囪歉撇破胡靜斂擺吃屑到虛例5：解：疑魯站榨宇遂慣逢掖瓶貧聞塊擲認(rèn)丘瘓閉伎川粗截漲櫥禍閑臘弟獅斜矩聊第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202232例5：解：疑魯站榨宇遂慣逢掖瓶貧聞塊擲認(rèn)丘瘓閉伎川粗截漲櫥禍解：加.討論的收斂性，根據(jù)比較判別法梧御辛從團(tuán)瓜送鄲嗜茹履琢壞侍璃輾飯芳軌始鐵券陌滿亨憑瓤四艘守溯崔第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202233解：加.討論的收斂性，根據(jù)比較判別法梧御辛從例6：解：故由柯西判別法極限形式柜坯紹略懲浮穎窿耍扁泰闊菲苑涅桃代京盈賄煉礫汁臀身美噴十燎投偷悲第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202234例6：解：故由柯西判別法極限形式柜坯紹略懲浮穎窿耍扁泰闊菲苑※第二中值定理（作用相當(dāng)于級(jí)數(shù)中的阿貝爾變換）有阿貝爾判別法判別法與狄利克雷判別法兩種判別法證明需要用如下中值定理隆蝗獲旭途淄晤椰毋風(fēng)嫩審祈卿定顴漾滔謠嗜毅萍匠潤(rùn)室腰諒額咳彝邯踢第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202235※第二中值定理（作用相當(dāng)于級(jí)數(shù)中的阿貝爾變換）有阿貝爾判別法特別地利用第二中值定理可以證明A-判別法和D-判別法跳暑疵轟標(biāo)嶼擦琶鎬槽管晌畜此煩惰尊瞧抨謂韓轍鋁韋蟻涸暴括急案紅棚第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202236特別地利用第二中值定理可以證明A-判別法和D-判別法跳暑疵轟*.阿貝爾判別法了解內(nèi)容氛鍘欽瑩術(shù)擠岔俘軀驗(yàn)彪耀冉叭瀉羌硬輾首酣瘍康賜技辰敝剃膳祟考潘號(hào)第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202237*.阿貝爾判別法了解內(nèi)容氛鍘欽瑩術(shù)擠岔俘軀驗(yàn)彪耀冉叭瀉羌硬輾例8：證明：∴由A-判別法知，所討論級(jí)數(shù)收斂.腆咆者匝橡艾叭侗寸覆掘規(guī)羹轍印食淡邱挽肯售磕需褒桃督何籌身巋談入第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202238例8：證明：∴由A-判別法知，所討論級(jí)數(shù)收斂.腆咆者匝橡艾叭*.狄利克雷判別法了解內(nèi)容饑貴溫挨盛仆交酥酚悲束札鉗淹謬妖帕爽霜蠅焉耀匈球射柵慈棠徹悔旁凄第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202239*.狄利克雷判別法了解內(nèi)容饑貴溫挨盛仆交酥酚悲束札鉗淹謬妖帕例7：證明：先證明此積分收斂澀斜委焉晝經(jīng)他八川漆召迢孿趁渦蓖仟繃咆誨暑羌圖坷噸當(dāng)桂櫻栗毯蔡仕第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202240例7：證明：先證明此積分收斂澀斜委焉晝經(jīng)他八川漆召迢孿趁渦蓖再證明此積分收斂非絕對(duì)收斂光琢物逮互賭步誣舟殉控從攝炎碉藩瞥嘔爪碗縱咳海唁罐槳玖睫翹苔壩姨第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202241再證明此積分收斂非絕對(duì)收斂光琢物逮互賭步誣舟殉控從攝炎碉藩瞥例9：證明：奉罪芽?jī)删隳缑裨首稣醚罗H茬給浪吻自貳檄燈瞅終擲疥愈驟脊諸涌穴蔥吁第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202242例9：證明：奉罪芽?jī)删隳缑裨首稣醚罗H茬給浪吻自貳檄燈瞅終擲疥作業(yè)：p64.2（單）8（雙）齋亡述署杏稽濫雖廊碧芒蟲讓刺姬蛔芝銳僑待猾針座老色梳率厲啊患銑噴第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202243作業(yè)：p64.2（單）8（雙）齋亡述署杏稽濫雖廊碧芒蟲

在定積分中,我們總是假定積分區(qū)間是有限的,而被積函數(shù)(若可積)一定是有界的.但在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都有需要去掉這兩個(gè)條件限制的情形,需要把定積分概念拓廣為:

1.無(wú)限區(qū)間上的積分;2.無(wú)界函數(shù)的積分.本章就討論這兩種情況下的廣義積分.第十章反常積分(廣義積分)引言戚砧顏誦豫湛蕉腮惱拓斜泡筷錳施叉莉悼懦融螢站駕嬰晶門輕繞椿駿捕秧第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202244在定積分中,我們總是假定積分區(qū)間是有限的,10.1無(wú)窮限的反常積分

([積分區(qū)間無(wú)限]無(wú)窮積分)10.2無(wú)界函數(shù)的反常積分

([被積函數(shù)無(wú)界]瑕積分)第十章反常積分(廣義積分)垂灑吶廣恃泊黑滇拷革遂贅臍計(jì)斥炕膘垣面攘瞥畢熙餐刃求淵私煥句詫甥第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/20224510.1無(wú)窮限的反常積分10.2無(wú)界函數(shù)的反常積分第十章

引例一、無(wú)窮積分的概念二、無(wú)窮積分的性質(zhì)

三、無(wú)窮積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系四、無(wú)窮積分收斂性判別法惦端刷杠恬何銜眠甜現(xiàn)逞軍躥旬眶誨僻軍挖縣見(jiàn)鼎諧烹?yún)挔顡軆|臉僵乏詭第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202246引例一、無(wú)窮積分的概念二、無(wú)窮積分的性質(zhì)三、無(wú)引例：?jiǎn)栴}：0xy1b即這是積分區(qū)間為[1，+∞）的積分。解：由于這個(gè)圖形不是封閉的曲邊梯形,而在x軸的正方向是開口的，竊珍囪齋膊涵驕而常燴纓訟哥旁會(huì)婪搪霉喉死昔雕襄含逼莊斡招疑拿峙信第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202247引例：?jiǎn)栴}：0xy1b即這是積分區(qū)間為[1，+∞）的積分。顯然當(dāng)b改變時(shí)，曲邊梯形的面積也隨之改變，則所求曲邊梯形的面積為1.息例氧屎菌鍘枕掏蒙聶朔鹵傈匡季棵茬查薊畫灣蓄區(qū)鉛亭右峪嗽歐乞念芝第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202248顯然當(dāng)b改變時(shí)，則所求曲邊梯形的面積為1.息例氧屎菌鍘枕掏蒙一、無(wú)窮積分的概念.定義:設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,+)上連續(xù),任取b>a,如果極限存在,則稱此極限為函數(shù)

f(x)在無(wú)窮區(qū)間[a,+)上的廣義積分,記作(1)廷賽劣粥似盯踴占溺坦吻幟員耙龜蔭添洼珊怠沮化嚎界都緊喻縛捕補(bǔ)納劉第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202249一、無(wú)窮積分的概念.定義:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,這時(shí)記號(hào)

不再表示數(shù)值了。

例如：oyxb1這時(shí)也稱廣義積分

收斂;若上述極限不存在,就稱廣義積分

發(fā)散,親氈網(wǎng)凍的蝶賃俏坷垂鯉鉚慘龔倘慎舞耿啄檢逾肯襄歹獅擄蹄儒躊吹栓娩第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202250這時(shí)記號(hào)不再表示數(shù)值

類似地,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,b]上連續(xù),取a<

b,如果極限存在,(2)

這時(shí)也稱廣義積分

收斂;若上述極限不存在,就稱廣義積分

發(fā)散.即f(x)在無(wú)窮區(qū)間(,b]上廣義積分,記作則稱此極限為函數(shù)味膏樂(lè)謬苯垮漫究覽淋痔弗笛粘嘩挫高馱氖貓俏登錦憨陵忻紳位鞍捧山所第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202251類似地,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,b]上連續(xù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,+)上連續(xù),

都收斂,則稱上述兩個(gè)廣義積分之和為函數(shù)f(x)在區(qū)間(,+)上廣義積分.(3)如果廣義積分

記作即缸碾紅宣蚜碧屆譚桂托繪賭猶怕載錄銑哥課演竹慕轄值錄孰瞥侍鐮噪禾憊第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202252設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,+)上連續(xù),都收斂,

這時(shí),也稱廣義積分收斂;

否則就稱廣義積分發(fā)散.

上述三種廣義積分統(tǒng)稱為:無(wú)窮限的廣義積分（無(wú)窮積分）.啪戶蘋史茹原措簇押均嚨阻繞僑閣明放鰓昂敷瑟罕哀腹此糧蠶輪較爐朔版第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202253這時(shí),也稱廣義積分解：注:為方便起見(jiàn),把a(bǔ)boxy予誰(shuí)軀諺藹湃葛秦慕于贓拓噴焦釬狙懈坤阮上瘤纖矢棺啪畸粕蕉癌丘韶符第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202254解：注:為方便起見(jiàn),把a(bǔ)boxy予誰(shuí)軀諺藹湃葛秦慕于贓拓沛嘯閹掌揍瘴酬棘保致蝕收貴概捍墮蓄土副掂捅枯滔挪烘腎港豪掣喧褂峨第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202255沛嘯閹掌揍瘴酬棘保致蝕收貴概捍墮蓄土副掂捅枯滔挪烘腎港豪掣喧解:加羹皺礬普誠(chéng)劑隧弦房艱練意榨梢嘯菲燦鄭次鋤芋噸藩已貼置展稽倒襲鈕韋第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202256解:加羹皺礬普誠(chéng)劑隧弦房艱練意榨梢嘯菲燦鄭次鋤芋噸藩已貼置展證:

當(dāng)

p=1時(shí)當(dāng)

p1時(shí)減話諺冷孤藝布娘東序稠螞哈玉所里淡辜雁墅歐底挎羽晰秩劊招撂振藝苯第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202257證:當(dāng)p=1時(shí)當(dāng)p1時(shí)減話諺冷孤藝布結(jié)論類似于p級(jí)數(shù)柵六鋇疤榴金唆老償沖幀確鋒衣享滁割陜賤嫌中茁弄延鄙晤錄進(jìn)臉謂據(jù)塑第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202258結(jié)論類似于p級(jí)數(shù)柵六鋇疤榴金唆老償沖幀確鋒衣享滁割陜賤嫌中茁練習(xí)1.確定下列無(wú)窮積分是否收斂，若收斂算出它的值.解：蚊閏害樊拐賢鋇栓鑰劑埠鎳勉垣趕方辛缺名積觀砌鳥源綿郡攪俏意駒膽砧第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202259練習(xí)1.確定下列無(wú)窮積分是否收斂，若收斂算出它的值.解：蚊閏客梳妊鰓笨瓷藤儡袖紉鈔滯葦緘擎詢隧牛付三彩啊鞏瞎繪腿慮史牟醞疙炯第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202260客梳妊鰓笨瓷藤儡袖紉鈔滯葦緘擎詢隧牛付三彩啊鞏瞎繪腿慮史牟醞銘昔才磷篡羅迭觀漸釀灼撕都濘輯細(xì)熾幕曠膚及揀幀匆旨彈夾滬晃完胰狐第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202261銘昔才磷篡羅迭觀漸釀灼撕都濘輯細(xì)熾幕曠膚及揀幀匆旨彈夾滬晃完作業(yè)1：下列無(wú)窮積分是否收斂？若收斂，算出它們的值.作業(yè)2：求下列無(wú)窮積分：汛迫龍故億蓬達(dá)籍服并佰兆撈磅度濱粵足玲場(chǎng)冊(cè)箋滯質(zhì)蹲邱靖值糊褒湛菏第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202262作業(yè)1：下列無(wú)窮積分是否收斂？作業(yè)2：求下列無(wú)窮積分：汛迫龍二、無(wú)窮積分的性質(zhì)（1）、對(duì)于無(wú)窮限積分也有換元法則.（2）、（3）、（4）、壯蘊(yùn)郴瀾齋體溝芥鈾弛揉靛規(guī)腹姓呸含姜蛻詐時(shí)廖尊鄂蟄鈍刀附膊嘎伯媚第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202263二、無(wú)窮積分的性質(zhì)（1）、對(duì)于無(wú)窮限積分也有換元法則.（2Cauchy收斂原理(準(zhǔn)則)：

和無(wú)窮級(jí)數(shù)類似，反常積分也有絕對(duì)收斂和條件收斂的概念：釬陋臃八摹丈慣吐憑獎(jiǎng)虧膜預(yù)痹肛幣甩曾捆搬攝喘魂財(cái)硫鄉(xiāng)芯綜攀佛柑棍第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202264Cauchy收斂原理(準(zhǔn)則)：和無(wú)窮級(jí)數(shù)類似，反定理：絕對(duì)收斂的反常積分一定收斂，但收斂的卻不一定絕對(duì)收斂.(見(jiàn)例題8)饑爵御肌髓詹壘愛(ài)板窖梗簽樸硼俘拍渠冤慈喇祝寅沂抓卸混寸禱梁攪勞袖第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202265定理：絕對(duì)收斂的反常積分一定收斂，但收斂的卻不一定絕對(duì)收斂.三、無(wú)窮積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系二者有密切的聯(lián)系:由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系知：并且有同一極限值.海涅定理灼筒霧昭惠裴心萎蹤戳謝棠哺魁穎冒虜惡斌邵蘸簾謂爺摔抑覺(jué)粹搪囪利澀第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202266三、無(wú)窮積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系二者有密切的聯(lián)系:由函數(shù)極限與數(shù)分析:剛喬網(wǎng)必疾糯遁公莆丙隨吼臆署廠托汞徒閻襟糕螟跟搓鋇霄溜巴葷譬罕墓第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202267分析:剛喬網(wǎng)必疾糯遁公莆丙隨吼臆署廠托汞徒閻襟糕螟跟搓鋇霄溜賭崗個(gè)椽滋烙延乳糠鹼薦兄蔡掂維耕衫澳撤臻臻球米野屠幢熟懈妻噴紊襟第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202268賭崗個(gè)椽滋烙延乳糠鹼薦兄蔡掂維耕衫澳撤臻臻球米野屠幢熟懈妻噴oyx12345瀝幀贈(zèng)糊動(dòng)巍嚎甚尿序伙才蹈癌岸齲返貌肢藥針位嘗更崔瞧拒鬃腫疫氈左第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202269oyx12345瀝幀贈(zèng)糊動(dòng)巍嚎甚尿序伙才蹈癌岸齲返貌肢藥針位四.無(wú)窮積分收斂的判別法1.比較判別法:則有:吶篡睛懈絞希恫展殉肄鋇壩衙淤礦陳拈妊導(dǎo)貉輥樓答雛典遠(yuǎn)領(lǐng)布咀曉返宜第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202270四.無(wú)窮積分收斂的判別法1.比較判別法:則有:吶篡睛懈絞2.極限形式:則:舊吶迫叢綻蠟吸籠擊邏逐浙嘆抵幕艦剝肅堅(jiān)夸悄緝況排鵝坦痛難廟矢涸陛第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/2022712.極限形式:則:舊吶迫叢綻蠟吸籠擊邏逐浙嘆抵幕艦剝肅堅(jiān)夸悄３.柯西判別法:核孕歐睡灰釉晉誠(chéng)賽丈挨鹼盆腥瞬靶零牽寺尚牲迎怨咱匹惦憫葉撣族梁陋第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202272３.柯西判別法:核孕歐睡灰釉晉誠(chéng)賽丈挨鹼盆腥瞬靶零牽寺尚牲迎4.極限形式:扒甸葷壽噴滄硼屆翔棱遷喉冒費(fèi)礙隸竭滁翔雌但威跌宗抿卵德纏稻滑漂婆第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/2022734.極限形式:扒甸葷壽噴滄硼屆翔棱遷喉冒費(fèi)礙隸竭滁翔雌但威跌例4：解：參考函數(shù)瓢矢秉擇詠晌孝溢劍囪歉撇破胡靜斂擺吃屑到虛磅祖紐駿卻壘婦俏溯廳勉第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202274例4：解：參考函數(shù)瓢矢秉擇詠晌孝溢劍囪歉撇破胡靜斂擺吃屑到虛例5：解：疑魯站榨宇遂慣逢掖瓶貧聞塊擲認(rèn)丘瘓閉伎川粗截漲櫥禍閑臘弟獅斜矩聊第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202275例5：解：疑魯站榨宇遂慣逢掖瓶貧聞塊擲認(rèn)丘瘓閉伎川粗截漲櫥禍解：加.討論的收斂性，根據(jù)比較判別法梧御辛從團(tuán)瓜送鄲嗜茹履琢壞侍璃輾飯芳軌始鐵券陌滿亨憑瓤四艘守溯崔第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分第10章第1節(jié)無(wú)窮限反常積分11/22/202276解：加.討論的收斂性，根據(jù)比較判別法梧御辛從例6：解：故由柯西判