工程應(yīng)用數(shù)學(xué)電子教案 拉普拉斯變換課件

第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計算拉普拉斯逆變換的計算拉普拉斯變換的應(yīng)用用Matlab進行拉普拉斯運算引子第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計1拉普拉斯變換的作用（1）求解常系數(shù)線性微分方程的有力工具（2）分析和綜合自動控制系統(tǒng)的運動過程和脈沖電路的工作過程中有廣泛應(yīng)用拉普拉斯變換的作用（1）求解常系數(shù)線性微分方程的有力工具（2拉普拉斯變換的知識網(wǎng)絡(luò)圖拉普拉斯變換的概念常用函數(shù)的拉普拉斯變換拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換表的使用拉普拉斯逆變換拉普拉斯變換的應(yīng)用拉普拉斯變換的知識網(wǎng)絡(luò)圖拉普拉斯變換的概念常用函數(shù)的拉普拉斯3第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計算拉普拉斯逆變換的計算拉普拉斯變換的應(yīng)用用Matlab進行拉普拉斯運算第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計4引例

在研究激勵和響應(yīng)系統(tǒng)之間的關(guān)系時（建立的函數(shù)關(guān)系式通常是一種線性微分方程），主要是通過研究傳遞函數(shù)（響應(yīng)函數(shù)的拉普拉斯變換與激勵函數(shù)的拉普拉斯變換之比），建立微分方程模型解決問題的，因此，拉普拉斯變換是經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).在電路理論和自動控制理論中，通常把系統(tǒng)的外加電動勢看成這個系統(tǒng)隨時間變化的輸入函數(shù)，稱為激勵函數(shù)

，而把電容器兩端的電壓看成是系統(tǒng)隨時間變化的輸出函數(shù)，叫做響應(yīng)函數(shù)，如圖. 激勵系統(tǒng)特性響應(yīng)引例 在電路理論和自動控制理論中，通常把系統(tǒng)的外加電動勢5引例

——轉(zhuǎn)化為拉普拉斯變換后解決問題

那么什么叫拉普拉斯變換呢？在電氣工程學(xué)科中還經(jīng)常會出現(xiàn)的積分問題，但由于是發(fā)散的，因此無法進行計算，在這種情況下，一般都是通過將函數(shù)乘上因子變成絕對可積函數(shù)后解決問題的.拉普拉斯變換的實質(zhì)是什么呢？

引例——轉(zhuǎn)化為拉普拉斯變換后解決問題那么什么叫拉普拉斯變6定義

或定義或7注意：（2）拉氏變換的本質(zhì)是一種積分變換例如：又如：注意：（2）拉氏變換的本質(zhì)是一種積分變換例如：又如：8第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計算拉普拉斯逆變換的計算拉普拉斯變換的應(yīng)用用Matlab進行拉普拉斯運算第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計9求一個給定函數(shù)的拉氏變換，可用方法二：基本公式法

方法三：性質(zhì)法

方法一：定義法

求一個給定函數(shù)的拉氏變換，可用方法二：基本公式法方法三：10方法二：基本公式法

方法三：性質(zhì)法

方法一：定義法

方法二：基本公式法方法三：性質(zhì)法方法一：定義法11例

求函數(shù)的拉氏變換解

由拉氏變換的定義例求函數(shù)的拉氏變換解由拉氏變換12案例

在自動控制系統(tǒng)中，由于開關(guān)的閉合或信號的突變等原因，系統(tǒng)中經(jīng)常會出現(xiàn)一個“突加作用信號”，用函數(shù)表示，如圖.試求它的拉氏變換.案例在自動控制系統(tǒng)中，由于開關(guān)的閉合或信號的突變試求它的拉13解

由拉氏變換的定義注意:

1、這個結(jié)論成立的條件是，否則積分不收收斂2、單位階躍函數(shù)向右平移個單位后，解析式為解由拉氏變換的定義注意:1、這個結(jié)論成立的條件是14案例

在研究跟隨系統(tǒng)時，經(jīng)常以一種由弱到強做均勻變化的信號作為典型的輸入信號，這種信號函數(shù)稱為斜坡函數(shù)，記為：（為常數(shù)），試求該函數(shù)的拉氏變換.解

由拉氏變換的定義同樣，結(jié)論成立的條件是案例在研究跟隨系統(tǒng)時，經(jīng)常以一種由弱到強做均勻變化的信解15在自動控制系統(tǒng)中，瞬時的擾動（沖擊）信號常用單位脈沖函數(shù)表示，如圖.在研究線性電路在脈沖電動勢作用后所產(chǎn)生的電流，機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等也要用到，它的拉氏變換等于1注意：

單位階躍函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)即為單位脈沖函數(shù)，反之，單位脈沖函數(shù)對時間的積分即為單位階躍函數(shù)在自動控制系統(tǒng)中，瞬時的擾動（沖擊）信號常用在研究線性電路在16例試求單位脈沖函數(shù)的拉氏變換解例試求單位脈沖函數(shù)的拉氏變換解17例求函數(shù)的拉氏變換解例求函數(shù)的拉氏變換解18例解根據(jù)定義求函數(shù)的拉氏變換例解根據(jù)定義求函數(shù)的拉氏變換19方法二：基本公式法

方法三：性質(zhì)法

方法一：定義法

方法二：基本公式法方法三：性質(zhì)法方法一：定義法20工程應(yīng)用數(shù)學(xué)電子教案第三章拉普拉斯變換課件21方法二：基本公式法

方法三：性質(zhì)法

方法一：定義法

方法二：基本公式法方法三：性質(zhì)法方法一：定義法22引例

在信號系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)的不穩(wěn)定或外界因素的影響，我們經(jīng)常會碰到信號強弱跳動的情況，因此常用分段信號函數(shù)表示這種情況，試將它用一個式子表示出來引例在信號系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)的不穩(wěn)定或外界因素的影響，23解

根據(jù)單位階躍函數(shù)的性質(zhì)知所以有解根據(jù)單位階躍函數(shù)的性質(zhì)知所以有24那么如何求該函數(shù)的拉氏變換呢？一般地，利用拉氏變換的性質(zhì)求解復(fù)雜函數(shù)的拉氏變換那么如何求該函數(shù)的拉氏變換呢？一般地，利用拉氏變換的性質(zhì)求25拉氏變換的性質(zhì)

性質(zhì)1【線性性質(zhì)】若為常數(shù)，函數(shù)的拉氏變換存在，且則表明：函數(shù)線性組合的拉普拉斯變換等于函數(shù)拉普拉斯變換的線性組合。性質(zhì)1可以推廣到有限個函數(shù)的線性組合形式。拉氏變換的性質(zhì)性質(zhì)1【線性性質(zhì)】若為常數(shù)，函數(shù)26例

解

查公式法的表可知所以例解查公式法的表可知所以27例

解

查公式法的表可知例解查公式法的表可知28性質(zhì)2【位移性質(zhì)】性質(zhì)2【位移性質(zhì)】29例

解

求的拉普拉斯變換因為所以，由性質(zhì)2知例解求的拉普拉斯30例

解

求的拉普拉斯變換因為所以，由性質(zhì)2知例解求31性質(zhì)3【延滯性質(zhì)】性質(zhì)3【延滯性質(zhì)】32例

解

求的拉普拉斯變換由滯后性質(zhì)及例解求33例

解

求圖示階梯函數(shù)的拉普拉斯變換該階梯函數(shù)可用單位階梯函數(shù)表示為：例解求圖示階梯函數(shù)的拉普拉斯變換該階梯函數(shù)可用單位階梯函34上式兩端取拉氏變換，并根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)及滯后性質(zhì)，得上式兩端取拉氏變換，并根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)35性質(zhì)4【微分性質(zhì)】表明：一個函數(shù)求導(dǎo)后的拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換乘以參數(shù)，再減去該函數(shù)的初值性質(zhì)4【微分性質(zhì)】表明：一個函數(shù)求導(dǎo)后的拉氏變換等于這個函數(shù)36類似地，利用微分性質(zhì)及其推論，可將函數(shù)的微分方程轉(zhuǎn)化為象函數(shù)的代數(shù)方程，給解微分方程提供了簡便的方法類似地，利用微分性質(zhì)及其推論，可將函數(shù)的微分方程轉(zhuǎn)37例

求解

例求解38例

利用微分性質(zhì)求函數(shù)的拉氏變換解

由微分性質(zhì)得例利用微分性質(zhì)求函數(shù)的39例

求解

根據(jù)拉普拉斯變換的位移性質(zhì)根據(jù)微分性質(zhì)例求解根據(jù)拉普拉斯變換的位移性質(zhì)根據(jù)微分性質(zhì)40性質(zhì)5【積分性質(zhì)】表明：一個函數(shù)積分后取拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換除以類似地，特別地，當時，性質(zhì)5【積分性質(zhì)】表明：一個函數(shù)積分后取拉氏變換等于這個函數(shù)41例

求函數(shù)的拉氏變換解

所以由積分性質(zhì)例求函數(shù)42例

解

求根據(jù)性質(zhì)又根據(jù)性質(zhì)例解求根據(jù)性質(zhì)又根據(jù)性質(zhì)43工程應(yīng)用數(shù)學(xué)電子教案第三章拉普拉斯變換課件44性質(zhì)6【相似性質(zhì)】案例【系統(tǒng)穩(wěn)定性】在自動控制系統(tǒng)中，為研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能（即函數(shù)在時的數(shù)值），因此經(jīng)常需要求函數(shù)的初始值和終值。性質(zhì)6【相似性質(zhì)】案例【系統(tǒng)穩(wěn)定性】在自動控制系統(tǒng)中，為研究45性質(zhì)7【初值定理】性質(zhì)8【終值定理】性質(zhì)7【初值定理】性質(zhì)8【終值定理】46例

解

設(shè)求例解設(shè)47例

解

設(shè)求例解設(shè)48第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計算拉普拉斯逆變換的計算拉普拉斯變換的應(yīng)用用Matlab進行拉普拉斯運算第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計49引例

在自動控制的一階線性系統(tǒng)中，有一種典型一階系統(tǒng)，其輸入信號為單位階躍函數(shù)，為研究系統(tǒng)輸出信號的變化規(guī)律，需要掌握該系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)（輸出信號函數(shù)）.引例在自動控制的一階線性系統(tǒng)中，有一種典型一階系統(tǒng)，50解

根據(jù)自動控制系統(tǒng)的知識，典型一階系統(tǒng)的微分方程為對微分方程兩邊進行拉氏變換，且設(shè)解根據(jù)自動控制系統(tǒng)的知識，典型一階系統(tǒng)的微分方程為對微分方51由于系統(tǒng)為典型一階系統(tǒng)，已求出了輸出信號函數(shù)的拉氏變換，那么如何求輸出信號函數(shù)呢？由于系統(tǒng)為典型一階系統(tǒng)，已求出了輸出信號函數(shù)的拉氏變換，52拉氏逆變換的求法定義

記為由拉氏變換的象函數(shù)求原函數(shù)的運算稱為拉氏逆變換（或拉氏反變換）拉氏逆變換的求法定義記為由拉氏變換的象函數(shù)求原53拉氏逆變換的性質(zhì)性質(zhì)1【線性性質(zhì)】性質(zhì)2【平移性質(zhì)】性質(zhì)3【延滯性質(zhì)】拉氏逆變換的性質(zhì)性質(zhì)1【線性性質(zhì)】性質(zhì)2【平移性質(zhì)】性質(zhì)3【54拉普拉斯逆變換的求法直接查表法性質(zhì)法拉普拉斯逆變換的求法直接查表法性質(zhì)法55例

解

求下列函數(shù)的拉氏逆變換1）將代入公式表中的公式5，得2)因為例解求下列函數(shù)的拉氏逆變換1）將代入公式表中的56例

解

求下列函數(shù)的拉氏逆變換1）由公式知2)例解求下列函數(shù)的拉氏逆變換1）由公式57如果象函數(shù)比較復(fù)雜，不能從表中直接找到，可先把象函數(shù)分成若干個簡單象函數(shù)之和，然后再逐項查表（或應(yīng)用拉氏變換的性質(zhì)）求象原函數(shù)。Tips:如果象函數(shù)比較復(fù)雜，不能從表中直接找到，可先把Tips:58在運用拉氏變換解決工程技術(shù)中的應(yīng)用問題時，通常遇到的象函數(shù)是有理分式.對于有理分式，一般可采用部分分式方法將它分解為較簡單的分式之和，方法如下：第一步

先求出方程的根第二步

如果沒有重根，則將寫成在運用拉氏變換解決工程技術(shù)中的應(yīng)用問題時，通常遇到第一步先59再將上式展開成部分分式其中為待定常數(shù).通過查表就可以求得象函數(shù)的象原函數(shù).如果有重根，如是重根，則將寫成再將上式展開成部分分式再將上式展開成部分分式其中60例

解

求下列象函數(shù)的逆變換1）例解求下列象函數(shù)的逆變換1）612)因為有理式的分母無實根，所以無法用部分分式法把它分解成幾個簡單象函數(shù)的和，于是

2)因為有理式的分母無實62注意:

一般地

因式分解法配方法注意:一般地

因式分解法配方法63例

解

求象函數(shù)的逆變換因為分母中，的查表例解求象函數(shù)64第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計算拉普拉斯逆變換的計算拉普拉斯變換的應(yīng)用用Matlab進行拉普拉斯運算第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計65用拉普拉斯變換解微分方程拉氏變換求解微分方程的步驟：

1)對微分方程的兩邊取拉氏變換，得象函數(shù)代數(shù)方程；2)由代數(shù)方程求象函數(shù)；3)對象函數(shù)取拉氏逆變換，求出象原函數(shù)(即微分方程的解).用拉普拉斯變換解微分方程拉氏變換求解微分方程的步驟：1)66用圖表示如下：

微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程象原函數(shù)(原方程的解)象函數(shù)取拉氏變換解代數(shù)方程取拉氏逆變換用圖表示如下：

微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程象原函數(shù)象函數(shù)67例

解

求微分方程，滿足初始條件的特解對方程兩邊進行拉氏變換，且設(shè)由拉氏變換的微分性質(zhì)知由初始條件為得例解求微分方程68解出，并分解象函數(shù)，得兩邊取拉氏逆變換，得解出，并分解象函數(shù)，得兩邊取拉氏逆變換，得69運用拉氏變換求微分方程的解，以下幾個結(jié)論非常重要：運用拉氏變換求微分方程的解，以下幾個結(jié)論非常重要：70例

解

求微分方程滿足初始條件的解對方程兩邊進行拉氏變換，且設(shè)例解求微分方程滿71由此得由此得72例

解

求微分方程組滿足初始條件的解對方程組中每個方程的兩邊進行拉氏變換，且設(shè)根據(jù)得例解求微分方程組73代入初始條件，整理得象函數(shù)的代數(shù)方程組解此代數(shù)方程組，得代入初始條件，整理得象函數(shù)的代74對上述兩式取拉氏逆變換，得象原函數(shù)它們就是原方程組滿足初始條件的特解.對上述兩式取拉氏逆變換，得象原函數(shù)它們就是原方程組滿足初始條75案例【系統(tǒng)響應(yīng)】已知響應(yīng)函數(shù)的拉氏變換為，試求系統(tǒng)的響應(yīng).解

查表知案例【系統(tǒng)響應(yīng)】已知響應(yīng)函數(shù)的拉氏變換為76案例【斜坡系統(tǒng)響應(yīng)】求典型一階系統(tǒng)中，輸入信號為單位斜坡函數(shù)的一階線性系統(tǒng)響應(yīng)解

根據(jù)自動控制系統(tǒng)的知識，典型一階系統(tǒng)的微分方程為：對微分方程兩邊進行拉氏變換，且設(shè)案例【斜坡系統(tǒng)響應(yīng)】求典型一階系統(tǒng)中，輸入信號為單位斜坡函數(shù)77由,初始條件為零（即）得由于系統(tǒng)為典型一階系統(tǒng)，對上式兩邊拉氏逆變換，得由,初始條件為零78案例【電路應(yīng)用】在寧波某電子元件公司設(shè)計的電子元件中包含有一個如圖所示的電路,其中電阻為,電感為,電壓為,開關(guān)合上后，電路中有電流通過，試求該電子元件的電路中電流的變化規(guī)律.案例【電路應(yīng)用】在寧波某電子元件公司設(shè)計的電子元件中包含有一79解

由回路電壓定律知對方程兩邊進行拉氏變換，并設(shè)代入初始條件，整理后得解由回路電壓定律知對方程兩邊進行拉氏變換，并設(shè)代入初始80兩邊進行拉氏逆變換，得即為所求的電流變化規(guī)律兩邊進行拉氏逆變換，得即為所求的電流變化規(guī)律81案例【質(zhì)點位移】設(shè)一質(zhì)量為的質(zhì)點，受一大小為的吸引力作用，沿軸方向接近原點，此運動同時受到阻尼力的作用，求質(zhì)點的運動位移.假設(shè).案例【質(zhì)點位移】設(shè)一質(zhì)量為的質(zhì)點，受一大小為82解

根據(jù)題意建立微分方程，得對方程兩邊同時進行拉氏變換，且設(shè)并將初始條件代入得兩邊取拉氏逆變換得解根據(jù)題意建立微分方程，得對方程兩邊同時進行拉氏變換，且83小結(jié)拉普拉斯解應(yīng)用問題的步驟：（1）根據(jù)專業(yè)知識，建立數(shù)學(xué)模型（列出微分方程）；（2）對微分方程的兩邊取拉氏變換，得象函數(shù)代數(shù)方程；（3）由代數(shù)方程求象函數(shù)；（4）對象函數(shù)取拉氏逆變換，求出象原函數(shù)(即微分方程的

解)，從而求出問題的解。小結(jié)拉普拉斯解應(yīng)用問題的步驟：（1）根據(jù)專業(yè)知識，建84第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計算拉普拉斯逆變換的計算拉普拉斯變換的應(yīng)用用Matlab進行拉普拉斯運算第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計85在Matlab中，求拉氏變換的命令為laplace(f)

%求函數(shù)的拉氏變換在Matlab中，求拉氏變換的命令為laplace(f)%86例

解

求下列函數(shù)的拉氏變換（1）symstlaplace(t^3+sin(2*t))ans=6/s^4+2/(s^2+4)

symstlaplace(t*exp(2*t)+cos(3*t))ans=1/(s-2)^2+s/(s^2+9)

（2）例解求下列函數(shù)的拉氏變換（1）symstsymst87例

解

求下列函數(shù)的拉氏變換（1）symstlaplace(t*exp(-2*t)*sin(5*t))ans=10/((s+2)^2+25)^2*(s+2)

例解求下列函數(shù)的拉氏變換（1）symst88（2）symstlaplace((exp(-2*t)*sin(2*t))/t)ans=1/2*pi-atan(1/2*s+1)

（3）symstlaplace(t+2*t^3*exp(3*t))ans=1/s^2+12/(s-3)^4

（2）symst（3）symst89在Matlab中，求拉氏逆變換的命令為ilaplace(L)%求

的拉氏逆變換在Matlab中，求拉氏逆變換的命令為ilaplace(L)90例

解

求下列函數(shù)的拉氏逆變換（1）symssilaplace((2*s+3)/(s^2-2*s+5))ans=2*exp(t)*cos(2*t)+5/2*exp(t)*sin(2*t)例解求下列函數(shù)的拉氏逆變換（1）symss91（2）symssilaplace((2*s-5)/(s^2-5*s+6))ans=exp(2*t)+exp(3*t)

（2）symss92例

解

求下列函數(shù)的拉氏逆變換（1）symssilaplace((2*s+1)/(s^3-s^2-6*s))ans=-1/6-3/10*exp(-2*t)+7/15*exp(3*t)例解求下列函數(shù)的拉氏逆變換（1）symss93（2）symssilaplace(1/(s^2-2*s+10))ans=-1/36*(-36)^(1/2)*(exp((1+1/2*(-36)^(1/2))*t)-exp((1-1/2*(-36)^(1/2))*t))

（2）symss94第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計算拉普拉斯逆變換的計算拉普拉斯變換的應(yīng)用用Matlab進行拉普拉斯運算引子第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計95拉普拉斯變換的作用（1）求解常系數(shù)線性微分方程的有力工具（2）分析和綜合自動控制系統(tǒng)的運動過程和脈沖電路的工作過程中有廣泛應(yīng)用拉普拉斯變換的作用（1）求解常系數(shù)線性微分方程的有力工具（96拉普拉斯變換的知識網(wǎng)絡(luò)圖拉普拉斯變換的概念常用函數(shù)的拉普拉斯變換拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換表的使用拉普拉斯逆變換拉普拉斯變換的應(yīng)用拉普拉斯變換的知識網(wǎng)絡(luò)圖拉普拉斯變換的概念常用函數(shù)的拉普拉斯97第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計算拉普拉斯逆變換的計算拉普拉斯變換的應(yīng)用用Matlab進行拉普拉斯運算第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計98引例

在研究激勵和響應(yīng)系統(tǒng)之間的關(guān)系時（建立的函數(shù)關(guān)系式通常是一種線性微分方程），主要是通過研究傳遞函數(shù)（響應(yīng)函數(shù)的拉普拉斯變換與激勵函數(shù)的拉普拉斯變換之比），建立微分方程模型解決問題的，因此，拉普拉斯變換是經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).在電路理論和自動控制理論中，通常把系統(tǒng)的外加電動勢看成這個系統(tǒng)隨時間變化的輸入函數(shù)，稱為激勵函數(shù)

，而把電容器兩端的電壓看成是系統(tǒng)隨時間變化的輸出函數(shù)，叫做響應(yīng)函數(shù)，如圖. 激勵系統(tǒng)特性響應(yīng)引例 在電路理論和自動控制理論中，通常把系統(tǒng)的外加電動勢99引例

——轉(zhuǎn)化為拉普拉斯變換后解決問題

那么什么叫拉普拉斯變換呢？在電氣工程學(xué)科中還經(jīng)常會出現(xiàn)的積分問題，但由于是發(fā)散的，因此無法進行計算，在這種情況下，一般都是通過將函數(shù)乘上因子變成絕對可積函數(shù)后解決問題的.拉普拉斯變換的實質(zhì)是什么呢？

引例——轉(zhuǎn)化為拉普拉斯變換后解決問題那么什么叫拉普拉斯變100定義

或定義或101注意：（2）拉氏變換的本質(zhì)是一種積分變換例如：又如：注意：（2）拉氏變換的本質(zhì)是一種積分變換例如：又如：102第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計算拉普拉斯逆變換的計算拉普拉斯變換的應(yīng)用用Matlab進行拉普拉斯運算第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計103求一個給定函數(shù)的拉氏變換，可用方法二：基本公式法

方法三：性質(zhì)法

方法一：定義法

求一個給定函數(shù)的拉氏變換，可用方法二：基本公式法方法三：104方法二：基本公式法

方法三：性質(zhì)法

方法一：定義法

方法二：基本公式法方法三：性質(zhì)法方法一：定義法105例

求函數(shù)的拉氏變換解

由拉氏變換的定義例求函數(shù)的拉氏變換解由拉氏變換106案例

在自動控制系統(tǒng)中，由于開關(guān)的閉合或信號的突變等原因，系統(tǒng)中經(jīng)常會出現(xiàn)一個“突加作用信號”，用函數(shù)表示，如圖.試求它的拉氏變換.案例在自動控制系統(tǒng)中，由于開關(guān)的閉合或信號的突變試求它的拉107解

由拉氏變換的定義注意:

1、這個結(jié)論成立的條件是，否則積分不收收斂2、單位階躍函數(shù)向右平移個單位后，解析式為解由拉氏變換的定義注意:1、這個結(jié)論成立的條件是108案例

在研究跟隨系統(tǒng)時，經(jīng)常以一種由弱到強做均勻變化的信號作為典型的輸入信號，這種信號函數(shù)稱為斜坡函數(shù)，記為：（為常數(shù)），試求該函數(shù)的拉氏變換.解

由拉氏變換的定義同樣，結(jié)論成立的條件是案例在研究跟隨系統(tǒng)時，經(jīng)常以一種由弱到強做均勻變化的信解109在自動控制系統(tǒng)中，瞬時的擾動（沖擊）信號常用單位脈沖函數(shù)表示，如圖.在研究線性電路在脈沖電動勢作用后所產(chǎn)生的電流，機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等也要用到，它的拉氏變換等于1注意：

單位階躍函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)即為單位脈沖函數(shù)，反之，單位脈沖函數(shù)對時間的積分即為單位階躍函數(shù)在自動控制系統(tǒng)中，瞬時的擾動（沖擊）信號常用在研究線性電路在110例試求單位脈沖函數(shù)的拉氏變換解例試求單位脈沖函數(shù)的拉氏變換解111例求函數(shù)的拉氏變換解例求函數(shù)的拉氏變換解112例解根據(jù)定義求函數(shù)的拉氏變換例解根據(jù)定義求函數(shù)的拉氏變換113方法二：基本公式法

方法三：性質(zhì)法

方法一：定義法

方法二：基本公式法方法三：性質(zhì)法方法一：定義法114工程應(yīng)用數(shù)學(xué)電子教案第三章拉普拉斯變換課件115方法二：基本公式法

方法三：性質(zhì)法

方法一：定義法

方法二：基本公式法方法三：性質(zhì)法方法一：定義法116引例

在信號系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)的不穩(wěn)定或外界因素的影響，我們經(jīng)常會碰到信號強弱跳動的情況，因此常用分段信號函數(shù)表示這種情況，試將它用一個式子表示出來引例在信號系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)的不穩(wěn)定或外界因素的影響，117解

根據(jù)單位階躍函數(shù)的性質(zhì)知所以有解根據(jù)單位階躍函數(shù)的性質(zhì)知所以有118那么如何求該函數(shù)的拉氏變換呢？一般地，利用拉氏變換的性質(zhì)求解復(fù)雜函數(shù)的拉氏變換那么如何求該函數(shù)的拉氏變換呢？一般地，利用拉氏變換的性質(zhì)求119拉氏變換的性質(zhì)

性質(zhì)1【線性性質(zhì)】若為常數(shù)，函數(shù)的拉氏變換存在，且則表明：函數(shù)線性組合的拉普拉斯變換等于函數(shù)拉普拉斯變換的線性組合。性質(zhì)1可以推廣到有限個函數(shù)的線性組合形式。拉氏變換的性質(zhì)性質(zhì)1【線性性質(zhì)】若為常數(shù)，函數(shù)120例

解

查公式法的表可知所以例解查公式法的表可知所以121例

解

查公式法的表可知例解查公式法的表可知122性質(zhì)2【位移性質(zhì)】性質(zhì)2【位移性質(zhì)】123例

解

求的拉普拉斯變換因為所以，由性質(zhì)2知例解求的拉普拉斯124例

解

求的拉普拉斯變換因為所以，由性質(zhì)2知例解求125性質(zhì)3【延滯性質(zhì)】性質(zhì)3【延滯性質(zhì)】126例

解

求的拉普拉斯變換由滯后性質(zhì)及例解求127例

解

求圖示階梯函數(shù)的拉普拉斯變換該階梯函數(shù)可用單位階梯函數(shù)表示為：例解求圖示階梯函數(shù)的拉普拉斯變換該階梯函數(shù)可用單位階梯函128上式兩端取拉氏變換，并根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)及滯后性質(zhì)，得上式兩端取拉氏變換，并根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)129性質(zhì)4【微分性質(zhì)】表明：一個函數(shù)求導(dǎo)后的拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換乘以參數(shù)，再減去該函數(shù)的初值性質(zhì)4【微分性質(zhì)】表明：一個函數(shù)求導(dǎo)后的拉氏變換等于這個函數(shù)130類似地，利用微分性質(zhì)及其推論，可將函數(shù)的微分方程轉(zhuǎn)化為象函數(shù)的代數(shù)方程，給解微分方程提供了簡便的方法類似地，利用微分性質(zhì)及其推論，可將函數(shù)的微分方程轉(zhuǎn)131例

求解

例求解132例

利用微分性質(zhì)求函數(shù)的拉氏變換解

由微分性質(zhì)得例利用微分性質(zhì)求函數(shù)的133例

求解

根據(jù)拉普拉斯變換的位移性質(zhì)根據(jù)微分性質(zhì)例求解根據(jù)拉普拉斯變換的位移性質(zhì)根據(jù)微分性質(zhì)134性質(zhì)5【積分性質(zhì)】表明：一個函數(shù)積分后取拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換除以類似地，特別地，當時，性質(zhì)5【積分性質(zhì)】表明：一個函數(shù)積分后取拉氏變換等于這個函數(shù)135例

求函數(shù)的拉氏變換解

所以由積分性質(zhì)例求函數(shù)136例

解

求根據(jù)性質(zhì)又根據(jù)性質(zhì)例解求根據(jù)性質(zhì)又根據(jù)性質(zhì)137工程應(yīng)用數(shù)學(xué)電子教案第三章拉普拉斯變換課件138性質(zhì)6【相似性質(zhì)】案例【系統(tǒng)穩(wěn)定性】在自動控制系統(tǒng)中，為研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能（即函數(shù)在時的數(shù)值），因此經(jīng)常需要求函數(shù)的初始值和終值。性質(zhì)6【相似性質(zhì)】案例【系統(tǒng)穩(wěn)定性】在自動控制系統(tǒng)中，為研究139性質(zhì)7【初值定理】性質(zhì)8【終值定理】性質(zhì)7【初值定理】性質(zhì)8【終值定理】140例

解

設(shè)求例解設(shè)141例

解

設(shè)求例解設(shè)142第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計算拉普拉斯逆變換的計算拉普拉斯變換的應(yīng)用用Matlab進行拉普拉斯運算第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計143引例

在自動控制的一階線性系統(tǒng)中，有一種典型一階系統(tǒng)，其輸入信號為單位階躍函數(shù)，為研究系統(tǒng)輸出信號的變化規(guī)律，需要掌握該系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)（輸出信號函數(shù)）.引例在自動控制的一階線性系統(tǒng)中，有一種典型一階系統(tǒng)，144解

根據(jù)自動控制系統(tǒng)的知識，典型一階系統(tǒng)的微分方程為對微分方程兩邊進行拉氏變換，且設(shè)解根據(jù)自動控制系統(tǒng)的知識，典型一階系統(tǒng)的微分方程為對微分方145由于系統(tǒng)為典型一階系統(tǒng)，已求出了輸出信號函數(shù)的拉氏變換，那么如何求輸出信號函數(shù)呢？由于系統(tǒng)為典型一階系統(tǒng)，已求出了輸出信號函數(shù)的拉氏變換，146拉氏逆變換的求法定義

記為由拉氏變換的象函數(shù)求原函數(shù)的運算稱為拉氏逆變換（或拉氏反變換）拉氏逆變換的求法定義記為由拉氏變換的象函數(shù)求原147拉氏逆變換的性質(zhì)性質(zhì)1【線性性質(zhì)】性質(zhì)2【平移性質(zhì)】性質(zhì)3【延滯性質(zhì)】拉氏逆變換的性質(zhì)性質(zhì)1【線性性質(zhì)】性質(zhì)2【平移性質(zhì)】性質(zhì)3【148拉普拉斯逆變換的求法直接查表法性質(zhì)法拉普拉斯逆變換的求法直接查表法性質(zhì)法149例

解

求下列函數(shù)的拉氏逆變換1）將代入公式表中的公式5，得2)因為例解求下列函數(shù)的拉氏逆變換1）將代入公式表中的150例

解

求下列函數(shù)的拉氏逆變換1）由公式知2)例解求下列函數(shù)的拉氏逆變換1）由公式151如果象函數(shù)比較復(fù)雜，不能從表中直接找到，可先把象函數(shù)分成若干個簡單象函數(shù)之和，然后再逐項查表（或應(yīng)用拉氏變換的性質(zhì)）求象原函數(shù)。Tips:如果象函數(shù)比較復(fù)雜，不能從表中直接找到，可先把Tips:152在運用拉氏變換解決工程技術(shù)中的應(yīng)用問題時，通常遇到的象函數(shù)是有理分式.對于有理分式，一般可采用部分分式方法將它分解為較簡單的分式之和，方法如下：第一步

先求出方程的根第二步

如果沒有重根，則將寫成在運用拉氏變換解決工程技術(shù)中的應(yīng)用問題時，通常遇到第一步先153再將上式展開成部分分式其中為待定常數(shù).通過查表就可以求得象函數(shù)的象原函數(shù).如果有重根，如是重根，則將寫成再將上式展開成部分分式再將上式展開成部分分式其中154例

解

求下列象函數(shù)的逆變換1）例解求下列象函數(shù)的逆變換1）1552)因為有理式的分母無實根，所以無法用部分分式法把它分解成幾個簡單象函數(shù)的和，于是

2)因為有理式的分母無實156注意:

一般地

因式分解法配方法注意:一般地

因式分解法配方法157例

解

求象函數(shù)的逆變換因為分母中，的查表例解求象函數(shù)158第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計算拉普拉斯逆變換的計算拉普拉斯變換的應(yīng)用用Matlab進行拉普拉斯運算第三章拉普拉斯變換

引子拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的計159用拉普拉斯變換解微分方程拉氏變換求解微分方程的步驟：

1)對微分方程的兩邊取拉氏變換，得象函數(shù)代數(shù)方程；2)由代數(shù)方程求象函數(shù)；3)對象函數(shù)取拉氏逆變換，求出象原函數(shù)(即微分方程的解).用拉普拉斯變換解微分方程拉氏變換求解微分方程的步驟：1)160用圖表示如下：

微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程象原函數(shù)(原方程的解)象函數(shù)取拉氏變換解代數(shù)方程取拉氏逆變換用圖表示如下：

微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程象原函數(shù)象函數(shù)161例

解

求微分方程，滿足初始條件的特解對方程兩邊進行拉氏變換，且設(shè)由拉氏變換的微分性質(zhì)知由初始條件為得例解求微分方程162解出，并分解象函數(shù)，得兩邊取拉氏逆變換，得解出，并分解象函數(shù)，得兩邊取拉氏逆變換，得163運用拉氏變換求微分方程的解，以下幾個結(jié)論非常重要：運用拉氏變換求微分方程的解，以下幾個結(jié)論非常重要：164例

解

求微分方程滿足初始條件的解對方程兩邊進行拉氏變換，且設(shè)例解求微分方程滿165由此得由此得166例

解

求微分方程組滿足初始條件的解對方程組中每個方程的兩邊進行拉氏變換，且設(shè)根據(jù)得例解求微分方程組167代入初始條件，整理得象函數(shù)的代數(shù)方程組解此代數(shù)方程組，得代入初始條件，整理得象函數(shù)的代168對上述兩式取拉氏逆變換，得象原函數(shù)它們就是原方程組滿足初始條件的特解.對上述兩式取拉氏逆變換，得象原函數(shù)它們就是原方程組滿足初始條169案例【系統(tǒng)響應(yīng)】已知響應(yīng)函數(shù)的拉氏變換為，試求系統(tǒng)的響應(yīng).解

查表知案例【系統(tǒng)響應(yīng)】已知響應(yīng)函數(shù)的拉氏變換為170案例【斜坡系統(tǒng)響應(yīng)】求典型一階系統(tǒng)中，輸入信號為單位斜坡函數(shù)的一階線性系統(tǒng)響應(yīng)解

根據(jù)自動控制系統(tǒng)的知識，典型一階系統(tǒng)的微分方程為：對微分方程兩邊進行拉氏變換，且設(shè)案例【斜坡系統(tǒng)響應(yīng)】求典型一階系統(tǒng)中，輸入信號為單位斜坡函數(shù)171由,初始條件為零（即）得由于系統(tǒng)為典型一階系統(tǒng)，對上式兩邊拉氏逆變換，得由,初始條件為零172案例【電路應(yīng)用】在寧波某電子元件公司設(shè)計的電子元件中包含有一個如圖所示的電路,其中電阻為,電感為,電壓為,開關(guān)合上后，電路中有電流通過，試求該電子元件的電路中電流的變化規(guī)律.案例【電路應(yīng)用】在寧波某電子元件公司設(shè)計的電子元件中包含有一173解

由回路電壓定律知對方程兩邊進行拉氏變換，并設(shè)代入初始條件，