八年級數(shù)學(xué)上冊第一章勾股定理3勾股定理的應(yīng)用課件(新版)北師大版

初中數(shù)學(xué)（北師大版）八年級上冊第一章勾股定理初中數(shù)學(xué)（北師大版）第一章勾股定理知識點一

圓柱側(cè)面上兩點間的最短距離圓柱側(cè)面的展開圖是一個長方形.圓柱側(cè)面上兩點之間最短距離的

求法是把圓柱側(cè)面展開成平面圖形,依據(jù)兩點之間線段最短,以最短路

線為斜邊構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求解.3勾股定理的應(yīng)用知識點一

圓柱側(cè)面上兩點間的最短距離3勾股定理的應(yīng)用2例1如圖1-3-1所示,一個圓柱體高20cm,底面半徑為5cm,在圓柱體下

底面的A點處有一只蜘蛛,它想吃到上底面與A點相對的B點處的一只已

被粘住的蒼蠅,這只蜘蛛從A點出發(fā),沿著圓柱體的側(cè)面爬到B點,最短路

程是多少?(π取3)

圖1-3-13勾股定理的應(yīng)用例1如圖1-3-1所示,一個圓柱體高20cm,底面半徑為3解析如圖1-3-2所示,將圓柱側(cè)面沿AC剪開并展平,連接AB,則AB的長

即為蜘蛛爬行的最短路程.根據(jù)題意得AC=20cm,BC=

×2×π×5=15(cm).在△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得AB2=BC2+AC2=152+202=252,

所以AB=25cm,所以最短路程是25cm.

圖1-3-23勾股定理的應(yīng)用解析如圖1-3-2所示,將圓柱側(cè)面沿AC剪開并展平,連接A4面之間的問題,必須先將它們轉(zhuǎn)化到同一平面內(nèi),即把長方體設(shè)法展開

成一個平面圖形,再構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理解決.展開長方體時,一定要注意打開哪一個側(cè)面,并且向上、下與向左、右展開會出現(xiàn)長度不同的路線,應(yīng)通過嘗試從幾條路線中選一條符合要求的.知識點二

長方體(或正方體)表面上兩點間的最短距離長方體的每個面都是平面圖形,所以計算同一個面上的兩點之間的

距離比較容易.若計算不同平面上的兩點之間的距離,則變成了兩個平3勾股定理的應(yīng)用面之間的問題,必須先將它們轉(zhuǎn)化到同一平面內(nèi),即把長方體設(shè)法展5例2如圖1-3-3所示,有一個長方體,長、寬、高分別為6、5、3.在長方

體的底面A處有一堆螞蟻,它們想吃到長方體上底面與A相對的B點處的

食物,則需要爬行的最短路程是多少?

圖1-3-33勾股定理的應(yīng)用例2如圖1-3-3所示,有一個長方體,長、寬、高分別為6、6解析①將四邊形GBEF與四邊形ACEF展開放在同一平面上.連接AB,

如圖1-3-4所示,所走的最短路線顯然為線段AB.在Rt△ABC中,由勾股定

理得AB2=AC2+BC2=62+82=100.

圖1-3-4②將四邊形CDBE與四邊形ACEF展開放在同一平面上.連接AB,如圖1-3

-5(1)所示,所走的最短路線顯然為線段AB.在Rt△ABD中,由勾股定理得

AB2=AD2+BD2=112+32=130.3勾股定理的應(yīng)用解析①將四邊形GBEF與四邊形ACEF展開放在同一平面上.7

(1)

(2)

圖1-3-5③將四邊形AFGH與四邊形EBGF展開放在同一平面上.連接AB,如圖1-3-5(2)所示,所走的最短路線顯然為線段AB.在Rt△ABE中,由勾股定理得

AB2=AE2+BE2=92+52=106.因為130>106>100,所以情況①的路線最短,故螞蟻需要爬行的最短路程

是10.3勾股定理的應(yīng)用?3-5(2)所示,所走的最短路線顯然為線段AB.在Rt△A8知識點三

勾股定理在實際問題中的應(yīng)用例3如圖1-3-6,南北方向線MN以西為我國領(lǐng)海,以東為公海.上午9時50分,我國緝私艇A發(fā)現(xiàn)正東方向有一走私艇C以13海里/時的速度偷偷

向我領(lǐng)海駛來,便立即通知正在MN線上巡邏的緝私艇B.已知A,C兩艇的

距離是13海里,A,B兩艇的距離是5海里,緝私艇B與C艇的距離是12海里,

若C艇的速度不變,那么它最早會在什么時間進(jìn)入我國領(lǐng)海?

圖1-3-63勾股定理的應(yīng)用知識點三

勾股定理在實際問題中的應(yīng)用3勾股定理的應(yīng)用9解析設(shè)直線MN與AC交于點E,則∠BEC=90°.因為AB2+BC2=52+122=169,AC2=132=169,所以AB2+BC2=AC2,所以△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.因為MN⊥CE,所以C艇進(jìn)入我國領(lǐng)海的最短距離是線段CE的長.在Rt△BCE和Rt△ABE中,CE2+BE2=144,(13-CE)2+BE2=25,由此得26CE=

288,所以CE=

海里.因為C艇的速度是13海里/時,所以

÷13=

≈0.85(小時)=51(分).所以9時50分+51分=10時41分.答:走私艇最早會在10時41分進(jìn)入我國領(lǐng)海.3勾股定理的應(yīng)用解析設(shè)直線MN與AC交于點E,則∠BEC=90°.3勾股10點撥首先要根據(jù)勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀,然后利用勾股

定理求線段的長.為減小思考問題的“跨度”,可將原問題分解成下述

“子問題”:(1)△ABC是什么形狀的三角形;(2)走私艇C進(jìn)入我國領(lǐng)海

的最短距離是多少;(3)走私艇C最早會在什么時間進(jìn)入我國領(lǐng)海.這樣

問題就可迎刃而解.3勾股定理的應(yīng)用點撥首先要根據(jù)勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀,然后利用勾11題型一

判斷垂直的方法例1圖1-3-7是一農(nóng)民建房時挖地基的平面圖,按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長方形,他在

挖完后測量發(fā)現(xiàn)AB=CD=6m,AD=BC=8m,AC=9m,請你幫他看一下挖

的地基是否合格.圖1-3-73勾股定理的應(yīng)用題型一

判斷垂直的方法圖1-3-73勾股定理的應(yīng)用12解析∵AD2+DC2=82+62=100,AC2=92=81,∴AD2+DC2≠AC2,∴△ADC不是直角三角形,∴∠ADC≠90°.∵標(biāo)準(zhǔn)地基為長方形,四個角應(yīng)為直角,∴該農(nóng)民挖的地基不合格.點撥在實際生活中,常用勾股定理的逆定理判斷兩直線是否垂直,解

決問題的一般方法:實際問題→數(shù)學(xué)問題→利用勾股定理的逆定理判斷

是否垂直.3勾股定理的應(yīng)用解析∵AD2+DC2=82+62=100,AC2=92=813題型二

利用勾股定理解決折疊問題例2如圖1-3-8,長方形紙片ABCD沿對角線AC折疊,設(shè)點D落在D'處,BC

交AD'于點E,AB=6cm,BC=8cm,求陰影部分的面積.

圖1-3-83勾股定理的應(yīng)用題型二

利用勾股定理解決折疊問題3勾股定理的應(yīng)用14解析在△ABE和△CD'E中,∠B=∠D'=90°,∠AEB=∠CED',AB=CD',∴△ABE≌△CD'E,∴AE=EC.設(shè)AE=xcm(x>0),則BE=(8-x)cm.在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,即62+(8-x)2=x2,∴x=

,∴EC=AE=

cm.∴S陰影=

·EC·AB=

×

×6=

(cm2).3勾股定理的應(yīng)用解析在△ABE和△CD'E中,∠B=∠D'=90°,∠AE15點撥關(guān)于折疊問題的解題步驟:(1)利用重疊的圖形傳遞數(shù)據(jù)(一般不用重疊的圖形進(jìn)行計算).(2)選擇或構(gòu)造直角三角形,這個直角三角形一般一邊已知,另兩邊可通

過重疊圖形找到數(shù)量關(guān)系.(3)利用勾股定理列方程求解.3勾股定理的應(yīng)用點撥關(guān)于折疊問題的解題步驟:3勾股定理的應(yīng)用16題型三

用勾股定理解決距離最短問題例3高速公路的同一側(cè)有A、B兩個城鎮(zhèn),如圖1-3-9,它們到高速公路

所在直線MN的距離分別為AA'=2km,BB'=4km,A'B'=8km.要在高速公

路上A'、B'之間建一個出口P,使A、B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小.求這

個最小距離.

圖1-3-93勾股定理的應(yīng)用題型三

用勾股定理解決距離最短問題3勾股定理的應(yīng)用17解析如圖1-3-10,作點B關(guān)于MN的對稱點C,連接AC交MN于點P,則點P

即為所建的出口.

圖1-3-10此時A、B兩城鎮(zhèn)到出口P的距離之和最小,最小距離為AC的長.作AD⊥

BB'于點D,在Rt△ADC中,AD=A'B'=8km,DC=6km,∴AC2=AD2+DC2=100,∴AC=10km,∴這個最小距離為10km.3勾股定理的應(yīng)用解析如圖1-3-10,作點B關(guān)于MN的對稱點C,連接AC交18易錯點

使用勾股定理考慮不全面例在△ABC中,AB=15,AC=20,BC邊上的高AD=12,則BC的長為(

)A.25

B.7C.25或7

D.不能確定3勾股定理的應(yīng)用易錯點

使用勾股定理考慮不全面3勾股定理的應(yīng)用19解析分兩種情況:①如圖1-3-11.

圖1-3-11在Rt△ABD中,BD2=152-122=92,解得BD=9.在Rt△ACD中,CD2=202-122=162,解得CD=16.∴BC=BD+CD=9+16=25.3勾股定理的應(yīng)用解析分兩種情況:①如圖1-3-11.3勾股定理的應(yīng)用20②如圖1-3-12.圖1-3-12在Rt△ABD中,BD2=152-122=92,解得BD=9.在Rt△ACD中,CD2=202-122=162,解得CD=16.∴BC=CD-BD=16-9=7.答案

C易錯警示分兩種情況討論,易丟掉△ABC為鈍角三角形的情況.3勾股定理的應(yīng)用②如圖1-3-12.答案

C易錯警示分兩種情況討論,21培養(yǎng)勾股定理中的幾何直觀能力典例剖析例如圖1-3-13所示,長方體的底面相鄰兩邊的長分別為1cm和3cm,高

為6cm,如果用一根細(xì)線從A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)B,那么所用

細(xì)線最短需要多長?如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點B,那么

所用細(xì)線最短時其長度的平方是多少?

圖1-3-133勾股定理的應(yīng)用培養(yǎng)勾股定理中的幾何直觀能力例如圖1-3-13所示,長方體22解析將長方體展開,連接AB',如圖1-3-14所示.因為AA'=1+3+1+3=8(cm),A'B'=6cm,所以AB'2=AA'2+A'B'2=82+62=102,所以用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)B,所用細(xì)線最短

需要10cm.如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點B,那么所用細(xì)線最短時,其

長度的平方為(8n)2+62=64n2+36.

圖1-3-143勾股定理的應(yīng)用解析將長方體展開,連接AB',如圖1-3-14所示.圖1-23素養(yǎng)呈現(xiàn)確定幾何體上的最短路線時,往往無法直接求解,需要先轉(zhuǎn)

化為平面圖形.將幾何體展開,就能直觀地看出最短距離.本題先將幾何體展開,再利用“兩點之間,線段最短”確定所求線段,最

后使用勾股定理求出線段的長.素養(yǎng)解讀直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與

變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng),利用平面

圖形有助于發(fā)現(xiàn)、描述問題,有助于理解、記憶得到的結(jié)果,可以把困

難的數(shù)學(xué)問題變?nèi)菀?把抽象的數(shù)學(xué)問題變簡單.3勾股定理的應(yīng)用素養(yǎng)呈現(xiàn)確定幾何體上的最短路線時,往往無法直接求解,需要先24知識點一

圓柱側(cè)面上兩點間的最短距離1.如圖1-3-1,有一圓柱,它的高等于8cm,底面直徑等于4cm(π=3),在圓柱

下底面的A點有一只螞蟻,它想吃到上底面與C相對的B點處的食物,則

需要爬行的最短路程為

()

圖1-3-1A.10cmB.12cmC.19cmD.20cm3勾股定理的應(yīng)用知識點一

圓柱側(cè)面上兩點間的最短距離3勾股定理的應(yīng)用25答案

A如圖所示,將圓柱的側(cè)面展開,連接AB,∵底面半徑為2cm,∴BC=

=2π=6(cm),在Rt△ABC中,∵AC=8cm,BC=6cm,∴AB2=AC2+BC2=100,∴AB=10cm.

3勾股定理的應(yīng)用答案

A如圖所示,將圓柱的側(cè)面展開,連接AB,3勾262.圖1-3-2是一個三級臺階,它的每一級臺階的長、寬和高分別是50cm,

30cm,10cm,A和B是這個臺階的兩個相對的頂點,A點上有一只壁虎,它

想到B點去吃可口的食物,請你想一想,這只壁虎從A點出發(fā),沿著臺階面

爬到B點,至少需爬

()

圖1-3-2A.13cmB.40cmC.130cmD.169cm知識點二

長方體(或正方體)表面上兩點間的最短距離3勾股定理的應(yīng)用2.圖1-3-2是一個三級臺階,它的每一級臺階的長、寬和高分27答案

C將臺階面展開,連接AB,如圖,線段AB即為壁虎所爬的最短路

線.

因為BC=30×3+10×3=120(cm),AC=50cm,在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理,

得AB2=AC2+BC2=16900,所以AB=130cm.所以壁虎至少需爬130cm.3勾股定理的應(yīng)用答案

C將臺階面展開,連接AB,如圖,線段AB即為壁28知識點三

勾股定理在實際問題中的應(yīng)用3.一艘輪船以30km/h的速度離開港口向東北方向航行,另一艘輪船同時

離開港口以16km/h的速度向東南方向航行,它們離開港口半小時后相

距

km.答案17解析作出圖形,如圖,因為東北和東南方向的夾角為90°,所以△ABC為

直角三角形.在Rt△ABC中,AC=30×0.5=15(km),BC=16×0.5=8(km),所以

AB2=AC2+BC2=152+82=289,所以AB=17km.

3勾股定理的應(yīng)用知識點三

勾股定理在實際問題中的應(yīng)用答案17解析作294.《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定:小汽車在城市道路上行駛

速度不得超過70km/h.如圖1-3-3,一輛小汽車在一條城市道路上直線行

駛,某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀(點A)的正前方30m處(點C),

過了2s后,測得小汽車與車速檢測儀間的距離AB為50m.問這輛小汽車

超速了嗎?

圖1-3-33勾股定理的應(yīng)用4.《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定:小汽車在城市道路上30解析這輛小汽車超速了.在Rt△ABC中,AB=50m,AC=30m,∴由勾股定理得BC=40m,40÷2=20m/s=72km/h,∵小汽車在城市道路上行駛速度不得超過70km/h,∴這輛小汽車超速了.3勾股定理的應(yīng)用解析這輛小汽車超速了.3勾股定理的應(yīng)用311.(2013山東濟南中考)如圖,小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端,繩子末端

剛好接觸到地面,然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處,發(fā)現(xiàn)此時繩子末

端距離地面2m.則旗桿的高度(滑輪上方的部分忽略不計)為

()

A.12m

B.13m

C.16m

D.17m3勾股定理的應(yīng)用1.(2013山東濟南中考)如圖,小亮將升旗的繩子拉到旗桿底32答案

D如圖所示,作BC⊥AE于點C,則BC=DE=8m,設(shè)AE=xm,則AB

=xm,AC=(x-2)m,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即(x-2)2+82=x2,解得x=17.

所以旗桿的高度為17m.

3勾股定理的應(yīng)用答案

D如圖所示,作BC⊥AE于點C,則BC=DE=332.如圖所示,將長方形紙片ABCD(四個角都是直角)折疊,使點D落在BC

邊上的點F處,已知AB=DC=8cm,AD=BC=10cm,求EC的長.

3勾股定理的應(yīng)用2.如圖所示,將長方形紙片ABCD(四個角都是直角)折疊,使34解析設(shè)EC的長為xcm,則DE=(8-x)cm.∵△ADE折疊后的圖形是△AFE,∴AD=AF,DE=EF=(8-x)cm.∵AD=10cm,∴AF=10cm.又∵AB=8cm,AB2+BF2=AF2,∴82+BF2=102,∴BF=6cm.∵BC=10cm,∴FC=BC-BF=10-6=4(cm).在Rt△EFC中,根據(jù)勾股定理,得FC2+EC2=EF2,∴42+x2=(8-x)2,即16+x2=64-16x+x2,化簡,得16x=48,解得x=3.故EC的長為3cm.3勾股定理的應(yīng)用解析設(shè)EC的長為xcm,則DE=(8-x)cm.3勾股351.如圖1-3-4,圓柱的底面直徑為

,BC=12,動點P從A點出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面移動到BC的中點S的最短距離為

()

圖1-3-4A.10

B.12

C.20

D.143勾股定理的應(yīng)用1.如圖1-3-4,圓柱的底面直徑為?,BC=12,動點P從36答案

A將圓柱側(cè)面沿DA展開,如圖所示,AB=

×π×

=8,BS=

BC=6,在Rt△ABS中,由勾股定理得AS=10,即點P從點A移動到點S的最短距離

為10.3勾股定理的應(yīng)用答案

A將圓柱側(cè)面沿DA展開,如圖所示,AB=?×π372.小明想知道學(xué)校旗桿的高度,他把繩子一端掛在旗桿頂端,發(fā)現(xiàn)繩子垂

到地面時還余1m;當(dāng)他把繩子下端拉開5m后,繩子下端剛好接觸地面,

如圖1-3-5,你能幫他求出旗桿的高度嗎?

圖1-3-53勾股定理的應(yīng)用2.小明想知道學(xué)校旗桿的高度,他把繩子一端掛在旗桿頂端,發(fā)現(xiàn)38解析能.由于旗桿垂直于地面,所以∠C=90°.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,而AB=AC+1,所以可設(shè)AC=xm,則有x2+52=(x+1)2,解得x=12.所以旗桿的高度為12m.3勾股定理的應(yīng)用解析能.由于旗桿垂直于地面,所以∠C=90°.3勾股定理391.如圖所示,有一張直角三角形紙片ABC,已知AC=5cm,BC=10cm,將紙

片折疊,使點B與點A重合,折痕為DE,則CD的長為

()

A.

cm

B.

cm

C.

cm

D.

cm答案

D由題意知DE所在直線為線段AB的垂直平分線,所以AD=

BD.設(shè)CD=xcm,則AD=BD=(10-x)cm.在Rt△ACD中,由勾股定理,得x2+52

=(10-x)2,所以x=

.故選D.3勾股定理的應(yīng)用1.如圖所示,有一張直角三角形紙片ABC,已知AC=5cm402.如圖,要在河邊(直線l)修建一個水泵站,分別向張村(點A)和李莊(點B)

送水.已知張村、李莊到河邊的距離分別為2千米和7千米,且CD=12千

米.(1)水泵站應(yīng)修建在什么地方,可使所用的水管最短?請你在圖中設(shè)計出

水泵站的位置;(2)如果鋪設(shè)水管的工程費用為每千米1500元,請求出鋪設(shè)水管的最少

費用.

3勾股定理的應(yīng)用2.如圖,要在河邊(直線l)修建一個水泵站,分別向張村(點A41解析(1)如圖,作點A關(guān)于直線l的對稱點A',連接A'B交l于點P,則點P即

為水泵站的位置,此時,PA+PB最小,即所鋪設(shè)的水管最短.(2)如圖,過點A'作l的平行線與BD的延長線相交于點B',則∠B'=90°.

由題意知AC=A'C=B'D=2千米,A'B'=CD=12千米,BD=7千米.在Rt△A'B'B中,BB'=7+2=9(千米),根據(jù)勾股定理,得BA'2=A'B'2+BB'2=122

+92=225,故BA'=15千米.因為PA=PA',所以(PA+PB)min=BA'=15千米.此時,鋪設(shè)水管的費用為1500×15=22500(元).所以鋪設(shè)水管的最少費用為22500元.3勾股定理的應(yīng)用解析(1)如圖,作點A關(guān)于直線l的對稱點A',連接A'B交42選擇題1.(2017山西呂梁孝義期中,6,★☆☆)圖1-3-6為某樓梯,測得樓梯的長為

5米,高為3米,計劃在樓梯表面鋪地毯,地毯的長度至少需要

()

圖1-3-6A.4米

B.8米

C.9米

D.7米3勾股定理的應(yīng)用選擇題3勾股定理的應(yīng)用43答案

D由勾股定理得樓梯的水平長度為4米,∴地毯的長度至少是3

+4=7米.故選D.3勾股定理的應(yīng)用答案

D由勾股定理得樓梯的水平長度為4米,∴地毯的長442.(2016江蘇常州常青藤期中,9,★★☆)如圖1-3-7,長、寬、高分別為4cm、3cm、12cm的長方體盒子中,能容下的最長木棒的長為

()

圖1-3-7A.11cm

B.12cm

C.13cm

D.14cm3勾股定理的應(yīng)用2.(2016江蘇常州常青藤期中,9,★★☆)如圖1-3-45答案

C如圖,連接AB、BC.由題易知能容下的最長木棒長即為AB的

長,由勾股定理,可得BC2=32+42=52,∴AB2=122+52=132,∴AB=13cm.

3勾股定理的應(yīng)用答案

C如圖,連接AB、BC.由題易知能容下的最長木46(2016江蘇鹽城一中期末,21,★☆☆)如圖,在B港有甲、乙兩艘漁船同時

航行,若甲船沿北偏東60°方向以8海里/小時的速度前進(jìn),乙船沿南偏東

某方向以15海里/小時的速度前進(jìn),2小時后甲船到達(dá)M島,乙船到達(dá)P島,

兩島相距34海里,你知道乙船沿哪個方向航行嗎?

3勾股定理的應(yīng)用(2016江蘇鹽城一中期末,21,★☆☆)如圖,在B港有甲、47解析由題意知BM=8×2=16(海里),BP=15×2=30(海里),在△BMP中,BM2+BP2=256+900=1156,PM2=342=1156,∴△BMP是直角三角形,∠MBP=90°,∴∠ABP=180°-90°-60°=30°.故乙船沿南偏東30°方向航行.3勾股定理的應(yīng)用解析由題意知BM=8×2=16(海里),BP=15×2=348一、選擇題1.(2017浙江紹興中考,6,★☆☆)如圖1-3-8,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,一

架梯子斜靠在左墻時,梯子底端到左墻角的距離為0.7米,頂端距離地面

2.4米,當(dāng)保持梯子底端位置不動,將梯子斜靠在右墻時,頂端距離地面2

米.則小巷的寬度為

()

圖1-3-8A.0.7米

B.1.5米

C.2.2米

D.2.4米3勾股定理的應(yīng)用一、選擇題 圖1-3-83勾股定理的應(yīng)用49答案

C設(shè)梯子斜靠在右墻時,梯子底端到右墻角的距離為x(x>0)米.

由題意,得(0.7)2+(2.4)2=x2+22,則x2=2.25,∴x=1.5,則小巷的寬度為0.7+1.5

=2.2(米).故選C.3勾股定理的應(yīng)用答案

C設(shè)梯子斜靠在右墻時,梯子底端到右墻角的距離為502.(2017貴州安順中考,7,★☆☆)如圖1-3-9,長方形紙片ABCD中,AD=4cm,把紙片沿直線AC折疊,點B落在E處,AE交DC于點O.若AO=5cm,則

AB的長為

()

圖1-3-9A.6cm

B.7cm

C.8cm

D.9cm3勾股定理的應(yīng)用2.(2017貴州安順中考,7,★☆☆)如圖1-3-9,長方51答案

C∵四邊形ABCD為長方形,AD=4cm,∴BC=AD=4cm,∠B=∠D=90°,由題意可得△ACE≌△ACB,∴CE=BC=4cm,∠E=∠B=90°,在△AOD和△COE中,∠E=∠D,∠AOD=∠COE,AD=CE,∴△AOD≌△COE,∴AO=CO=5cm,在Rt△COE中,根據(jù)勾股定理可得:OE2=OC2-CE2=

52-42=9,∴OE=3cm,∴AE=AO+OE=5+3=8cm,∴AB=8cm,故選C.3勾股定理的應(yīng)用答案

C∵四邊形ABCD為長方形,AD=4cm,∴52二、填空題3.(2014山東濰坊中考,18,★☆☆)我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題:“枯木

一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根纏繞而上,五周而達(dá)其頂,問葛

藤之長幾何?”題意是:如圖1-3-10所示,把枯木看作一個圓柱體,因一丈

是十尺,所以該圓柱的高為20尺,底面周長為3尺,有葛藤自點A處纏繞而

上,繞五周后其末端恰好到達(dá)點B處,則問題中葛藤的最短長度是

尺.圖1-3-103勾股定理的應(yīng)用二、填空題圖1-3-103勾股定理的應(yīng)用53解析因為葛藤繞枯木五周而到達(dá)頂端,所以將枯木滾動5周,如圖.由題

意得AA'=15尺,A'B'=20尺,AB'的長就是葛藤的最短長度,∴AB'2=AA'2+

A'B'2=152+202=625,∴AB'=25尺.

答案253勾股定理的應(yīng)用解析因為葛藤繞枯木五周而到達(dá)頂端,所以將枯木滾動5周,如圖541.(2017四川宜賓中考,7,★★☆)如圖,在長方形ABCD中,BC=8,CD=6,將

△ABE沿BE折疊,使點A恰好落在對角線BD上F處,則DE的長是(

)

A.3

B.

C.5

D.

3勾股定理的應(yīng)用1.(2017四川宜賓中考,7,★★☆)如圖,在長方形ABC55答案

C∵四邊形ABCD是長方形,∴AB=CD=6,AD=BC=8.由勾股定

理得BD2=BC2+CD2=100,∴BD=10.由折疊可知,BF=AB=6,AE=EF,∴DF

=4.在Rt△DEF中,∵EF2+DF2=DE2,∴(8-DE)2+42=DE2,解得DE=5.故選C.3勾股定理的應(yīng)用答案

C∵四邊形ABCD是長方形,∴AB=CD=6,562.(2017山東淄博中考,12,★★☆)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=

6,BC=8,∠BAC,∠ACB的平分線相交于點E,過點E作EF∥BC交AC于點

F,則EF的長為

()

A.

B.

C.

D.

3勾股定理的應(yīng)用2.(2017山東淄博中考,12,★★☆)如圖,在Rt△AB57答案

C如圖,過點E分別作ED⊥AB,EM⊥BC,EN⊥AC,垂足分別為D,

M,N,∵∠BAC,∠ACB的平分線相交于點E,∴ED=EM=EN.在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=10.設(shè)ED=EM=EN=x,易知AN=AD=6-x,CN=CM=8-x.又6-x+8-x=10,∴x=2.∵EF∥BC,∴∠FEC=∠ECB,∵∠FCE=∠ECB,∴∠FEC=∠FCE.∴EF=CF.在Rt△EFN中,NF=CN-CF=8-2-CF=6-EF.∴EF2-(6-EF)2=22,解得x=

.3勾股定理的應(yīng)用答案

C如圖,過點E分別作ED⊥AB,EM⊥BC,E58鐵路上A、B兩站(視為直線上兩點)相距25km,C、D為兩村莊(視為

兩個點),DA⊥AB于點A,CB⊥AB于點B,如圖1-3-11所示,已知DA=15km,CB=10km,現(xiàn)要在鐵路AB上建設(shè)一個土特產(chǎn)收購站E,使得C、D兩

村到E站的距離相等,則E站應(yīng)建在距離A站

km處.

圖1-3-113勾股定理的應(yīng)用鐵路上A、B兩站(視為直線上兩點)相距25km,C、D為59解析∵C、D兩村莊到E站距離相等,∴CE=DE.在Rt△DAE和Rt△CBE中,DE2=AD2+AE2,CE2=BE2+BC2,∴AD2+AE2=BE2+BC2.設(shè)AE為x

km,

則BE=(25-x)km,∴152+x2=(25-x)2+102,整理得50x=500,解得x=10,∴E站

應(yīng)建在距離A站10km處.答案103勾股定理的應(yīng)用解析∵C、D兩村莊到E站距離相等,∴CE=DE.在Rt△D60如圖,圓柱底面半徑為2cm,高為9π

cm,點A、B分別是圓柱兩底面圓

周上的點,且A、B在同一母線上,用一棉線從A沿著圓柱側(cè)面繞3圈到B,

則棉線最短為

cm.

3勾股定理的應(yīng)用如圖,圓柱底面半徑為2cm,高為9πcm,點A、B分別61解析圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示,用一棉線從A沿著圓柱側(cè)面繞3圈

到B的最短路線是AC→C'D'→DB,即在圓柱的側(cè)面展開圖(長方形)中,

將長方形平均分成3個小長方形,沿著3個小長方形的對角線到B的路線

最短.∵圓柱底面半徑為2cm,∴小長方形的一條邊長即是圓柱的底面

周長:2π×2=4π(cm).∵圓柱高為9π

cm,∴小長方形的另一條邊長是3π

cm.

根據(jù)勾股定理求得AC=5π

cm,則C'D'=DB=5π

cm,∴AC+C'D'+DB=15π

(cm).

答案15π3勾股定理的應(yīng)用解析圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示,用一棉線從A沿著圓柱側(cè)面繞362初中數(shù)學(xué)（北師大版）八年級上冊第一章勾股定理初中數(shù)學(xué)（北師大版）第一章勾股定理知識點一

圓柱側(cè)面上兩點間的最短距離圓柱側(cè)面的展開圖是一個長方形.圓柱側(cè)面上兩點之間最短距離的

求法是把圓柱側(cè)面展開成平面圖形,依據(jù)兩點之間線段最短,以最短路

線為斜邊構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求解.3勾股定理的應(yīng)用知識點一

圓柱側(cè)面上兩點間的最短距離3勾股定理的應(yīng)用64例1如圖1-3-1所示,一個圓柱體高20cm,底面半徑為5cm,在圓柱體下

底面的A點處有一只蜘蛛,它想吃到上底面與A點相對的B點處的一只已

被粘住的蒼蠅,這只蜘蛛從A點出發(fā),沿著圓柱體的側(cè)面爬到B點,最短路

程是多少?(π取3)

圖1-3-13勾股定理的應(yīng)用例1如圖1-3-1所示,一個圓柱體高20cm,底面半徑為65解析如圖1-3-2所示,將圓柱側(cè)面沿AC剪開并展平,連接AB,則AB的長

即為蜘蛛爬行的最短路程.根據(jù)題意得AC=20cm,BC=

×2×π×5=15(cm).在△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得AB2=BC2+AC2=152+202=252,

所以AB=25cm,所以最短路程是25cm.

圖1-3-23勾股定理的應(yīng)用解析如圖1-3-2所示,將圓柱側(cè)面沿AC剪開并展平,連接A66面之間的問題,必須先將它們轉(zhuǎn)化到同一平面內(nèi),即把長方體設(shè)法展開

成一個平面圖形,再構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理解決.展開長方體時,一定要注意打開哪一個側(cè)面,并且向上、下與向左、右展開會出現(xiàn)長度不同的路線,應(yīng)通過嘗試從幾條路線中選一條符合要求的.知識點二

長方體(或正方體)表面上兩點間的最短距離長方體的每個面都是平面圖形,所以計算同一個面上的兩點之間的

距離比較容易.若計算不同平面上的兩點之間的距離,則變成了兩個平3勾股定理的應(yīng)用面之間的問題,必須先將它們轉(zhuǎn)化到同一平面內(nèi),即把長方體設(shè)法展67例2如圖1-3-3所示,有一個長方體,長、寬、高分別為6、5、3.在長方

體的底面A處有一堆螞蟻,它們想吃到長方體上底面與A相對的B點處的

食物,則需要爬行的最短路程是多少?

圖1-3-33勾股定理的應(yīng)用例2如圖1-3-3所示,有一個長方體,長、寬、高分別為6、68解析①將四邊形GBEF與四邊形ACEF展開放在同一平面上.連接AB,

如圖1-3-4所示,所走的最短路線顯然為線段AB.在Rt△ABC中,由勾股定

理得AB2=AC2+BC2=62+82=100.

圖1-3-4②將四邊形CDBE與四邊形ACEF展開放在同一平面上.連接AB,如圖1-3

-5(1)所示,所走的最短路線顯然為線段AB.在Rt△ABD中,由勾股定理得

AB2=AD2+BD2=112+32=130.3勾股定理的應(yīng)用解析①將四邊形GBEF與四邊形ACEF展開放在同一平面上.69

(1)

(2)

圖1-3-5③將四邊形AFGH與四邊形EBGF展開放在同一平面上.連接AB,如圖1-3-5(2)所示,所走的最短路線顯然為線段AB.在Rt△ABE中,由勾股定理得

AB2=AE2+BE2=92+52=106.因為130>106>100,所以情況①的路線最短,故螞蟻需要爬行的最短路程

是10.3勾股定理的應(yīng)用?3-5(2)所示,所走的最短路線顯然為線段AB.在Rt△A70知識點三

勾股定理在實際問題中的應(yīng)用例3如圖1-3-6,南北方向線MN以西為我國領(lǐng)海,以東為公海.上午9時50分,我國緝私艇A發(fā)現(xiàn)正東方向有一走私艇C以13海里/時的速度偷偷

向我領(lǐng)海駛來,便立即通知正在MN線上巡邏的緝私艇B.已知A,C兩艇的

距離是13海里,A,B兩艇的距離是5海里,緝私艇B與C艇的距離是12海里,

若C艇的速度不變,那么它最早會在什么時間進(jìn)入我國領(lǐng)海?

圖1-3-63勾股定理的應(yīng)用知識點三

勾股定理在實際問題中的應(yīng)用3勾股定理的應(yīng)用71解析設(shè)直線MN與AC交于點E,則∠BEC=90°.因為AB2+BC2=52+122=169,AC2=132=169,所以AB2+BC2=AC2,所以△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.因為MN⊥CE,所以C艇進(jìn)入我國領(lǐng)海的最短距離是線段CE的長.在Rt△BCE和Rt△ABE中,CE2+BE2=144,(13-CE)2+BE2=25,由此得26CE=

288,所以CE=

海里.因為C艇的速度是13海里/時,所以

÷13=

≈0.85(小時)=51(分).所以9時50分+51分=10時41分.答:走私艇最早會在10時41分進(jìn)入我國領(lǐng)海.3勾股定理的應(yīng)用解析設(shè)直線MN與AC交于點E,則∠BEC=90°.3勾股72點撥首先要根據(jù)勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀,然后利用勾股

定理求線段的長.為減小思考問題的“跨度”,可將原問題分解成下述

“子問題”:(1)△ABC是什么形狀的三角形;(2)走私艇C進(jìn)入我國領(lǐng)海

的最短距離是多少;(3)走私艇C最早會在什么時間進(jìn)入我國領(lǐng)海.這樣

問題就可迎刃而解.3勾股定理的應(yīng)用點撥首先要根據(jù)勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀,然后利用勾73題型一

判斷垂直的方法例1圖1-3-7是一農(nóng)民建房時挖地基的平面圖,按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長方形,他在

挖完后測量發(fā)現(xiàn)AB=CD=6m,AD=BC=8m,AC=9m,請你幫他看一下挖

的地基是否合格.圖1-3-73勾股定理的應(yīng)用題型一

判斷垂直的方法圖1-3-73勾股定理的應(yīng)用74解析∵AD2+DC2=82+62=100,AC2=92=81,∴AD2+DC2≠AC2,∴△ADC不是直角三角形,∴∠ADC≠90°.∵標(biāo)準(zhǔn)地基為長方形,四個角應(yīng)為直角,∴該農(nóng)民挖的地基不合格.點撥在實際生活中,常用勾股定理的逆定理判斷兩直線是否垂直,解

決問題的一般方法:實際問題→數(shù)學(xué)問題→利用勾股定理的逆定理判斷

是否垂直.3勾股定理的應(yīng)用解析∵AD2+DC2=82+62=100,AC2=92=875題型二

利用勾股定理解決折疊問題例2如圖1-3-8,長方形紙片ABCD沿對角線AC折疊,設(shè)點D落在D'處,BC

交AD'于點E,AB=6cm,BC=8cm,求陰影部分的面積.

圖1-3-83勾股定理的應(yīng)用題型二

利用勾股定理解決折疊問題3勾股定理的應(yīng)用76解析在△ABE和△CD'E中,∠B=∠D'=90°,∠AEB=∠CED',AB=CD',∴△ABE≌△CD'E,∴AE=EC.設(shè)AE=xcm(x>0),則BE=(8-x)cm.在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,即62+(8-x)2=x2,∴x=

,∴EC=AE=

cm.∴S陰影=

·EC·AB=

×

×6=

(cm2).3勾股定理的應(yīng)用解析在△ABE和△CD'E中,∠B=∠D'=90°,∠AE77點撥關(guān)于折疊問題的解題步驟:(1)利用重疊的圖形傳遞數(shù)據(jù)(一般不用重疊的圖形進(jìn)行計算).(2)選擇或構(gòu)造直角三角形,這個直角三角形一般一邊已知,另兩邊可通

過重疊圖形找到數(shù)量關(guān)系.(3)利用勾股定理列方程求解.3勾股定理的應(yīng)用點撥關(guān)于折疊問題的解題步驟:3勾股定理的應(yīng)用78題型三

用勾股定理解決距離最短問題例3高速公路的同一側(cè)有A、B兩個城鎮(zhèn),如圖1-3-9,它們到高速公路

所在直線MN的距離分別為AA'=2km,BB'=4km,A'B'=8km.要在高速公

路上A'、B'之間建一個出口P,使A、B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小.求這

個最小距離.

圖1-3-93勾股定理的應(yīng)用題型三

用勾股定理解決距離最短問題3勾股定理的應(yīng)用79解析如圖1-3-10,作點B關(guān)于MN的對稱點C,連接AC交MN于點P,則點P

即為所建的出口.

圖1-3-10此時A、B兩城鎮(zhèn)到出口P的距離之和最小,最小距離為AC的長.作AD⊥

BB'于點D,在Rt△ADC中,AD=A'B'=8km,DC=6km,∴AC2=AD2+DC2=100,∴AC=10km,∴這個最小距離為10km.3勾股定理的應(yīng)用解析如圖1-3-10,作點B關(guān)于MN的對稱點C,連接AC交80易錯點

使用勾股定理考慮不全面例在△ABC中,AB=15,AC=20,BC邊上的高AD=12,則BC的長為(

)A.25

B.7C.25或7

D.不能確定3勾股定理的應(yīng)用易錯點

使用勾股定理考慮不全面3勾股定理的應(yīng)用81解析分兩種情況:①如圖1-3-11.

圖1-3-11在Rt△ABD中,BD2=152-122=92,解得BD=9.在Rt△ACD中,CD2=202-122=162,解得CD=16.∴BC=BD+CD=9+16=25.3勾股定理的應(yīng)用解析分兩種情況:①如圖1-3-11.3勾股定理的應(yīng)用82②如圖1-3-12.圖1-3-12在Rt△ABD中,BD2=152-122=92,解得BD=9.在Rt△ACD中,CD2=202-122=162,解得CD=16.∴BC=CD-BD=16-9=7.答案

C易錯警示分兩種情況討論,易丟掉△ABC為鈍角三角形的情況.3勾股定理的應(yīng)用②如圖1-3-12.答案

C易錯警示分兩種情況討論,83培養(yǎng)勾股定理中的幾何直觀能力典例剖析例如圖1-3-13所示,長方體的底面相鄰兩邊的長分別為1cm和3cm,高

為6cm,如果用一根細(xì)線從A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)B,那么所用

細(xì)線最短需要多長?如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點B,那么

所用細(xì)線最短時其長度的平方是多少?

圖1-3-133勾股定理的應(yīng)用培養(yǎng)勾股定理中的幾何直觀能力例如圖1-3-13所示,長方體84解析將長方體展開,連接AB',如圖1-3-14所示.因為AA'=1+3+1+3=8(cm),A'B'=6cm,所以AB'2=AA'2+A'B'2=82+62=102,所以用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)B,所用細(xì)線最短

需要10cm.如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點B,那么所用細(xì)線最短時,其

長度的平方為(8n)2+62=64n2+36.

圖1-3-143勾股定理的應(yīng)用解析將長方體展開,連接AB',如圖1-3-14所示.圖1-85素養(yǎng)呈現(xiàn)確定幾何體上的最短路線時,往往無法直接求解,需要先轉(zhuǎn)

化為平面圖形.將幾何體展開,就能直觀地看出最短距離.本題先將幾何體展開,再利用“兩點之間,線段最短”確定所求線段,最

后使用勾股定理求出線段的長.素養(yǎng)解讀直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與

變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng),利用平面

圖形有助于發(fā)現(xiàn)、描述問題,有助于理解、記憶得到的結(jié)果,可以把困

難的數(shù)學(xué)問題變?nèi)菀?把抽象的數(shù)學(xué)問題變簡單.3勾股定理的應(yīng)用素養(yǎng)呈現(xiàn)確定幾何體上的最短路線時,往往無法直接求解,需要先86知識點一

圓柱側(cè)面上兩點間的最短距離1.如圖1-3-1,有一圓柱,它的高等于8cm,底面直徑等于4cm(π=3),在圓柱

下底面的A點有一只螞蟻,它想吃到上底面與C相對的B點處的食物,則

需要爬行的最短路程為

()

圖1-3-1A.10cmB.12cmC.19cmD.20cm3勾股定理的應(yīng)用知識點一

圓柱側(cè)面上兩點間的最短距離3勾股定理的應(yīng)用87答案

A如圖所示,將圓柱的側(cè)面展開,連接AB,∵底面半徑為2cm,∴BC=

=2π=6(cm),在Rt△ABC中,∵AC=8cm,BC=6cm,∴AB2=AC2+BC2=100,∴AB=10cm.

3勾股定理的應(yīng)用答案

A如圖所示,將圓柱的側(cè)面展開,連接AB,3勾882.圖1-3-2是一個三級臺階,它的每一級臺階的長、寬和高分別是50cm,

30cm,10cm,A和B是這個臺階的兩個相對的頂點,A點上有一只壁虎,它

想到B點去吃可口的食物,請你想一想,這只壁虎從A點出發(fā),沿著臺階面

爬到B點,至少需爬

()

圖1-3-2A.13cmB.40cmC.130cmD.169cm知識點二

長方體(或正方體)表面上兩點間的最短距離3勾股定理的應(yīng)用2.圖1-3-2是一個三級臺階,它的每一級臺階的長、寬和高分89答案

C將臺階面展開,連接AB,如圖,線段AB即為壁虎所爬的最短路

線.

因為BC=30×3+10×3=120(cm),AC=50cm,在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理,

得AB2=AC2+BC2=16900,所以AB=130cm.所以壁虎至少需爬130cm.3勾股定理的應(yīng)用答案

C將臺階面展開,連接AB,如圖,線段AB即為壁90知識點三

勾股定理在實際問題中的應(yīng)用3.一艘輪船以30km/h的速度離開港口向東北方向航行,另一艘輪船同時

離開港口以16km/h的速度向東南方向航行,它們離開港口半小時后相

距

km.答案17解析作出圖形,如圖,因為東北和東南方向的夾角為90°,所以△ABC為

直角三角形.在Rt△ABC中,AC=30×0.5=15(km),BC=16×0.5=8(km),所以

AB2=AC2+BC2=152+82=289,所以AB=17km.

3勾股定理的應(yīng)用知識點三

勾股定理在實際問題中的應(yīng)用答案17解析作914.《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定:小汽車在城市道路上行駛

速度不得超過70km/h.如圖1-3-3,一輛小汽車在一條城市道路上直線行

駛,某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀(點A)的正前方30m處(點C),

過了2s后,測得小汽車與車速檢測儀間的距離AB為50m.問這輛小汽車

超速了嗎?

圖1-3-33勾股定理的應(yīng)用4.《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定:小汽車在城市道路上92解析這輛小汽車超速了.在Rt△ABC中,AB=50m,AC=30m,∴由勾股定理得BC=40m,40÷2=20m/s=72km/h,∵小汽車在城市道路上行駛速度不得超過70km/h,∴這輛小汽車超速了.3勾股定理的應(yīng)用解析這輛小汽車超速了.3勾股定理的應(yīng)用931.(2013山東濟南中考)如圖,小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端,繩子末端

剛好接觸到地面,然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處,發(fā)現(xiàn)此時繩子末

端距離地面2m.則旗桿的高度(滑輪上方的部分忽略不計)為

()

A.12m

B.13m

C.16m

D.17m3勾股定理的應(yīng)用1.(2013山東濟南中考)如圖,小亮將升旗的繩子拉到旗桿底94答案

D如圖所示,作BC⊥AE于點C,則BC=DE=8m,設(shè)AE=xm,則AB

=xm,AC=(x-2)m,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即(x-2)2+82=x2,解得x=17.

所以旗桿的高度為17m.

3勾股定理的應(yīng)用答案

D如圖所示,作BC⊥AE于點C,則BC=DE=952.如圖所示,將長方形紙片ABCD(四個角都是直角)折疊,使點D落在BC

邊上的點F處,已知AB=DC=8cm,AD=BC=10cm,求EC的長.

3勾股定理的應(yīng)用2.如圖所示,將長方形紙片ABCD(四個角都是直角)折疊,使96解析設(shè)EC的長為xcm,則DE=(8-x)cm.∵△ADE折疊后的圖形是△AFE,∴AD=AF,DE=EF=(8-x)cm.∵AD=10cm,∴AF=10cm.又∵AB=8cm,AB2+BF2=AF2,∴82+BF2=102,∴BF=6cm.∵BC=10cm,∴FC=BC-BF=10-6=4(cm).在Rt△EFC中,根據(jù)勾股定理,得FC2+EC2=EF2,∴42+x2=(8-x)2,即16+x2=64-16x+x2,化簡,得16x=48,解得x=3.故EC的長為3cm.3勾股定理的應(yīng)用解析設(shè)EC的長為xcm,則DE=(8-x)cm.3勾股971.如圖1-3-4,圓柱的底面直徑為

,BC=12,動點P從A點出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面移動到BC的中點S的最短距離為

()

圖1-3-4A.10

B.12

C.20

D.143勾股定理的應(yīng)用1.如圖1-3-4,圓柱的底面直徑為?,BC=12,動點P從98答案

A將圓柱側(cè)面沿DA展開,如圖所示,AB=

×π×

=8,BS=

BC=6,在Rt△ABS中,由勾股定理得AS=10,即點P從點A移動到點S的最短距離

為10.3勾股定理的應(yīng)用答案

A將圓柱側(cè)面沿DA展開,如圖所示,AB=?×π992.小明想知道學(xué)校旗桿的高度,他把繩子一端掛在旗桿頂端,發(fā)現(xiàn)繩子垂

到地面時還余1m;當(dāng)他把繩子下端拉開5m后,繩子下端剛好接觸地面,

如圖1-3-5,你能幫他求出旗桿的高度嗎?

圖1-3-53勾股定理的應(yīng)用2.小明想知道學(xué)校旗桿的高度,他把繩子一端掛在旗桿頂端,發(fā)現(xiàn)100解析能.由于旗桿垂直于地面,所以∠C=90°.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,而AB=AC+1,所以可設(shè)AC=xm,則有x2+52=(x+1)2,解得x=12.所以旗桿的高度為12m.3勾股定理的應(yīng)用解析能.由于旗桿垂直于地面,所以∠C=90°.3勾股定理1011.如圖所示,有一張直角三角形紙片ABC,已知AC=5cm,BC=10cm,將紙

片折疊,使點B與點A重合,折痕為DE,則CD的長為

()

A.

cm

B.

cm

C.

cm

D.

cm答案

D由題意知DE所在直線為線段AB的垂直平分線,所以AD=

BD.設(shè)CD=xcm,則AD=BD=(10-x)cm.在Rt△ACD中,由勾股定理,得x2+52

=(10-x)2,所以x=

.故選D.3勾股定理的應(yīng)用1.如圖所示,有一張直角三角形紙片ABC,已知AC=5cm1022.如圖,要在河邊(直線l)修建一個水泵站,分別向張村(點A)和李莊(點B)

送水.已知張村、李莊到河邊的距離分別為2千米和7千米,且CD=12千

米.(1)水泵站應(yīng)修建在什么地方,可使所用的水管最短?請你在圖中設(shè)計出

水泵站的位置;(2)如果鋪設(shè)水管的工程費用為每千米1500元,請求出鋪設(shè)水管的最少

費用.

3勾股定理的應(yīng)用2.如圖,要在河邊(直線l)修建一個水泵站,分別向張村(點A103解析(1)如圖,作點A關(guān)于直線l的對稱點A',連接A'B交l于點P,則點P即

為水泵站的位置,此時,PA+PB最小,即所鋪設(shè)的水管最短.(2)如圖,過點A'作l的平行線與BD的延長線相交于點B',則∠B'=90°.

由題意知AC=A'C=B'D=2千米,A'B'=CD=12千米,BD=7千米.在Rt△A'B'B中,BB'=7+2=9(千米),根據(jù)勾股定理,得BA'2=A'B'2+BB'2=122

+92=225,故BA'=15千米.因為PA=PA',所以(PA+PB)min=BA'=15千米.此時,鋪設(shè)水管的費用為1500×15=22500(元).所以鋪設(shè)水管的最少費用為22500元.3勾股定理的應(yīng)用解析(1)如圖,作點A關(guān)于直線l的對稱點A',連接A'B交104選擇題1.(2017山西呂梁孝義期中,6,★☆☆)圖1-3-6為某樓梯,測得樓梯的長為

5米,高為3米,計劃在樓梯表面鋪地毯,地毯的長度至少需要

()

圖1-3-6A.4米

B.8米

C.9米

D.7米3勾股定理的應(yīng)用選擇題3勾股定理的應(yīng)用105答案

D由勾股定理得樓梯的水平長度為4米,∴地毯的長度至少是3

+4=7米.故選D.3勾股定理的應(yīng)用答案

D由勾股定理得樓梯的水平長度為4米,∴地毯的長1062.(2016江蘇常州常青藤期中,9,★★☆)如圖1-3-7,長、寬、高分別為4cm、3cm、12cm的長方體盒子中,能容下的最長木棒的長為

()

圖1-3-7A.11cm

B.12cm

C.13cm

D.14cm3勾股定理的應(yīng)用2.(2016江蘇常州常青藤期中,9,★★☆)如圖1-3-107答案

C如圖,連接AB、BC.由題易知能容下的最長木棒長即為AB的

長,由勾股定理,可得BC2=32+42=52,∴AB2=122+52=132,∴AB=13cm.

3勾股定理的應(yīng)用答案

C如圖,連接AB、BC.由題易知能容下的最長木108(2016江蘇鹽城一中期末,21,★☆☆)如圖,在B港有甲、乙兩艘漁船同時

航行,若甲船沿北偏東60°方向以8海里/小時的速度前進(jìn),乙船沿南偏東

某方向以15海里/小時的速度前進(jìn),2小時后甲船到達(dá)M島,乙船到達(dá)P島,

兩島相距34海里,你知道乙船沿哪個方向航行嗎?

3勾股定理的應(yīng)用(2016江蘇鹽城一中期末,21,★☆☆)如圖,在B港有甲、109解析由題意知BM=8×2=16(海里),BP=15×2=30(海里),在△BMP中,BM2+BP2=256+900=1156,PM2=342=1156,∴△BMP是直角三角形,∠MBP=90°,∴∠ABP=180°-90°-60°=30°.故乙船沿南偏東30°方向航行.3勾股定理的應(yīng)用解析由題意知BM=8×2=16(海里),BP=15×2=3110一、選擇題1.(2017浙江紹興中考,6,★☆☆)如圖1-3-8,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,一

架梯子斜靠在左墻時,梯子底端到左墻角的距離為0.7米,頂端距離地面

2.4米,當(dāng)保持梯子底端位置不動,將梯子斜靠在右墻時,頂端距離地面2

米.則小巷的寬度為

()

圖1-3-8A.0.7米

B.1.5米

C.2.2米

D.2.4米3勾股定理的應(yīng)用一、選擇題 圖1-3-83勾股定理的應(yīng)用111答案

C設(shè)梯子斜靠在右墻時,梯子底端到右墻角的距離為x(x>0)米.

由題意,得(0.7)2+(2.4)2=x2+22,則x2=2.25,∴x=1.5,則小巷的寬度為0.7+1.5

=2.2(米).故選C.3勾股定理的應(yīng)用答案

C設(shè)梯子斜靠在右墻時,梯子底端到右墻角的距離為1122.(2017貴州安順中考,7,★☆☆)如圖1-3-9,長方形紙片ABCD中,AD=4cm,把紙片沿直線AC折疊,點B落在E處,AE交DC于點O.若AO=5cm,則

AB的