2022-2023學(xué)年福建省莆田市第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年福建省莆田市第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.使得的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的為 （）A． B． C． D．參考答案：B略2.函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在區(qū)間[0，3]上最大值與最小值分別是（）A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】對(duì)函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的變化規(guī)律確定函數(shù)在區(qū)間[0，3]上最大值與最小值位置，求值即可【解答】解：由題意y'=6x2﹣6x﹣12令y'＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）減，在（2，3）上增又y（0）=5，y（2）=﹣15，y（3）=﹣4故函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在區(qū)間[0，3]上最大值與最小值分別是5，﹣15故選A3.設(shè)命題p：直線x﹣y+1=0的傾斜角為135°；命題q：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三點(diǎn)A（﹣1，﹣3），B（1，1），C（2，2）共線．則下列判斷正確的是（）A．￢p為假 B．￢p∧￢q為真 C．p∨q為真 D．q為真參考答案：B【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】先判斷命題p，命題q的真假，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假判斷的真值表，得到結(jié)論．【解答】解：直線x﹣y+1=0的斜率為1，傾斜角為45°，故命題p為假命題；直線AB的斜率為2，直線BC的斜率為1，故三點(diǎn)A（﹣1，﹣3），B（1，1），C（2，2）不共線．故命題q為假命題，故￢p為真命題，故A錯(cuò)誤；￢p∧￢q為真命題，故B正確；p∨q為假命題，故C錯(cuò)誤；q為為假命題，故D錯(cuò)誤；故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，直線的傾斜角，三點(diǎn)共線等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．4.過(guò)雙曲線x2－=1的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則這樣的直線l有

A．1條

B．2條

C．3條

D．4條參考答案：C5.下列四個(gè)結(jié)論：①若x＞0，則x＞sinx恒成立；②命題“若x﹣sinx=0，則x=0”的逆命題為“若x≠0，則x﹣sinx≠0”；③P命題的否命題和P命題的逆命題同真同假④若|C|＞0則C＞0其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4參考答案：B考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡(jiǎn)易邏輯．分析：令f（x）=x﹣sinx，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，可判斷①；寫出原命題的逆命題，可判斷②；P命題的否命題和P命題的逆命題是等價(jià)命題，同真同假，可判斷③；若|C|＞0則C＞0或C＜0，可判斷④．解答：解：令f（x）=x﹣sinx，則f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，故f（x）=x﹣sinx在R上為增函數(shù)，故x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=0，即x＞sinx恒成立，故①正確；命題“若x﹣sinx=0，則x=0”的逆命題為“若x=0，則x﹣sinx=0”，故②錯(cuò)誤；P命題的否命題和P命題的逆命題是等價(jià)命題，同真同假，正確；④若|C|＞0則C＞0或C＜0，不正確．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查逆命題，考查四種命題，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．6.“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；任意角的三角函數(shù)的定義；二倍角的余弦．【分析】本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡(jiǎn)易邏輯中充要條件的判斷．屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查．將a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=時(shí)，a=+2kπ（k∈Z）卻不一定成立，根據(jù)充要條件的定義，即可得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)a=+2kπ（k∈Z）時(shí)，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，當(dāng)cos2a=時(shí)，有2a=2kπ+?a=kπ+（k∈Z），或2a=2kπ﹣?a=kπ﹣（k∈Z），故選A．【點(diǎn)評(píng)】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．7.正方體棱長(zhǎng)為1，為側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且,則P點(diǎn)所形成軌跡圖形的長(zhǎng)度為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D8.數(shù)列前項(xiàng)和為，若，則等于（）A．B．

C．

D．參考答案：A9.在一項(xiàng)調(diào)查中有兩個(gè)變量x（單位：千元）和y（單位：t），如圖是由這兩個(gè)變量近8年來(lái)的取值數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖，那么適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型的是（

）A.y＝a+bx B.y＝c+d C.y＝m+nx2 D.y＝p+qex（q＞0）參考答案：B散點(diǎn)圖呈曲線，排除選項(xiàng)，且增長(zhǎng)速度變慢，排除選項(xiàng)，故選.10.函數(shù)有(

)A.最大值為1 B.最小值為1C.最大值為e D.最小值為e參考答案：A【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷出函數(shù)的最值情況.【詳解】解:，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有最大值為，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值問(wèn)題，對(duì)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性的判斷是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線l1和l2是圓x2+y2=2的兩條切線．若l1與l2的交點(diǎn)為（1，3），則l1與l2的夾角的正切值等于

．參考答案：【考點(diǎn)】圓的切線方程；兩直線的夾角與到角問(wèn)題．【分析】設(shè)l1與l2的夾角為2θ，由于l1與l2的交點(diǎn)A（1，3）在圓的外部，由直角三角形中的邊角關(guān)系求得sinθ的值，可得cosθ、tanθ的值，再計(jì)算tan2θ．【解答】解：設(shè)l1與l2的夾角為2θ，由于l1與l2的交點(diǎn)A（1，3）在圓的外部，且點(diǎn)A與圓心O之間的距離為OA=，圓的半徑為r=，∴sinθ=，∴cosθ=，tanθ=，∴tan2θ==，故答案為：．12.用4種顏色給一個(gè)正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)染色，若同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)不能用相同的顏色，那么不同的染色方法共有_____________種。 參考答案：2413.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

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．參考答案：14.已知雙曲線C：的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線C的焦距為_(kāi)____________．參考答案：4.【分析】利用雙曲線的性質(zhì)及條件列a,b,c的方程組，求出c可得.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以,解得，所以雙曲線的焦距為4.故答案為4.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意隱含條件，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15.點(diǎn)P（﹣1，2）在不等式2x+3y﹣b＞0表示的區(qū)域內(nèi)，則實(shí)數(shù)b的范圍是．參考答案：b＜4考點(diǎn)：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：根據(jù)點(diǎn)P（﹣1，2）在不等式2x+3y﹣b＞0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，列出關(guān)于b的不等式，求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．解答：解：∵P（﹣1，2）在不等式2x+3y﹣b＞0表示的區(qū)域內(nèi)，∴﹣2+6﹣b＞0，解得b＜4，則實(shí)數(shù)b的范圍是b＜4，故答案為：b＜4．點(diǎn)評(píng)：考查二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，理解二元一次不等式表示的平面區(qū)域，會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題．16.如圖：先將等腰的斜邊與有一個(gè)角為的的斜邊重合，然后將等腰沿著斜邊AB翻折成三棱錐,若，則的最大值為_(kāi).參考答案：17.已知函數(shù)在區(qū)間（-1,1）上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

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．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝a＋bx＋c在點(diǎn)x＝2處取得極值c－16.(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若f(x)有極大值28，求f(x)在上的最小值．參考答案：(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，由于f(x)在點(diǎn)x＝2處取得極值c－16，故有解得a＝1，b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上為增函數(shù)；當(dāng)x∈(－2,2)時(shí)，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,2)上為減函數(shù)；當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上為增函數(shù)．由此可知f(x)在x1＝－2處取得極大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2處取得極小值f(2)＝c－16.由題設(shè)條件知16＋c＝28，得c＝12.此時(shí)f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，因此f(x)在上的最小值為f(2)＝－4.19.參考答案：20.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若點(diǎn)P在曲線C上，且P到直線l的距離為1，求滿足這樣條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù).參考答案：(1)；(2)3個(gè).試題分析：（1）由曲線的極坐標(biāo)方程為,兩邊分別乘以,再根據(jù),即可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程.由直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,消去參數(shù)t可得直角坐標(biāo)系中的直線方程.（2）由圓心(2,0)到直線的距離為1.所以恰為圓半徑的，所以圓上共有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1.（1）由得，故曲線的直角坐標(biāo)方程為：，即；由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)得，即．4分（2）因?yàn)閳A心到到直線的距離為，恰為圓半徑的，所以圓上共有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1．7分考點(diǎn)：1.極坐標(biāo)方程.2.參數(shù)方程.21.觀察下列等式：，，，，……（1）依照上述4個(gè)式子的規(guī)律，歸納出第n個(gè)等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述第n個(gè)等式.參考答案：(1)第個(gè)等式為（2）要證明的等式即（i）當(dāng)時(shí)，等號(hào)顯然成立（ii）假設(shè)時(shí)，等號(hào)成立，則當(dāng)時(shí)，所以假設(shè)成立，綜上，.19.解：22.已知{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，a2=2，且a4，3a3，a5成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{an+1﹣λan}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2n﹣1（n∈N*），求實(shí)數(shù)λ的值．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】方程思想；定義法；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程關(guān)系求出公比即可，（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式利用分組法求出Sn的值，利用對(duì)比法進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）∵a2=2，且a4，3a3，a5成等差數(shù)列．∴a4+a5=2×3a3，即qa3+q2a3=6a3，即q2+q﹣6=0，得q=