《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》習(xí)題及答案1

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)習(xí)題及參考答案1-1.簡述優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式。形式。求設(shè)計(jì)變量向量xx1

x Lx2

T使 f(x)min且滿足約束條件

h(x)0k

(k1,2,Ll)g(x)0j

(j1,2,Lm)2-1.何謂函數(shù)的梯度梯度對優(yōu)化設(shè)計(jì)有何意義答：f(xffx1fx2

)在x2

點(diǎn)處的方向?qū)?shù)的表達(dá)式可以改寫成下面ffd

cos1 cos2 cos1xo xo

xo 1x2xocos2 f令f(x0)[]f f T，f 1x2xox2則稱它為函數(shù)f（x

，x）在x1 2

點(diǎn)處的梯度。d。梯度f(x0)f(x0)方向?yàn)楹瘮?shù)變化率最小方向，即最速下降方向。2-21

）=2x2

2+x1

2-2x+x在x2 1 2

[0,0]T處函數(shù)變化率最大的方向和數(shù)值。解：由于函數(shù)變化率最大的方向就是梯度的方向，這里用單位向量表示，函數(shù)變化率最大和數(shù)值時(shí)梯度的模f(x0)。求f（x1，x2）在x0f fx0

4x12 2f

2x2x0 1 x2

f(x0) f(x0)

=f2ff2fx1x2251 f(x0)5p f(x0)55 1 52-3f

3x24xx

x2在點(diǎn)0=[1,0]T處的最速下降1 2 1 1 2 2方向，并求沿著該方向移動(dòng)一個(gè)單位長度后新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值。解：求目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)f 6xx 11

4x,f2 x2

4x1

2x2則函數(shù)在0=[1,0]T處的最速下降方向是fx 6x

4x

6xPf(X0)f1 4 x

2

2x

x

4x2這個(gè)方向上的單位向量是：P(6)242P(6)242

x1x102[6,4]T

1 2 0213[3,2]T13新點(diǎn)是X1X0

e

3 13213 13新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值

f(X1)

9421313132-4.何謂凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃（要求配圖）一個(gè)點(diǎn)集（或區(qū)域，如果連接其中任意兩點(diǎn)xx2包含在該集合內(nèi)，就稱該點(diǎn)集為凸集，否則為非凸集。函數(shù)01的任意兩點(diǎn)x1、x2，存在如下不等式：fx1

1x2

fx1

1x2稱f（x）是定義在圖集上的一個(gè)凸函數(shù)。對于約束優(yōu)化問題f(x)、j=1,2,...,m都是凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃。j3-1.簡述一維搜索區(qū)間消去法原理。（要配圖）答：搜索區(qū)間（a，b）確定之后，采用區(qū)間逐步縮短搜索區(qū)間，從而找到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。假設(shè)搜索區(qū)間（a，b）內(nèi)任取兩點(diǎn)a1，b1，ab1

，并計(jì)算函數(shù)值f（a1

（b1

。將有下列三種可能情形；1《）由于函數(shù)為單谷，所以極小點(diǎn)必在區(qū)間）內(nèi)1 1 1）a》（b，同理，極小點(diǎn)應(yīng)在區(qū)間a，）內(nèi)1 1 11111）a）=（b，這是極小點(diǎn)應(yīng)在a11113-2.簡述黃金分割法搜索過程及程序框圖。b(ba) 1

a(ba)其中，為待定常數(shù)。3-3.對函數(shù)f()22，當(dāng)給定搜索區(qū)間55時(shí)，寫出用黃金分割法求極小點(diǎn)的前三次搜索過程。（要列表）黃金分割法的搜索過程序號序號aaabY比較Y1 2 1 20-55<1-5>2<3>3-4.使用二次插值法求f(x)=sin(x)在區(qū)間[2,6]的極小點(diǎn)，寫出計(jì)算步驟和迭代公式，給定初始點(diǎn)x=2，x=4，x=6，ε=10-4。1 2 3解：11234x124x24x3666y1y2y3xxpyp-1迭代次數(shù)K= 4，極小點(diǎn)為 ，最小值為 -1yyyy2py2，cyy2py2，

yy， 2 1 ，

cc 2 11 xx3 1

xx2

xx2 31 cx (xxp 2 1 3

1)c3收斂的條件： 4-1.簡述無約束優(yōu)化方法中梯度法、共軛梯度法、鮑威爾法的主要區(qū)別。答：梯度法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，使函數(shù)值下降最快，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)過程，走的是曲折的路線。這一次的搜索方向與前一次的搜索過程互相垂直，形成“之”字形的鋸齒現(xiàn)象。從直觀上可以看到，在遠(yuǎn)離極小點(diǎn)的位置，每次迭代可使函數(shù)值有較多的下降?？墒窃诮咏鼧O小點(diǎn)的位置，由于鋸齒現(xiàn)象使每次迭代行進(jìn)的距離縮短，因而收斂速度減慢。這種情況似乎與“最速下降”的名稱矛盾，其實(shí)不然，這是因?yàn)樘荻仁呛瘮?shù)的局部性質(zhì)。從局部上看，在一點(diǎn)附近函數(shù)的下降是最快的，但從整體上看則走了許多彎路，因此函數(shù)的下降并不算快。共軛梯度法是共軛方向法中的一種，因?yàn)樵谠摲椒ㄖ忻恳粋€(gè)共軛的量都是依賴于迭代點(diǎn)處的負(fù)梯度而構(gòu)造出來的，所以稱作共軛梯度法。該方法的第一個(gè)搜索方向取作負(fù)梯度方向，這就是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度，也就是對負(fù)梯度進(jìn)行修正。所以共軛梯度法實(shí)質(zhì)上是對最速下降法進(jìn)行的一種改進(jìn)，故它又被稱作旋轉(zhuǎn)梯度法。鮑威爾法是直接利用函數(shù)值來構(gòu)造共軛方向的一種共軛方向法，這種方法是在研究其有正1定矩陣Gf(x

xTGxbTxc2數(shù)的前提下，在迭代中逐次構(gòu)造G的共軛方向。在該算法中，每一輪迭代都用連結(jié)始點(diǎn)和終點(diǎn)證逐次生成共軛方向。4-2.如何確定無約束優(yōu)化問題最速下降法的搜索方向答：優(yōu)化設(shè)計(jì)是追求目標(biāo)函數(shù)值最小，因此搜所方向df(x)函數(shù)值在該點(diǎn)附近的范圍下降最快。按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代的算法k1x

xk f(xk)（k=0，1,2，…）k由于最速下降法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，所以最速下降法有稱為梯度法為了使目標(biāo)函數(shù)值沿搜索方-f(xk)能獲得最大的下降值其步長因子a 應(yīng)取一維搜k索的最佳步長。即有 k1

ka f(xk)

min

kaf(xk)

min()fx

fx

fx 根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件和多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得； k1T k k1T kf(x ) f(x )0或?qū)懗蒬 d 0 點(diǎn)靠近的過程。4-3.給定初始值x0=[-7,11]T，使用牛頓法求函數(shù)f(x,x1 2

)(x1

2)2(x1

2x2

)2的極小值點(diǎn)和極小值。解：梯度函數(shù)、海賽矩陣分別為2(x2)2(x2x)f(x,x1 2

) 14(x1x

1 22x)21 1

（2分）4 4

1 2 42f(x,x

)4

,2f 1 1

（4分）1 2 4 40=[-7,11T76則f(x0)116, （1分） 2x1x0

2f0

fx0 （21則f(x1)0, （1分）1滿足極值的必要條件，海賽矩陣是正定的，所以是極小點(diǎn)1x*x1f(x*)1。 （2分）4-4f(xx1 2

)為例說明單形替換法的基本原理。形。計(jì)算各頂點(diǎn)函數(shù)值，設(shè)（x1>fx2>fx3，這說明x3x1點(diǎn)最差。為了尋找極小點(diǎn)，一般來說。應(yīng)向最差點(diǎn)的反對稱方向進(jìn)行搜索，即通過x1并穿過x2x3的中點(diǎn)x4的方向上進(jìn)行搜索。在此方向上取點(diǎn)x5使 x5=x4+（x4-x1）x5稱作x1點(diǎn)相對于x4點(diǎn)的反射點(diǎn)，計(jì)算反射點(diǎn)的函數(shù)值fX5形；1）f（x5）<f（x3）即反射點(diǎn)比最好點(diǎn)好要好，說明搜索方向正確，可以往前邁一步，也就是擴(kuò)張。2）f（x3）<f（x5）<f（x2）即反射點(diǎn)比最好點(diǎn)差，比次差點(diǎn)好，說明反射可行，一反射點(diǎn)代替最差點(diǎn)構(gòu)成新單純形3）f（x2）<f（x5）<f(x1)，即反射點(diǎn)比次差點(diǎn)差，比最差點(diǎn)好，說明x5走的太遠(yuǎn)，應(yīng)縮回一些，即收縮。f(x5)>f(x1)，反射點(diǎn)比最差點(diǎn)還差，說明收縮應(yīng)該多一些。將新點(diǎn)收縮在x1x4之間f(x)>f(x1)，說明x1x45-1.（解法的原理、特點(diǎn)及主要方法）mx，且以適當(dāng)?shù)牟介L沿dx1重復(fù)上述搜索過程，滿足收斂條件后，迭代終止。所謂可行搜索方向是指，當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值將下降，且不會越出可行域。產(chǎn)生可行搜索方向的方法將由直接解法中的各種算法決定。直接解法的原理簡單，方法實(shí)用。其特點(diǎn)是：1）由于整個(gè)求解過程在可行域內(nèi)進(jìn)行，因此迭代計(jì)算不論何時(shí)終點(diǎn)，都可以獲得一個(gè)比初始點(diǎn)好的設(shè)計(jì)點(diǎn)。2）若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，相同時(shí)，可能搜索到不同的局部最優(yōu)解。為此，常在可行域內(nèi)選擇幾個(gè)差別較大的初始點(diǎn)分別3）即在有界可行域內(nèi)存在滿足全部約束條件的點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)有定義。直接解法有：隨機(jī)方向法、復(fù)合形法、可行方向法、廣義簡約梯度法等。索到原約束問題的最優(yōu)解。間接解法是目前在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用的一種有效方法。其特點(diǎn)是：1）由于無法有了可靠的基礎(chǔ)。目前，這類算法的計(jì)算效率和數(shù)值穩(wěn)定性也都有了較大提高。2）可以有效地處理具有等式約束的約束優(yōu)化問題。3）間接算法存在的主要問題是，選取加權(quán)因子比較困難，加權(quán)因子選取不當(dāng)，不但影響收斂速度和計(jì)算精度，甚至?xí)?dǎo)致計(jì)算失敗。間接解法有懲罰函數(shù)法和增廣乘子法。5-2.用內(nèi)點(diǎn)法求下列問題的最優(yōu)解：minf(x)x

2x1 2

2x 11st

g 3x 01 2（提示：可構(gòu)造懲罰函數(shù)(x,r)f(x)r2u1

lngu

(x)，然后用