2023學(xué)年度 正弦定理的應(yīng)用答案

答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（共20小題）1、△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a則= A、2 B、2 C、 D、考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用。專題：計算題。分析：利用正弦定理把題設(shè)等式中的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，化簡整理可氣的sinA和sinB的關(guān)系，最后利用正弦定理求得a和b的比．解答：解：∵asinAsinB+bcos2A=a∴由正弦定理可知sin2AsinB+sinBcos2A=sinA∴sinB（sin2A+cos2A）=sinB=sinA∴==選D點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．考查了利用正弦定理進(jìn)行邊角問題的互化．2、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，則A=（） A、30° B、60° C、120° D、150°

點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理將邊化為角運(yùn)算或?qū)⒔腔癁檫呥\(yùn)算．3、△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對邊邊長分別為a，b，c，若，則cosB=（） A、 B、 C、 D、考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用。專題：計算題。分析：通過正弦定理得出sinA和sinB的方程組，求出cosB的值．解答：解：∵△ABC中∴根據(jù)正弦定理得∴故選B；點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．在解三角形中，利用正余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化是解題的基本方法，在三角函數(shù)的化簡求值中常要重視角的統(tǒng)一，函數(shù)的統(tǒng)一，降次思想的應(yīng)用4、△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則a等于（） A、 B、2 C、 D、5、已知△ABC中，，，B=60°，那么角A等于（） A、135° B、90° C、45° D、30°考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用。專題：計算題。分析：先根據(jù)正弦定理將題中所給數(shù)值代入求出sinA的值，進(jìn)而求出A，再由a＜b確定A、B的關(guān)系，進(jìn)而可得答案．解答：解析：由正弦定理得：，∴A=45°或135°∵a＜b∴A＜B∴A=45°故選C點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．正弦定理在解三角形中有著廣泛的應(yīng)用，要熟練掌握．6、在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知A=，a=，b=1，則c=（） A、1 B、2 C、﹣1 D、考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用；余弦定理的應(yīng)用。專題：計算題。分析：方法一：可根據(jù)余弦定理直接求，但要注意邊一定大于0；方法二：可根據(jù)正弦定理求出sinB，進(jìn)而求出c，要注意判斷角的范圍．解答：解：解法一：（余弦定理）由a2=b2+c2﹣2bccosA得：3=1+c2﹣2c×1×cos=1+c2﹣c，∴c2﹣c﹣2=0，∴c=2或﹣1（舍）．解法二：（正弦定理）由=，得：=，∴sinB=，∵b＜a，∴B=，從而C=，∴c2=a2+b2=4，∴c=2．點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．在解三角形時一般就用這兩個定理，要熟練掌握．7、在△ABC中，設(shè)命題p：，命題q：△ABC是等邊三角形，那么命題p是命題q的（） A、充要條件 B、必要不充分條件 C、充分不必要條件 D、即不充分也不必要條件考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用；充要條件。專題：計算題。分析：先當(dāng)p成立時，利用正弦定理把等式中的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，化簡整理求得A=B=C判斷出△ABC是等邊三角形．推斷出p是q的充分條件；反之利用正弦定理可分別求得=2R，=2R，=2R，三者相等，進(jìn)而可推斷出p是q的必要條件，最后綜合可得答案．

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理的運(yùn)用，充分條件，必要條件和充分必要的條件的判定．考查了學(xué)生分析問題和推理的能力．8、在△ABC中，若，則角B的大小為（） A、30° B、45° C、135° D、45°或135°考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用。專題：計算題。分析：先根據(jù)正弦定理將題中所給數(shù)值代入求出sinB的值，進(jìn)而求出B，再由角B的范圍確定最終答案．解答：解：由正弦定理得，∴B=45°或135°∵AC＜BC，∴B=45°，故選B．點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．正弦定理在解三角形中有著廣泛的應(yīng)用，要熟練掌握．9、已知△ABC中，AB=2，，則△ABC的周長為（） A、 B、 C、 D、考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用。專題：計算題。分析：利用正弦定理表示出邊a，b；利用三角形的內(nèi)角和將周長表示為角A的三角函數(shù)；利用兩角差的正弦公式展開、利用公式化簡三角函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查三角形中的正弦定理、考查三角形的內(nèi)角和為π、考查三角函數(shù)的兩角和的正弦、余弦公式．10、在△ABC中，A=120°，b=1，面積為，則=（） A、 B、 C、 D、考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用；余弦定理的應(yīng)用。分析：先根據(jù)三角形的面積公式求出AB邊的長，再由余弦定理可得邊BC的長，最終根據(jù)正弦定理得到答案．解答：解：∵A=120°∴sinA=S=×1×|AB|×sinA=∴|AB|=4根據(jù)余弦定理可得：|BC|2=|AC|2+|AB|2﹣2|AC||AB|cosA=21∴|BC|=根據(jù)正弦定理可知：==2故選C．點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．11、△ABC，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，則△ABC的面積為：（） A、 B、 C、 D、考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系。專題：計算題。分析：先把題設(shè)中的等式平方后求得sin2A的值，進(jìn)而根據(jù)sinA+cosA＞0推斷出A的范圍，進(jìn)而確定A的值，最后利用三角形面積公式求得答案．

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．12、在△ABC中，A：B：C=1：2：3，那么三邊之比a：b：c等于（） A、1：2：3 B、1：：2 C、3：2：1 D、2：：1考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用。專題：計算題。分析：利用三角形的三角的內(nèi)角和為180°，求出三角的大小，求出三角的正弦值，利用正弦定理求出三邊的比．解答：解：∵A+B+C=180°∵A：B：C=1：2：3∴A=30°，B=60°C=90°∴sinA=，sinB=sinC=1由正弦定理得a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：：2故選B．點(diǎn)評：本題考查三角形的內(nèi)角和為180°、三角形的正弦定理．13、在三角形ABC中，已知∠B=60°，最大邊與最小邊的比為，則三角形的最大角為（） A、60° B、75° C、90° D、115°考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用。專題：計算題。分析：設(shè)a為最大邊．，根據(jù)題意求得的值，進(jìn)而利用正弦的兩角和公式展開后，化簡整理求得tnaA的值，進(jìn)而求得A．

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用正弦定理把題設(shè)中關(guān)于邊的問題轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系．14、在△ABC中，若，則△ABC是（）． A、正三角形 B、有一內(nèi)角為30°的等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、有一內(nèi)角為30°的直角三角形考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用。專題：計算題。分析：先利用正弦定理把題設(shè)中的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，整理求得sinB=cosB，sinC=cosC，進(jìn)而分別求得B和C，則三角形的形狀可判斷．解答：解：∵，由正弦定理可知===1∴sinB=cosB，sinC=cosC∴B=，C=，∴A=∴△ABC是等腰直角三角形．故選C點(diǎn)評：本題主要考查而來正弦定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用正弦定理完成邊角問題的互化．15、在△ABC中，若AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是（） A、0＜C≤ B、0＜C＜ C、＜C＜ D、＜C≤考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用。專題：計算題。分析：利用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可求得b的范圍，進(jìn)而利用余弦定理表示出cosC的表達(dá)式，根據(jù)b的范圍求得cosC的范圍，進(jìn)而求得C的范圍．解答：解：因?yàn)閏=AB=1，a=BC=2，b=AC根據(jù)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可知1＜b＜3，根據(jù)余弦定理cosC=（a2+b2﹣c2）=（4+b2﹣1）=（3+b2）=+=（﹣）2+≥所以0＜C≤30°故選A點(diǎn)評：本題主要考查了解三角形問題．考查了學(xué)生分析問題的基本的推理能力．16、△ABC中，若A=60°，a=，則等于（） A、2 B、 C、 D、

17、在△ABC中，若==，則△ABC是（） A、直角三角形 B、等邊三角形 C、鈍角三角形 D、等腰直角三角形考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用。專題：計算題。分析：先根據(jù)正弦定理將邊的關(guān)系變?yōu)榻堑年P(guān)系，進(jìn)而再由兩角和與差的正弦公式確定B=C得到三角形是等腰三角形．解答：解：由=，得=．又=，∴=．∴=．∴sinAcosB=cosAsinB，sin（A﹣B）=0，A=B．同理B=C．∴△ABC是等邊三角形．故選B．點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理和兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用．三角函數(shù)公式比較多，要對公式強(qiáng)化記憶．18、不解三角形，確定下列判斷中正確的是（） A、a=4，b=5，tanA=2，tanB=3，a=1有一解 B、a=5，b=4，A=60°有兩解 C、，，B=120°有一解 D、，，B=60°一個解考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用。專題：計算題。分析：A不正確，因?yàn)槿切稳我鈨蛇呏痛笥诘谌叄@里a+c=4+1=5=b．B不正確，由正弦定理可得sinB=，再根據(jù)大邊對大角知B＜A，故B只有一個，故C只有一個．C不正確，因?yàn)橛捎诖筮厡Υ蠼?，由a＞b可得A＞B=120°，這與三角形的內(nèi)角和相矛盾．D正確，由正弦定理可得sinA=，且由大邊對大角知A＜B=60°，故A只有一個，故三角形有一解．解答：解：A不正確，因?yàn)槿切稳我鈨蛇呏痛笥诘谌叄@里a+c=4+1=5=b，故這樣的三角形不存在．B不正確，由正弦定理可得=，∴sinB=．再根據(jù)大邊對大角知B＜A，故B只有一個，故C只有一個，故三角形有一解．C不正確，因?yàn)橛捎诖筮厡Υ蠼?，a＞b，∴A＞B=120°，故A+B＞240°，這與三角形的內(nèi)角和相矛盾．D正確．由正弦定理可得，∴sinA=，且由大邊對大角知A＜B=60°，故A只有一個，C只有一個，故三角形有一解．故選D．點(diǎn)評：本題考查正弦定理，大邊對大角，根據(jù)角的正弦值確定角的范圍，是解題的難點(diǎn)．19、在△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，滿足條件的△ABC（） A、無解 B、有解 C、有兩解 D、不能確定

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是通過正弦定理求得sinB，進(jìn)而根據(jù)sinB的推斷出三角形的解．20、符合下列條件的三角形有且只有一個的是（） A、a=1，b=2，c=3 B、a=1，b=，∠A=30° C、a=1，b=2，∠A=100° D、b=c=1，∠B=45°考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用。專題：計算題。分析：A無解，因?yàn)槿切稳我鈨蛇呏痛笥诘谌叄@里a+b=c．B有2個解，由正弦定理可得sinB=，故B=45°，或B=135°．C無解，由于a＜b，∴A=100°＜B，∴A+B＞200°，這與三角形的內(nèi)角和相矛盾．D有唯一解，∵b=c=1，∠B=45°，∴∠C=45°，∴∠A=90°．解答：解：A無解，因?yàn)槿切稳我鈨蛇呏痛笥诘谌?，而這里a+b=c，故這樣的三角形不存在．B有2個解，由正弦定理可得，∴sinB=，故B=45°，或B=135°．C無解，由于a＜b，∴A=100°＜B，∴A+B＞200°，這與三角形的內(nèi)角和相矛盾．D有唯一解，∵b=c=1，∠B=45°，∴∠C=45°，∴∠A=90°，故有唯一解．故選D．點(diǎn)評：本題考查正弦定理的應(yīng)用，三角形的解的個數(shù)判斷，根據(jù)三角函數(shù)的值求角．根據(jù)三角函數(shù)的值求角是解題的難點(diǎn)．二、填空題（共5小題）21、如圖，AA1與BB1相交于點(diǎn)O，AB∥A1B1且AB=A1B1．若△AOB的外接圓的直徑為1，則△A1OB1的外接圓的直徑為2．22、在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，則cosA=．考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用；兩角和與差的正弦函數(shù)。專題：計算題。分析：先根據(jù)正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦值的關(guān)系，再運(yùn)用兩角和與差的正弦公式化簡可得到sinBcosA=sinB，進(jìn)而可求得cosA的值．解答：解：由正弦定理，知由（b﹣c）cosA=acosC可得（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∴cosA=．故答案為：點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理、兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用．考查對三角函數(shù)公式的記憶能力和綜合運(yùn)用能力．23、在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，則A=．考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用。專題：計算題。分析：通過正弦定理求出sinA的值，進(jìn)而求出角A，再根據(jù)角A的范圍得出結(jié)果．解答：解：由正弦定理得∴A=或∵a＜c故答案為：點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用．正弦定理是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角互化的常用方法．24、在△ABC中，若tanA=，C=150°，BC=2，則AB=．

25、在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊長分別為a，b，c．若sinA：sinB：sinC=5：7：8，則a：b：c=5：7：8，∠B的大小是60°．考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用；余弦定理的應(yīng)用。專題：計算題。分析：先通過正弦定理求出a，b，c的關(guān)系，設(shè)a=5k，b=7k，c=8k，代入余弦定理，求出cos∠B的值，進(jìn)而求出∠B．解答：解：由正弦定理得sinA：sinB：sinC=5：7：8∴a：b：c=5：7：8設(shè)a=5k，b=7k，c=8k，由余弦定理cos∠B===∴∠B=．故答案為：5：7：8，點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．解三角形的問題時，要靈活運(yùn)用這兩個定理．三、解答題（共5小題）26、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周長為5，求b的長．

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用、兩角和的三角函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)與方程的思想，考查計算能力，?？碱}型．27、在△ABC中，a，b，c，分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊長，a=，b=，1+2cos（B+C）=0，求邊BC上的高．考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用；正弦定理。專題：計算題。分析：利用三角形的內(nèi)角和180°，1+2cos（B+C）=0，求出A的正弦值，利用正弦定理，求出B的正弦值，然后求出C的正弦值，即可求出邊BC上的高．解答：解：由1+2cos（B+C）=0，和A+B+C=180°所以cosA=，sinA=，由正弦定理得：sinB==由b＜a知B＜A，所以B不是最大角，B＜90°．從而cosB==由上述結(jié)果知sinC=sin（A+B）=，設(shè)邊BC上的高為h則有h=bsinC=點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查三角形的內(nèi)角和，正弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計算能力，?？碱}型．28、在△ABC中，．（Ⅰ）證明B=C：（Ⅱ）若cosA=﹣，求sin的值．考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用。專題：證明題。分析：（1）先根據(jù)正弦定理將邊的比值轉(zhuǎn)化為正弦值的比，交叉相乘后根據(jù)兩角和與差的正弦公式可求出sin（B﹣C）=0．再由B，C的范圍可判斷B=C得證．（2）先根據(jù)（1）確定A，與B的關(guān)系，再由誘導(dǎo)公式可求出cos2B的值，然后由基本關(guān)系式可求sin2B的值最后由二倍角公式和兩角和與差的正弦公式可求最后答案．解答：（Ⅰ）證明：在△ABC中，由正弦定理及已知得=．于是sinBcosC﹣cosBsinC=0，即sin（B﹣C）=0．因?yàn)椹仸校糂﹣C＜π，從而B﹣C=0．所以B=C；（Ⅱ）解：由A+B+C=π和（Ⅰ）得A=π﹣