第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習(xí)題課

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(習(xí)題課)題組一：中值定理1.函數(shù)1x2

-

2

x

1f

(x)

x

1

-

x2在[0,2]上關(guān)于日定理的正確性.解:(1)驗證f

(x)在x=1處的連續(xù)性。驗證f

(x)在x=0處右連續(xù);x=2處左連續(xù)。驗證f

(x)在x=1處的可導(dǎo)性。cot

xx12.求下列極限(1) lim

ln(1

x)解:limx1ln(1

x)cot

x型

1

x1

csc2

xsin2

xx1 lim

1x

1

lim1

x00

型limx12sin

x

cos

x

11

0

x

（2）

limx0

4x2x(e

1)

x0

(e

x

1

2)4x(e

x

1)e

x

1

x

(x

0)lim

x

x0

4x(e

x

1)41x0

e

x

2

lim18.

24x

2x(e

xx0lim

1)

lim

解:1

1nn（3）

lim

n2

an

a

2

0

型1

1x

2

設(shè)

f

(x)

x2

ax

a1x

1x

x

lim

f

(x)

lim

x2

ax

a

2

1

x21

1x

lima

x

a

x

2

00

型1

11xln

a

2a

x

a

xx

lim1

12x0

型0

ln2

a

lim

(a

x

a

x

)

ln1

1nn

2

lim

n2

an

a2

ln

a

.解:（4）lim

2

x2

1

1

x22x0

(cos

x

ex

)

sin

x2解:因為1

x2

1

12412

2

2

2!(

1)1

x

x

o(x4

)

,

ex2

1

x2

o(x2

)

,2!cos

x

1

x2

o(x2

)

,sin

x2(x

0)x2所以2原式=

lim

1

x

2x024412

2

2

2!1

(

1

1)[1

x

x

o(x

)]2![1

x2

o(x2

)

(1

x

]

x22lim

8

x4

o(x4

)x0

3

x4

o(x4

)112

.3.設(shè)f

(x

)在f

(x0

)

0

,[f

(x0

x)

f

(x0

)]/x

f

(x0

)與x是同階無窮小.證明:0limx0f

(x0

x)

f

(x0

)

f

(x

)xxx0

x)

f

(x0

)

x

f

(x0

)

lim

f

(x0(x)200

型x0的某一鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且證明:當(dāng)x

0時,接3.x0f

(x

x)

f

(x

)

lim

0

0

2x12

f

(x0

)

.且f

(x0

)

0

.0x0f

(x0

x)

f

(x0

)

f

(x

)x

limx

c

(非零常數(shù))故當(dāng)x

0時,[f

(x0

x)

f

(x0

)]/x

f

(x0

)與x是同階無窮小.22x

4.證明:當(dāng)x

>1時,arctan

x

1

arccos1

x2

42x

1

x2

4證明:

設(shè)

f

(x)

arctan

x

1

arccos121)22x2x)f

(x)

1

()

(1

x2

21

x21

(1

x211

x2

1

x2

(1

0

f

(x)

c

(c為常數(shù))接4.取x

33

1

arccos

2 3

2

1

3

422x

.1

x2

4即

arctan

x

1

arccosc

f

(

3)

arctan

0

f

(x)

0得5.證明函數(shù)

f

(x)

(x

a)

ln[sin(b

x)

1]

的導(dǎo)數(shù)在(a

,

b

)內(nèi)必有零點.證明:顯然函數(shù)在[a,b]連續(xù)，在（a,b）可導(dǎo)，且f

(a)

Rolle定理

(a,b)使f

(x)

f

(x)的零點.證明:

設(shè)

f

(x1)

f

(x2

)

0

且x1

x2

.設(shè)F

(x)

ex

f

(x),顯然F(x)在[x1,x2

]上滿足Rolle定理,

(x1,x2

)使F(

)

0.即e

(

f

(

)

f

(

))

0故

f

(

)

f

(

)

0

.6.設(shè)f

(x)可導(dǎo),試證在f

(x

)的兩個零點之間必有f

(x)

0在f

(x)

1,

f

(a)

0,試證方程(a,a

f

(a))

內(nèi)有唯一實數(shù)根.證明:先證根的存在性.顯然f

(x)在[a,

]上滿足拉格朗日中值定理,

f

(a

f

(a))

f

(a)

f

(

)(

f

(a))

(a,

a

f

(a))即

f

(a

f

(a))

f

(a)(1

f

(

))而

f

(a)

0

,

f

(x)

1故f

(a

f

(a))

07.設(shè)f

(x

)在[a,+)上連續(xù),在(a,+)內(nèi)可導(dǎo)且接7.由零點定理知f

(x)

0

在(a,a

f

(a))內(nèi)有實數(shù)根.再證根的唯一性因為f

(x)

1,所以f

(x)在(a,a

f

(a))上單調(diào)增加.故f

(x)

0

在(a,a

f

(a))內(nèi)有唯一實根.綜合以上兩部分可知結(jié)論成立.8.設(shè)f

(x

)在f

(0)

2

f

1

1,試證:在(0,1)內(nèi)至少有一點,使f

(

)證明:

設(shè)

F(x)

則

F

(1)

-1

,

F

(

1)

1

.2

2由零點定理得:

(1,1)

使F

()

0

.

又知F(0)

0

,2F

(

)

0

,

(0,)

.在[0,

]上應(yīng)用Rolle定理得:即f

(

)1

0.[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)且使f

(

g(

)g(b)

g證明:將結(jié)果變形為:f

(

)

g(

)

g(

)

f

(

)

g(b)

f

(

)

f

(a)

g(

)

0設(shè)

F(x)

f

(x)g(x)

g(b)

f

(x)

f

(a)g(x)對F(x)在[a,b]上應(yīng)用

日中值定理得:F

(b)

F

(a)

F

(

)(b

a)

,

(a,b)

.9.

設(shè)f

(x

)和g

(x

)在[a

,b

]上連續(xù),在(a

,b

)內(nèi)可導(dǎo)且對一切

x(a

,b

)有g(shù)(x)

0,則必存在

(a,b)接9.即[f

(

)

f

(a)]g(

)[g(b)

g(

)]f

(

)g(x)

0

g(

)

0假設(shè)g(b)

g(

)

0即g(b)

g(

)對g(x)在[

,b]上應(yīng)用Rolle中值定理得:

(

,b)

(a,b)

使

g()

0

.

這與g(x)

0故g(b)

g(

)

0.于是有f

(

)

f

(

)

f

(a)

.g(

)

g(b)

g(

)f

(

)

證明:f

(

)

f

(

)

2

f

(

)

010.設(shè)

f

(

x

)在[0,

1

]

上連續(xù),在(

0

,

1

)內(nèi)可導(dǎo)且f

(1)

0,

試證:在(0,1)內(nèi)至少有一點,使

2

f

(

)

2

f

(

)

0設(shè)F

(x)顯然F

(x)在[0,1]上滿足Rolle中值定理.

(0,1)使F(

)

0,即

2

f

(

)

2

f

(

)

0故

f

(

)

2

f

(

)

.1.題組二： 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用ln

2所在的區(qū)間.解:

設(shè)

f

(x)

x2x

1

,

則

f

(x)

2x

(1

x

ln

2)

.令

f

(x)

0

得

x

1x(,

1

)ln

2

1ln

2(

1

,

)ln

2f

(x)0f

(x)方程

x2x

1

的實數(shù)根的個數(shù),

并求出它們接1.1ln

2xyo因此方程有唯一實數(shù)根

1

ln

2,

)

.介于(

2

,f

(x)x0

1

cos

x則在

x

=0

處

f

(

x)為

.A.不可導(dǎo)C.

取極大值B.

可導(dǎo)且f

(0)

0D.取極小值解:x0x

0x0f

(0)

lim

f

(x)

f

(0)

lim(

f

(x)

1

cos

x

)x

1

cos

xx01

cos

x

xxx0

lim( f

(x)

1

cos

x

)

2

lim

1

cos

x

02.設(shè)f

(x

)連續(xù)且f

(0)=0,lim接2.limf

(x)

2x0

1

cos

x1

cos

x

02

0極限的局部保號性U

(0,

)當(dāng)x

U

(0,

)時,f

(x)

0

f

(0)x

=0為函數(shù)極小值點.如果

f

(x0

)

f

(x0

)

0

,

而

f

(x0

)

0

,x

=x0為極值點還是(

x0

,

f

(x0))為拐點.解:0f

(x

)

00)limx

x

f

(x)

f

(xx

x00f

(x)xx

limx

x0

0

.x

x0時

x

x0

00

0x

x

時

x

x

0

0

0f

(x

)

f

(x

)f

(x)在x0的左右方變號.(x0

,

f

(x0))為拐點.3.設(shè)f

(x

)在x

=x0的某一鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),接3.公式得由f

(x)

0

0

000

02!3!f

(x

)

f

(x

)(x

x

)

f

(x0

)

(x

x

)2

f

(x0

)

(x

x

)3

o((x

x

)3

)f

(x0

)

f

(x0

)

0f

(x0

)

00

003!f

(x)

f

(x

)

f

(x0

)

(x

x

)3

o((x

x

)3

)x

x0時與x

x0時f

(x)

f

(x0

)變號x=x0不是極值點.

bx

c與曲線y在x

=0

處有相同的切線和曲率.解:4.

試確定常數(shù)a

,b

,c

使拋物線y

ax21記y

(x)

ax2

bx

c2y

(x)

cos

x因兩曲線同過x

0,所以有y1(0)

y2

(0)c

1因兩曲線在x

0

有相同的斜率，所以有y

(0)

y

(0)1

2x02ax

b

|x0

sin

x

|b

032322212(0))接4.因兩曲線在

x

0

有相同的曲率，

所以有|

y1(0)

|

|

y2(0)

|(1

y

(0))(1

y又因為y

(0)

y

(0)1

2所以|

y1

(0)

||

y2

(0)

|2|

a

|

1x在

x

=

a

(a

0)有極值,試證:曲線f

(

x

)

在(a

,

f

(a)

)處的切線過原點.證明:5.

設(shè)f

(

x

)

在(

-

,

+

)

上可微,函數(shù)

(x)

f

(x)處的切線為曲線

y

在(a,

f

(a))y

f

(a)

f

(a)(x

a)因為(x)在xa

取得極值，所以(a)

0而xxa(a)

(x)

|xa

(

f

(x))

|x2xa

f

(x)x

f

(x)

|a2

f

(a)a

f

(a)

0接5.所以f

(a)

af

(a)

y

f

(a)

f

(a)(x

a)將其代入切線方程得y

f

(a)

xa于是切線過原點。6.

求數(shù)列{n

n}解:的最大值.xyo7.

過曲線

L

:

y

x2

1

(x

0)上的點P

作L

的切線,此切線與坐標(biāo)軸相交于點M

,N

,試求點P

的坐標(biāo),使O

M

N

的面積最小.解:PMNy

x-1設(shè)P點坐標(biāo)為(x

,y)，則切線方程為Y

y

2x(

X

x)得M，N點的坐標(biāo)分別為又知y

x分別令X

0,

0)x2M

(2x

1N

(0,

x2

1)接7.xyoPMNy

x這時S(x)

1

x22

2x

1

(x24x1)

1

(x2

1)2(x

0)S(x)

1

(x2

1)(3x2

1)4x2令S(x)

03得

x

1

而3x

1為符合定義的唯一駐點，-1由題意知面積最小值一定存在，333故

x

1

就是最小值點，因此

P(

1

,

2)

.8.

證明不等式2(1)

當(dāng)1

x

1時,4arctan

x

ln(1

x2

)

ln

2

.證明:設(shè)f

(x)

arctan

x

ln(1

x2

)則f

(x)

1

2x

0(

1

x

1)1

x2因此該函數(shù)在(1

,1)22單調(diào)減、無駐點、無不可導(dǎo)點，于是在端點x

1

處，函數(shù)取得最小值，所以

f

(x)

f

(1)即不等式成立。(2)當(dāng)0

x

2時,4x

ln

x

x2

2x

4

0

.證明:

設(shè)f

(x)

4x

ln

x

x2

2x

4則f

(x)

4ln

x

2x

2令f

(x)

0得x

1為唯一駐點。又知f