2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題 空間幾何體的表面積與體積 講義 （解析版）

第Page\*MergeFormat24頁共NUMPAGES\*MergeFormat24頁高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)之--空間幾何體的表面積與體積【高考展望】從近幾年高考情況來看，本講高考考查仍舊以選擇題、填空題為主，難度中等。預(yù)測2022年將會考查：柱體、椎體、臺體的表面積與體積；柱體、椎體、臺體的外接、內(nèi)切球的表面積與體積。其中柱體、椎體、臺體的外接球與內(nèi)切球的題目設(shè)計比較新穎，但只要知道了這類型題的方法，便可迎刃而解。本講詳細概括了各類型題目的解題方法以及對應(yīng)的考題?？忌蛇吙礆w納邊對號入座練習(xí)題目。一、空間幾何體的表面積和體積㈠空間幾何體的表面積和體積Ⅰ、棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各面的面積之和。Ⅱ、圓柱、圓錐、圓臺的表面積就是它們的底面積與側(cè)面積之和。①，②，③，Ⅲ、球的表面積：Ⅳ、柱體、錐體、臺體和球的體積公式：①（為底面積，為柱體高）；②（為底面積，為錐體高）；③（，分別為上、下底面面積，為臺體高）。④㈡求幾何體的表面積和體積的方法方法一：對于規(guī)則的幾何體一般用公式法。方法二：對于非規(guī)則的幾何體一般用割補法。二、與球有關(guān)的組合體問題一般要直觀地畫出組合體的空間圖形，再找到合適的軸截面，最后解直角三角形等。三、長（正）方體的體對角線：①若長方體長、寬、高分別為：，則長方體體對角線長：②若正方體棱長為，則正方體體對角線：四、多面體的外接球、內(nèi)切球：①若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是這個多面體的外接球。②若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內(nèi)切球。③長方體外接球半徑：長方體體對角線長的一半。④正方體內(nèi)切球半徑：正方體棱長的一半。⑤一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為，則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑。設(shè)其外接球的半徑為，則有.五、球的截面的性質(zhì)：用一個平面去截一個球，截面是圓面.球的截面有以下性質(zhì)：①球心和截面圓心的連線垂直于截面；②球心到截面的距離與球的半徑及截面的半徑有下面的關(guān)系：.六、柱體、錐體、臺體沿側(cè)面行程的距離最短問題：求空間線段長度和的最小值問題，在很多情形下可以轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最短路程問題，通常是將空間圖形展開后加以處理.簡單的多面體可以沿著它的某些棱剪開展成平面圖形，同樣，圓柱、圓錐及圓臺也可以沿著其母線剪開展成平面圖形.借助這些幾何體的平面展開圖，我們可以討論一些最短路線問題.考點1棱柱、棱錐、棱臺的表面積一、棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各個面的面積之和。二、正棱錐的定義：如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的正投影是底面的中心，我們就稱這樣的棱錐為正棱錐。考點2圓柱、圓錐、圓臺的表面積一、如果圓柱的底面半徑為，母線長為，那么圓柱的底面積為，側(cè)面積為，因此，圓柱的表面積；二、如果圓錐的底面半徑為，母線長為，那么圓錐的底面積為，側(cè)面積為，因此，圓錐的表面積；三、如果圓臺的兩底面半徑分別為，母線長為，那么它的側(cè)面積為，因此，圓臺的表面積?？键c3柱體、錐體、臺體的體積幾何體體積柱體，錐體，臺體，考點4球的體積公式及表面積公式一、半徑為的球的體積公式：；二、半徑為的球的表面積公式：?？挤?常見的求幾何體體積的方法一、幾何體的體積的求法通常有以下幾種：（1）公式法：直接代入公式求解；（2）等體積轉(zhuǎn)化法：在三棱錐中，每一個面都可作為底面，為了求解的方便，我們經(jīng)常需要換底。此法在求點到平面的距離時也常用到，即。（3）分割法：把幾何體分割成若干個常規(guī)的幾何體的體積問題。（4）補形法：把不規(guī)則的幾何體補成柱、錐、臺體，再用柱、錐、臺體的體積公式求解。二、知識拓展：體積計算的方法——割補法。（一）當(dāng)一個幾何體的形狀不規(guī)則時，常通過分割或補形的方法，將它變?yōu)橐粋€或幾個規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計算。（二）當(dāng)一個幾何體體積很難計算時，也可考慮通過割補法求解，經(jīng)?？紤]將三棱錐還原為三棱柱或長方體、將三棱柱還原為平行六面體、將臺體還原為錐體等。以下是幾種常見的還原方法：（1）將正四面體補為正方體，如圖所示，（2）將對棱長相等的三棱錐補成長方體，如圖所示，（3）將三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐補成長方體或正方體，如圖所示，。（4）將三棱錐補成三棱柱或平行六面體，如圖所示，（5）將三棱柱補成平行六面體，如圖所示，（6）將臺體還原成錐體，如圖所示，考法2組合體的表面積和體積的計算方法求組合體表面積和體積的一般步驟：第一步：弄清組合體是由哪幾種簡單幾何體組合而成，是接拼，還是挖去，還是截?。坏诙剑悍謩e求出各簡單幾何體的表面積和體積；第三步：計算結(jié)果。組合體的表面積是組成它的簡單幾何體的表面積之和減去公共部分的面積，其體積是各簡單幾何體的體積之和（若是“挖去”，則是體積之差）。考法3與球有關(guān)的組合體的表面積和體積的計算方法Ⅰ、與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接。解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑。對于球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作出它們的軸截面解題；對于球與多面體的組合，通常過多面體的一條側(cè)棱和球心（或“切點”“接點”）作出截面圖解題。Ⅱ、解決幾何體的外接球與內(nèi)切球的方法：一、外接球的問題簡單多面體外接球問題是立體幾何中的難點和重要的考點，此類問題實質(zhì)是解決球的半徑或確定球心的位置問題，其中球心的確定是關(guān)鍵。（一）由球的定義確定球心在空間，如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那么這個定點就是該簡單多面體的外接球的球心。由上述性質(zhì)，可以得到確定簡單多面體外接球的球心的如下結(jié)論：結(jié)論1：正方體或長方體的外接球的球心是其體對角線的中點；結(jié)論2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點；結(jié)論3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點；結(jié)論4：正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過計算找到；結(jié)論5：若棱錐的頂點可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心。（二）構(gòu)造正方體或長方體確定球心長方體或正方體的外接球的球心是在其體對角線的中點處。以下是常見的、基本的幾何體補成長方體或正方體的途徑與方法。途徑1：正四面體可構(gòu)造成正方體；途徑2：同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體可構(gòu)造成長方體或正方體；途徑3：相對的棱相等的三棱錐可構(gòu)造成正方體或長方體。（三）由性質(zhì)確定球心利用球心與截面圓圓心的連線垂直于截面圓及球心與弦中點的連線垂直于弦的性質(zhì)，確定球心。二、內(nèi)切球問題若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個球是這個多面體的內(nèi)切球。1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等；2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合；3、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法；4、若棱錐的體積為，表面積為，則內(nèi)切球的半徑為。2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)之--空間幾何體的表面積與體積題型一、柱體、錐體、臺體的表面積和體積1．如下左圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．B．C．D．2．《九章算術(shù)》問題十：今有方亭，下方五丈，上方四丈。高五丈。問積幾何？（今譯：已知正四棱臺體建筑物（方亭）如上中圖，下底邊長丈，上底邊長丈，高丈，問它的體積是多少立方丈？）（）A．B．C．D．3．水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如上右圖所示的，其中，，則繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A．B．C．D．4．某空間幾何體的三視圖如下左圖所示，則該幾何體的體積為（）A．B．C．D．5．一個棱錐的三視圖如上中圖，則該棱錐的全面積（單位：）為（）A．B．C．D．6．一個幾何體的三視圖如上右圖所示，則該幾何體的體積等于（）A．B．C．D．題型二、球的表面積和體積1．設(shè)長方體的長、寬、高分別為，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）A．B．C．D．2．正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為2，且三棱柱的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．3．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑。若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的表面積為________題型三、側(cè)面展開圖1.某圓柱的高為，底面周長為，其三視圖如下圖。圓柱表面上的點在正視圖上的對應(yīng)點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應(yīng)點為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（）A.B.C.D.2．已知圓錐底面半徑為，母線長為，某質(zhì)點從圓錐底面圓周上一點出發(fā)，繞圓錐側(cè)面一周，再次回到點，則該質(zhì)點經(jīng)過的最短路程為題型四、四面體的外接球問題1．已知正三棱錐的正視圖和俯視圖如下圖所示，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A． B．C. D.2．如下圖，在等腰梯形中，，，為的中點．將與分別沿向上折起，使重合于點，則三棱錐的外接球的體積為（）A．B．C．D．3．在三棱錐中，兩兩垂直，，是棱上一個動點，若直線與平面所成角的正切的最大值為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A．B．C．D．4．一個幾何體的三視圖及部分數(shù)據(jù)如下左圖所示，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，則該幾何體的外接球體積為5．某三棱錐的三視圖如上右圖所示，則該三棱錐的外接球的體積是（）A．B．C．D．6.已知三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積是7．四面體的四個頂點的坐標為，，，，則該四面體外接球的體積為（）A．B．C．D．8．已知菱形中，，，沿對角線折成二面角為的四面體，則四面體的外接球的表面積為題型五、三棱柱的外接球問題1．若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如下圖所示，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）A.B.C.D.2．已知是同一球面上的四個點，其中是正三角形，平面，，則該球的表面積為（）A．16 B．24 C．48 D．323．三棱柱各頂點都在一個球面上，側(cè)棱與底面垂直，，，，則這個球的表面積為4．已知直三棱柱中，，側(cè)面的面積為，則直三棱柱外接球表面積的最小值為．題型六、四棱錐的外接球問題1．一個所有棱長均為1的正四棱錐的頂點與底面的四個頂點均在某個球的球面上，則此球的體積為（）A．B． C．D．2．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬。若四棱錐為陽馬，底面為矩形，平面，，，二面角為，則四棱錐的外接球的表面積為（）A．B．C．D．3．某幾何體三視圖如圖(單位：cm)，則該幾何體的外接球表面積是（）A． B． C． D．4．如圖，是邊長為1的正方體，是高為1的正四棱錐，若點，在同一個球面上，則該球的表面積為（）A．B．C．D．題型七、幾何體的內(nèi)切球問題1．已知一個三棱錐的體積和表面積分別為，若，則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為2．在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個體積為的球，若，，，，則的最大值是（）A．B．C．D．3．已知一個三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個體積為的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個三棱柱的表面積是（）A.B.C.D.4．已知正四面體的棱長為，如果一個高為的長方體能在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則該長方體的長和寬形成的長方形的面積的最大值為題型八、球的截面的問題1．平面截球的球面所得圓的半徑為，球心到平面的距離為，則此球的體積為（）A．B．C．D．2．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為（）A．B．C．D．3．已知是球的球面上兩點，，為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為，則球的表面積為（）A．B.C.D.4.已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（）A.B.C.D.題型九、數(shù)學(xué)文化題1．我國數(shù)學(xué)史上有一部堪與歐幾里得《幾何原本》媲美的書，這就是歷來被尊為算經(jīng)之首的《九章算術(shù)》，其中卷第五《商功》有一道關(guān)于圓柱體的體積試題：今有圓堡，周四丈八尺，高一丈一尺，問積幾何？其意思是：含有圓柱形的土筑小城堡，底面周長是4丈8尺，高1丈1尺，問它的體積是多少？若取3，估算小城堡的體積為（）A．1998立方尺B．2012立方尺C．2112立方尺D．2324立方尺2．《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式，它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為，那么，近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為（）A.B.C.D.3.如下左圖，正三棱錐中，兩兩互相垂直，，設(shè)點是內(nèi)一點，現(xiàn)定義，其中分別是三棱錐，，的體積。若，則的最小值為4．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的幾何體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美。將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體。如上右圖所示，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體。若二十四等邊體的棱長為，且其各個頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)之--空間幾何體的表面積與體積答案題型一、柱體、錐體、臺體的表面積和體積：1、C分析：該幾何體的表面積由圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個底面圓的面積組成。其中；，，所以。2、B分析：。3、B分析：根據(jù)斜二測畫法可知，原是以為底，高為的等腰三角形。又，故為邊長為2的正三角形。旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是由兩個底面半徑為，高為1的圓錐組合而成。故。4、B分析：可在長方體中尋找三視圖所對應(yīng)的的幾何體。如下左圖所示，正四棱錐挖去一個半圓錐即為該三視圖所對應(yīng)的幾何體。所以。5、A分析：由三視圖可得，該幾何體為三棱錐，其直觀圖如上中圖所示，面面，，取邊中點，則面，且，取邊中點，則，且，由此可得，此三棱錐的表面積為，故應(yīng)選A。6、C分析：可在長方體中尋找三視圖所對應(yīng)的的幾何體。如上右圖所示，即為該三視圖所對應(yīng)的幾何體。所以。題型二、球的表面積和體積1、B2、B分析：因底面邊長為,故底面中心到頂點的距離是,即球的截面圓的半徑為,所以,其表面積為,故應(yīng)選B.3、【解析】如下左圖，取的中點，連接，因為，所以，因為平面平面，所以平面設(shè)，，所以所以球的表面積為。題型三、側(cè)面展開圖：1、B分析：如上中圖兩圖，易得，，，所以。2、分析：如上右圖，由題意得該質(zhì)點經(jīng)過的最短路程為側(cè)面展開圖中弦的長度，因為底面圓的周長為，母線長為，所以側(cè)面展開圖的扇形的圓心角為，即，由余弦定理可得，，所以。題型四、四面體的外接球問題1、D分析：由主視圖得到正三棱錐的側(cè)棱長為，由俯視圖得到正三棱錐的底面是邊長為的正三角形，經(jīng)計算，正三棱錐的高為，外接球的半徑為，所以外接球的表面積為：。2、C分析：由已知條件知，平面圖形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1，∴折疊后得到一個正四面體.方法一（如右圖）：作AF⊥平面DEC，垂足為F，F(xiàn)即為△DEC的中心。，，在中，，解得：，方法二（如右圖）：把正四面體放在正方體中。顯然，正四面體的外接球就是正方體的外接球。∵正四面體的棱長為1，∴正方體的棱長為，∴外接球直徑2R=，，以下同方法一。所以選C3、A分析：如下左圖，兩兩垂直，可得平面，則為直線與平面所成的角。當(dāng)最大時，最小。此時為點到直線的距離，即。由，可得，設(shè)，則，由，可得，所以，解得，所以，所以。4、分析：由三視圖知幾何體為三棱錐，且三棱錐的一個側(cè)面與底面垂直，其直觀圖如上中圖，O為BD的中點，∵正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，∴OA=OB=OC=OD，∴幾何體的外接球的半徑為1，∴外接球的體積：。5、C分析：根據(jù)幾何體的三視圖得該幾何體是如上右圖所示的三棱錐，且側(cè)棱底面，所有面都為直角三角形，取中點，由直角三角形斜邊中點到各個頂點的距離都相等，得點即為此三棱錐外接球的球心，由三視圖易得直徑，所以三棱錐外接球的體積為：。6、分析：將四面體放置于長方體中，如圖所示，因為四面體的頂點為長方體八個頂點中的四個，所以長方體的外接球就是四面體的外接球，因為，，，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，，，所以，所以，所以，所以，所以。7、B分析：在空間直角坐標系中畫出四面體的圖象，由圖可知，，計算得，，所以該四面體側(cè)棱底面，且底面是邊長為的正三角形。所以底面正三角形的外接圓半徑為，球心必在過中點且平行于底面的平面上。所以球半徑，所以。法二、建系法：設(shè)球心坐標，因為，，，在球上，所以①，②，③，由①得，，由②得，，由③得，。所以球心坐標，球的半徑，所以。8、分析：如圖，設(shè)外接球的球心為，則到的距離相等，連接，過分別作平面，平面的垂線，垂足分別為，則分別為，的中心。設(shè)的中點，則，所以，，可得，，在中，，解得，在中，，即，所以，所以。題型五、三棱柱的外接球問題1、B分析：由題意，原三棱柱的底面棱長為，高為，經(jīng)計算可得底面三角形的高為，則底面外接圓半徑，球心到底面的球心距，則球的半徑，所以.2、C分析：由題意畫出幾何體的圖形如下左圖，把A、B、C、D擴展為三棱柱，上下底面中心連線的中點與A的距離為球的半徑，AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，，，所以球的表面積為：3、分析：在中，，，由余弦定理可得，由正弦定理，可得△ABC外接圓半徑，設(shè)此圓圓心為O′，球心為O，在中，得球半徑，故此球的表面積為．故答案為：．4、分析：根據(jù)題意，設(shè)，則有，從而有其外接球的半徑為，所以其表面積的最小值為.題型六、四棱錐的外接球問題1、D分析：如下左圖，正四棱錐的底面對角線的長為：，因為所有棱長均為1的正四棱錐，，所以AC為正四棱錐外接球的直徑．所以所求球的半徑為：，所以球的體積為：，故選D。2、D分析：如上右圖，易得為二面角的平面角，所以，所以，將該四棱錐補成一個長、寬、高分別為的長方體，易得，，所以。3、B分析：如下圖，將四棱錐S–ABCD補形成三棱柱，可知四棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，球心即為上下底面連線的中點，由三視圖可知，SE⊥底面ABCD，設(shè)，則，在中，，所以，在中，，。4、【答案】D題型七、幾何體的內(nèi)切球問題1、