【知識(shí)點(diǎn)解析】正余弦定理的綜合應(yīng)用

正余弦定理的綜合應(yīng)用正余弦定理的綜合應(yīng)用題型一：正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用測量距離高度角度不能到達(dá)正余弦定理正余弦定理的綜合應(yīng)用知識(shí)梳理仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角．（如圖①）．視線水平線仰角俯角視線鉛垂線①北西東南Bα②方位角和方向角（1）方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α（如圖②）．（2）方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30°等．正余弦定理的綜合應(yīng)用例已知島A南偏西38°方向，距島A3海里的B處有一艘緝私艇．島A處的一艘走私船正以10海里/小時(shí)的速度向島北偏西22°方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船？參考數(shù)據(jù)：sin38°≈

，sin22°≈由題目所給方位角畫出圖形，在△ABC中，AB、AC及夾角已知，用余弦定理求出BC，再根據(jù)正弦定理可求得sin∠ABC，得∠ABC＝∠BAD，所以BC∥AD，確定緝私船的方向．詳解如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為x海里/小時(shí)，結(jié)合題意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°?38°?22°＝120°．北東ACBD由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2?2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14．正余弦定理的綜合應(yīng)用故緝私艇以14海里/小時(shí)的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時(shí)截住該走私船．又由正弦定理得所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，例已知島A南偏西38°方向，距島A3海里的B處有一艘緝私艇．島A處的一艘走私船正以10海里/小時(shí)的速度向島北偏西22°方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船？參考數(shù)據(jù)：sin38°≈

，sin22°≈東ABD北C正余弦定理的綜合應(yīng)用總結(jié)明確方位角或方向角的含義．分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用．注意事項(xiàng)解決測量角度問題（1）（2）（3）正余弦定理的綜合應(yīng)用例△ABC的內(nèi)角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c，若B＝，c＝2，且sinA＝3sinC．AC的中點(diǎn)為D，則BD＝________．（1）利用正弦定理角化邊，求出a；（2）利用余弦定理可得到b，再得出cosA后在△ABD中用余弦定理求BD．詳解sinA＝3sinC．由余弦定理得，b2＝62＋22–2×2×6×cos60°＝28，由正弦定理得，a＝3c，∴a＝6．∴b＝．∴正余弦定理的綜合應(yīng)用例△ABC的內(nèi)角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c，若B＝，c＝2，且sinA＝3sinC．AC的中點(diǎn)為D，則BD＝________．∵D是AC的中點(diǎn)，∴BD＝．∴BD2＝AB2＋AD2–2AB·ADcosA∴AD＝．＝22＋（）2–2×2××＝13．本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用難度中等．正余弦定理的綜合應(yīng)用例如圖，在平面四邊形ABDC中，

（1）若

，求△ABC的面積；（2）若

，求sin∠CAD．ACBD詳解（1）在△ABC中，由余弦定理得，（1）在△ABC中，用余弦定理求出BC，再用S△ABC＝

AB·BC·sin∠ABC求面積；AC2＝AB2＋BC2?2AB·BC·cos∠ABC，即5＝1＋BC2＋

BC，解得

或

（舍去）正余弦定理的綜合應(yīng)用例如圖，在平面四邊形ABDC中，

（1）若

，求△ABC的面積；（2）若

，求sin∠CAD．ACBD所以△ABC的面積（1）在△ABC中，用余弦定理求出BC，再用S△ABC＝

AB·BC·sin∠ABC求面積；正余弦定理的綜合應(yīng)用例如圖，在平面四邊形ABDC中，

（1）若

，求△ABC的面積；（2）若

，求sin∠CAD．ACBD詳解（2）設(shè)∠CAD＝θ，在△ACD中，（2）設(shè)∠CAD＝θ，在△ACD中，利用正弦定理，得出AC與sinθ的關(guān)系，在△ABC中再利用正弦定理，得出AC與sinθ的關(guān)系，整理即可求得結(jié)果．由正弦定理得，即所以正余弦定理的綜合應(yīng)用例如圖，在平面四邊形ABDC中，

（1）若

，求△ABC的面積；（2）若

，求sin∠CAD．ACBD在△ABC中，則

即

即整理得sinθ＝2cosθ．聯(lián)立sin2

θ＋cos2

θ＝1，解得

，即正余弦定理的綜合應(yīng)用例如圖，在平面四邊形ABDC中，

（1）若