【知識點(diǎn)解析】正余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合問題

綜合問題正、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題知識梳理正、余弦函數(shù)性質(zhì)總結(jié)在

上單調(diào)遞増；在

上單調(diào)遞減；R[－1，1]奇函數(shù)偶函數(shù)最小正周期：T＝2π在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上單調(diào)遞増；在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上單調(diào)遞減．y1﹣1O－2π2π－ππxy1﹣1O－ππx函數(shù)定義域值域圖像奇偶性周期性單調(diào)性y＝sinxy＝cosx正、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題知識梳理正、余弦函數(shù)性質(zhì)總結(jié)當(dāng)x＝

＋2kπ，k∈Z時，ymin＝－1；當(dāng)x＝

＋2kπ，k∈Z時，ymax＝1當(dāng)x＝2kπ＋π，k∈Z時，ymin＝－1；當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時，ymax＝1x＝kπ，k∈Z（kπ，0），k∈Z函數(shù)最值對稱軸對稱中心y＝sinxy＝cosx正、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題例（1）求m的值及取此最小值時的x值；（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．詳解（1）由題意利用正弦函數(shù)最值的性質(zhì)，求出m的值及取此最小值時的x值．（2）函數(shù)f（x）＝2sin（2x－

）＋m（m∈R）的最小值為－2＋m＝1，∴m＝3．求得x＝kπ－

，k∈Z．已知函數(shù)f（x）＝2sin（2x－

）+m（m∈R）的最小值為1．取此最小值時，2sin(2x－

)＝－1，2x－

＝2kπ－

，k∈Z．正、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題例已知函數(shù)f（x）＝2sin（2x－

）+m（m∈R）的最小值為1．（1）求m的值及取此最小值時的x值；（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．詳解（2）利用正弦函數(shù)的周期性以及單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．（2）令z＝2x－

，因?yàn)閤∈R，則z∈R，因?yàn)閥＝2sinz＋3的最小正周期為2π，即2sinz＋3＝2sin（z＋2π）＋3正、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題例已知函數(shù)f（x）＝2sin（2x－

）+m（m∈R）的最小值為1．（1）求m的值及取此最小值時的x值；（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．由此可得：可得f（x）＝2sin（2x－

）+3，它的最小正周期為π．因?yàn)閥＝2sinz＋3，z∈R的單調(diào)遞增區(qū)間為

，可得函數(shù)的增區(qū)間為．且由,k∈Z．解得：

；，k∈Z．正、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題例已知函數(shù)f（x）＝2sin（2x－

）+m（m∈R）的最小值為1．（1）求m的值及取此最小值時的x值；（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．3．正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上單調(diào)遞減．1．正弦函數(shù)y＝sinx，當(dāng)

，k∈Z時有最小值y＝－

1.

上單調(diào)遞增；2．整體代換法求正弦函數(shù)的最小正周期；當(dāng)

，k∈Z時有最大值y＝1；正、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題例已知函數(shù)f（x）＝4cos（4x－

）+1．（1）求f（x）的對稱軸方程；（2）求f（x）在

上的單調(diào)遞減區(qū)間．詳解（1）令z＝4x－

，（1）令z＝4x－

，求出y＝4cosz＋1，z∈R的對稱軸方程，進(jìn)而求得f（x）的對稱軸方程；因?yàn)閤∈R，則z∈R，y＝4cosz＋1的對稱軸為z＝kπ，k∈Z；即4x－

＝kπ，k∈Z解得：所以f（x）的對稱軸方程為

；正、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題例已知函數(shù)f（x）＝4cos（4x－

）+1．（1）求f（x）的對稱軸方程；（2）求f（x）在

上的單調(diào)遞減區(qū)間．詳解（2）令z＝4x

－

，（2）令z＝4x－

，求出y＝4cosz＋1，z∈R的單調(diào)遞減區(qū)間，通過解不等式確定原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．原函數(shù)可化為：y＝4cosz＋1，z∈R單調(diào)遞減區(qū)間為：2kπ≤z≤2kπ＋π，k∈Z，即2kπ≤4x－

≤2kπ＋π，k∈Z，正、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題例已知函數(shù)f（x）＝4cos（4x－

）+1．（1）求f（x）的對稱軸方程；（2）求f（x）在

上的單調(diào)遞減區(qū)間．整理得：，當(dāng)k＝－1時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：

；當(dāng)k＝0時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：

，所以f（x）在

上的單調(diào)遞減區(qū)間為

，

．正、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題例已知函數(shù)f（x）＝4cos（4x－

）+1．（1）求f（x）的對稱軸方程；（2）求f（x）在