最新高中數(shù)學(xué)必修2-第一章《空間幾何體》單元測(cè)試題

PAGEPAGE6第一章?空間幾何體?單元測(cè)試題時(shí)間120分鐘，總分值150分。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1．某幾何體的三視圖，如下圖，那么這個(gè)幾何體是()A．三棱錐 B．三棱柱C．四棱錐 D．四棱柱[答案]B2．用一個(gè)平行于水平面的平面去截球，得到如下圖的幾何體，那么它的俯視圖是()[答案]B[解析]D選項(xiàng)為主視圖或側(cè)視圖，俯視圖中顯然應(yīng)有一個(gè)被遮擋的圓，所以內(nèi)圓是虛線，應(yīng)選B.3．斜四棱柱的側(cè)面是矩形的面最多有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)[答案]C[解析]此題考查四棱柱的結(jié)構(gòu)特征，畫出示意圖即可．4．△ABC是邊長(zhǎng)為2a的正三角形，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為A．eq\f(\r(3),2)a2 B．eq\f(\r(3),4)a2C．eq\f(\r(6),4)a2 D．eq\r(6)a2[答案]C[解析]直觀圖面積S′與原圖面積S具有關(guān)系：S′＝eq\f(\r(2),4)S.∵S△ABC＝eq\f(\r(3),4)(2a)2＝eq\r(3)a2，∴S△A′B′C′＝eq\f(\r(2),4)×eq\r(3)a2＝eq\f(\r(6),4)a2.5．圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84π，那么圓臺(tái)較小底面的半徑為()A．7 B．6C．5 D．3[答案]A[解析]設(shè)圓臺(tái)較小底面圓的半徑為r，由題意，另一底面圓的半徑R＝3r.∴S側(cè)＝π(r＋R)l＝π(r＋3r)×3＝84π，解得r＝7.6．正方體內(nèi)切球與外接球體積之比為()A．1eq\r(3) B．13C．13eq\r(3) D．19[答案]C[解析]設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，內(nèi)切球半徑R1，外接球半徑R2.R1＝eq\f(a,2)，R2＝eq\f(\r(3),2)a，V內(nèi)V外＝(eq\f(a,2))3(eq\f(\r(3),2)a)3＝13eq\r(3).應(yīng)選C.7．一個(gè)底面是菱形的直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為5，菱形的對(duì)角線的長(zhǎng)分別是9和15，那么這個(gè)棱柱的側(cè)面積是()A．30eq\r(34) B．60eq\r(34)C．30eq\r(34)＋135 D．135[答案]A[解析]由菱形的對(duì)角線長(zhǎng)分別是9和15，得菱形的邊長(zhǎng)為eq\r(\f(9,2)2＋\f(15,2)2)＝eq\f(3,2)eq\r(34)，那么這個(gè)菱柱的側(cè)面積為4×eq\f(3,2)eq\r(34)×5＝30eq\r(34).8．半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，那么它的體積為()A．eq\f(\r(3),24)πR3 B．eq\f(\r(3),8)πR3C．eq\f(\r(5),25)πR3 D．eq\f(\r(5),8)πR3[答案]A[解析]依題意，得圓錐的底面周長(zhǎng)為πR，母線長(zhǎng)為R，那么底面半徑為eq\f(R,2)，高為eq\f(\r(3),2)R，所以圓錐的體積為eq\f(1,3)×π×(eq\f(R,2))2×eq\f(\r(3),2)R＝eq\f(\r(3),24)πR3.9．正三棱柱有一個(gè)半徑為eq\r(3)cm的內(nèi)切球，那么此棱柱的體積是()A．9eq\r(3)cm3 B．54cmC．27cm3 D．18eq\r(3)cm[答案]B[解析]由題意知棱柱的高為2eq\r(3)cm，底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為eq\r(3)cm，∴底面正三角形的邊長(zhǎng)為6cm，正三棱柱的底面面積為9eq\r(3)cm2，∴此三棱柱的體積V＝9eq\r(3)×2eq\r(3)＝54(cm3)．10．棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，那么該正方體的正視圖的面積不可能等于()A．1 B．eq\r(2)C．eq\f(\r(2)－1,2) D．eq\f(\r(2)＋1,2)[答案]C[解析]水平放置的正方體，當(dāng)正視圖為正方形時(shí)，其面積最小為1；當(dāng)正視圖為對(duì)角面時(shí)，其面積最大為eq\r(2).因此滿足棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，那么該正方體的正視圖的面積的范圍為[1，eq\r(2)]．由此可知，A，B，D均有可能，而eq\f(\r(2)－1,2)＜1，故C不可能．11．一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正方形，其正(主)視圖如下圖，該四棱錐側(cè)面積和體積分別是()A．4eq\r(5)，8B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3)D．8,8[答案]B[解析]因?yàn)樗睦忮F的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正方形，所以該四棱錐為正四棱錐，其主視圖為原圖形中的△PEF，如圖．由該四棱錐的主視圖可知四棱錐的底面長(zhǎng)AB＝2，高PO＝2，那么四棱錐的斜高PE＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).所以該四棱錐側(cè)面積S＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4eq\r(5)，體積＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3).12．如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，A．eq\f(500π,3)cm3 B．eq\f(866π,3)cm3C．eq\f(1372π,3)cm3 D．eq\f(2048π,3)cm3[答案]A[解析]設(shè)球的半徑為R，那么由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為R－2，那么R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5.∴球的體積為eq\f(4π×53,3)＝eq\f(500,3)cm3.二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．在幾何體①圓錐；②正方體；③圓柱；④球；⑤正四面體中，三視圖完全一樣的是________．[答案]②④14．用斜二測(cè)畫法畫邊長(zhǎng)為2的正三角形的直觀圖時(shí)，如果在圖形中取的x軸和正三角形的一邊平行，那么這個(gè)正三角形的直觀圖的面積是________．[答案]eq\f(\r(6),4)15．棱錐的高為16，底面積為512，平行于底面的截面面積為50，那么截得的棱臺(tái)的高為________．[答案]11[解析]設(shè)棱臺(tái)的高為x，那么有(eq\f(16－x,16))2＝eq\f(50,512)，解之，得x＝11.16．一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如下列圖所示，其中主視圖是直角三角形，側(cè)視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，那么這個(gè)幾何體的外表積是________．[答案]2(1＋eq\r(3))π＋4eq\r(2)[解析]此幾何體是半個(gè)圓錐，直觀圖如右圖所示，先求出圓錐的側(cè)面積S圓錐側(cè)＝πrl＝π×2×2eq\r(3)＝4eq\r(3)π，S底＝π×22＝4π，S△SAB＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，所以S表＝eq\f(4\r(3)π,2)＋eq\f(4π,2)＋4eq\r(2)＝2(1＋eq\r(3))π＋4eq\r(2).三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共70分，解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題總分值10分)用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為116，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm，[解析]設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為lcm，截得圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為rcm,4rcm.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)，解得l＝9.所以，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9cm.18．(本小題總分值12分)如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖．(1)試判斷該幾何體是什么幾何體？(2)畫出其側(cè)視圖，并求該平面圖形的面積；(3)求出該幾何體的體積．[解析](1)由該幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體是一個(gè)正六棱錐．(2)該幾何體的側(cè)視圖如圖．其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的長(zhǎng)是俯視圖正六邊形對(duì)邊的距離，即BC＝eq\r(3)a，AD是正六棱錐的高，即AD＝eq\r(3)a，所以該平面圖形的面積為eq\f(1,2)·eq\r(3)a·eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a2.(3)設(shè)這個(gè)正六棱錐的底面積是S，體積為V，那么S＝6×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(3\r(3),2)a2，所以V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)a2×eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a3.19.(本小題總分值12分)如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的外表積及體積．[解析]過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，∵∠ADC＝135°，∴∠EDC＝45°.又∵CE⊥DE，∴CE＝ED＝2.易得CF＝4，BF＝3，∴BC＝5.四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是以EC，AB為底面半徑，EA為高的圓臺(tái)，去掉一個(gè)以EC為底面半徑，ED為高的圓錐，∴S表＝25π＋4eq\r(2)π＋π(10＋25)＝60π＋4eq\r(2)π，V＝eq\f(π,3)(22＋eq\r(22×52)＋52)×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.20．(本小題總分值12分)某幾何體的側(cè)視圖與其正視圖相同，相關(guān)的尺寸如下圖，求這個(gè)幾何體的體積．[解析]由三視圖可知，該幾何體是大圓柱內(nèi)挖掉了小圓柱，兩個(gè)圓柱高均為1，底面是半徑為2和eq\f(3,2)的同心圓，故該幾何體的體積為4π×1－π(eq\f(3,2))2×1＝eq\f(7π,4).21．(本小題總分值12分)某高速公路收費(fèi)站入口處的平安標(biāo)識(shí)墩如圖(1)所示．墩的上半局部是正四棱錐P－EFGH，下半局部是長(zhǎng)方體ABCD－EFGH.如圖(2)(3)所示的分別是該標(biāo)識(shí)墩的正(主)視圖和俯視圖．(1)請(qǐng)畫出該平安標(biāo)識(shí)墩的側(cè)(左)視圖；(2)求該平安標(biāo)識(shí)墩的體積．[解析](1)如下圖．(2)該平安標(biāo)識(shí)墩的體積V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH＝eq\f(1,3)×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm3)．22．(本小題總分值12分)如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為a，連接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一個(gè)三棱錐．求：(1)三棱錐A′－BC′D的外表積與正方體外表積的比值；(2)三棱錐A′－BC′D的體積．[解析](1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方體，∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq\r(2)a，∴三棱錐A′－BC′D的外表積為4×eq\f(1,2)