2011年全國(guó)中學(xué)生天文奧林匹克競(jìng)賽選拔賽-理論試題

2011年全國(guó)中學(xué)生天文奧林匹克競(jìng)賽選拔賽理論試題全國(guó)天文奧賽組委會(huì)供稿1、理論部分（每個(gè)年級(jí)組5道題，每題20分）1、（低年組）【恒星觀測(cè)】某晚觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，一顆赤經(jīng)a=lh20m05s、赤緯6=5°15'10"的恒星通過(guò)子午圈的時(shí)刻為21:33,當(dāng)時(shí)其地平高度為55°10'08"。之后測(cè)得一顆坐標(biāo)未知的恒星上中天的時(shí)刻為22:03，當(dāng)時(shí)其地平高度為43°20'25",問(wèn)：（1）觀測(cè)地的地理緯度是多少？（2）這顆坐標(biāo)未知的恒星的赤經(jīng)和赤緯分別是多少？答案：（1）第一顆恒星“過(guò)子午圈”，既可能是上中天也可能是下中天。先考慮上中天，根據(jù)其上中天時(shí)的地平高度等數(shù)據(jù)，代入以下公式：h=90°-gl當(dāng)?shù)氐牡乩砭暥葹椋?=40°05'02”（南（注:？）半球）或?=-29°34'42”（北（注:?）半球）若它此時(shí)是下中天，其地平高度為：h=l^+5l-90°代入數(shù)據(jù)可知：苦±145°10'08"-5°15'10",即則＞90°,結(jié)果無(wú)意義。表明這顆恒星此時(shí)不可能是下中天。（2）第二顆恒星比第一顆晚30分鐘上中天，意味著它的赤經(jīng)比第一顆大30m,所以第二顆恒星的赤經(jīng)為：a2=1h20m05s+30m=1h50m05s仍然利用（1）中的公式,可以求出第二顆星的赤緯為：9=40°05'02”時(shí)，82=-6°34'33"（天頂以南上中天）或鈣=86°44'37”（天頂以北上中天）；9=-29°34'42"時(shí)，82=-76°14'17"（天頂以北上中天）或82=17°4'53"（天頂以南上中天）2、（高年組和低年組）【木星落山】請(qǐng)估算（至少是粗略估計(jì)），當(dāng)木星沖日時(shí)，在北京延慶學(xué)生軍訓(xùn)基地（即本次考試地）觀測(cè)，從木星視圓面下緣與地平相切直到木星視圓面完全消失在地平線下的整個(gè)過(guò)程（即木星落山）需要多長(zhǎng)時(shí)間？大氣折射對(duì)你的計(jì)算結(jié)果有何影響？假設(shè)地球、木星軌道為正圓并且共面，木星軌道半長(zhǎng)徑為5.2AU，赤道半徑為71500km。答案：木星沖日時(shí)，離地球的距離為4.2AU，它的視直徑為：d=2x71500km/（4.2AU）=2.27弧度？（注：2.27exp-4）=46.82”當(dāng)木星正好位于赤道上時(shí)（6=0）,它的周日視運(yùn)動(dòng)的角速度為：e0=360°/23h56?4s~15"/s估算時(shí)，可以認(rèn)為任一天的木星視運(yùn)動(dòng)角速度都等于e0,落山時(shí)它的周日視運(yùn)動(dòng)軌跡與地平線的夾角為90°-9，需要進(jìn)行緯度改正。因此在緯度為9=40°的地方，它落山的時(shí)間大致為：t=[d/sin（90°-?）]/①°壬4.1s大氣折射在地平線附近約為35'，而木星視圓面僅為46.82”，因此大氣折射只改變木星的視位置，對(duì)落山的持續(xù)時(shí)間沒(méi)有影響。如果是太陽(yáng)（視直徑32'左右），則可能會(huì)有影響。因?yàn)榇髿庹凵浣请S著地平高度而減小，會(huì)導(dǎo)致我們看到的地平附近的太陽(yáng)呈扁圓形（寬度不變，但長(zhǎng)度變小，形狀大約為32'x26.5'，見(jiàn)2005年國(guó)際天文奧賽實(shí)測(cè)題），因此北緯40度處的太陽(yáng)落山時(shí)間會(huì)略微變短大約30秒。編者注：實(shí)際上由于木星的周日視運(yùn)動(dòng)圓與它的赤緯（6）有關(guān)，當(dāng)6不為0時(shí)，視運(yùn)動(dòng)軌跡是個(gè)小圓。這時(shí)其周日視運(yùn)動(dòng)角速度不同于e0,落山的時(shí)間當(dāng)然有所差別。我們可以根據(jù)球面天文學(xué)公式推導(dǎo)出任意日期的木星落山時(shí)間滿足：t=d/[e0?（cos20-sin20）o.5]（1）木星的赤緯為（-23.5°,23.5°）,因此在北緯40度處，它的落山的時(shí)間為：匚4.1s~4.8s。大氣折射可以改變木星的赤緯6,從而使得它落山時(shí)的視運(yùn)動(dòng)圈略有改變，但導(dǎo)致的cos6變化不超過(guò)0.004,t的變化不到0.02秒，完全可以忽略。因此大氣折射對(duì)木星落山過(guò)程沒(méi)有影響。（1）式的推導(dǎo)過(guò)程比較復(fù)雜，已經(jīng)超出了中學(xué)數(shù)學(xué)水平，參加奧賽的同學(xué)不必掌握。當(dāng)在國(guó)際奧賽中再次遇到類似的問(wèn)題時(shí)，可以忽略周日視運(yùn)動(dòng)的“小圓”效應(yīng)不要在這個(gè)問(wèn)題上過(guò)于糾纏。例如2010年亞太地區(qū)天文奧賽理論高年組第二題（晨昏蒙影，參見(jiàn)2011年第2期《天文愛(ài)好者》），當(dāng)時(shí)有不少學(xué)生試圖考慮到周日視運(yùn)動(dòng)是小圓，花費(fèi)了很大精力，結(jié)果卻仍然不對(duì)。3、（高年組和低年組）【黃道】位于地球某處的觀測(cè)者，在昨晚的某一時(shí)刻觀測(cè)土星，他注意到這時(shí)黃道上的每一點(diǎn)都有一種奇異的性質(zhì)：這一點(diǎn)和南天極的角距離剛好等于這一點(diǎn)的天頂距。不考慮大氣折射，求觀測(cè)者的地理緯度，并估算他的觀測(cè)時(shí)刻。答案：首先要知道，要想黃道上的每一點(diǎn)都滿足題意，此時(shí)的黃道必與天赤道相交于東、西兩點(diǎn)，也就是說(shuō)觀測(cè)時(shí)間為地方恒星時(shí)6h或18h左右（春、秋分時(shí)角為6h時(shí)），對(duì)應(yīng)的地方時(shí)為15h20m或3h20m，顯然他是在晚上觀測(cè)，時(shí)間應(yīng)為3h20m左右。此刻黃道上正好過(guò)上中天的那一點(diǎn)，其天頂距和到南極的距離滿足：z=?6|=90°+6代入8=±23.5°，可以求出只有：9=-90°或9=43.0°才滿足題意。所以觀測(cè)者在北半球，緯度為43°，當(dāng)時(shí)的地方時(shí)為3h20m?；蛘咚谀蠘O，這天南極是極夜，任意時(shí)刻都能觀測(cè)，而土星在2011年5月1日的赤緯為-2。左右，南半球可見(jiàn)。4、（高年組和低年組）【手表辨向】春分那天，一群北京旅行者在新疆的樓蘭古城遺址附近（約為東經(jīng)90°，北緯40°）迷失了方向，他們決定利用手表辨別方向：先根據(jù)經(jīng)度把手表時(shí)間調(diào)整成當(dāng)?shù)氐牡胤綍r(shí)，再按24小時(shí)制讀出手表上的時(shí)刻t,將此時(shí)刻換算成小時(shí)數(shù)并除以2,得到一個(gè)數(shù)T。然后把手表平放在手上或者地上，讓表盤(pán)上的T刻度對(duì)準(zhǔn)太陽(yáng)，這時(shí)手表表面12點(diǎn)所指的方向大致上就是北方。有句口訣可以方便記憶：“時(shí)間折半對(duì)太陽(yáng)，12點(diǎn)指向是北方?！币阎悍诌@天，地方時(shí)t時(shí)刻（以小時(shí)為單位）太陽(yáng)的方位角A（從北點(diǎn)向東起量）滿足以下公式：tanA=tan[（t-12）xl5°]/sin?9為當(dāng)?shù)氐乩砭暥?。以t（小時(shí)）為橫坐標(biāo)、手表辨向的誤差（度）為縱坐標(biāo)作圖，據(jù)圖求：（1）手表辨向產(chǎn)生的最大誤差大約為多少度？并指出此時(shí)所定出的北方比實(shí)際方向偏東還是偏西？此時(shí)的地方時(shí)為多少？北京時(shí)間為多少？（2）如果辨別方向時(shí)，他們忘了把手表時(shí)間調(diào)整成地方時(shí)，手表辨向產(chǎn)生的最大誤差為多少？最小誤差為多少？誤差最小時(shí)的地方時(shí)為多少？北京時(shí)間為多少？（3）假設(shè)他們的操作沒(méi)有任何偏差、手表也走時(shí)準(zhǔn)確，除了上述誤差外，還有哪些天文因素可能導(dǎo)致誤差？答案：1）地方時(shí)t時(shí)刻利用手表辨別方向，t/2刻度指向太陽(yáng)（方位角為A）,北點(diǎn)的方位角為0°,因此12點(diǎn)刻度與北點(diǎn)的夾角為：』=A-t/2x30°可見(jiàn)誤差最大為±12.5°左右，大約發(fā)生在當(dāng)?shù)貢r(shí)間上午9.5h（偏西）和下午14.5h（偏東）。2）北京時(shí)間t時(shí)刻，樓蘭古城的地方時(shí)為:

t+(90°-120°)/15=t-2h樓蘭時(shí)間比北京時(shí)間晚2小時(shí)，也就是說(shuō)手表平面得向西多轉(zhuǎn)動(dòng)30°,因此誤差最大為-42.5。左右，全天測(cè)得的北方都偏西。誤差最大時(shí)的北京時(shí)間大約為11.5h，地方時(shí)仍為9.5h。最小誤差為-17.5。左右，地方時(shí)為14.5h，北京時(shí)間為16.5h。也可以和1）一樣進(jìn)行作圖求解。此時(shí)樓蘭古城所見(jiàn)太陽(yáng)的方位角為：tanA=tan[（t-2-12）xl5°]/sin?=tan（15t-30°）/sin?手表辨向誤差為：A手表辨向誤差為：A=A-t/2x30°，作圖如下，橫坐標(biāo)為北京時(shí)間，縱坐標(biāo)為誤差。結(jié)果與前面相同。3）題干中計(jì)算出的方位角其實(shí)是平太陽(yáng)的方位角，真太陽(yáng)與平太陽(yáng)在同一時(shí)刻的赤經(jīng)并不相同，因而方位角也有所區(qū)別，這就是天文學(xué)上所稱的“時(shí)差”。時(shí)差最大不超過(guò)18分鐘（n=a°-a平8m）,它在地平圈上的投影，即為它所導(dǎo)致的手表辨向的誤差。顯然這個(gè)誤差很小，最大也只有4.5°。至于大氣折射等效應(yīng)導(dǎo)致的誤差，極其微小，可以忽略不計(jì)。5、（高年組和低年組）【分子云】一團(tuán)密度為地面大氣0.5倍，溫度為1200K的氫分子云若能形成恒星，請(qǐng)估算云的大小。答案：首先考慮分子熱運(yùn)動(dòng)速度必須小于逃逸速度，3KT2GM8兀GpR2<=mR3，可以推得R〉8兀Gpm，代入題中所給數(shù)值，T—1200K，p-0?62kg/m3得到r約為200000km。但這樣得出的半徑其對(duì)應(yīng)的氫云的質(zhì)量約為4個(gè)地球質(zhì)量，這種情況是不可能形成恒星的，只能形成行星。同樣如果考慮金斯不穩(wěn)定性R1>一vGP其中v是尺度為R的氣體球的聲速。這樣得到氫云的最小半徑，其質(zhì)量仍不足以產(chǎn)生恒星。因此正確的想法是利用最小恒星質(zhì)量作為判據(jù):M二0.08MM二0.08Msun注：大于或等于）p=0.5x1.23kg/m3a最后得到>最后得到>4x106km6、（高年組）【火星飛船】從地球發(fā)射一艘飛船，它迅速加速到與地球的日心軌道同向的最大速度，因此飛船的軌道是以太陽(yáng)為焦點(diǎn)的拋物線，掠過(guò)地球軌道。假設(shè)地球和火星的公轉(zhuǎn)軌道為處在同一平面的圓，地球軌道半徑為1AU，火星軌道半徑為1.5AU。并且假定在飛船飛行的絕大部分時(shí)間里只考慮太陽(yáng)的引力作用，在飛船與行星相遇時(shí)，只考慮行星（1）當(dāng)飛船穿越火星軌道時(shí)，求飛船軌道與火星軌道的夾角&（圖1）,不必考慮火星的引力。（2）假定飛船穿越火星軌道時(shí)，火星剛好在軌道交點(diǎn)附近，對(duì)于火星上的觀測(cè)者來(lái)說(shuō)，在飛船明顯受到火星引力作用前，飛船的速度和方向（相對(duì)于太陽(yáng)）是怎樣的？T6解答：1）飛船的軌道為拋物線，其最大速度：vmax42.1kmvmax42.1km/s（注意：是太陽(yáng)質(zhì)量，日地距離）當(dāng)它接近火星軌道時(shí)速度為（活力公式）v=v=34.4kmv=v=34.4km/s3max（注：V2_GM音），V_?十[2GM_\：盯3max)根據(jù)角動(dòng)量守恒rv_rv_l_rvmars6十max注：矢量的叉乘，而地球的半徑速度夾角是90度）其中vQ其中vQ是切向速度分量，得到（注:=vsin（90土屮）=2v3max）注：括弧里的角度是矢徑和速度的夾角。）2V=v03max迂cos屮=、：3,屮=35。.262）火星的圓軌道速度GMvmars■sun■2=、：