流體力學(xué)第九章

流體力學(xué)研究方法：⑴數(shù)學(xué)分析法：寫出反映流體運動的各物理量間的關(guān)系微分方程式，并根據(jù)初始條件和邊界條件對其求解，求得各量之間的規(guī)律性關(guān)系。

①數(shù)學(xué)手段→物理量，化學(xué)量間關(guān)系+單值性條件→理論解②提供理論依據(jù)：如伯努利方程→V、P、Q③求解流體動力學(xué)問題有限：

i）因流體流動現(xiàn)象很復(fù)雜，難以用微分方程描述；

ii）即使能建立微分方程式，但難以確定初始條件和邊界條件，故無法求解。

第九章相似原理與量綱分析法⑵實驗法：通過物理模擬實驗尋求流體運動時，各量之間存在規(guī)律性。對想象或進(jìn)行的過程→觀察、測量、分析→尋求各量之間關(guān)系、分析、研究、加工→關(guān)于這個現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律→近似。①實驗法很有局限性：實驗結(jié)果只能用于特定的實驗條件或推廣到與實驗條件完全相同的現(xiàn)象中去。②由于設(shè)備條件限制（T、P過高，尺寸過大），使直接實驗難以進(jìn)行。③有時只能得出個別量之間的規(guī)律性關(guān)系，難以抓住現(xiàn)象本質(zhì)，往往需用數(shù)學(xué)解析法來驗證。

粘性流體基本方程組求解非常困難，在解決實際問題時都要加以簡化，但簡化不能是隨意的，需要有一定的規(guī)則，簡化之后的解是否符合實際必須通過實驗驗證。但通常由于影響因素很多，如果安排實驗才能合理地反映流動規(guī)律？模型實驗如何進(jìn)行？實驗結(jié)果有多大推廣價值？如果根本沒有方程時又如何處理？……需要有理論加以指導(dǎo)。量綱分析法將物理現(xiàn)象所涉及的物理量組成無量綱綜合量，利用定理使無量綱綜合量構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。它反映了物理量之間的內(nèi)在規(guī)律，并使待求的函數(shù)的自變量數(shù)目減少到最低。量綱分析法分析簡明，抓住問題實質(zhì)，能大大減少試驗次數(shù)，并有效簡化實驗條件?！?-1量綱分析法一、量綱分析的基本概念1量綱

是物理量的單位種類，又稱因次，如長度、寬度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同單位來度量，但它們屬于同一單位，即屬于同一單位量綱（長度量綱），用L表示。2基本量綱導(dǎo)出量綱

基本量綱是具有獨立性的量綱，在流體力學(xué)領(lǐng)域中有三個基本量綱：長度量綱L，時間量綱T，質(zhì)量量綱M

導(dǎo)出量綱由基本量綱組合表示，如加速度的量綱[a]=LT-2力的量綱[F]=[ma]=MLT-2

任何物理量B的量綱可寫成[B]=MLT基本量綱：長度[L]、時間[τ]、質(zhì)量[M]、溫度[T]導(dǎo)出量綱：力[MLτ-2]、壓強[ML-1τ-2]、動力粘度[ML-1τ-1]、運動粘度[L2τ-1]、密度[Mτ-3]、速度[Lτ-1]、加速度[Lτ-2]、導(dǎo)熱系數(shù)[Mτ-3T]、比熱[L2T-1τ-2]，……3基本量導(dǎo)出量

一個物理問題中諸多的物理量分成基本物理量（基本量）和其他物理量（導(dǎo)出量），后者可由前者通過某種關(guān)系導(dǎo)出，前者互為獨立的物理量?；玖總€數(shù)取基本量綱個數(shù)，所取定的基本量必須包括全部基本量綱在內(nèi)，這就是選取基本量的原則。如、v、l可以構(gòu)成一組基本量，包含了L、M、T這三個基本量綱，而a、v、l就不能構(gòu)成基本量，因為不包含基本量綱M。無量綱量

指該物理量的量綱為1，用L0M0T0表示，實際是一個數(shù)，但與單純的數(shù)不一樣，它是幾個物理量組合而成的綜合物理量，如前面講過的相似準(zhǔn)數(shù)。

二、量綱和諧性原理

量綱和諧性原理又被稱為量綱一致性原理，也叫量綱齊次性原理，指一個物理現(xiàn)象或一個物理過程用一個物理方程表示時，方程中每項的量綱應(yīng)該是和諧的、一致的、齊次的。一個正確的物理方程，式中的每項的量綱應(yīng)該一樣，以能量方程為例：

方程左邊各項的量綱從左到右依次為:三、雷利法（Rayleigh,1899年）1）將影響流動過程的n個物理量的隱函數(shù),寫成冪函數(shù)形式：2）用基本量綱表示各物理量;3）根據(jù)量綱和諧原則，方程兩邊基本量綱的指數(shù)應(yīng)相等，即構(gòu)成指數(shù)應(yīng)滿足的方程（4個方程）4）當(dāng)n≤4時可直接求解，當(dāng)n＞4時，有n-4個指數(shù)待定;5）適當(dāng)選擇待定指數(shù)構(gòu)造出準(zhǔn)則數(shù)。示例：管內(nèi)層流運動的壓力損失設(shè)與ρ，u，d，μ，l有關(guān)，則方程三個，未知數(shù)5個。（等溫流動）則如取：則：如?。簞t：對比理論結(jié)果：可知：四、定理（Buckingham,1914年）1）列出影響因素：n個物理量，寫成隱函數(shù)形式：2）選擇其中三個（不考慮溫度時）在量綱上基本獨立的物理量x1，x2，x3，對等溫流動可取l，u，ρ.3）用三個量的組合，來表示x4,x5,……xn共n-3個物理量4）比較[M],[L],[T]的因次，解出全部5）建立（n-3）個無量綱的綜合物理量，稱π

項（無量綱）6）將待求函數(shù)關(guān)系式寫成（n-3）個π

項的關(guān)系式：(i=4,5,……n)示例：某流動現(xiàn)象由下列因素決定：流速V，密度，線形尺寸l，壓差P，重力加速度g，動力粘度，表面張力，彈性模量E等，現(xiàn)有π定理建立相似準(zhǔn)則。解：取，V，l為基本量，則解得即Eu（歐拉）數(shù)故同理可得：無量綱方程：或?qū)懗桑夯颍喝纾簩Σ豢蓧汗軆?nèi)流動，F(xiàn)r，We，M均不重要，可忽略。則：*Fr是弗羅得（Froude）數(shù)，We是韋伯（Weber）數(shù)。實驗證明：為線性關(guān)系于是：

只需對和Re和/d做有限次實驗，可得出的具體關(guān)系式，則流動阻力關(guān)系式即完全確定。------尼古拉茲實驗取阻力系數(shù)：則：稱Darchy公式如（阿里特蘇里公式）小結(jié)(A)由定理可方便地求出全部準(zhǔn)則數(shù)；(B)無需知道運動方程，結(jié)合實際即可得到應(yīng)用面廣泛的準(zhǔn)則方程；(C)其作用絕不亞于對基本方程求得解析解，這是實驗流體力學(xué)可以獨立發(fā)展的重要原因；(D)只是宏觀規(guī)律，不能了解流場微觀信息，如流速、溫度、密度等的時空分布（解析解、數(shù)值解）。例：管內(nèi)流動阻力△P=f(ρ，V，d，μ，g，ε)實驗時每個參數(shù)改變5次，則實際次數(shù)為56=15625次。每次花1小時，每天8小時，則需1953天≈3年！如采用量綱分析法得到無量綱準(zhǔn)則方程：一．流動相似

要滿足幾何相似、運動相似和動力相似。長度：1、幾何相似夾角相等，形狀相似，幾何尺寸對應(yīng)成比例。面積：體積：§9-2相似原理速度：2、運動相似對應(yīng)時空點的速度方向相同，大小成比例。加速度：體積流量：3、動力相似對應(yīng)點受力類型、方向相同，大小成比例。其中，F(xiàn)：合力，F(xiàn)：粘性力，G：質(zhì)量力，P：壓力，：P壓力差溫度：4、熱力相似

對應(yīng)點溫度（差）成比例，熱流方向相同、大小成比例。熱流量：二．相似準(zhǔn)數(shù)例：對不可壓縮流體的非定常等溫流動，當(dāng)質(zhì)量力只有重力，直角坐標(biāo)下，N-S方程（Z方向）：

當(dāng)兩流動滿足流動相似條件時，屬于同一類物理現(xiàn)象，其運動規(guī)律可由完全相同的微分方程組來描述。原型方程模型方程：流動相似：代入模型方程：欲使該方程與原型方程完全相同，則方程各項的系數(shù)對應(yīng)成比例：其中：位變慣性力壓力質(zhì)量力粘性力合力時變慣性力用第二項遍除，則：定義：準(zhǔn)則數(shù)牛頓數(shù)：NewtonNumber斯特羅哈數(shù)：StrouhalNumber弗羅德數(shù)：FroudeNumber雷諾數(shù)：ReynoldsNumber歐拉數(shù)：EulerNumber其它準(zhǔn)則數(shù)：馬赫數(shù)：MachNumber韋伯?dāng)?shù)：WeberNumber普朗特數(shù)：PrandtlNumber帕克列特數(shù)：PecletNumber格拉曉夫數(shù)：GrashofNumber?？颂財?shù)：EckertNumber于是模型方程可寫成：即對應(yīng)時空點所對應(yīng)的準(zhǔn)則數(shù)相等。模型與原型相似，要求：或：三、局部相似若采用同種流體，則Cl=1，即模型與原型相同。例：對不可壓流體，如粘性力相似，則Re相等同時重力相似，則Fr相等于是如取模型/原型=1/10，則這很難做到！

局部相似(A)將準(zhǔn)則數(shù)用相應(yīng)的特征量表示，即用特征準(zhǔn)則數(shù)取代點準(zhǔn)則數(shù)；(B)只考慮主要準(zhǔn)則數(shù)，忽略次要因素。相似原理的作用(A)由運動方程導(dǎo)出相似準(zhǔn)數(shù)，并用來指導(dǎo)實驗；(B)對運動方程進(jìn)行簡化：將基本方程無量綱化→出現(xiàn)相似準(zhǔn)數(shù)，比較量級大小，小量級項忽略，→還原方程，則少去若干項（或變量）?！?-3基本方程組的相似變換為簡要說明其方法，仍以不可壓縮流動為例引入特征尺寸L，特征時間t0，特征溫度(Tw-T∞)，特征速度V∞。無量綱化則

得到以下無量綱方程組

不出現(xiàn)無量綱數(shù)，說明不受流動參數(shù)的影響。

1）連續(xù)性方程:2）動量方程：非定常項對流項重力壓差粘性應(yīng)力當(dāng)準(zhǔn)則數(shù)很大或很小時，可以忽略有關(guān)的項，從而簡化方程。比如：物體尺寸很小，流速振動周期很大時，St會很小，非定常項可忽略；高速流動（大尺度），F(xiàn)r很大，可忽略重力項；大尺度高速流動，Re很大，甚至可忽略粘性項（即理想流體）；Re很小時，則可忽略慣性項→動量方程可轉(zhuǎn)化為線性微分方程。3）能量方程：