高中數(shù)學必修四 任意角與弧度制 知識點匯總(教師版)

高中數(shù)學必修四任意角與弧度制知識點匯總(教師版)高中數(shù)學必修四任意角與弧度制知識點匯總(教師版)高中數(shù)學必修四任意角與弧度制知識點匯總(教師版)xxx公司高中數(shù)學必修四任意角與弧度制知識點匯總(教師版)文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準審核制定方案設計，管理制度任意角與弧度制知識梳理:一、任意角和弧度制1、角的概念的推廣定義：一條射線OA由原來的位置，繞著它的端點O按一定的方向旋轉到另一位置OB，就形成了角，記作：角或可以簡記成。注意：（1）“旋轉”形成角，突出“旋轉”（2）“頂點”“始邊”“終邊”“始邊”往往合于軸正半軸（3）“正角”與“負角”——這是由旋轉的方向所決定的。例1、若，求和的范圍。（0,45）（180,270）2、角的分類：由于用“旋轉”定義角之后，角的范圍大大地擴大了?？梢詫⒔欠譃檎恰⒘憬呛拓摻?。正角：按照逆時針方向轉定的角。零角：沒有發(fā)生任何旋轉的角。負角：按照順時針方向旋轉的角。例2、（1）時針走過2小時40分，則分針轉過的角度是-960（2）將分針撥快10分鐘，則分針轉過的弧度數(shù)是．3、“象限角”為了研究方便，我們往往在平面直角坐標系中來討論角，角的頂點合于坐標原點，角的始邊合于軸的正半軸。角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限，稱為軸線角。例1、30；390；330是第象限角300；60是第象限角585；1180是第象限角2000是第象限角。例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，則A∩B=④（填序號）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③{第一象限的角} ④以上都不對（2）已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C關系是（B） A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C例3、寫出各個象限角的集合：例4、若是第二象限的角，試分別確定2,的終邊所在位置.解∵是第二象限的角，∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）.（1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z），∴2是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上.（2）∵k·180°+45°＜＜k·180°+90°（k∈Z），當k=2n（n∈Z）時，n·360°+45°＜＜n·360°+90°；當k=2n+1（n∈Z）時，n·360°+225°＜＜n·360°+270°.∴是第一或第三象限的角.拓展：已知是第三象限角，問是哪個象限的角？

∵是第三象限角，∴180°+k·360°＜＜270°+k·360°（k∈Z），60°+k·120°＜＜90°+k·120°.①當k=3m(m∈Z60°+m·360°＜＜90°+m·360°（m∈Z）.故的終邊在第一象限.②當k=3m+1(m∈Z180°+m·360°＜＜210°+m·360°（m∈Z).故的終邊在第三象限.③當k=3m+2（m∈Z300°+m·360°＜＜330°+m·360°（m∈Z）.故的終邊在第四象限.綜上可知，是第一、第三或第四象限的角.4、常用的角的集合表示方法1、終邊相同的角：（1）終邊相同的角都可以表示成一個0到360的角與個周角的和。（2）所有與終邊相同的角連同在內可以構成一個集合即：任何一個與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和注意：1、2、是任意角3、終邊相同的角不一定相等，但相等的角的終邊一定相同。終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360°的整數(shù)倍。4、一般的，終邊相同的角的表達形式不唯一。例1、（1）若角的終邊與角的終邊相同，則在上終邊與的角終邊相同的角為。若θ角的終邊與8π/5的終邊相同

則有：θ=2kπ+8π/5(k為整數(shù))

所以有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5

當：0≤kπ/2+2π/5≤2π

有：k=0時，有2π/5與θ/4角的終邊相同的角

k=1時，有9π/10與θ/4角的終邊相同的角（2）若是終邊相同的角。那么在X軸正半軸上例2、求所有與所給角終邊相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大負角：（1）；（2）．例3、求，使與角的終邊相同，且．2、終邊在坐標軸上的點：終邊在x軸上的角的集合：終邊在y軸上的角的集合：終邊在坐標軸上的角的集合：3、終邊共線且反向的角：終邊在y=x軸上的角的集合：終邊在軸上的角的集合：4、終邊互相對稱的角：若角與角的終邊關于x軸對稱，則角與角的關系：若角與角的終邊關于y軸對稱，則角與角的關系：若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關系：角與角的終邊互相垂直，則角與角的關系：例1、若，則角與角的中變得位置關系是（）。A.重合B.關于原點對稱C.關于x軸對稱D.有關于y軸對稱例2、將下列各角化成0到的角加上的形式（1）（2）例3、設集合,,求,.二、弧度與弧度制1、弧度與弧度制：弧度制—另一種度量角的單位制，它的單位是rad讀作弧度定義：長度等于的弧所對的圓心角稱為1弧度的角。orCorC2rad1radrl=2roAAB如圖：AOB=1rad，AOC=2rad，周角=2rad注意：1、正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負角的弧度數(shù)是負數(shù)，零角的弧度數(shù)是02、角的弧度數(shù)的絕對值（為弧長，為半徑）3、用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0）用角度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同。4、在同一個式子中角度、弧度不可以混用。2、角度制與弧度制的換算弧度定義：對應弧長等于半徑所對應的圓心角大小叫一弧度角度與弧度的互換關系：∵360=rad180=rad∴1=注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.例1、把化成弧度解：∴例2、把化成度解：例2、將下列各角從弧度化成角度（1）rad（2）2.1rad

（3）例3、用弧度制表示：1終邊在軸上的角的集合2終邊在軸上的角的集合3終邊在坐標軸上的角的集合解：1終邊在軸上的角的集合2終邊在軸上的角的集合3終邊在坐標軸上的角的集合三、弧長公式和扇形面積公式；例1、已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則扇形的中心角的弧度數(shù)是1或4.例2、若兩個角的差為1弧度，它們的和為，求這連個角的大小分別為。例3、直徑為20cm的圓中，求下列各圓心所對的弧長⑴⑵解：⑴：⑵：∴例4、（1）一個半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形的圓心角是多少弧度是多少度扇形的面積是多少？（2）一扇形的周長為20cm，當扇形的圓心角等于多少弧度時，這個扇形的面積最大？

解（1）設扇形的圓心角是rad，因為扇形的弧長是r,所以扇形的周長是2r+r.依題意，得2r+r=r,∴=-2=(-2)×≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′,∴扇形的面積為S=r2=（-2）r2.（2）設扇形的半徑為r，弧長為l，則l+2r=20,即l=20-2r(0＜r＜10) ①扇形的面積S=lr，將①代入，得S=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以當且僅當r=5時，S有最大值25.此時l=20-2×5=10,==2.所以當=2rad時，扇形的面積取最大值.例5、（1）已知扇形的周長為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；（2）已知扇形的周長為40，當它的半徑和中心角取何值時，才能使扇形的面積最大最大面積是多少

解設扇形半徑為R，中心角為，所對的弧長為l.（1）依題意，得∴22-17+8=0,∴=8或.∵8＞2π,舍去,∴=.(2)扇形的周長為40,∴R+2R=40，S=lR=R2=R·2R≤.當且僅當R=2R,即R=10,=2時面積取得最大值，最大值為100.（七）任意角的三角函數(shù)（定義）設是一個任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c的）一點P（x,y），則P與原點的距離2．比值叫做的正弦記作：；比值叫做的余弦記作：比值叫做的正切記作：；比值叫做的余切記作：比值叫做的正割記作：；比值叫做的余割記作：注意突出幾個問題：①角是“任意角”，當=2k+(kZ)時，與的同名三角函數(shù)值應該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。②實際上，如果終邊在坐標軸上，上述定義同樣適用。③三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)④，而x,y的正負是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號應由象限確定三角函數(shù)在各象限的符號：⑤定義域：4.是第二象限角，P（x，）為其終邊上一點，且cos=,則sin=..已知角的終邊落在直線y=-3x(x＜0)上，則2.例8、已知的終邊經過點P(2,3)，求的六個三角函數(shù)值xoyP(2,-3)xoyP(2,-3)∴sin=cos=tan=cot=sec=csc=例9、求下列各角的六個三角函數(shù)值⑴0⑵⑶⑷解：⑴⑵⑶的解答見P16-17⑷當=時∴sin