高考總復習走向清北課件38數(shù)學兩直線的位置關系

第三十八講

兩直線的位置關系回歸課本1.兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1,l2,其斜率分別為k1,k2,則有

l1∥l2?k1=k2.特別地,當直線l1、l2的斜率都不存在時,l1

與l2的關系為平行.(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1,l2的斜率存在,分別設為k1,k2,則l1⊥l2?k1·k2=-1.一般地:若直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全為0),直線l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全為0),則l1∥l2?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0).l1⊥l2?A1A2+B1B2=0,l1與l2重合?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0).特別地,原點(0,0)與任一點P(x,y)的距離2

12.三種距離(1)兩點間的距離平面上的兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式

|

PP

|

(x1

x2)2

(y1

y2)2.|OP|

x2

y2.|

Ax0

By0

C|A

BA

B(2)點到直線的距離點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離(3)兩條平行線的距離

兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離2

2.d

.|C1

C2

|

2

2d

考點陪練(1.已知兩條直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,則a等于

)A.2C.0B.1D.-1解析:由a(a+2)=-1,解得a=-1.答案:D當sinθ

≠0時,

=2sinθ

,∴sinθ

=2.已知兩直線l1:x+ysinθ

-1=0,l2:2xsinθ

+y+1=0,若

l1∥l2,則θ

=________.解析:當sinθ

=0時,不合題意.∴θ

=kπ

±

,k∈Z.答案:kπ

±.

22

1

sin4

,k∈Z

43.過點A(1,2)且與原點距離最大的直線方程為()A.x+2y-5=0C.x+3y-7=0B.3x+y-4=0D.3x+y-5=0解析:所求直線過點A且與OA垂直時滿足條件,此時kOA=2,故所

1

1

2

即x+2y-5=0.

2答案:A4.已知P1(x1,y1)是直線l:f(x,y)=0上的一點,P2(x2,y2)是直

線l外一點,由方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直線與直線l的位置關系是()B.互相平行D.互相斜交A.互相重合C.互相垂直答案:B5.將直線l:x+2y-1=0向左平移3個單位,再向上平移2個單位后得到直線l′,則直線l與l′的距離為()答案:B75

5

551575A.B.C.D.類型一兩條直線位置關系的判定和應用解題準備:判斷兩條直線平行或垂直時,往往從兩條直線斜率

間的關系入手加以判斷,當直線方程中含有字母系數(shù)時,要

考慮斜率不存在的特殊情況.判斷兩直線垂直時,若用

l1⊥l2?A1A2+B1B2=0可不用分類討論,但在兩直線平行的判

斷中,既要看斜率,又要看截距.【典例1】已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行;(2)當l1⊥l2時,求a的值.[分析]可以把直線化成斜截式,運用斜率或截距的數(shù)量關系

來判斷求解,但由于直線的斜率可能不存在,就必須進行分

類討論;也可以運用一般式方程中的關系來判斷或求解,這

樣可以避免討論.l1

2

l

：y

：y

x3,x(a1),a

12

1a[解]1解法一:當a

1時,l1：x

2y6

0,

l2：x

0,l1不平行于l2;當a

0時,l1：y

3,l2：x

y1

0,

不平行于當a

1且a

0時,兩直線可化為

a

1

,

//l

3(a1),綜上可知,當a

1時,l1//l2,否則l1與l2不平行.1

2

l

2

(

1)

1

2

0

2

0

a

a

a

a

2

(

1)

1

6

0

(

1)

6

a

a

a

a

2//l

a

1,解法二:由A1B2

A2B1

0,得aa

112

0,由A1C2

A2C1

0,得aa2

116

0,故當a

1時,l1//l2,否則l1與l2不平行.當a

1時,l1：y

x3,l2：y

1

a

.由

a2(a1)

0

a

.x(a1),2解法一:當a

1時,l1

:x

2y6

0,l2

:x

0,

l1與l2不垂直,故a

1不成立.

a

1

2

1a

a

1

2

2

1a

3解法二:由A1A2

B1B2

0,得

2

3[反思感悟](1)直線l1:y=k1x+b1,直線l2:y=k2x+b2,“l(fā)1∥l2?k1=k2且b1≠b2”的前提條件是l1,l2的斜率都存在,若不能確定斜率的存在性,應對其進行分類討論:當l1,l2中有一條存在斜率,而另一條不存在斜率時,l1與l2不平行;當l1,l2的斜率都不存在(l1與l2不重合)時,l1∥l2;當l1,l2均有斜率且k1=k2,b1≠b2時,有l(wèi)1∥l2.為避免分類的討論,可采用直線方程的一般式,利用一般式方程中的“系數(shù)關系”的形式來判斷兩直線是否平行,如本例解法二.(2)當l1⊥l2時,可分斜率不存在與斜率存在,且k1·k2=-1解決問題,如果利用A1A2+B1B2=0可避免分類討論.A

B..Ax0

By0

C

2

2C1

C2

A2

B2類型二

距離問題

解題準備:1.點到直線的距離:已知點P0x0,y0,那么點P0到直線AxByC

0的距離d

2.兩條平行線間的距離:一般地,兩平行線AxByC1

0、AxByC2

0間的距離d

3.點到幾種特殊直線的距離:(1)點P(x0,y0)到x軸的距離d=|y0|.(2)點P(x0,y0)到y(tǒng)軸的距離d=|x0|.(3)點P(x0,y0)到與x軸平行的直線y=a的距離d=|y0-a|.(4)點P(x0,y0)到與y軸平行的直線x=b的距離d=|x0-b|.【典例2】兩條互相平行的直線分別過點A(6,2),B(-3,-1),

并且各自繞著A,B旋轉,如果兩條平行直線間的距離為d.求:(1)d的變化范圍;(2)當d取最大值時,兩條直線的方程.[解](1)解法一:①當兩條直線的斜率都不存在時,即兩直線分別為x=6和x=-3,則它們之間的距離為9.②當兩條直線的斜率存在時,設這兩條直線方程為l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3),即l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0.k

1k

1∴即(81-d2)k2-54k+9-d2=0.∵k∈R,且d≠9,d>0,∴Δ

=542-4(81-d2)(9-d2)≥0,即0<d≤綜合①②可知,所求的d的變化范圍為,|3k

16k

2|

23|3k

1|

2d

3

10

且d≠9.(0,3

10].解法二:如圖所示,顯然有0<d≤|AB|.而|

AB|

(63)2

(21)2

3

10.故所求的d的變化范圍為(0,3

10].0,

,

而

2d(0,3

10].解法三:

l1//l2且l1與l2不重合,設l2與AB夾角為,則l1與AB夾角也為,則l1?l2的距離d

AB

sin,sin

0,1,又|

AB|

(63)2

(21)2

3

10,

,(2)由圖可知,當d取最大值時,兩直線垂直于AB.則∴所求的直線的斜率為-3.故所求的直線方程分別為y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0.kAB2(1)16(3)

3類型三交點及直線系問題解題準備:符合特定條件的某些直線構成一個直線系,常見的

直線系方程有如下幾種:(1)過定點M(x0,y0)的直線系方程為y-y0=k(x-x0)(這個直線

系方程中未包括直線x=x0).(2)和直線Ax+By+C=0平行的直線系方程為

Ax+By+C′=0(C≠C′).(3)和直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程為Bx-Ay+C′=0.(4)經(jīng)過兩相交直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交點的直

線系方程為A1x+B1y+C1+λ

(A2x+B2y+C2)=0(這個直線系方程

中不包括直線A2x+B2y+C2=0).【典例3】求經(jīng)過直線l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交點,且垂直于直線l3:3x-5y+6=0的直線l的方程.[分析]本題可先求出交點坐標,然后由直線間的位置關系求得;也可由直線系方程,根據(jù)直線間位置關系求得.5

2

1

0

x

y

3

,

l

l

再由

的斜率

求出

的斜率為2

(

1),

5

3

1

0.

y

x

x

y

即,得

3x2y1

0[解]解法一:先解方程組

l1、l2的交點1,2,

35

5

3于是由直線的點斜式方程求出l

:

5

3解法二:∵l⊥l3,故l是直線系5x+3y+C=0中的一條,而l過l1、l2的交點(-1,2),故5×(-1)+3×2+C=0.由此求出C=-1,故l的方程為5x+3y-1=0.35

522代

,

入直線系方程即得l的解法三:∵l過l1、l2的交點,故l是直線系3x+2y-1+λ

(5x+2y+1)=0中的一條,將其整理,得(3+5λ

)x+(2+2λ

)y+(-1+λ

)=0.其斜率

,解得λ

=

3

方程為5x+3y-1=0.15[反思感悟]對直線系方程的形式不熟悉或不能正確運用直線系方程,是出錯的原因之一.運用直線系方程,有時會給解題帶來方便,常見的直線系方程有:(1)與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是:Ax+By+m=0(m∈R且m≠C)(2)與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R)(3)過直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系

方程為A1x+B1y+C1+λ

(A2x+B2y+C2)=0(λ

∈R),但不包括l2.y

2b

y;類型四對稱問題解題準備:(1)對稱問題主要包括中心對稱和軸對稱.中心對稱:①點P(x,y)關于O(a,b)的對稱點P′(x′,y′)滿足x

2ax,1,

0;

a

m

b

n

A

B

C

②直線關于直線的對稱可

關于直線的對稱問題來解

2

2②直線關于點的對稱可轉化為點關于點的對稱問題來解決.軸對稱:①點A(a,b)關于直線Ax+By+C=0(B≠0)的對稱點轉化為點決.A′(m,n),則有

nb

A

ma

B

(2)在對稱問題中,點關于點的對稱是中心對稱中最基本的,處理這類問題主要抓住:已知點與對稱點連成線段的中點為對稱中心;點關于直線對稱是軸對稱中最基本的,處理這類問題要抓住兩點:一是已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直;二是已知點與對稱點為端點的線段的中點在對稱軸上.【典例4】求直線a:2x+y-4=0關于直線l:3x+4y-1=0對稱的直線b的方程.[分析]本題的思路較多,可以根據(jù)點斜式或兩點式寫出直線b的方程,也可以利用軌跡或對稱觀點求出直線b的方程.3x4y1

0,k

(2)

4

.解得k

2

.1

(2)

1k

211

3

3

4

3

3

11

4

4y(2)

2x

y4

0,[解]由解得a與l的交點E3,2,E點也在b上.解法一:設直線b的斜率為k,又知直線a的斜率為2,直線

3

4則(x3),即2x11y16

0.代入點斜式得直線b的方程為

y0

0

4

x0

2

33

2

x0

4

0

y0

1

0,解得B

.y(2)

x3

(2)32x,

,

48

5

5

845

5解法二：在直線a：

y4

0上找一點A2,0,設點A關于直線l的對稱點B的坐標為x0,y0.由

2

2由兩點式得直線b的方程為

即2x

11y16

0.解得x0

,

y0

2

.7x24y6

2524x7y8

254

0,解法三:設直線b上的動點Px,y關于l:3x

4y1

0的對稱點為Qx0,y0.

,則有

2

2

7x24y6

24x7y8

25

25Qx0,y0在直線a:2x

y4

0上,則化簡得2x

11y16

0是所求直線b的方程.0

(4

2

)

4

y

x

0

3

x

x

0

0

|3

4(4

2

)

1|

|3

4

1|

.

x

x

x

y

,

5

5解法四:設直線b上的動點Px,y,直線a上的Qx0,42x0,且P、Q兩點關于直線l:3x4y1

0對稱,則有消去x0,得2x11y16

0或2x

y4

0(舍去).1(

)

垂直關系0(

)

a

x

b

y

A

B

C

重點在直線上

yb

A

xa

B

2

2[反思感悟]求點Ma,b關于直線Ax

ByC

0AB

0的對稱點N的方法:設Nx,y,由求出x,y,即得點N的坐標.錯源一

缺乏分類意識【典例1】求過直線4x-2y-1=0與直線x-2y+5=0的交點且與兩點A(0,8),B(4,0)距離相等的直線l的方程.72

2

(x2),[錯解]由已知可求得兩直線4x

2y1

0與x

2y5

0的

7

2,

2因為直線l到A0,8,B4,0的距離相等,所以l//AB,而AB的斜率k

2.所以直線l的方程為y即4x2y15

0.[正解]由已知可求得兩直線的交點為

(1)若點A,B

.

為

即4x+2y-15=0.(2)若點A,B在直線l的

2

(

2),

y

x

[剖析]錯解缺乏分類討論的意識,對直線的位置關系考慮不全,事實上當直線l經(jīng)過AB的中點時也滿足條件.在直線l的同側,則l∥AB,AB的斜率k=-2.所以直線l的方程兩側,則直線l經(jīng)過線段AB的中點(2,4),可求出直線方程為x=2.綜上可得,直線l的方程為4x+2y-15=0或x=2.2,

7

272錯源二忽視隱含條件【典例2】如果直線(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2與y軸平行,求m

的值.[錯解]因為直線(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2與y軸平行,所以

m2+3m+2=0.解得m=-1或m=-2.所以當m=-1或m=-2時直線與y軸平行.[剖析]方程Ax+By+C=0表示直線,其中隱含著A·B≠0這一條件.當m=-2時,直線方程(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2為0·x+0·y=0,它不表示直線,所以出現(xiàn)錯誤.[正解]因為直線(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2與y軸平行,所以m2+3m+2=0,且m+2≠0,解得m=-1,所以當m=-1時直線與y軸平行.技法一數(shù)形結合【典例1】已知△ABC中,A點坐標為(1,3),AB、AC邊上的中線

所在直線方程分別為x-2y+1=0和y-1=0,求△ABC各邊所在

直線的方程.[解題切入點]畫出草圖幫助思考,欲求各邊所在直線的方程,

只需求出三角形頂點B、C的坐標.B點應滿足的兩個條件是

:①B在直線y-1=0上;②BA的中點D在直線x-2y+1=0上.由①可設點B的坐標為(xB,1),進而再由②確定xB,依照同樣的方法可以確定頂點C的坐標,故△ABC各邊所在的直線方程可求.∴D的坐標為

.

1

B

x

[解]設AB、AC邊上的中線分別為CD?BE,其中D?E為中點.∵B在中線y-1=0上,∴設B點的坐標為(xB,1).又∵D為AB的中點,A(1,3),,2

2

1

B

x

AC

E

.

的中點

的坐標為E

y

1

0

,

點在直線

上t

1,

1,

即3

t

22t,

221

0

xB

5,

t

3

2

注意到D點在中線CD：x

2y1

0上,即B點的坐標是5,1.同樣地,點C在直線x

2y1

0上,設C點的坐標是2t

1,t,又點C的坐標是3,1,故可求得ABC三邊所在直線的方程為AB：x

2y7

0；BC：x4y1

0；AC：x

y2

0.[方法與技巧]依據(jù)已知條件求平面圖形中某些直線的方程,必須“數(shù)形結合”.通過數(shù)形結合,特別是借助平面圖形分析出隱含條件,這樣可以達到化難為易?化繁為簡的目的,以形助數(shù)也是平面解析幾何中常用的方法.技法二對稱問題的解法(1)點關于直線對稱【典例2】已知直線l:3x-y+3=0,求點P(4,5)關于直線l的對

稱點.[解題切入點]利用對稱性質列有關對稱點坐標的方程組進而

求解.4

5

x

y

3

2,

x

解得5

1

7.

y

y

.

2

2

3

0,

x4

3[解]解法一:設點P4,5關于直線l的對稱點為P(x,y),則PP

l且PP的中點在直線l上.故P2,7為所求的點.

Q

1,6

.

得交點

由x3y19

0,

3x

y3

0解法二:設點P4,5關于直線l的對稱點為Px,y,則PP

l.故可設直線PP:x

3yC

0.又點P4,5在直線PP上,435C

0.解得C

19.而Q為PP的中點,P2,7.[方法與技巧]解法一的應用最為廣泛,其關鍵是利用“垂直”?“平分”.點P(a,b)關于特殊直線的對稱點列表如下:(2)直線關于點對稱【典例3】求直線l1:2x-y+1=0關于點P(2,1)的對稱直線l2的方程.[解題切入點]利用好中心對稱的性質是解對稱問題的關鍵.|2211|

|2

21C

|[解]解法一:因為l1與l2關于點(2,1)對稱,所以l1∥l2.設l2:2x-y+C=0.由點P(2,1)到兩直線的距離相等,有:解得C=-7或C=1(舍去).故所求的方程為2x-y-7=0..

5

5解法二:設直線l2上任意一點Q(x,y),則它關于P(2,1)的對稱點為Q′(4-x,2-y).由Q′在直線2x-y+1=0上可得2(4-x)-(2-y)+1=0.化簡可得:2x-y-7=0.[方法與技巧]解法一是利用線線平行及點到兩直線距離相等

來解;解法二是設動點,運用“代入法”求解,這也是求曲

線方程的一般方法.一般地,直線Ax+By+C=0關于點(a,b)對稱的直線方程為A(2a-x)+B(2b-y)+C=0.(3)直線關于直線對稱【典例4】求直線a:x-y-2=0關于直線l:x+2y+1=0對稱的直線b的方程.[解題切入點]直線關于直線對稱的關鍵仍是點關于直線對稱.

.,

412

5

5

[解]解法一:在直線a上取一點P2,0,運用典例2的方法,可求得點P2,0關于l的對稱點P

x

y2

0,由方程組

可解得直線a與l的交點Q1,1.

直線b過點P與Q,由兩點式并化簡可得直線b的方程為

7x

y8

0.

(3