哥德巴赫猜想的Python驗證

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王德貴丁大為

哥德巴赫猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。華羅庚是中國最早從事哥德巴赫猜想的數(shù)學(xué)家。1936—1938年，他赴英留學(xué)，師從哈代研究數(shù)論，并開始研究哥德巴赫猜想，驗證了幾乎所有的偶數(shù)猜想。1966年，華羅庚的學(xué)生陳景潤在對篩法做了新的重要改進(jìn)后，證明白“1+2〞，他證明白任何一個充分大的偶數(shù)，都可以表示為兩個數(shù)之和，其中一個是質(zhì)數(shù)，另一個或為質(zhì)數(shù)或為兩個質(zhì)數(shù)的乘積，被稱為“陳氏定理〞，這在當(dāng)時影響很大，但之后就再也沒有什么研究進(jìn)展了。一、哥德巴赫猜想內(nèi)容

哥德巴赫猜想，是數(shù)學(xué)史上和質(zhì)數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)猜想，影響了一代又一代數(shù)學(xué)家。

1742年6月7日，德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫在寫給有名數(shù)學(xué)家歐拉的一封信中，提出了一個大膽的猜想：任何不小于3的奇數(shù)，都可以是三個質(zhì)數(shù)之和（如：7=2+2+3。當(dāng)時1仍屬于質(zhì)數(shù)）。

同年，6月30日，歐拉在回信中提出了另一個版本的哥德巴赫猜想：任何偶數(shù)，都可以是兩個質(zhì)數(shù)之和（如：4=2+2。當(dāng)時1仍屬于質(zhì)數(shù)）。

這就是數(shù)學(xué)史上有名的“哥德巴赫猜想〞。由于1已經(jīng)不歸為質(zhì)數(shù)，所以這兩個猜想分別變?yōu)椋?/p>

任何不小于7的奇數(shù)，都可以寫成三個質(zhì)數(shù)之和的形式;

任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)之和的形式。

20世紀(jì)，隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)哥德巴赫猜想對于更大的數(shù)依舊成立。但自然數(shù)是無限的，無法判斷是否存在某一個足夠大的偶數(shù)，成為哥德巴赫猜想的反例，但數(shù)學(xué)家們?nèi)栽诓粩嗟拿髦?，尋求著各種不同的解決方法。

假如想了解更深入的知識，大家可以參考相關(guān)資料。今天我們只利用Python做基本驗證。二、創(chuàng)意來源

在Python學(xué)習(xí)過程中，嘗試解決一些問題，特別是世界數(shù)學(xué)難題，不僅是一種樂趣，同時也能學(xué)到數(shù)學(xué)知識，了解一些數(shù)學(xué)發(fā)展歷史，也可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性，更能加深理解程序的優(yōu)化與調(diào)試。三、設(shè)計思路

“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想〞，我們可以將要分析的任一正整數(shù)減去一個質(zhì)數(shù)，然后看看結(jié)果是不是也為質(zhì)數(shù)，這是一種方法;還有一種方法就是遍歷質(zhì)數(shù)，看看有沒有符合條件的兩個質(zhì)數(shù)。

“關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想〞，我們可以將要分析的任一正整數(shù)減去一個質(zhì)數(shù)，然后看看結(jié)果是不是也為質(zhì)數(shù)，這是一種方法;還有一種方法就是遍歷質(zhì)數(shù)，看看有沒有符合條件的三個質(zhì)數(shù)。

這幾種方法的基礎(chǔ)都需要把正整數(shù)范圍內(nèi)的質(zhì)數(shù)先求出來。我們用列表形式將質(zhì)數(shù)存儲，計算和訪問很便利。四、Python驗證

1.關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想

任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)之和的形式。

這個猜想的理解是，4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+

7，12=5+7……有無數(shù)個，我們無法一一列舉，通過編程也只能驗證有限范圍，否則運(yùn)行時間將無限延長。

（1）方法一：遍歷質(zhì)數(shù)列表，取出兩個質(zhì)數(shù)驗證

程序有兩部分，一是建立質(zhì)數(shù)列表，二是在列表中確定有沒有滿足條件的質(zhì)數(shù)。有一組則程序終止，并顯示出來（圖1）。

也可以利用自定義函數(shù)，程序如圖2。

要求出不小于這個偶數(shù)范圍內(nèi)的質(zhì)數(shù)，于是把質(zhì)數(shù)獲取做了自定義函數(shù)，利用列表把質(zhì)數(shù)列舉出來，然后便于下一步計算和驗證。

輸入不小于4的偶數(shù)后，調(diào)用自定義函數(shù)，把這個范圍內(nèi)的質(zhì)數(shù)放在列表里，然后利用枚舉算法，在列表中取兩個數(shù)，驗證是否等于輸入的偶數(shù)，假如等于偶數(shù)，即輸出。

這兩個程序運(yùn)行結(jié)果是完全一樣的，它們都是在質(zhì)數(shù)列表里任意取兩個數(shù)，驗證其和是不是等于輸入的偶數(shù)。

（2）方法二：判斷偶數(shù)與質(zhì)數(shù)的差是否為質(zhì)數(shù)

這種方法減小了時間繁雜度，運(yùn)行速度更快，程序如圖3。

測試結(jié)果如圖4。

2.關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想

任何不小于7的奇數(shù)，都可以寫成三個質(zhì)數(shù)之和的形式。

根據(jù)前面的驗證，修改程序，便可以驗證“關(guān)于奇數(shù)數(shù)的哥德巴赫猜想〞。即多加一重for循環(huán)，同時判斷輸入數(shù)與兩個質(zhì)數(shù)之差是否也為質(zhì)數(shù)，假如是，則輸出算式，程序終止（圖5）。

驗證結(jié)果如圖6。

五、測試與改進(jìn)

1.測試解的個數(shù)

我們前面的程序，只顯示了一組解。其實，輸入任意一個不小于4的偶數(shù)，都至少能表示為一對質(zhì)數(shù)之和，輸入任意一個不小于7的奇數(shù)，都至少有一組能表示為三個質(zhì)數(shù)之和，假如想全部算式都顯示出來，只要刪除程序中“break〞相關(guān)的語句即可。

譬如，“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想〞，修改程序如圖7。

運(yùn)行結(jié)果如下，這里進(jìn)行了去重（圖8）。

“關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想〞，修改程序如下，運(yùn)行后發(fā)現(xiàn)滿足條件的解好多，但卻是有重復(fù)的（圖9）。

輸入23，得到21組解，那如何去重呢？大家利用列表或集合都可以實現(xiàn)，這里不再贅述（圖10）。

2.驗證是否包括所有整數(shù)

所有偶數(shù)和奇數(shù)，我們不能一一驗證，那么在一定范圍內(nèi)，是否包括所有值呢？我們來驗證一下。

（1）驗證一定范圍內(nèi)所有偶數(shù)

將一定范圍內(nèi)的質(zhì)數(shù)存入列表，然后遍歷列表求和，假如和的所有值，包含了所有偶數(shù)，則說明任意偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)的和。

程序中，運(yùn)用集合去重和做差，檢驗是否包含所有偶數(shù)。

50范圍內(nèi)的驗證，同樣只顯示了一組解（圖11）。

（2）驗證一定范圍內(nèi)所有奇數(shù)

將一定范圍內(nèi)的質(zhì)數(shù)存入列表，然后遍歷列表求和，假如和的所有值，包含了所有奇數(shù)，則說明任意奇數(shù)都可以表示為三個質(zhì)數(shù)的和。

程序中，同樣運(yùn)用集合去重和做差，檢驗是否包含所有奇數(shù)。

50范圍內(nèi)的驗證，同樣只顯示了一組解（圖12）。

通過測試，在一定范圍內(nèi)，均得到了驗證，但數(shù)值過大時，用時較長。當(dāng)然我們要證明一