中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)復(fù)習(xí)課件習(xí)題 第五節(jié) 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用

第四章三角形第五節(jié)銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用第一部分考點(diǎn)研究第四章三角形第一部分考點(diǎn)研究1考點(diǎn)精講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義特殊角的三角函數(shù)值銳角三角函數(shù)直角三角形的邊角關(guān)系銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(1)如圖①，Rt△ABC中除直角∠C外，其余五個(gè)元素有以下關(guān)系三邊關(guān)系：(2)利用這些關(guān)系，可以解直角三角形，具體如下：（1）仰角、俯角：（2）坡度（坡比）、坡角：（3）方向角：考點(diǎn)精講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義銳角三角2銳角三角函數(shù)的定義：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A為△ABC中的一銳角,則有：∠A的正弦：sinA=∠A的余弦：cosA＝＝①_____∠A的正切：tanA＝＝②_____∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)的定義：如圖①，在Rt△ABC中，3特殊角的三角函數(shù)值角度三角函數(shù)30°45°60°sinα③___④___cosα⑤___⑥___tanα⑦_(dá)__⑧___1特殊角度30°45°60°sinα③4三邊關(guān)系：a2+⑨___＝c2兩銳角關(guān)系：∠A+⑩____＝90°邊角關(guān)系：sinA＝cosB＝cosA＝________＝tanA＝_____，tanB＝_____b2(1)如圖①，Rt△ABC中除直角∠C外，其余五個(gè)元素有以下關(guān)系111213∠BsinB三邊關(guān)系：a2+⑨___＝c2b2(1)如圖①，Rt△ABC5(2)利用這些關(guān)系，可以解直角三角形，具體如下：已知條件圖形解法一直角邊和一銳角（a,∠A）∠B=90°-∠A,c=,b=________(或b=)已知斜邊和一個(gè)銳角（c,∠A）∠B=90°-∠A,a=c·_______,b=c·cosA(或b=)sinA1415(2)利用這些關(guān)系，可以解直角三角形，具體如下：已知條件圖形6(2)利用這些關(guān)系，可以解直角三角形，具體如下：已知條件圖形解法已知兩直角邊(a,b)c=__________,由tanA=求∠A,∠B=90°-∠A已知斜邊和一條直角邊（c,a）b=,由sinA=_____求∠A,∠B=90°-∠A1617(2)利用這些關(guān)系，可以解直角三角形，具體如下：已知條件圖形7（1）仰角、俯角：在視線與水平線所成的銳角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角.如圖②（1）仰角、俯角：在視線與水平線所成的銳角8（2）坡度（坡比）、坡角:如圖③，坡面的鉛直高度

h和水平寬度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面與水平線的夾角α叫坡角，i=tanα=______18（2）坡度（坡比）、坡角:如圖③，坡面的鉛直高度189（3）方向角:一般指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成北（南）偏東（西）多少度，如圖④，A點(diǎn)位于O點(diǎn)的北偏東30°方向，B點(diǎn)位于O點(diǎn)的南偏東60°方向，

C點(diǎn)位于O點(diǎn)的北偏西45°方向（或西北方向）（3）方向角:一般指以觀測者的位置為中心，將正北10重難點(diǎn)突破

銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(高頻點(diǎn))例（2015安徽）如圖，平臺AB高為12米，在B處測得樓房CD頂部點(diǎn)D的仰角為45°，底部點(diǎn)C的俯角為30°，求樓房CD的高度.（3≈1.7)重難點(diǎn)突破銳角三角函11【信息梳理】原題信息整理后的信息一平臺AB高為12米AB=12米二在B處測得樓房CD頂部點(diǎn)D的仰角為45°，底部點(diǎn)C的俯角為30°過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E.∠DBE=45°，∠CBE=30°三求樓房CD的高度CD=CE+DE【信息梳理】原題信息整理后的信息一平臺AB高為12米AB=12如解圖，作BE⊥CD于點(diǎn)E，則CE=AB＝12.在Rt△BCE中，BE＝.在Rt△BDE中，∵∠DBE=45°，∠DEB=90°，∴∠BDE＝45°，∴DE=BE=，∴CD=CE+DE=12+≈32.4，∴樓房CD的高度約為32.4米.E例題解圖解：如解圖，作BE⊥CD于點(diǎn)E，則CE=AB＝1131.有關(guān)銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用的解題步驟：①審題：通讀題干結(jié)合圖形，在圖中找出與題干相吻合的已知條件，弄明白哪些是已知量，哪些是未知量；②構(gòu)造直角三角形：將已知條件轉(zhuǎn)化為示意圖中的邊角關(guān)系，再結(jié)合問題，把所求的量轉(zhuǎn)化到與已知條件相結(jié)合的直角三角形中，若不能在圖中體現(xiàn)，則需添加適當(dāng)?shù)妮o助線將其結(jié)合；1.有關(guān)銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用的解題步驟：14③列關(guān)系式：在直角三角形中選擇適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解；④檢驗(yàn)：解題完畢后，可能會存在一些較為特殊的數(shù)據(jù)，例如含有復(fù)雜的小數(shù)等.因此，要特別注意所求數(shù)據(jù)是否符合實(shí)際意義，同時(shí)還要注意結(jié)果有無要求保留的條件.③列關(guān)系式：在直角三角形中選擇適當(dāng)?shù)匿J角三角152.在實(shí)際測量高度、寬度、距離等問題中，常結(jié)合視角知識構(gòu)造“直角三角形”利用三角函數(shù)來解決問題，常見的構(gòu)造的基本圖形有如下幾種：（1）構(gòu)造一個(gè)直角三角形：2.在實(shí)際測量高度、寬度、距離等問題中，常16（2）構(gòu)造兩個(gè)直角三角形：①不同地點(diǎn)測量：（2）構(gòu)造兩個(gè)直角三角形：17②同一地點(diǎn)測量：②同一地點(diǎn)測量：181.(2015錦州)如圖，三沙市一艘海監(jiān)船某天在黃巖島P附近海域由南向北巡航，某一時(shí)刻航行到A處，測得該島在北偏東30°方向，海監(jiān)船以20海里/時(shí)的速度繼續(xù)航行，2小時(shí)后到達(dá)B處，測得該島在北偏東75°方向，求此時(shí)海監(jiān)船與黃巖島P的距離BP的長.（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，結(jié)果精確到0.1）1.(2015錦州)如圖，三沙市一艘海監(jiān)船某天在黃巖島P附19如解圖，過B作BD⊥AP交AP于點(diǎn)D.由題意可知，AB=20×2=40（海里），在Rt△ABD中，∵∠A=30°，∴BD=AB·sin30°=40×=20（海里），在△ABP中，∠P=∠75°-∠A

=75°-30°=45°，解：如解圖，過B作BD⊥AP交AP于點(diǎn)D.解：20則在Rt△BDP中，BP=（海里）.答：此時(shí)海監(jiān)船與黃巖島P的距離BP的長為28.3海里.則在Rt△BDP中，212.如圖，小明從點(diǎn)A處出發(fā)，沿著坡角為的斜坡向上走了0.65千米到達(dá)點(diǎn)B，sin

=，然后又沿著坡度為i=1∶4的斜坡向上走了1千米達(dá)到點(diǎn)C．問小明從A點(diǎn)到點(diǎn)C上升的高度CD是多少千米?（結(jié)果保留根號）2.如圖，小明從點(diǎn)A處出發(fā)，沿著坡角為的斜坡向上走了22如解圖所示，過點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，由題意得AB=0.65，BC=1，∴sin

＝，∴BF=0.25，∵i=1∶4,∴,設(shè)CE=a,則BE=4a,FE第2題解圖解：如解圖所示，過點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作23∴BC=

,sin∠CBE=,∴CE=BC·sin∠CBE=1×＝，∴CD=CE+ED=CE+BF=+.答：小明從A點(diǎn)到C點(diǎn)上升高度是（+）千米.FE第2題解圖∴BC=24中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)復(fù)習(xí)課件習(xí)題第五節(jié)銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用25第四章三角形第五節(jié)銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用第一部分考點(diǎn)研究第四章三角形第一部分考點(diǎn)研究26考點(diǎn)精講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義特殊角的三角函數(shù)值銳角三角函數(shù)直角三角形的邊角關(guān)系銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(1)如圖①，Rt△ABC中除直角∠C外，其余五個(gè)元素有以下關(guān)系三邊關(guān)系：(2)利用這些關(guān)系，可以解直角三角形，具體如下：（1）仰角、俯角：（2）坡度（坡比）、坡角：（3）方向角：考點(diǎn)精講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義銳角三角27銳角三角函數(shù)的定義：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A為△ABC中的一銳角,則有：∠A的正弦：sinA=∠A的余弦：cosA＝＝①_____∠A的正切：tanA＝＝②_____∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)的定義：如圖①，在Rt△ABC中，28特殊角的三角函數(shù)值角度三角函數(shù)30°45°60°sinα③___④___cosα⑤___⑥___tanα⑦_(dá)__⑧___1特殊角度30°45°60°sinα③29三邊關(guān)系：a2+⑨___＝c2兩銳角關(guān)系：∠A+⑩____＝90°邊角關(guān)系：sinA＝cosB＝cosA＝________＝tanA＝_____，tanB＝_____b2(1)如圖①，Rt△ABC中除直角∠C外，其余五個(gè)元素有以下關(guān)系111213∠BsinB三邊關(guān)系：a2+⑨___＝c2b2(1)如圖①，Rt△ABC30(2)利用這些關(guān)系，可以解直角三角形，具體如下：已知條件圖形解法一直角邊和一銳角（a,∠A）∠B=90°-∠A,c=,b=________(或b=)已知斜邊和一個(gè)銳角（c,∠A）∠B=90°-∠A,a=c·_______,b=c·cosA(或b=)sinA1415(2)利用這些關(guān)系，可以解直角三角形，具體如下：已知條件圖形31(2)利用這些關(guān)系，可以解直角三角形，具體如下：已知條件圖形解法已知兩直角邊(a,b)c=__________,由tanA=求∠A,∠B=90°-∠A已知斜邊和一條直角邊（c,a）b=,由sinA=_____求∠A,∠B=90°-∠A1617(2)利用這些關(guān)系，可以解直角三角形，具體如下：已知條件圖形32（1）仰角、俯角：在視線與水平線所成的銳角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角.如圖②（1）仰角、俯角：在視線與水平線所成的銳角33（2）坡度（坡比）、坡角:如圖③，坡面的鉛直高度

h和水平寬度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面與水平線的夾角α叫坡角，i=tanα=______18（2）坡度（坡比）、坡角:如圖③，坡面的鉛直高度1834（3）方向角:一般指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成北（南）偏東（西）多少度，如圖④，A點(diǎn)位于O點(diǎn)的北偏東30°方向，B點(diǎn)位于O點(diǎn)的南偏東60°方向，

C點(diǎn)位于O點(diǎn)的北偏西45°方向（或西北方向）（3）方向角:一般指以觀測者的位置為中心，將正北35重難點(diǎn)突破

銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(高頻點(diǎn))例（2015安徽）如圖，平臺AB高為12米，在B處測得樓房CD頂部點(diǎn)D的仰角為45°，底部點(diǎn)C的俯角為30°，求樓房CD的高度.（3≈1.7)重難點(diǎn)突破銳角三角函36【信息梳理】原題信息整理后的信息一平臺AB高為12米AB=12米二在B處測得樓房CD頂部點(diǎn)D的仰角為45°，底部點(diǎn)C的俯角為30°過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E.∠DBE=45°，∠CBE=30°三求樓房CD的高度CD=CE+DE【信息梳理】原題信息整理后的信息一平臺AB高為12米AB=37如解圖，作BE⊥CD于點(diǎn)E，則CE=AB＝12.在Rt△BCE中，BE＝.在Rt△BDE中，∵∠DBE=45°，∠DEB=90°，∴∠BDE＝45°，∴DE=BE=，∴CD=CE+DE=12+≈32.4，∴樓房CD的高度約為32.4米.E例題解圖解：如解圖，作BE⊥CD于點(diǎn)E，則CE=AB＝1381.有關(guān)銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用的解題步驟：①審題：通讀題干結(jié)合圖形，在圖中找出與題干相吻合的已知條件，弄明白哪些是已知量，哪些是未知量；②構(gòu)造直角三角形：將已知條件轉(zhuǎn)化為示意圖中的邊角關(guān)系，再結(jié)合問題，把所求的量轉(zhuǎn)化到與已知條件相結(jié)合的直角三角形中，若不能在圖中體現(xiàn)，則需添加適當(dāng)?shù)妮o助線將其結(jié)合；1.有關(guān)銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用的解題步驟：39③列關(guān)系式：在直角三角形中選擇適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解；④檢驗(yàn)：解題完畢后，可能會存在一些較為特殊的數(shù)據(jù)，例如含有復(fù)雜的小數(shù)等.因此，要特別注意所求數(shù)據(jù)是否符合實(shí)際意義，同時(shí)還要注意結(jié)果有無要求保留的條件.③列關(guān)系式：在直角三角形中選擇適當(dāng)?shù)匿J角三角402.在實(shí)際測量高度、寬度、距離等問題中，常結(jié)合視角知識構(gòu)造“直角三角形”利用三角函數(shù)來解決問題，常見的構(gòu)造的基本圖形有如下幾種：（1）構(gòu)造一個(gè)直角三角形：2.在實(shí)際測量高度、寬度、距離等問題中，常41（2）構(gòu)造兩個(gè)直角三角形：①不同地點(diǎn)測量：（2）構(gòu)造兩個(gè)直角三角形：42②同一地點(diǎn)測量：②同一地點(diǎn)測量：431.(2015錦州)如圖，三沙市一艘海監(jiān)船某天在黃巖島P附近海域由南向北巡航，某一時(shí)刻航行到A處，測得該島在北偏東30°方向，海監(jiān)船以20海里/時(shí)的速度繼續(xù)航行，2小時(shí)后到達(dá)B處，測得該島在北偏東75°方向，求此時(shí)海監(jiān)船與黃巖島P的距離BP的長.（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，結(jié)果精確到0.1）1.(2015錦州)如圖，三沙市一艘海監(jiān)船某天在黃巖島P附44如解圖，過B作BD⊥AP交AP于點(diǎn)D.由題意可知，AB=20×2=40（海里），在Rt△ABD中，