2025年山東聊城高三一模數(shù)學(xué)試卷試題答案詳解

第1頁/共1頁2025年聊城市高考模擬試題數(shù)學(xué)（一）注意事項(xiàng)：1.本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡的相應(yīng)位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，只將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】由可得，故，故選：C2.已知復(fù)數(shù)，則共軛復(fù)數(shù)A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】分析：首先求得復(fù)數(shù)z，然后求解其共軛復(fù)數(shù)即可.詳解：由題意可得：，則其共軛復(fù)數(shù).本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3.曲線在處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，可得出切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式即可得解.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，故所求切線斜率為，切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，曲線在處的切線方程為，該切線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，因此，曲線在處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為.故選：D.4.已知角，向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值.【詳解】因?yàn)?，則，向量，，若，則，可得，故.故選：B.5.已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先分析充分性：假設(shè)特殊等比數(shù)列即可判斷；再分析必要性，由條件得恒成立，再對(duì)和進(jìn)行分類討論即可判斷.【詳解】先分析充分性：在等比數(shù)列中，，所以假設(shè)，，所以，等比數(shù)列為遞減數(shù)列，故充分性不成立；分析必要性：若等比數(shù)列的公比為，且是遞增數(shù)列，所以恒成立，即恒成立，當(dāng)，時(shí)，成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不恒成立，當(dāng)，時(shí)，不恒成立，所以能使恒成立的只有：，和，，易知此時(shí)成立，所以必要性成立.故選：B.6.設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，，是上的任意兩點(diǎn)，周長的取值范圍為，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的定義，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系以及共線關(guān)系可得周長范圍，再與給定范圍比對(duì)即可得解.【詳解】令橢圓右焦點(diǎn)為，，周長，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，則，即，又，因此，則，解得，所以C的離心率為.故選：A.7.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)判別式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類求解.【詳解】要使奇函數(shù)是增函數(shù)，則需要在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)?，此時(shí)的對(duì)稱軸，所以只需即可，即.故選：B8.在四棱錐中，，、分別為、的中點(diǎn)，經(jīng)過、、三點(diǎn)的平面交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且平面，為等邊三角形，，，則經(jīng)過、、、四點(diǎn)的球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，根據(jù)線面位置關(guān)系與向量的關(guān)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后設(shè)球心為，由可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可求出球的半徑，即可得解.【詳解】因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，直線的一個(gè)方向向量為，則，取，可得，設(shè)，所以，，因?yàn)槠矫?，則，解得，所以，，即點(diǎn)，設(shè)經(jīng)過、、、四點(diǎn)的球的球心為，由可得，解得，故球半徑為，因此，經(jīng)過、、、四點(diǎn)的球的表面積為.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，，則（）A.的最小正周期為B.在上單調(diào)遞增C.直線是曲線的一條對(duì)稱軸D.將的圖象向右平移個(gè)單位得到的圖象【答案】BD【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷C選項(xiàng)；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，?duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，故直線不是曲線的一條對(duì)稱軸，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，將的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，D對(duì).故選：BD.10.將四個(gè)不同的小球，放入四個(gè)編號(hào)為、、、的盒子中，每個(gè)小球放入各個(gè)盒子的可能性都相等，設(shè)表示空盒的個(gè)數(shù)，表示號(hào)盒子中小球的個(gè)數(shù)，則（）A.每個(gè)盒子中恰有球的概率為B.事件“號(hào)是空盒”與事件“號(hào)是空盒”不獨(dú)立C.隨機(jī)變量的方差為D.隨機(jī)變量的均值為【答案】BCD【解析】【分析】計(jì)算出每個(gè)盒子中恰有球的概率，可判斷A選項(xiàng)；利用獨(dú)立事件的定義可判斷B選項(xiàng)；利用二項(xiàng)分布的方差公式可判斷C選項(xiàng)；利用隨機(jī)變量期望公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，每個(gè)盒子中恰有球的概率為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，記事件號(hào)是空盒，事件號(hào)是空盒，則，，所以，，故事件“號(hào)是空盒”與事件“號(hào)是空盒”不獨(dú)立，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由題意可知，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，則，，，，因此，，D對(duì).故選：BCD.11.設(shè)動(dòng)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，分別過，作的切線，設(shè)兩切線相交于點(diǎn)，則（）A.直線經(jīng)過一定點(diǎn) B.拋物線的焦點(diǎn)為C.點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不小于 D.的面積的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)直線的定點(diǎn)求法計(jì)算判斷A，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)判斷B，設(shè)l的方程及A、B坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求拋物線切線斜率及切線方程，聯(lián)立兩直線可得P坐標(biāo)判定C，利用點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)、三角形面積公式可判定D.【詳解】對(duì)于A：化簡為，無論為何值時(shí)，令，可得定點(diǎn)為，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B：的焦點(diǎn)在軸且，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立有，設(shè)，，有，，由，所以的斜率分別為，又因?yàn)?則兩切線，，聯(lián)立兩直線方程解得，所以，點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，當(dāng)時(shí)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最小距離為，所以C正確；對(duì)于D：P到l的距離為，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)取最小值，故D正確；故選：ACD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)時(shí)應(yīng)用弦長公式和點(diǎn)到直線距離得出面積結(jié)合二次函數(shù)最值計(jì)算求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)實(shí)數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，則______________.【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義可求出的值，然后代值計(jì)算可得的值.【詳解】實(shí)數(shù)，且函數(shù)為奇函數(shù)，則，由奇函數(shù)的定義可得，即，整理可得，則，因?yàn)?，解得，所以，，?故答案為：.13.在中，已知，，，則的面積為______________.【答案】##【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，將分為兩角，再運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式計(jì)算即得.【詳解】因，故，如圖，過點(diǎn)作射線交線段于點(diǎn)，使，則，則，在中利用余弦定理得，，解得，在中利用余弦定理得，，則，則.故答案為：.14.在一塊黑板上共有10個(gè)點(diǎn)，其中任意3點(diǎn)都不共線，現(xiàn)將任意兩點(diǎn)用紅色線段或綠色線段連結(jié)起來，在所得到的圖形中三邊同色的三角形至少有______________個(gè).【答案】20【解析】【分析】利用拉姆齊數(shù)和Goodman定理判定至少有20個(gè)同色三角形，然后進(jìn)行構(gòu)造性驗(yàn)證即可.【詳解】拉姆齊數(shù)基礎(chǔ)：拉姆齊數(shù)

表示在6個(gè)點(diǎn)的完全圖中，無論如何用兩色著色邊，必然存在一個(gè)同色三角形.但本題涉及10個(gè)點(diǎn)，需進(jìn)一步分析.Goodman定理的應(yīng)用：Goodman定理指出，對(duì)于偶數(shù)

，雙色完全圖中同色三角形的最少數(shù)目為：,當(dāng)

時(shí)，，代入得：這表明無論如何著色，至少存在20個(gè)同色三角形。構(gòu)造性驗(yàn)證：將10個(gè)點(diǎn)分為兩組（每組5個(gè)），組內(nèi)邊全紅，組間邊全綠,此時(shí)同色三角形僅來自組內(nèi)，每組有

個(gè)紅色三角形，共

個(gè)。這說明存在一種著色方式使得同色三角形恰為20個(gè)。根據(jù)Goodman定理，無論何種著色，同色三角形數(shù)量下限即為20。結(jié)論：在所得到的圖形中，三邊同色的三角形至少有20個(gè)。故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要是圖論中的基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，其中拉姆齊數(shù)，Goodman定理.拉姆齊數(shù)（RamseyNumber）定義：拉姆齊數(shù)

是指在任意一個(gè)完全圖的邊被兩種顏色（通常為紅色和藍(lán)色）著色后，必然存在一個(gè)

個(gè)頂點(diǎn)的全紅子圖或一個(gè)

個(gè)頂點(diǎn)的全藍(lán)子圖的最小頂點(diǎn)數(shù).舉例：：在任意一個(gè)6個(gè)頂點(diǎn)的完全圖中，無論邊如何被紅藍(lán)兩色著色，必然存在一個(gè)紅色的三角形或一個(gè)藍(lán)色的三角形.Goodman定理定理內(nèi)容：在一個(gè)

個(gè)頂點(diǎn)的完全圖中，每條邊被紅色或藍(lán)色著色。設(shè)

為單色三角形的數(shù)量，則有：,證明：總?cè)切螖?shù)：在一個(gè)

個(gè)頂點(diǎn)的完全圖中，三角形的總數(shù)為：.非單色三角形數(shù)：對(duì)于每個(gè)三角形，有三種可能的著色方式：全紅,全藍(lán),兩種顏色混合.設(shè)

為單色三角形的數(shù)量，則非單色三角形的數(shù)量為：.邊著色分析：對(duì)于每條邊，假設(shè)紅色邊的數(shù)量為

，藍(lán)色邊的數(shù)量為

，則有：.單色三角形數(shù)下界：根據(jù)Goodman定理，單色三角形數(shù)

滿足：有：證明步驟：通過計(jì)算所有可能的三角形著色情況，利用概率和組合數(shù)學(xué)的方法，推導(dǎo)出單色三角形數(shù)量的下界.具體證明過程涉及復(fù)雜的組合分析和不等式推導(dǎo)，詳細(xì)步驟可參考相關(guān)組合數(shù)學(xué)教材或論文.拉姆齊數(shù)

描述了在完全圖著色中必然存在的單色子圖的最小頂點(diǎn)數(shù).Goodman定理

給出了在完全圖著色中單色三角形數(shù)量下界，通過組合分析證明了該下界的存在性.這兩個(gè)概念在組合數(shù)學(xué)和圖論中具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程、演算步驟.15.某學(xué)校為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，在高二年級(jí)舉行了一次數(shù)學(xué)有獎(jiǎng)競(jìng)賽，對(duì)考試成績優(yōu)秀（即考試成績不小于分）的學(xué)生進(jìn)行了獎(jiǎng)勵(lì).學(xué)校為了掌握考試情況，隨機(jī)抽取了部分考試成績，并以此為樣本制作了如圖所示的樣本頻率分布直方圖.已知第一小組的頻數(shù)為.（1）求的值和樣本容量；（2）估計(jì)所有參賽學(xué)生的平均成績；（3）假設(shè)在抽取的樣本中，男生比女生多人，女生的獲獎(jiǎng)率為，填寫下列列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷男生與女生的獲獎(jiǎng)情況是否存在差異？性別獎(jiǎng)勵(lì)合計(jì)獲獎(jiǎng)未獲獎(jiǎng)男

女

合計(jì)

附：，【答案】（1），樣本容量為（2）（3）列聯(lián)表見解析，無【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為可得的值，將第一組的容量除以第一組的頻率可得出樣本容量；（2）將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積，相加可得出平均數(shù)；（3）根據(jù)題意完善列聯(lián)系表，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論.【小問1詳解】由頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為可得，解得，樣本容量為.【小問2詳解】所有參賽學(xué)生的平均成績?yōu)?【小問3詳解】由題意可知，獲獎(jiǎng)人數(shù)為人，由題意可得如下列聯(lián)表性別獎(jiǎng)勵(lì)合計(jì)獲獎(jiǎng)未獲獎(jiǎng)男女合計(jì)所以，，所以，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，男生與女生的獲獎(jiǎng)無差異.16.在三棱錐中，為等邊三角形，，，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）求出的值，利用正弦定理得到，進(jìn)而得到為的中點(diǎn)，再利用線線平行即可證明線面平行；（2）取中點(diǎn)，連接，利用勾股定理證明，建系，利用線面角的向量求法求解即可.【小問1詳解】因，，，所以，所以，在中，根據(jù)正弦定理得，又，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以為中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；【小?詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)?，即，所以，因?yàn)闉榈冗吶切危?，所以，，又，所以，所以，以為原點(diǎn)，分別以為軸的正向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造二次函數(shù)，分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性.（2）利用極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)和韋達(dá)定理，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究單調(diào)性，解不等式求解.【小問1詳解】的定義域?yàn)?

求導(dǎo)可得：.令，其判別式.

當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?，所以，則，所以在上單調(diào)遞增.

當(dāng)，即或時(shí)，方程的兩根為，.(根同號(hào))，.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，，此時(shí)，，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，則，，且，此時(shí)在和上，，，單調(diào)遞增；在上，，，單調(diào)遞減.

綜上所得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減.【小問2詳解】因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的極值點(diǎn)，所以且，解得.由韋達(dá)定理可知，，代入上式可得：.已知，即，可得，即.令，對(duì)求導(dǎo)得.因?yàn)椋?，在上單調(diào)遞增.又，所以的解集為，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知圓，圓，動(dòng)圓與、都外切.（1）求圓心的軌跡方程；（2）設(shè)，、是圓心軌跡上的不同兩點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，若直線與的斜率之積等于，求動(dòng)點(diǎn)軌跡的長度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)圓的半徑為，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系得出，，可得出，則點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，求出、、的值，即可得出其軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與曲線方程聯(lián)立，根據(jù)求出，可知點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，結(jié)合扇形的弧長公式可求得點(diǎn)的軌跡長度.【小問1詳解】設(shè)圓的半徑為，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與圓、圓都外切，則，，所以，，所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，，則，所以，，所以，圓心的軌跡方程為.【小問2詳解】若直線與軸垂直，則直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得①，則且，可得且，由韋達(dá)定理可得，，，整理可得，即，整理可得，若，此時(shí)，方程①為，由于，解得，此時(shí)直線與點(diǎn)的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，所以，，所以，直線的方程為，故直線過定點(diǎn)，因?yàn)?，取線段的中點(diǎn)，則，所以點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，由題意可得，可得，易知直線的方程為，聯(lián)立可得，直線交軸于點(diǎn)，交圓于、兩點(diǎn)，，則，所以，，易知點(diǎn)的軌跡為劣弧