第十一講 方差相關系數(shù)與切比雪夫不等式公開課一等獎省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎課件

第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式此次課講授第三章第4—8節(jié)，方差，協(xié)方差、相關系數(shù)與大數(shù)定理；下次課講授第四章第1-4節(jié)：正態(tài)分布密度與期望方差。下次上課前完成作業(yè)9，上課時交作業(yè)P37---40頁重點：方差與協(xié)方差難點：方差協(xié)方差與獨立相關系數(shù)之間關系第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式2.中心矩定義2為X

k階中心矩。設X

是隨機變量，則稱定義1為X

k階原點矩。設X

是隨機變量，則稱1.原點矩3.原點矩與中心矩關系回顧：一、方差與標準差1.定義背景：在統(tǒng)計應用中，二階中心矩含有特殊主要性。因為它能表示隨機變量偏離程度，這種偏離程度是均值無法反應。比如，某小企業(yè)有10個員工，它們年薪分別是（萬元）25,18,36,28,16,20,29,32,41,150.其均值是39萬5千元。于是老板宣告我們企業(yè)平均年薪39萬5千元。這引發(fā)多數(shù)員工不滿。為何？因為數(shù)據(jù)中有150萬元是老板自己年薪，其它9人中有6人偏離均值很遠。本例說明，均值只代表平均收入，卻不能表示數(shù)據(jù)偏離度。在中心矩概念中，二階中心矩表述了變量與其均值之間差程度，為此將它作為衡量變量偏離均值專有量值，并命名為方差。第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式離差平方數(shù)學期望叫做隨機變量X方差,記作隨機變量X與其數(shù)學期望差叫做隨機變量X離差。即離差與偏差定義標準差隨機變量X方差算術平方根叫做隨機變量X標準差或均方差，記作σ(X)，即或說明：1..D(X)非負，且D(X)即是二階中心距

2.實際應用中慣用標準差，它與隨機變量量綱一致，但為了運算方便，理論推導和研究通慣用方差。第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式2.方差計算由方差定義：第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式用均值計算方差定理:證實：第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式解例題11-1-1設隨機變量，求方差D(X

)。3.例題講解例題11-1-2設隨機變量，求方差D(X)。解其密度函數(shù)為例題11-1-3解其密度函數(shù)為第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式4.方差性質(zhì)1.定理（1、2）證實第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式定理3利用定理3，用歸納法能夠證實以下推論第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式口訣：方差：常數(shù)為零系數(shù)提平方，獨立加減都算加證X標準化隨機變量。

設隨機變量X

數(shù)學期望為E(X)

，標準差為設隨機變量證實：例11-1-4.

均值為0,方差為1特殊分布第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式則n次試驗中事件A發(fā)生次數(shù)為：且X1,X2,…Xn相互獨立，則例11-1-5.

二項分布均值與方差其中：第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式解：由已知概率：因為X1,X2,…Xn相互獨立，則求方差D(Y)。例11-1-6

()設隨機變量X在區(qū)間[-1,2]上服從均勻分布,隨機變量第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式解因隨機變量X在區(qū)間[-1,2]上服從均勻分布,則第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式例題11-1-7.幾何分布概率函數(shù)∴而∴第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式而第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式0-1分布二項分布泊松分布均勻分布幾何分布超幾何分布指數(shù)分布慣用分布期望與方差列表第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式解

設二維隨機變量(X,Y)在以點(0,1),(1,0),(1,1)為頂點三角形

區(qū)域G上服從均勻分布,求隨機變量U=X+Y方差.例題11-1-8（）第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式例11-1-9（，4分）例11-1-10（1995，4分）第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式例11-1-11（，4分）第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式例11-1-12（，4分）二、協(xié)方差與相關系數(shù)1.背景知識設隨機變量X與Y相互獨立，則:第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式2.協(xié)方差:covariance協(xié)方差(相關矩):離散型隨機變量：連續(xù)型隨機變量：證第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式（1）均值性質(zhì)定理：3.協(xié)方差性質(zhì)（2）獨立性質(zhì)定理：設隨機變量X與Y相互獨立，則：證因為隨機變量X與Y相互獨立,第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式證(3)方差性質(zhì)定理：設X與Y是任意兩個隨機變量,則：4.相關系數(shù)第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式（1）定義：X與Y相關系數(shù):

第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式（2）相關系數(shù)計算:

證(5)不相關概念由定義輕易得到不相關幾個等價結論第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式而且(4)強相關定理11-2-1將一枚硬幣重復擲n次，X和Y分別表示正面向上和反面向上次數(shù)，則X和Y相關系數(shù)等于解選(A).(A)-1(B)0(C)0.5(D)1.（）第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式例題11-2-2（，3分）三、切比雪夫定理

1.背景：若已知一個隨機變量分布均值與方差，那么隨機變量值是以什么形式集中在均值附近？比如某年級1000名學生線性代數(shù)課程成績均值為85分，我們關心是，有多少學生成績集中在均值附近？2.切比雪夫定理（不等式）：第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式例題11-3-1(，數(shù)一）設獨立隨機變量而且方差是一致有上界，即存在某則對于任何正數(shù)，恒有

定理2（切比雪夫大數(shù)定理）分別有數(shù)學期望及方差

D(X1),一常數(shù)K，使得第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式證第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式3.依概率收斂定義推論：存在:設獨立隨機變量服從同一分布,期望及方差則對于任何正數(shù)，有第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式在獨立試驗序列中,設事件A概率P(A)=

p，定理3(伯努利定理）按概率收斂于事件A概率p.即對于任何正數(shù)則事件A在n次獨立試驗中發(fā)生頻率fn(A),當試驗次數(shù),有證設隨機變量Xi表示事件A在第i次試驗中發(fā)生次數(shù)(i=1,2,…,n,…),則這些隨機變量相互獨立，服從相同0-1分布，且有數(shù)學期望與方差：由切比雪夫定理推論即得而就是事件A在n次試驗中發(fā)生次數(shù)m，由此可知第十一講方差、相關系數(shù)與切比雪夫不等式三、正態(tài)分布密度與分布1.背景：正態(tài)分布是當代統(tǒng)計學基礎。18世紀科學家發(fā)覺測量誤差含有驚人規(guī)律性，這種規(guī)律性滿足類似于某種特殊“中間大，兩頭小”特征，現(xiàn)實中眾多問題都含有這種特征，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研究類似現(xiàn)象并發(fā)覺了其密度和分布數(shù)學家。他們將這種分布稱為正態(tài)分布。2.正態(tài)分布密度第十一講大數(shù)定理與正態(tài)分布記作1.定義其中及＞0都為常數(shù)，這種分布叫做正態(tài)分布或高斯分布。設連續(xù)型隨機變量X概率密度為

第十一講大數(shù)定理與正態(tài)分布尤其地，當時，正態(tài)分布叫