2000年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及其解析

2000年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分．第I卷1至2頁．第II卷3至9頁．共150分．考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素A．2，則在映射下，象20的原象是C．4D．5()B．32.在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對應(yīng)的（）復(fù)數(shù)是A．2B．C．D．33.一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是、、，這個長方體對角線的長是()A．2B．3C．6D．4．已知，那么下列命題成立的是()A．若、是第一象限角，則B．若、是第二象限角，則C．若、是第三象限角，則D．若、是第四象限角，則5．函數(shù)的部分圖像是()6．《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額．此項稅款按下表分段累進計算：全月應(yīng)納稅所得額不超過500元的部分超過500元至2000元的部分超過2000元至5000元的部分…稅率5%10%15%…某人一月份應(yīng)交納此項稅款26．78元，則他的當(dāng)月工資、薪金所得介于()A．800~900元B．900~1200元C．1200~1500元D．1500~2800元，R=7．若A．R，P=B．P，Q=C．Q，則()PQQRPRD．PRQ8．以極坐標(biāo)系中的點為圓心，1為半徑的圓的方程是()A．C．B．D．9．一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是()A．B．C．D．10．過原點的直線與圓相切，若切點在第三象限，則該直線的方程是()A．B．C．D．11．過拋物線的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是、，則等于()A．12．如圖，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分()B．C．D．成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角為A．B．D．C．第II卷(非選擇題共90分)二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線．13．乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名參加比賽．3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有_____種(用數(shù)字作答)14．橢圓范圍是________的焦點為、，點P為其上的動點，當(dāng)為鈍角時，點P橫坐標(biāo)的取值(=1，2，3，…)，則它的15．設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且通項公式是=_______16．如圖，E、F分別為正方體的面、面的中心，則四邊形在該正方體的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的圖的序號都填上)三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分12分)已知函數(shù)，．(I)當(dāng)函數(shù)取得最大值時，求自變量的集合；(II)該函數(shù)的圖像可由18．(本小題滿分12分)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？如圖，已知平行六面體ABCD-的底面ABCD是菱形，且===．(I)證明：⊥BD；(II)假定CD=2，=，記面為，面CBD為，求二面角的平面角的余弦值；(III)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，能使平面．？請給出證明．19．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)，其中(I)解不等式；(II)求的取值范圍，使函數(shù)20．(本小題滿分12分)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．(I)已知數(shù)列(II)設(shè)，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)；、是公比不相等的兩個等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列．21．(本小題滿分12分)某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示．(Ⅰ)寫出圖一表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式P=寫出圖二表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q=；；(Ⅱ)認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿收益最大？(注：市場售價和種植成本的單位：元/22．(本小題滿分14分)kg，時間單位：天)如圖，已知梯形ABCD中，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，時，求雙曲線離心率的取值范圍．且以A、B為焦點．當(dāng)2000年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)一．選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分60分．(1)C(2)B(3)D(4)D(5)D(6)C(7)B(8)C(9)A(10)C(11)C(12)D二．填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分16分．(13)252(14)－(15)(16)②③三．解答題(17)本小題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查利用三角公式進行恒等變形的技能以及運算能力．滿分12分．解：(Ⅰ)y=cos2x＋sinxcosx＋1=(2cos2x－1)＋＋(2sinxcosx)＋1=cos2x＋sin2x＋=(cos2x·sin＋sin2x·cos)＋=sin(2x＋)＋——6分y取得最大值必須且只需2x＋=＋2kπ，k∈Z，即x=＋kπ，k∈Z．所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為{x|x=＋kπ，k∈Z}——8分(Ⅱ)將函數(shù)y=sinx依次進行如下變換：(i)把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移，得到函數(shù)y=sin(x＋)的圖像；(ii)把得到的圖像上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=sin(2x＋)的圖像；(iii)把得到的圖像上各點縱坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=sin(2x＋)的圖像；(iv)把得到的圖像向上平移個單位長度，得到函數(shù)y=sin(2x＋)＋的圖像；綜上得到函數(shù)y=cos2x＋sinxcosx＋1的圖像．——12分(18)本小題主要考查直線與直線、直線與平面的關(guān)系，邏輯推理能力，滿分12分．(Ⅰ)證明：連結(jié)A1C1、AC、AC和BD交于O，連結(jié)C1O．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD=CD．又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C=C1C，∴△C1BC≌△C1DC∴C1B=C1D，∵DO=OB∴C1O⊥BD，——2分但AC⊥BD，AC∩C1O=O，∴BD⊥平面AC1，又C1C平面AC1∴C1C⊥BD．——4分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC⊥BD，C1O⊥BD，∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角．在△C1BC中，BC=2，C1C=，∠BCC1=60o，∴C1B2=22＋()2－2×2××cos60o=∵∠OCB=30o，——6分∴OB=BC=1．∴C1O2=C1B2－OB2=，∴C1O=即C1O=C1C．作C1H⊥OC，垂足為H．∴點H是OC的中點，且OH=，所以cos∠C1OC==．——8分(Ⅲ)當(dāng)=1時，能使A1C⊥平面C1BD證明一：∵=1，∴BC=CD=C1C，又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD，由此可推得BD=C1B=C1D．∴三棱錐C－C1BD是正三棱錐．設(shè)A1C與C1O相交于G．∵A1C1∥AC，且A1C1∶OC=2∶1，∴C1G∶GO=2∶1．——10分又C1O是正三角形C1BD的BD邊上的高和中線，∴點G是正三角形C1BD的中心，∴CG⊥平面C1BD．即A1C⊥平面C1BD．——12分證明二：由(Ⅰ)知，BD⊥平面AC1，∵A1C平面AC1，∴BD⊥A1C．——10分當(dāng)=1時，平行六面體的六個面是全等的菱形，同BD⊥A1C的證法可得BC1⊥A1C，又BD⊥BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD．——12分(19)本小題主要考查不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識，分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和運算、推理能力．滿分12分．解：(Ⅰ)不等式f(x)≤1即≤1＋ax，由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常數(shù)a＞0．所以，原不等式等價于即——3分所以，當(dāng)0＜a＜1時，所給不等式的解集為{x|0}；當(dāng)a≥1時，所給不等式的解集為{x|x≥0}．——6分(Ⅱ)在區(qū)間[0，+∞]上任取x1、x2，使得x1＜x2．f(x1)－f(x2)=－－a(x1－x2)=－a(x1－x2)=(x1－x2)((ⅰ)當(dāng)a≥1時－a)．——8分∵<1∴－a<0，又x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以，當(dāng)a≥1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)．——10分(ii)當(dāng)0<a<1時，在區(qū)間上存在兩點x1=0,x2=，滿足f(x1)=1，f(x2)=1，即f(x1)=f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a≥1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．——12分(20)本小題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運算能力，滿分12分．解：(Ⅰ)因為{cn+1－pcn}是等比數(shù)列，故有（cn+1－pcn）2=(cn+2－pcn+1)(cn－pcn－1)，將cn=2n＋3n代入上式，得[2n＋1+3n＋1－p(2n＋3n)]2=[2n＋2+3n＋2－p(2n+1＋3n+1)]·[2n+3n－p(2n－1＋3n－1)]，即[(2－p)2n+(3－p)3n]2——3分=[(2－p)2n+1+(3－p)3n+1][(2－p)2n－1+(3－p)3n－1]，整理得(2－p)(3－p)·2n·3n=0，解得p=2或p=3．——6分(Ⅱ)設(shè){an}、{bn}的公比分別為p、q，p≠q，cn=an+bn．為證{cn}不是等比數(shù)列只需證≠c1·c3．事實上，=(a1p＋b1q)2=p2＋q2＋2a1b1pq，c1·c3=(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)=由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不為零，c1·c3，故{cn}不是等比數(shù)列．p2＋q2＋a1b1(p2＋q2)．因此——12分(21)本小題主要考查由函數(shù)圖像建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問題，考查運用所學(xué)知識解決實際問題的能力，滿分12分．解：(Ⅰ)由圖一可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為f(t)=——2分——4分由圖二可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為g(t)=(t－150)2＋100，0≤t≤300．(Ⅱ)設(shè)t時刻的純收益為h(t)，則由題意得h(t)=f(t)－g(t)即h(t)=——6分當(dāng)0≤t≤200時，配方整理得h(t)=－(t