線性代數(shù)第三章課件

第三章矩陣的初等變換與線性方程組§3.1矩陣的初等變換§3.2初等矩陣§3.3矩陣的秩§3.4線性方程組的解習(xí)題課第三章矩陣的初等變換§3.1矩陣的初等變換§3.21分析:用消元法解下列方程組的過程.引例:求解線性方程組§3.1矩陣的初等變換本章先討論矩陣的初等變換,建立矩陣的秩的概念,并提出求秩的有效方法.再利用矩陣的秩反過來研究齊次線性方程組有非零解的充分必要條件和非齊次線性方程組有解的充分必要條件,并介紹用初等變換解線性方程組的方法.內(nèi)容豐富,有一定難度.一、消元法解線性方程組分析:用消元法解下列方程組的過程.§3.1矩陣的初等變2解:①②③2②③③2①④3①②2解:①②③2②③③2①④3①②23③+5②④–3②③2④③④用“回代”的方法求出解.于是得解:其中x3可以任意取值.或令x3=c,方程組的解可記作:③+5②④–3②③2④③④用“回代”的方法求出解.于是得41.上述解方程組的方法稱為消元法．2.始終把方程組看作一個整體變形,用到如下三種變換:(2)其中c為任意常數(shù).或歸納以上過程:(3)一個方程加上另一個方程的k倍:(2)以不等于0的數(shù)k乘某個方程:(1)交換方程次序:

i與j相互替換;以i

k替換i;以i+kj

替換i.1.上述解方程組的方法稱為消元法．(2)其5由于三種變換都是可逆的,所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的.故這三種變換是同解變換.3.上述三種變換都是可逆的.因為在上述變換過程中,未知量并未參與本質(zhì)性運算,僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算,只因某未知量前的系數(shù)化為0,而不顯含該未知量.由于三種變換都是可逆的,所以變換前的方程組與變換后的方6若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組(1)的增廣矩陣)的變換.二、矩陣的初等變換定義1:

下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:(1)對調(diào)兩行(對調(diào)i,j兩行,記作rirj);(2)以非零數(shù)k乘以某一行的所有元素(第i行乘k,記作rik

);(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的對應(yīng)元素上去(第j行的k倍加到第i行上去,記作ri+krj).同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(7

定義2:

矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.初等變換的逆變換仍為初等變換且變換類型相同.rirj的逆變換為rj

ri;rik的逆變換為ri(1/k),或rik;ri+krj的逆變換為ri+(–k)rj,或ri–krj.定義3:如果矩陣A可經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)榫仃嘊,則稱矩陣A與矩陣B等價.記作AB.具有以下三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價關(guān)系:(1)自反性:AA;(2)對稱性:若AB,則BA;(3)傳遞性:若AB,且BC,則AC.矩陣的等價滿足等價關(guān)系的定義.定義2:矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為8兩個同解線性方程組具有等價關(guān)系性質(zhì),因此也稱兩個同解線性方程組為等價的.用矩陣的初等行變換解方程組(1).r1r2r32r2–r3r3–2r1r4–3r1①②③2②③③2①④3①兩個同解線性方程組具有等價關(guān)系性質(zhì),因此也9r3+5r2r4–3r2r22r3–2r4r4r3r2–r3r1–r3r1–r2②2③+5②④–3②③2④③④②③①③①②r3+5r2r4–3r2r22r3–2r4r4r3r210B6對應(yīng)的方程組為:或令x3=c(c為任意常數(shù)),方程組的解可記作:矩陣B5和B6都稱為矩陣行階梯形矩陣.特點(1).可劃出一條階梯線,線的下方全為零;特點(2).每個臺階只有一行,臺階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線上的第一個元素為非零元,即非零行的階梯線上的第一個元素為非零元.B6對應(yīng)的方程組為:或令x3=c(c為任意常數(shù)),方程組的11

注意:

行最簡形矩陣是由矩陣(方程組)唯一確定的,行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)也是由矩陣(方程組)唯一確定的.行階梯矩陣B6還稱為行最簡形矩陣,即非零行的第一個非零元為1,且這些非零元所在的列的其它元素都為零.行最簡形矩陣再經(jīng)過列初等列變換可化成標(biāo)準形.B6c3c4c4+c1+c2對任何矩陣Amn,總可以經(jīng)過有限次初等行變換把它們變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣.注意:行最簡形矩陣是由矩陣(方程組)唯一確12c5–4c1–3c2+3c3矩陣F稱為矩陣B的標(biāo)準形.特點:標(biāo)準形F的左上角是一個單位矩陣,其余元素全為零.所有與矩陣A等價的矩陣組成的一個集合,稱為一個等價類,標(biāo)準形F是這個等價類中最簡單的矩陣.任一個矩陣Amn總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準形標(biāo)準形由m,n,r三個數(shù)唯一確定,其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).c5–4c1–3c2+3c3矩陣F稱為矩陣B的標(biāo)準形.131.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．3.矩陣等價具有的性質(zhì):自反性,對稱性,傳遞性.三、小結(jié)(1)rirj(cicj);(2)rik(cik);(3)ri+krj(ci+kcj).2.A初等變換B

AB.1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換14思考題已知四元齊次方程組元齊次方程組(2)的通解為:及另一四問:方程組(1)與(2)是否有非零公共解?若有,請求出來.或表示為:思考題已知四元齊次方程組元齊次方程組(2)的通解為:及另一四15思考題解答將(2)的通解代入(1)得:故方程組(1)與(2)有非零公共解,(1)與(2)的所有非零公共解為:思考題解答將(2)的通解代入(1)得:故方程組(1)與(2)16§3.2初等矩陣一、初等矩陣的概念定義:

由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣.矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運算,應(yīng)用廣泛.對調(diào)兩行或兩列;以非零數(shù)k乘某行或某列;以數(shù)k乘某行(列)加到另一行(列)上去.3.2§3.2初等矩陣一、初等矩陣的概念定義:17對調(diào)兩行或兩列對調(diào)E中第i,j兩行(或列),得初等矩陣E(i,j):第i行第j行E(i,j)=對調(diào)兩行或兩列對調(diào)E中第i,j兩行(或列),得初等矩陣E18第i行第j行用m階初等矩陣Em(i,j)左乘A=(aij)mn,得Em(i,j)A=相當(dāng)于對矩陣A施行第一種初等行變換:把A的第i行與第j行對調(diào)(rirj).第i行第j行用m階初等矩陣Em(i,j)左乘A=(ai19第i列第j列用n階初等矩陣En(i,j)右乘A=(aij)mn,得相當(dāng)于對矩陣A施行第一種初等列變換:把A的第i列與第j列對調(diào)(cicj).第i列第j列用n階初等矩陣En(i,j)右乘A=(ai20以非零數(shù)k乘某行或某列以數(shù)k0乘單位矩陣的第i行(或列)得初等矩陣E(i(k)).第i行以非零數(shù)k乘某行或某列以數(shù)k0乘單位矩陣的21第i行以Em(i(k))左乘矩陣A=(aij)mn,得相當(dāng)于以數(shù)k乘A的第i行(rik).類似地,以En(i(k))右乘矩陣A=(aij)mn,其結(jié)果相當(dāng)于以數(shù)k乘A的第i列(cik).第i行以Em(i(k))左乘矩陣A=(aij)mn,22以數(shù)k0乘某行(列)加到另一行(列)上去第i行第j行以k乘E的第j行加到第i行上,或以k乘E的第i列加到第j列上得初等矩陣E(ij(k)).以數(shù)k0乘某行(列)加到另一行(列)上去第i行第j行23以Em(ij(k))左乘矩陣A=(aij)mn,相當(dāng)于把A的第j行乘數(shù)k加到A的第i行上(ri+krj).第i行第j行以Em(ij(k))左乘矩陣A=(aij)m24類似地,以En(ji(k))右乘矩陣A=(aij)mn,其結(jié)果相當(dāng)于把A的第j列乘數(shù)k加到A的第i列上(ci+kcj).第i列第j列類似地,以En(ji(k))右乘矩陣A=(25二、初等矩陣的應(yīng)用

定理1:

設(shè)A是一個mn矩陣,對A施行一次初等行變換,相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣;對A施行一次初等列變換,相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣變換rirj的逆變換是其本身,則變換rik的逆變換是ri(1/k),則E(i,j)-1=E(i,j).E(i(k))-1=E(i(1/k)).變換ri+krj的逆變換是ri+(–k)rj,則E(ij(k))-1=E(ij(–k)).二、初等矩陣的應(yīng)用定理1:設(shè)A是一個mn26

定理2:

方陣A為可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣P1,P2,···,Pl,使A=P1P2···Pl.證:

充分性.由于A

=

P1P2···Pl,且初等矩陣P1,P2,···,Pl為可逆的,有限個可逆矩陣的乘積仍是可逆的,故方陣A可逆.在有限個初等矩陣P1,P2,···,Pl使P1P2···PsFPs+1···Pl=A.必要性.設(shè)矩陣A為可逆的,且A的標(biāo)準形為F,則存由于A可逆,且P1,P2,···,Pl也可逆,故A的標(biāo)準形F也必可逆,設(shè)假若r<n,則|

F

|

=

0,這與F可逆矛盾.故有F

=E.從而,A

=

P1P2···Pl,證畢定理2:方陣A為可逆的充分必要條件是存在有27

推論2:

mn矩陣AB的充分必要條件是存在m階可逆方陣P及n階可逆方陣Q,使PAQ=B.利用初等變換求逆陣的方法:當(dāng)|

A

|

0時,則由A=P1P2···Pl,得及推論1:方陣A可逆的充分必要條件是AE.由以上的證明可得:可逆矩陣的標(biāo)準形就是E,實際上,可逆矩陣的行最簡形也是E.則即,對n2n矩陣(A|E)施行初等行變換,當(dāng)把A變成E的同時,原來的E就變成了A-1.對n2n矩陣(A

E)分塊為(A|E),推論2:mn矩陣AB的充分必要條件28同樣,對矩陣方程AX

=

B,其中A為n階方陣,B為ns階矩陣,如果A可逆,則X

=A-1B.由定理2得:存在初等矩陣P1,P2,···,Pl,使得A=P1P2···Pl,及即所以也就是說,當(dāng)一系列初等行變換將A化為E的同時也將B化為了A-1B.考慮分塊矩陣(A

|

B),可得對于有n個未知數(shù)n個方程的線性方程組,用矩陣(向量)方程Ax=b表示.行變換化為(E

|

x)時,則系數(shù)矩陣A可逆,且x

=A-1b為方程Ax=b的唯一解(向量).如果增廣矩陣B

=

(A

|

b)經(jīng)初等同樣,對矩陣方程AX=B,其中A為29例1:

設(shè)A=求A-1.解:r2–2r1r3–3r1r1+r2r3–r2r1–2r3r2–5r3r2(–2)r3(–1)所以例1:設(shè)A=求A-1.解:r2–2r1r1+r2r1–2r30例2:

求矩陣X,使AX=B,其中解:

若A可逆,則X=A-1B.r2–2r1r3–3r1r1+r2r3–r2r1–2r3r2–5r3r2(–2)r3(–1)所以例2:求矩陣X,使AX=B,其中解:若A可逆,則31如果要求Y=CA-1,則可對矩陣作初等列變換.列變換即可求得Y=CA-1.也可改為對(AT|CT)作初等行變換.列變換即可求得YT=(AT)-1CT=(A-1)TCT,從而求得Y=CA-1.例3:

已知n階方陣A=有元素的代數(shù)余子式之和:求A中所如果要求Y=CA-1,則可對矩陣作初等列變換.列變換即可求32解:

因為|A|=20,所以A可逆.又A*=|A|A-1.r1–2r2ri–ri+1i=2,···,n-1解:因為|A|=20,所以A可逆.又A*=|A|A-33因為A*=|A|A-1,故A*=2A-1.即所以因為A*=|A|A-1,故A*=2A-1.即所以34三、小結(jié)1.單位矩陣初等矩陣.一次初等變換2.利用初等變換求逆陣的步驟是:(1)構(gòu)造矩陣(A|E)或施行初等列或?qū)?2)對矩陣(A|E)施行初等行變換,將A化為單位矩陣E后,右邊E對應(yīng)部分即為A-1;變換,將A化為單位陣E后,E對應(yīng)的部分即為A-1.三、小結(jié)1.單位矩陣35思考題表示成有限個初等方陣的將矩陣A=乘積.思考題解答A可以看成是由3階單位矩陣E經(jīng)4次初等變換:而這4次初等變換所對應(yīng)的初等方陣為:而得.由初等矩陣的性質(zhì)得:思考題表示成有限個初等方陣的將矩陣A=乘積.思考題解答A可以36§3.3矩陣的秩一、矩陣秩的概念由上節(jié)討論知:任何矩陣Amn,總可以經(jīng)過有限次初等行變換把它們變?yōu)樾须A梯形矩陣和標(biāo)準形矩陣.行階梯形矩陣中非零行的行數(shù),也就是標(biāo)準形矩陣中的數(shù)字r

是唯一確定的.它是矩陣理論中非常重要的數(shù)量關(guān)系之一——矩陣的秩.定義:在mn矩陣A中任取k行k列(km,kn),位于這k行k列交叉處的k2個元素,不改變它們在A中所處的位置次序而得到的k階行列式,被稱為矩陣A的k階子式.mn矩陣A的k階子式共有3.3§3.3矩陣的秩一、矩陣秩的概念由上節(jié)討37定義:若在矩陣A中有一個r階子式D非零,且所有的r+1階子式(如果存在的話)都為零,則稱D為矩陣A的一個最高階非零子式,稱數(shù)r為矩陣A的秩,記作R(A).規(guī)定零矩陣的秩為零.

mn矩陣A的秩R(A)是A中不等于零的子式的最高階數(shù).對于AT,顯然有:R(AT)=R(A).解:在矩陣A中例1:求矩陣A=的秩.又由于矩陣A的3階子式只有|

A

|,且|

A

|

=

0.所以,R(A)=2.定義:若在矩陣A中有一個r階子式D非零38例2:求矩陣B=解:由于B是一個行階梯形矩陣,其非零行有3行,所以B的所有4階子式都為零.而所以,R(B)=3.例3:求矩陣A=的秩.解:因為計算A的3階子式.的秩.例2:求矩陣B=解:由于B是一個行階梯形矩陣,其非零行39所以,R(A)=2.另解:用初等變換將A化為行階梯形矩陣:顯然,非零行的行數(shù)為2.所以,R(A)=2.此方法簡單!但理論依據(jù)如何?所以,R(A)=2.另解:用初等變換將A化為行階梯形矩陣40二、矩陣秩的求法因為任何矩陣Amn,總可以經(jīng)過有限次初等行變換把它們變?yōu)樾须A梯形矩陣.問題:經(jīng)過變換矩陣的秩改變嗎?定理1:若A

B,則R(A)=R(B).證:先證明:若A經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)锽,則R(A)=R(B).設(shè)R(A)=r,且A的某個r階子式Dr

0.則在B中總能找到與Dr相對應(yīng)的子式Dr.由于Dr=Dr,或Dr=–Dr,或Dr=kDr.因此Dr

0,從而R(B)r.二、矩陣秩的求法因為任何矩陣Amn,總可41分三種情況討論:(1)Dr中不含第i行;(2)Dr中同時含第i行和第j行;(3)Dr中含第i行但不含第j行.對(1),(2)兩種情形,顯然B中與Dr對應(yīng)的子式Dr有Dr=

Dr

0,從而,R(B)r.對情形(3),若Dr

0,由Dr中不含第i行知,因此,R(B)r.A中有不含第i行的r階非零子式.若Dr=

0,則Dr=

Dr

0,從而,R(B)r.因此,A經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)锽,則R(B)R(A).分三種情況討論:(1)Dr中不含第i行;對(1),(42又由于B也可以經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)锳,因此有,R(A)R(B).從而,A經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)锽,則R(A)=R(B).經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變,即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩仍不變.設(shè)A經(jīng)過初等列變換變?yōu)锽.則AT經(jīng)過初等行變換變?yōu)锽T.故,R(AT)=R(BT).因而有:R(A)=R(AT)=R(BT)=R(B).綜上所述,若A經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)锽,即A

B,則R(A)=R(B).證畢初等變換求矩陣秩的方法:用初等行變換把矩陣變成為行階梯形矩陣,行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.又由于B也可以經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)锳,因此有,R(A)43例4:求矩陣A=的秩.并求A的一個最高階非零子式.解:用初等行變換將A化為行階梯矩陣:Ar1r4r2r4r32r1r43r1r33r2r44r2r4r3由階梯形矩陣有三個非零行可知:R(A)=3.例4:求矩陣A=的秩.并求A的一個最高階非零子式.解:44考察A的行階梯形矩陣.將矩陣A按列分塊,A=(a1

a2

a3

a4

a5),B=(a1

a2

a4)的行階梯形矩陣為則矩陣故B中必有3階非零子式,且共有4個.計算B的前三行構(gòu)成的子式,則這個子式便是A的一個最高階非零子式.以下求A的一個最高階非零子式.由于R(A)=3.矩陣A的3階子式共有考察A的行階梯形矩陣.將矩陣A按列分塊,A=(a1a245所以,A的最高階非零子式為|

A

|,設(shè)A為n階可逆方陣.因為|

A

|

0,則R(A)=n.故,可逆方陣A的標(biāo)準形為單位陣E,即A

E.即可逆矩陣的秩等于階數(shù).故又稱可逆(非奇異)矩陣為滿秩矩陣,奇異矩陣又稱為降秩矩陣.例5:設(shè)求矩陣A和矩陣B=(A

|

b)的秩.分析:設(shè)矩陣B的行階梯形矩陣為B=(A|

b),則A就是A的行階梯形矩陣.因此可以從B=(A|

b)中同時考察出R(A)及R(B).所以,A的最高階非零子式為|A|,設(shè)A為n階可逆方陣.46解:r2–2r1r3+2r1r4–3r1r22r3–r2r4+3r2r35r4–r3所以,R(A)=2,R(B)=3.此例的矩陣A和向量b,矩陣B為線性方程組Ax=b的增廣矩陣.=B1B1為與Ax=b等價的線性方程組A1x=b1的由此可知:方程組A1x=b1無解,故方程組Ax=b也無解.A1x=b1的第三個方程為0=1,即矛盾方程,增廣矩陣.解:r2–2r1r22r35所以,R(A)=2,R(47例6:設(shè)已知R(A)=2,求與的值.解:r2-3r1r3–5r1Ar3-r2由R(A)=2,得即二、矩陣秩的性質(zhì)性質(zhì)1:0R(Amn)min{m,n};性質(zhì)2:

R(AT)

=

R(A);性質(zhì)3:若AB,則R(A)

=

R(B);性質(zhì)4:若P,Q可逆,則R(PAQ)

=

R(A);例6:設(shè)已知R(A)=2,求與的值.解:r2-3r1A48性質(zhì)5:max{R(A),R(B)}R(A

|

B)

R(A)

+

R(B),特別當(dāng)B

=

b時,R(A)R(A

|

b)

R(A)

+

1.證明:由于A的最高階非零子式當(dāng)然是(A

|

B)的非零子式,故R(A)R(A

|

B).同樣R(B)R(A

|

B),故max{R(A),R(B)}R(A

|

B).設(shè)R(A)=r

,R(B)=t

.對A和B分別做列變換,化為列階梯形矩陣A1和B1,則A1和B1中分別含有r

個和t

個非零列,AA1=(a1,a2,···,ar,0,···,0),BB1=(b1,b2,···,bt,0,···,0),設(shè)為從而(A

|

B)(A1

|

B1),但是(A1

|

B1)中僅有r+t個非零列,因此,R(A

|

B)

=

R(A1

|

B1)

r

+

t

=

R(A)

+R(B).性質(zhì)5:max{R(A),R(B)}49性質(zhì)6:

R(A

+

B)

R(A)

+

R(B).證明:設(shè)A,B為mn矩陣,對矩陣(A+B

|

B)作列變換:ci–cn+i(i=1,2,···,n)得,(A+B

|

B)

(A+O

|

B)

于是,R(A+B)

R(A+B

|

B)=R(A+O

|

B)

R(A)

+

R(B).性質(zhì)7:

R(AB)min{R(A),

R(B)}.性質(zhì)8:若AmnBnl=O,則R(A)+R(B)n.這兩條性質(zhì)將在后面給出證明.例7:設(shè)A為n階方陣,證明R(A+E)+R(A–E)

n.證明:因為(A+E)+(E–A)=2E,由性質(zhì)6知,R(A+E)+R(E–A)R(2E)=n,而R(E–A)=R(A–E),R(A+E)+R(A–E)

n.所以性質(zhì)6:R(A+B)R(A)+R(B).50

1.矩陣秩的概念

2.求矩陣秩的方法(1)利用定義尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù);(2)初等變換法把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣,行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.三、小結(jié)3.矩陣秩的性質(zhì)1.矩陣秩的概念把矩陣用初等行變換51思考題思考題解答設(shè)A為任一實矩陣,R(ATA)與R(A)是否相等?相等.由此可知:Ax

=

O與ATAx

=

O同解.因為,對任一實列矩陣

x

O,當(dāng)

Ax

=

O

時,必有ATAx

=

O,即(ATA)x

=

O.反之當(dāng)(ATA)x

=

O時,有xT(ATA)x

=

0.即(Ax)T(Ax)=0.則Ax

=

O.故,R(ATA)=R(A).注:思考題思考題解答設(shè)A為任一實矩陣,R(ATA)與R(A)是52設(shè)線性方程組若記則上述方程組可寫成向量方程Ax

=

b.當(dāng)b=0時,稱為齊次線性方程組,否則稱為非齊次線性方程組.§3.4線性方程組的解3.4設(shè)線性方程組若記則上述方程組可寫成向量方程Ax=b.當(dāng)b53若x1=11,x2=21,···,xn=n1為方程組Ax

=

b的解,則也稱為方程組Ax

=

b的解向量.一、線性方程組有解的判定條件利用線性方程組Ax

=

b的系數(shù)矩陣A和增廣矩陣B=(A

|

b)的秩,可以方便地討論線性方程組Ax

=

b是否有解以及有解時解是否唯一等問題.

定理1:

n元線性方程組Amnx=b

(1)無解的充分必要條件是R(A)<R(B);(2)有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(B)=n;(3)有無窮多解的充分必要條件是R(A)=R(B)<n.若x1=11,x2=21,···,xn=n1為方54證明:必要性可以由本定理相應(yīng)的另外兩個結(jié)論的充分性(其逆否命題)結(jié)論給出.因此我們只需證明三個結(jié)論的充分性:設(shè)R(A)=r,由于R(A)R(B)R(A)+1,可設(shè)增廣矩陣B=(A

|

b)的行最簡形為證明:必要性可以由本定理相應(yīng)的另外兩個結(jié)論55(1)若R(A)<R(B),則B1中的dr+1=1.行對應(yīng)矛盾方程0=1.故方程組Ax

=

b無解.于是B1的第r+1

(2)若R(A)=R(B)=r=n,則B1中的dr+1=0(或第r+1行不出現(xiàn)).由于B或B1只有n+1列,故B1中的bij均不出現(xiàn).于是B1對應(yīng)的等價方程組為故方程組Ax

=

b有唯一解.

(3)若R(A)=R(B)=r<n,則B1中的dr+1=0(或第r+1行不出現(xiàn)).此時B1對應(yīng)的等價方程組為(1)若R(A)<R(B),則B1中的dr+1=1.行56稱xr+1,···,xn為上述方程組的自由未知量,令xr+1=c1,···,xn=cn–r,用列矩陣(列向量)的形式表示為:可得方程組Ax

=

b的含有n–r個參數(shù)的解:稱xr+1,···,xn為上述方程組的自由未知量,令x57由于參數(shù)c1,···,cn–r可任意取值,故方程組Ax

=

b有無窮多解.證畢當(dāng)R(A)=R(B)=r<n時,含有n–r個參數(shù)的解可以表示線性方程組Ax

=

b的任意解(此結(jié)論待后面證明).稱此解為線性方程組Ax

=

b的通解.求解線性方程組Ax

=

b的步驟過程歸納如下:1.對非齊次方程組Ax

=

b,將其增廣矩陣B=(A

|

b)化為行階梯形后,可以看出R(A)=R(B)是否成立,若不成立,則方程組無解.由于參數(shù)c1,···,cn–r可任意取值582.若R(A)=R(B)成立,則方程組有解.進一步將B化為行最簡形;對齊次方程組Ax

=

0,則直接將其系數(shù)矩陣A化為行最簡形.3.設(shè)R(A)=R(B)=r,把行最簡形中r個非零行的非零首元所對應(yīng)的未知量取作非自由未知量,其余n–r個未知量取作自由未知量,并令自由未知量分別取c1,c2,···,cn–r,由B(或A)的行最簡形即可寫出含有n–r個參數(shù)的通解.二、解線性方程組例1:求解齊次線性方程組2.若R(A)=R(B)成立,則方程組有59解:

對系數(shù)矩陣A做初等行變換:r2–2r1r3–r1r3–r2r2(–3)r1–2r2求得與原方程組同解的方程組:由此即得x3,x4可任意取值.解:對系數(shù)矩陣A做初等行變換:r2–2r1r3–r2r1–60令x3=c1,x4=c2(c1,c2可任意取值),把它寫成參數(shù)形式:或即令x3=c1,x4=c2(c1,c2可任意取值),把61例2:求解非齊次線性方程組解:

對增廣矩陣B進行初等行變換,r2–3r1r3–2r1r3–r2顯然,R(A)=2,R(B)=3,故方程組無解.例2:求解非齊次線性方程組解:對增廣矩陣B進行初等行變62例3:求解非齊次方程組的通解解:對增廣矩陣B進行初等行變換,顯然,R(A)=R(B)=2,故方程組有解,且有(行最簡形)例3:求解非齊次方程組的通解解:對增廣矩陣B進行初等行63所以方程組的通解為:其中x2,x4為任意數(shù).

例4:

證明右邊方程組有解的充要條件是a1+a2+a3+a4+a5=0.在有解的情況下,求出它的通解.證:

對增廣矩陣B進行初等行變換.方程組的增廣矩陣B為所以方程組的通解為:其中x2,x4為任意數(shù).64所以,方程組有解R(A)=R(B)在有解的情況下,原方程組的等價方程組為:所以,方程組有解R(A)=R(B)在有解的情況下,65故通解:其中x5為任意實數(shù).例5:

設(shè)線性方程組問取何值時,有解?有無窮多個解?解:

對增廣矩陣B=(A|b),作初等行變換,故通解:其中x5為任意實數(shù).例5:設(shè)線性方程組問取何值時66(1)當(dāng)=1時,則R(A)=R(B)=1,故方程組有無窮多解,且其通解為:(1)當(dāng)=1時,則R(A)=R(B)=1,故方程組有無67其中x2,x3為任意實數(shù).這時又分兩種情形:(2)當(dāng)1時,1)當(dāng)–2時,則R(A)=R(B)=3,故方程組有唯一解:2)當(dāng)=–2時,則R(A)<R(B),故方程組無唯.其中x2,x3為任意實數(shù).這時又分兩種情形:(2)當(dāng)68三、幾個重要結(jié)論由定理1可直接推出如下結(jié)論:

推論1:線性方程組Ax

=

b有解的充分必要條件是R(A)=R(A

|

b).

推論2:

n元齊次線性方程組Ax

=

0有非零解的充分必要條件是R(A)<n.將推論1再推廣到矩陣方程情形得:推論3:矩陣方程組AX

=

B有解的充分必要條件是R(A)=R(A

|

B).

證明:設(shè)A,B分別為mn,ml矩陣,則X為nl矩陣,并把X和B按列分塊,記為X=(x1,x2,···,xl),B=(b1,b2,···,bl),則矩陣方程組AX

=

B等價于l個向量方程:三、幾個重要結(jié)論由定理1可直接推出如下結(jié)論:69Axi=

bi(i=1,2,···,l

)充分性:若R(A)=R(A

|

B),必要性:設(shè)矩陣方程組AX

=

B有解,R(A)R(A

|

bi)R(A

|

B),即l個向量方程Axi=

bi(i=1,2,···,l

)都有解,故R(A)=R(A

|

bi),從而,矩陣方程組AX

=

B有解.則由于則l個向量方程Axi=

bi(i=1,2,···,l

)都有解,不妨設(shè)為(i=1,2,···,l

)若記A=(a1,a2,···,an),則有1ia1+2ia2+···+nian=bi(i=1,2,···,l

)對矩陣(A

|

B)=(a1,a2,···,an|b1,b2,···,bl)作初等列變換:Axi=bi(i=1,2,···,l70cn+i–1ic1–2ic2–···–nicn(i=1,2,···,l

)將把(A

|

B)的后l列,即B所在的列都變成0列,故(A

|

B)～(A

|

O)R(A)

=

R(A

|

O)

=

R(A

|

B).因此,由定理1和推論3可得如下結(jié)論:推論4:矩陣方程組AX

=

O只有零矩陣解的充分必要條件是R(A)=n.下面證明上節(jié)留下的性質(zhì)7.性質(zhì)7:

R(AB)min{R(A),

R(B)}.證明:設(shè)AB=C,則矩陣方程AX=C有解X=B,論3得:R(A)=R(A|C).而R(C)

R(A|C),故R(C)

R(A).由推另一方面,由BTAT=CT可證R(C)

R(B).因此有:R(AB)min{R(A),

R(B)}.cn+i–1ic1–2ic2–···–71三、小結(jié)對n元線性方程組:R(A)=n

Ax=0只有零解;R(A)<n

Ax=0有非零解;R(A)=R(A

|

b)=n

Ax=b有唯一解;R(A)=R(A

|

b)<n

Ax=b有無窮多解;R(A)<R(A

|

b)

Ax=b無解.對矩陣方程AX=B:R(A)=n

AX=O只有零矩陣解;R(A)<n

AX=O有非零矩陣解;R(A)=R(A

|

B)=n

AX=B有唯一矩陣解;R(A)=R(A

|

B)<n

AX=B有無窮多矩陣解;R(A)<R(A

|

B)

AX=B無解.三、小結(jié)對n元線性方程組:R(A)=nAx=0只有零解72思考題討論線性方程組當(dāng)p,q取何值時,方程組無解?有唯一解?有無窮多解?在方程組有無窮多解的情況下,求出一般解.思考題解答思考題討論線性方程組當(dāng)p,q取何值時,方程組無解?有唯73(1)當(dāng)p2時,R(A)=R(B)=4,方程組有唯一解.(2)當(dāng)p=2時,有(1)當(dāng)p2時,R(A)=R(B)=4,方程組有唯一741)當(dāng)q1時,R(A)=3<R(B)=4,方程組無解.2)當(dāng)q=1時,R(A)=R(B)=3,方程組無窮多解,且故原方程組的通解為:與原方程組同解的方程組為:或1)當(dāng)q1時,R(A)=3<R(B)=4,方程組無解75習(xí)題課習(xí)題課習(xí)習(xí)題課76一、初等變換初等變換逆變換換法變換倍法變換消法變換三種初等變換都是可逆的,且其逆變換是同一類型的初等變換.二、矩陣的等價

如果矩陣A可經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)榫仃嘊,則稱矩陣A與矩陣B等價.記作AB.一、初等變換初等變換逆變換換法變77三、初等矩陣定義:

由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣.對調(diào)兩行或兩列對調(diào)E中第i,j兩行,即rirj,得初等方陣:用m階初等矩陣Em(i,j)左乘A=(aij)mn,相當(dāng)于對矩陣A施行第一種初等行變換:把A的第i行與第j行對調(diào)(rirj).用n階初等矩陣En(i,j)右乘A=(aij)mn,相當(dāng)于對矩陣A施行第一種初等列變換:把A的第i列與第j列對調(diào)(cicj).三、初等矩陣定義:由單位矩陣E經(jīng)過一次初等78以非零數(shù)k乘某行或某列以數(shù)k0乘單位矩陣的第i行得初等矩陣E(i(k)).以數(shù)k0乘某行(列)加到另一行(列)上去以k乘E的第j行加到第i行上(ri+krj),或以k乘E的第i列加到第j列上(cj+kci).以Em(i(k))左乘矩陣A=(aij)mn,相當(dāng)于以數(shù)k乘A的第i行(rik).以En(i(k))右乘矩陣A=(aij)mn,相當(dāng)于以數(shù)k乘A的第i列(cik).以Em(ij(k))左乘矩陣A=(aij)mn,相當(dāng)于把A的第j

行乘數(shù)k加到A的第i

行上(ri+krj).以En(ij(k))右乘矩陣A=(aij)mn,相當(dāng)于把A的第i列乘數(shù)k加到A的第j列上(cj+kci).以非零數(shù)k乘某行或某列以數(shù)k0乘單位矩陣的第i行得初等矩79四、初等矩陣與初等變換的關(guān)系設(shè)A是一個mn矩陣,對A施行一次初等行(列)變換,相當(dāng)于A左(右)乘相應(yīng)的m(n)階初等矩陣.

定理:

設(shè)A為可逆方陣,則存在有限個初等方陣P1,P2,···,Pl,使A=P1,P2,···,Pl.

推論:

mn矩陣AB的充分必要條件是存在m階可逆方陣P及n階可逆方陣Q,使PAQ=B.利用初等變換求逆陣的方法:當(dāng)|

A

|

0時,則由A=P1,P2,···,Pl,得及所以即對n2n矩陣(A|E),施行初等行變換,當(dāng)把A變成E時,原來的E就變成了A-1.四、初等矩陣與初等變換的關(guān)系設(shè)A是一個mn矩80五、行階梯形矩陣經(jīng)過初等行變換,可把矩陣化為行階梯形矩陣,其特點是:可畫出一條階梯線,線的下方全為0;每個臺階只有一行,臺階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線(每段豎線的長度為一行)后面的第一個元素為非零元,也就是非零行的第一個非零元.六、行最簡形矩陣經(jīng)過初等行變換,行階梯形矩陣還可以進一步化為行最簡形矩陣,其特點是:非零行的非零首元為1,且這些非零元所在列的其它元素都為0.五、行階梯形矩陣經(jīng)過初等行變換,可把矩陣化為行階梯形矩81對行階梯形矩陣再進行初等列變換,可得到矩陣的標(biāo)準形,其特點是:左上角是一個單位矩陣,其余元素都為0.七、矩陣的標(biāo)準形所有與矩陣A等價的矩陣組成的一個集合,稱為一個等價類,標(biāo)準形F是這個等價類中最簡單的矩陣.任一個矩陣Amn總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準形標(biāo)準形由m,n,r三個數(shù)唯一確定,其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).對行階梯形矩陣再進行初等列變換,可得到矩陣的標(biāo)準形,82八、矩陣的秩

若在矩陣A中有一個r階子式D非零,且所有的r+1階子式(如果存在的話)都為零,則稱D為矩陣A的一個最高階非零子式,稱數(shù)r

為矩陣A的秩,記作R(A).矩陣秩的定理及性質(zhì)定理:若A

B,則R(A)=R(B).如果A中有一個r階子式非零,則R(A)r

.如果A的所有的r+1階子式都為零,則R(A)r

.行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù).若A為n階可逆矩陣,則(1)A的最高階非零子式為|A|;(2)R(A)=n;(3)A的標(biāo)準形為單位矩陣E;(4)AE.八、矩陣的秩若在矩陣A中有一個r階子式D非83性質(zhì)1:0R(Amn)min{m,n};性質(zhì)2:

R(AT)

=

R(A);性質(zhì)3:若AB,則R(A)

=

R(B);性質(zhì)4:若P,Q可逆,則R(PAQ)

=

R(A);性質(zhì)5:max{R(A),R(B)}R(A

|

B)

R(A)

+

R(B),特別當(dāng)B

=

b時,R(A)R(A

|

b)

R(A)

+

1;性質(zhì)6:

R(A

+

B)

R(A)

+

R(B);性質(zhì)7:

R(AB)min{R(A),

R(B)};性質(zhì)8:若AmnBnl=O,則R(A)+R(B)n.性質(zhì)1:0R(Amn)min{m,n};84九、線性方程組有解判別定理及解法

齊次線性方程組的解法:系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣,便可寫出其通解.

非齊次線性方程組的解法:

增廣矩陣化成行階梯形矩陣,便可判斷其是否有解.若有解,化成行最簡形矩陣,便可寫出其通解.

定理1:

n元線性方程組Amnx=b

(1)無解的充分必要條件是R(A)<R(B);(2)有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(B)=n;(3)有無窮多解的充分必要條件是R(A)=R(B)<n.九、線性方程組有解判別定理及解法齊次線性方程85典型例題例1:求下列矩陣的秩解:

對A施行初等行變換化為階梯形矩陣,A因此,R(A)=R(B)=2.

注意:在求矩陣的秩時,初等行,列變換可以同時兼用,但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形.典型例題例1:求下列矩陣的秩解:對A施行初等行變換86例2:

求非齊次線性方程組的通解.

解:

對方程組的增廣矩陣B行初等行變換,使其成為行最簡單形.r2–3r1r3–2r1r4–2r1r5–5r1例2:求非齊次線性方程組的通解.解:對方87r2–2r4r3(-1)r2r3r4+2r2r5+5r2r5–2r4r46r4r3r2–5r3r1–3r3r1–2r2r2–2r4r4+2r2r5–2r4r2–5r3r1–2r288r1+r3r2+r3r4+r3r5–r2由此可知,R(A)=R(B)=3,而方程組(1)中未知量的個數(shù)是n=4,故有一個自由未知量.在此選x4.令x4=6k(為任意常數(shù)).得方程組(1)的通解為:r1–r2r4–r2r1–2r4r4r1另解:r1+r3由此可知,R(A)=R(B)=3,而方程組89r2+5r1r3+2r1r25r3-3r2r1(-1)由此可知,R(A)=R(B)=3,而方程組(1)中未知量的個數(shù)是n=4,故有一個自由未知量.在此選x3.令x3=5k(為任意常數(shù)).得方程組(1)的通解為:r2+5r1r25由此可知,R(A)=R(B)=3,90

例3:

當(dāng)a取何值時,下述齊次線性方程組有非零解,并且求出它的通解.解法一:

系數(shù)矩陣A的行列式為例3:當(dāng)a取何值時,下述齊次線性方程組有91當(dāng)a=-1時,把系數(shù)矩陣A化成最簡形:從而得到方程組的通解:k為任意常數(shù).當(dāng)a=-1或者a=2時,|A|=0,方程組有非零解.當(dāng)a=2時,把系數(shù)矩陣A化成最簡形:當(dāng)a=-1時,把系數(shù)矩陣A化成最簡形:從而得到方程組的通解92從而得到方程組的通解:k為任意常數(shù).解法二:

用初等行變換把系數(shù)矩陣A化為階梯形當(dāng)a=–1或者a=2時,R(A)<4,此時方程組有非零解.可仿照解法一求出它的解.從而得到方程組的通解:k為任意常數(shù).解法二:用初等行變換把93例4:

求矩陣解:

作分塊矩陣(A|E),施行初等行變換.的逆矩陣.例4:求矩陣解:作分塊矩陣(A|E),施行初等行變換.94所以

注意:用初等行變換求逆矩陣時,必須始終用行變換,其間不能作任何列變換.同樣地,用初等列變換求逆矩陣時,必須始終用列變換,其間不能作任何行變換.所以注意:用初等行變換求逆矩陣時,必須始95初等變換法解矩陣方程或者(1)AX=B(2)XA=B例5:設(shè)且AX=A+2X,求矩陣X.初等變換法解矩陣方程或者(1)AX=B(2)XA=B例596解:

因為AX=A+2X,所以(A–2E)X=A,而又所以例5:設(shè)且AX=A+2X,求矩陣X.解:因為AX=A+2X,所以(A–2E)X=A,而又所以97填空題1.若n元線性方程組有解,且其系數(shù)矩陣的秩為r,則當(dāng)

時,方程組有唯一解;當(dāng)

時,方程組有無窮多解.2.齊次線性方程組只有零解,則k應(yīng)滿足的條件是

.則齊次線性方程組Ax=O3.設(shè)的通解為

.r=nr<n零解填空題1.若n元線性方程組有解,且其系數(shù)984.線性方程組有解的充要條件是

.5.設(shè)A為4階方陣,且R(A)=2,則R(A*)=

.6.矩陣的秩為

.204.線性方程組有解的充要條件是.5.設(shè)99第三章矩陣的初等變換與線性方程組§3.1矩陣的初等變換§3.2初等矩陣§3.3矩陣的秩§3.4線性方程組的解習(xí)題課第三章矩陣的初等變換§3.1矩陣的初等變換§3.2100分析:用消元法解下列方程組的過程.引例:求解線性方程組§3.1矩陣的初等變換本章先討論矩陣的初等變換,建立矩陣的秩的概念,并提出求秩的有效方法.再利用矩陣的秩反過來研究齊次線性方程組有非零解的充分必要條件和非齊次線性方程組有解的充分必要條件,并介紹用初等變換解線性方程組的方法.內(nèi)容豐富,有一定難度.一、消元法解線性方程組分析:用消元法解下列方程組的過程.§3.1矩陣的初等變101解:①②③2②③③2①④3①②2解:①②③2②③③2①④3①②2102③+5②④–3②③2④③④用“回代”的方法求出解.于是得解:其中x3可以任意取值.或令x3=c,方程組的解可記作:③+5②④–3②③2④③④用“回代”的方法求出解.于是得1031.上述解方程組的方法稱為消元法．2.始終把方程組看作一個整體變形,用到如下三種變換:(2)其中c為任意常數(shù).或歸納以上過程:(3)一個方程加上另一個方程的k倍:(2)以不等于0的數(shù)k乘某個方程:(1)交換方程次序:

i與j相互替換;以i

k替換i;以i+kj

替換i.1.上述解方程組的方法稱為消元法．(2)其104由于三種變換都是可逆的,所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的.故這三種變換是同解變換.3.上述三種變換都是可逆的.因為在上述變換過程中,未知量并未參與本質(zhì)性運算,僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算,只因某未知量前的系數(shù)化為0,而不顯含該未知量.由于三種變換都是可逆的,所以變換前的方程組與變換后的方105若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組(1)的增廣矩陣)的變換.二、矩陣的初等變換定義1:

下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:(1)對調(diào)兩行(對調(diào)i,j兩行,記作rirj);(2)以非零數(shù)k乘以某一行的所有元素(第i行乘k,記作rik

);(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的對應(yīng)元素上去(第j行的k倍加到第i行上去,記作ri+krj).同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(106

定義2:

矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.初等變換的逆變換仍為初等變換且變換類型相同.rirj的逆變換為rj

ri;rik的逆變換為ri(1/k),或rik;ri+krj的逆變換為ri+(–k)rj,或ri–krj.定義3:如果矩陣A可經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)榫仃嘊,則稱矩陣A與矩陣B等價.記作AB.具有以下三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價關(guān)系:(1)自反性:AA;(2)對稱性:若AB,則BA;(3)傳遞性:若AB,且BC,則AC.矩陣的等價滿足等價關(guān)系的定義.定義2:矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為107兩個同解線性方程組具有等價關(guān)系性質(zhì),因此也稱兩個同解線性方程組為等價的.用矩陣的初等行變換解方程組(1).r1r2r32r2–r3r3–2r1r4–3r1①②③2②③③2①④3①兩個同解線性方程組具有等價關(guān)系性質(zhì),因此也108r3+5r2r4–3r2r22r3–2r4r4r3r2–r3r1–r3r1–r2②2③+5②④–3②③2④③④②③①③①②r3+5r2r4–3r2r22r3–2r4r4r3r2109B6對應(yīng)的方程組為:或令x3=c(c為任意常數(shù)),方程組的解可記作:矩陣B5和B6都稱為矩陣行階梯形矩陣.特點(1).可劃出一條階梯線,線的下方全為零;特點(2).每個臺階只有一行,臺階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線上的第一個元素為非零元,即非零行的階梯線上的第一個元素為非零元.B6對應(yīng)的方程組為:或令x3=c(c為任意常數(shù)),方程組的110

注意:

行最簡形矩陣是由矩陣(方程組)唯一確定的,行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)也是由矩陣(方程組)唯一確定的.行階梯矩陣B6還稱為行最簡形矩陣,即非零行的第一個非零元為1,且這些非零元所在的列的其它元素都為零.行最簡形矩陣再經(jīng)過列初等列變換可化成標(biāo)準形.B6c3c4c4+c1+c2對任何矩陣Amn,總可以經(jīng)過有限次初等行變換把它們變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣.注意:行最簡形矩陣是由矩陣(方程組)唯一確111c5–4c1–3c2+3c3矩陣F稱為矩陣B的標(biāo)準形