北師大版高中數(shù)學(xué)必修一課件：第四章 §1 11 利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在

第四章

函數(shù)應(yīng)用第四章函數(shù)應(yīng)用§1

函數(shù)與方程§1函數(shù)與方程1.1

利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在1.了解函數(shù)的零點(diǎn)的概念,理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系.2.掌握函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,會(huì)探究在某區(qū)間上圖像連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法.3.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的零點(diǎn),體會(huì)函數(shù)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.1.了解函數(shù)的零點(diǎn)的概念,理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系.1.函數(shù)的零點(diǎn)

1.函數(shù)的零點(diǎn)【做一做1-1】

函數(shù)y=x的零點(diǎn)是(

)A.(0,0) B.0 C.1 D.不存在答案:B【做一做1-2】

函數(shù)f(x)=x2-2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案:C【做一做1-1】函數(shù)y=x的零點(diǎn)是()2.函數(shù)零點(diǎn)的判定定理若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反,即f(a)·f(b)<0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn),即相應(yīng)的方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.2.函數(shù)零點(diǎn)的判定定理名師點(diǎn)撥當(dāng)函數(shù)y=f(x)同時(shí)滿足:①函數(shù)的圖像在閉區(qū)間[a,b]上是連續(xù)的曲線;②f(a)·f(b)<0,則可以判斷函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),但是不能明確說(shuō)明有幾個(gè)零點(diǎn).當(dāng)函數(shù)y=f(x)的圖像在閉區(qū)間[a,b]上不是連續(xù)的曲線,或不滿足f(a)·f(b)<0時(shí),函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)可能存在零點(diǎn),也可能不存在零點(diǎn).例如,①二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間[3,4]上有f(3)=0,f(4)>0,所以有f(3)·f(4)=0,但3是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn).②函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[-1,1]上有f(-1)·f(1)=1>0,但是函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn)0.③函數(shù)

在區(qū)間[-1,1]上有f(-1)·f(1)<0,但是由其圖像知函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]內(nèi)無(wú)零點(diǎn).名師點(diǎn)撥當(dāng)函數(shù)y=f(x)同時(shí)滿足:①函數(shù)的圖像在閉區(qū)間[a【做一做2-1】

已知函數(shù)f(x)=x3-x-1僅有一個(gè)正零點(diǎn),則此零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

)A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1)解析:利用零點(diǎn)存在的判定條件,判斷零點(diǎn)存在的區(qū)間.f(0)=-1<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,f(4)=59>0.根據(jù)選項(xiàng),只有區(qū)間(1,2)滿足.答案:C【做一做2-2】

已知函數(shù)f(x)=mx-1在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

解析:由f(0)·f(1)<0得(-1)·(m-1)<0.解得m>1.答案:(1,+∞)【做一做2-1】已知函數(shù)f(x)=x3-x-1僅有一個(gè)正零題型一題型二題型三題型四題型一

求函數(shù)的零點(diǎn)【例1】

判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),若存在,請(qǐng)求出零點(diǎn):分析:求函數(shù)的零點(diǎn)就是求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)解.題型一題型二題型三題型四題型一求函數(shù)的零點(diǎn)分析:求函題型一題型二題型三題型四(2)令3x-9=0,即3x=9,解得x=2,所以函數(shù)f(x)=3x-9存在零點(diǎn),且零點(diǎn)為2.(4)令1-log3x=0,解得x=3,所以函數(shù)f(x)=1-log3x存在零點(diǎn),且零點(diǎn)是3.題型一題型二題型三題型四(2)令3x-9=0,即3x=9,解題型一題型二題型三題型四反思求函數(shù)零點(diǎn)的方法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)即求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解.若方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解,則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn),否則函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn).(1)對(duì)于二次函數(shù)的零點(diǎn),可以用多種方法求解,如公式法、因式分解法、配方法等.(2)對(duì)于三次及三次以上的高次函數(shù)的零點(diǎn),一般采用因式分解法.(3)對(duì)于指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的零點(diǎn),一般是解指數(shù)、對(duì)數(shù)方程.題型一題型二題型三題型四反思求函數(shù)零點(diǎn)的方法題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練1】

若f(x)=ax-b(b≠0)有一個(gè)零點(diǎn)3,則函數(shù)g(x)=bx2+3ax的零點(diǎn)是

.

解析:由f(x)=ax-b(b≠0)有一個(gè)零點(diǎn)3,得3a-b=0,即3a=b,又g(x)=bx2+3ax=x(bx+3a)=x(bx+b).令g(x)=0,解得x1=0,x2=-1.答案:0和-1題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練1】若f(x)=ax-b題型一題型二題型三題型四題型二

判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【例2】

求函數(shù)f(x)=2x+lg(x+1)-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù).分析:方法一,借助函數(shù)f(x)的單調(diào)性確定;方法二,借助函數(shù)f(x)的圖像確定.解:(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg

3-2=2+lg

3>0,∴f(x)=0在(0,2)上必定存在實(shí)根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在定義域(-1,+∞)上為增函數(shù),故f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).題型一題型二題型三題型四題型二判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)題型一題型二題型三題型四(方法二)在同一平面直角坐標(biāo)系下分別作出函數(shù)h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)在(-1,+∞)上的圖像,如圖.由圖像知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x有且只有一個(gè)交點(diǎn),即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一個(gè)零點(diǎn).題型一題型二題型三題型四(方法二)在同一平面直角坐標(biāo)系下分別題型一題型二題型三題型四反思判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法主要有:(1)解方程:當(dāng)能直接求解零點(diǎn)時(shí),就直接求出.(2)用定理:零點(diǎn)存在性定理.(3)利用圖像的交點(diǎn):有些題目可先畫出某兩個(gè)函數(shù)y=f(x),y=g(x)的圖像,其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn).題型一題型二題型三題型四反思判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法主要有:題型一題型二題型三題型四∵x≠0,∴x3-1=0.∴(x-1)(x2+x+1)=0.∴x=1或x2+x+1=0.∵方程x2+x+1=0的判別式Δ=12-4=-3<0,∴方程x2+x+1=0無(wú)實(shí)根.∴函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出h(x)和g(x)的圖像,可知兩圖像只有一個(gè)交點(diǎn),題型一題型二題型三題型四∵x≠0,∴x3-1=0.在同一平面題型一題型二題型三題型四題型三

判斷方程的根所在的大致區(qū)間【例3】

求證:方程5x2-7x-1=0的根一個(gè)在區(qū)間(-1,0)上,另一個(gè)在區(qū)間(1,2)上.分析:證明方程5x2-7x-1=0的兩個(gè)根分別位于(-1,0)和(1,2)上,即證f(x)=5x2-7x-1在(-1,0)和(1,2)上各有一個(gè)零點(diǎn).證明:設(shè)f(x)=5x2-7x-1,則f(-1)·f(0)=11×(-1)=-11<0,f(1)·f(2)=(-3)×5=-15<0.而二次函數(shù)f(x)=5x2-7x-1的圖像是連續(xù)的曲線,所以f(x)在(-1,0)和(1,2)上各有一個(gè)零點(diǎn),即方程5x2-7x-1=0的根一個(gè)在區(qū)間(-1,0)上,另一個(gè)在區(qū)間(1,2)上.題型一題型二題型三題型四題型三判斷方程的根所在的大致題型一題型二題型三題型四反思判斷方程的根所在的大致區(qū)間可轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間.判斷函數(shù)f(x)是否在(x1,x2)上存在零點(diǎn),除驗(yàn)算f(x1)·f(x2)<0是否成立外,還需考察函數(shù)的圖像在(x1,x2)上是否連續(xù).若要判斷根的個(gè)數(shù),還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性.題型一題型二題型三題型四反思判斷方程的根所在的大致區(qū)間可轉(zhuǎn)化題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練3】

函數(shù)f(x)=x+lgx-3的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(

)答案:C題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練3】函數(shù)f(x)=x+l題型四題型一題型二題型三題型四

易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn):忽略對(duì)參數(shù)的分類討論而致誤【例4】

若函數(shù)f(x)=ax2-x-1只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值.錯(cuò)解:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2-x-1只有一個(gè)零點(diǎn),所以即1+4a=0,所以a=-.錯(cuò)因分析錯(cuò)解的原因在于沒(méi)有對(duì)函數(shù)f(x)=ax2-x-1的二次項(xiàng)系數(shù)a進(jìn)行討論,直接把f(x)=ax2-x-1當(dāng)作二次函數(shù)來(lái)處理,忽略了當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-x-1的情況,從而導(dǎo)致了漏解.題型四題型一題型二題型三題型四易錯(cuò)辨析題型四題型一題型二題型三正解:①當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=-x-1,顯然,該函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),滿足題意.②當(dāng)a≠0時(shí),函數(shù)f(x)=ax2-x-1是二次函數(shù),因?yàn)閒(x)=ax2-x-1只有一個(gè)零點(diǎn).所以方程ax2-x-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)根.題型四題型一題型二題型三正解:①當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=-題型四題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練4】

關(guān)于x的方程(m-1)x2+2(m+1)x-1=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值集合為

.

解析:當(dāng)m=1時(shí),原方程可化為4x-1=0,即x=,符合題意;當(dāng)m≠1時(shí),由題意得Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0,解得m=-3或m=0,故滿足題意的m的取值集合為{-3,0,1}.答案:{-3,0,1}題型四題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練4】關(guān)于x的方程(m-11234561下列函數(shù)不存在零點(diǎn)的是(

)解析:令y=0,得選項(xiàng)A和C中函數(shù)的零點(diǎn)均為1和-1;選項(xiàng)B中函

答案:D

1234561下列函數(shù)不存在零點(diǎn)的是()解析:令y=01234562在下列四個(gè)區(qū)間中,函數(shù)

一定存在零點(diǎn)的一個(gè)區(qū)間是(

)A.(6,7) B.(7,8)C.(8,9) D.(9,10)解析:∵f(9)=lg

9-1<0,f(10)=∴f(9)·f(10)<0.又f(x)的圖像在區(qū)間[9,10]上連續(xù),∴f(x)在(9,10)上有零點(diǎn),故選D.答案:D1234562在下列四個(gè)區(qū)間中,函數(shù)1234563若函數(shù)f(x)的圖像是連續(xù)不間斷的,根據(jù)下面的表格,可以斷定f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為

.(只填序號(hào))

①(-∞,1);②(1,2);③(2,3);④(3,4);⑤(4,5);⑥(5,6);⑦(6,+∞).解析:因?yàn)閒(2)>0,f(3)<0,即f(2)·f(3)<0,又函數(shù)的圖像是連續(xù)的,所以斷定f(x)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為(2,3).同理可得f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(3,4),(4,5).答案:③④⑤1234563若函數(shù)f(x)的圖像是連續(xù)不間斷的,根據(jù)下面的1234564已知函數(shù)f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一個(gè)零點(diǎn)比0大,一個(gè)零點(diǎn)比0小,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

解析:由題意可知f(0)=a-2<0,解得a<2.答案:(-∞,2)1234564已知函數(shù)f(x)=x2+(a2-1)x+(a-1234565已知函數(shù)f(x)=2x-3x2,問(wèn)方程f(x)=0在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有沒(méi)有實(shí)數(shù)解?為什么?解:有實(shí)數(shù)解.理由如下:∵f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,又函數(shù)f(x)=2x-3x2的圖像是連續(xù)曲線,∴f(x)在區(qū)間[-1,0]上有零點(diǎn),故f(x)=0在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有實(shí)數(shù)解.1234565已知函數(shù)f(x)=2x-3x2,問(wèn)方程f(x)1234566已知函數(shù)f(x)=lnx+x2-a有一個(gè)零點(diǎn)在(1,2)內(nèi),求a的取值范圍.解:因?yàn)閥1=ln

x和y2=x2在區(qū)間(1,2)上都是增加的,所以函數(shù)f(x)=ln

x+x2-a在區(qū)間(1,2)上也是增加的,由題意知f(1)·f(2)<0,即(ln

1+1-a)·(ln

2+4-a)<0,解得1<a<4+ln

2.故a的取值范圍為(1,4+ln

2).1234566已知函數(shù)f(x)=lnx+x2-a有一個(gè)零點(diǎn)第四章

函數(shù)應(yīng)用第四章函數(shù)應(yīng)用§1

函數(shù)與方程§1函數(shù)與方程1.1

利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在1.了解函數(shù)的零點(diǎn)的概念,理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系.2.掌握函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,會(huì)探究在某區(qū)間上圖像連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法.3.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的零點(diǎn),體會(huì)函數(shù)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.1.了解函數(shù)的零點(diǎn)的概念,理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系.1.函數(shù)的零點(diǎn)

1.函數(shù)的零點(diǎn)【做一做1-1】

函數(shù)y=x的零點(diǎn)是(

)A.(0,0) B.0 C.1 D.不存在答案:B【做一做1-2】

函數(shù)f(x)=x2-2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案:C【做一做1-1】函數(shù)y=x的零點(diǎn)是()2.函數(shù)零點(diǎn)的判定定理若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反,即f(a)·f(b)<0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn),即相應(yīng)的方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.2.函數(shù)零點(diǎn)的判定定理名師點(diǎn)撥當(dāng)函數(shù)y=f(x)同時(shí)滿足:①函數(shù)的圖像在閉區(qū)間[a,b]上是連續(xù)的曲線;②f(a)·f(b)<0,則可以判斷函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),但是不能明確說(shuō)明有幾個(gè)零點(diǎn).當(dāng)函數(shù)y=f(x)的圖像在閉區(qū)間[a,b]上不是連續(xù)的曲線,或不滿足f(a)·f(b)<0時(shí),函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)可能存在零點(diǎn),也可能不存在零點(diǎn).例如,①二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間[3,4]上有f(3)=0,f(4)>0,所以有f(3)·f(4)=0,但3是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn).②函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[-1,1]上有f(-1)·f(1)=1>0,但是函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn)0.③函數(shù)

在區(qū)間[-1,1]上有f(-1)·f(1)<0,但是由其圖像知函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]內(nèi)無(wú)零點(diǎn).名師點(diǎn)撥當(dāng)函數(shù)y=f(x)同時(shí)滿足:①函數(shù)的圖像在閉區(qū)間[a【做一做2-1】

已知函數(shù)f(x)=x3-x-1僅有一個(gè)正零點(diǎn),則此零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

)A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1)解析:利用零點(diǎn)存在的判定條件,判斷零點(diǎn)存在的區(qū)間.f(0)=-1<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,f(4)=59>0.根據(jù)選項(xiàng),只有區(qū)間(1,2)滿足.答案:C【做一做2-2】

已知函數(shù)f(x)=mx-1在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

解析:由f(0)·f(1)<0得(-1)·(m-1)<0.解得m>1.答案:(1,+∞)【做一做2-1】已知函數(shù)f(x)=x3-x-1僅有一個(gè)正零題型一題型二題型三題型四題型一

求函數(shù)的零點(diǎn)【例1】

判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),若存在,請(qǐng)求出零點(diǎn):分析:求函數(shù)的零點(diǎn)就是求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)解.題型一題型二題型三題型四題型一求函數(shù)的零點(diǎn)分析:求函題型一題型二題型三題型四(2)令3x-9=0,即3x=9,解得x=2,所以函數(shù)f(x)=3x-9存在零點(diǎn),且零點(diǎn)為2.(4)令1-log3x=0,解得x=3,所以函數(shù)f(x)=1-log3x存在零點(diǎn),且零點(diǎn)是3.題型一題型二題型三題型四(2)令3x-9=0,即3x=9,解題型一題型二題型三題型四反思求函數(shù)零點(diǎn)的方法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)即求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解.若方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解,則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn),否則函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn).(1)對(duì)于二次函數(shù)的零點(diǎn),可以用多種方法求解,如公式法、因式分解法、配方法等.(2)對(duì)于三次及三次以上的高次函數(shù)的零點(diǎn),一般采用因式分解法.(3)對(duì)于指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的零點(diǎn),一般是解指數(shù)、對(duì)數(shù)方程.題型一題型二題型三題型四反思求函數(shù)零點(diǎn)的方法題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練1】

若f(x)=ax-b(b≠0)有一個(gè)零點(diǎn)3,則函數(shù)g(x)=bx2+3ax的零點(diǎn)是

.

解析:由f(x)=ax-b(b≠0)有一個(gè)零點(diǎn)3,得3a-b=0,即3a=b,又g(x)=bx2+3ax=x(bx+3a)=x(bx+b).令g(x)=0,解得x1=0,x2=-1.答案:0和-1題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練1】若f(x)=ax-b題型一題型二題型三題型四題型二

判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【例2】

求函數(shù)f(x)=2x+lg(x+1)-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù).分析:方法一,借助函數(shù)f(x)的單調(diào)性確定;方法二,借助函數(shù)f(x)的圖像確定.解:(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg

3-2=2+lg

3>0,∴f(x)=0在(0,2)上必定存在實(shí)根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在定義域(-1,+∞)上為增函數(shù),故f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).題型一題型二題型三題型四題型二判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)題型一題型二題型三題型四(方法二)在同一平面直角坐標(biāo)系下分別作出函數(shù)h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)在(-1,+∞)上的圖像,如圖.由圖像知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x有且只有一個(gè)交點(diǎn),即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一個(gè)零點(diǎn).題型一題型二題型三題型四(方法二)在同一平面直角坐標(biāo)系下分別題型一題型二題型三題型四反思判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法主要有:(1)解方程:當(dāng)能直接求解零點(diǎn)時(shí),就直接求出.(2)用定理:零點(diǎn)存在性定理.(3)利用圖像的交點(diǎn):有些題目可先畫出某兩個(gè)函數(shù)y=f(x),y=g(x)的圖像,其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn).題型一題型二題型三題型四反思判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法主要有:題型一題型二題型三題型四∵x≠0,∴x3-1=0.∴(x-1)(x2+x+1)=0.∴x=1或x2+x+1=0.∵方程x2+x+1=0的判別式Δ=12-4=-3<0,∴方程x2+x+1=0無(wú)實(shí)根.∴函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出h(x)和g(x)的圖像,可知兩圖像只有一個(gè)交點(diǎn),題型一題型二題型三題型四∵x≠0,∴x3-1=0.在同一平面題型一題型二題型三題型四題型三

判斷方程的根所在的大致區(qū)間【例3】

求證:方程5x2-7x-1=0的根一個(gè)在區(qū)間(-1,0)上,另一個(gè)在區(qū)間(1,2)上.分析:證明方程5x2-7x-1=0的兩個(gè)根分別位于(-1,0)和(1,2)上,即證f(x)=5x2-7x-1在(-1,0)和(1,2)上各有一個(gè)零點(diǎn).證明:設(shè)f(x)=5x2-7x-1,則f(-1)·f(0)=11×(-1)=-11<0,f(1)·f(2)=(-3)×5=-15<0.而二次函數(shù)f(x)=5x2-7x-1的圖像是連續(xù)的曲線,所以f(x)在(-1,0)和(1,2)上各有一個(gè)零點(diǎn),即方程5x2-7x-1=0的根一個(gè)在區(qū)間(-1,0)上,另一個(gè)在區(qū)間(1,2)上.題型一題型二題型三題型四題型三判斷方程的根所在的大致題型一題型二題型三題型四反思判斷方程的根所在的大致區(qū)間可轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間.判斷函數(shù)f(x)是否在(x1,x2)上存在零點(diǎn),除驗(yàn)算f(x1)·f(x2)<0是否成立外,還需考察函數(shù)的圖像在(x1,x2)上是否連續(xù).若要判斷根的個(gè)數(shù),還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性.題型一題型二題型三題型四反思判斷方程的根所在的大致區(qū)間可轉(zhuǎn)化題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練3】

函數(shù)f(x)=x+lgx-3的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(

)答案:C題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練3】函數(shù)f(x)=x+l題型四題型一題型二題型三題型四

易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn):忽略對(duì)參數(shù)的分類討論而致誤【例4】

若函數(shù)f(x)=ax2-x-1只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值.錯(cuò)解:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2-x-1只有一個(gè)零點(diǎn),所以即1+4a=0,所以a=-.錯(cuò)因分析錯(cuò)解的原因在于沒(méi)有對(duì)函數(shù)f(x)=ax2-x-1的二次項(xiàng)系數(shù)a進(jìn)行討論,直接把f(x)=ax2-x-1當(dāng)作二次函數(shù)來(lái)處理,忽略了當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-x-1的情況,從而導(dǎo)致了漏解.題型四題型一題型二題型三題型四易錯(cuò)辨析題型四題型一題型二題型三正解:①當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=-x-1,顯然,該函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),滿足題意.②當(dāng)a≠0時(shí),函數(shù)f(x)=ax2-x-1是二次函數(shù),因?yàn)閒(x)=ax2-x-1只有一個(gè)零點(diǎn).所以方程ax2-x-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)根.題型四題型一題型二題型三正解:①當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=-題型四題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練4】

關(guān)于x的方程(m-1)x2+2(m+1)x-1=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值集合為

.

解析:當(dāng)m=1時(shí),原方程可化為4x-1=0,即x=,符合題意;當(dāng)m≠1時(shí),由題意得Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0,解得m=-3或m=0,故滿足題意的m的取值集合為{-3,0,1}.答案:{-3,0,1}題型四題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練4】關(guān)于x的方程(m-11234561下列函數(shù)不存在零點(diǎn)的是(

)解析:令y=0,得選項(xiàng)A和C中函數(shù)的零點(diǎn)均為1和-1;選項(xiàng)B中函

答案:D

1234561下列函數(shù)不存在零點(diǎn)的是()解析:令y=01234562