2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

PAGE2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式知識梳理知識梳理1、一元二次不等式的概念（1）只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式叫做一元二次不等式．如：不等式2x2－x＋1＞0是一元二次不等式．（2）使一元二次不等式成立的未知數(shù)的取值范圍叫一元二次不等式的解集．（3）一元二次不等式經(jīng)過變形，可化成以下兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：①ax2＋bx＋c＞0(a＞0)；②ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．設(shè)二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac，則：（1）Δ＞0時，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的解x1，x2，設(shè)x1＜x2，則不等式①的解集為{x|x<x1或x>x2}，不等式②的解集為{x|x1<x<x2}．（2）Δ＝0時，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相等的解，即x1＝x2，此時不等式①的解集為{x|x≠x1}，不等式②的解集為?．（3）Δ＜0時，方程ax2＋bx＋c＝0無實數(shù)解，不等式①的解集為R，不等式②的解集為?．2、三個“二次”二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集三者之間的關(guān)系(如下表)：Δ＝b2－4ac二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0解的情況ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集Δ＞0有兩相異實根x1，x2{x|x＞x2，或x＜x1}{x|x1＜x＜x2}Δ＝0有兩相等實根x0{x|x≠x0}?Δ＜0沒有實根R?3、含參數(shù)的一元二次不等式的解法（1）兩邊同除或同乘含參的式子時，應(yīng)討論含參的式子的符號．如：當(dāng)a＞0時，關(guān)于x不等式ax＞a2的解是x＞a；當(dāng)a＜0時，關(guān)于x不等式ax＞a2的解是x＜a．（2）解含參數(shù)的一元二次不等式時，先求相應(yīng)二次方程的根，比較根的大小后，再根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)的圖象寫出不等式的解集．如：當(dāng)a＞0時，關(guān)于x不等式x2－ax＞0的解是x＜0或x＞a；當(dāng)a＜0時，關(guān)于x不等式x2－ax＞0的解是x＜a或x＞0．知識典例知識典例題型一一元二次不等式的求解例1不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】A鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)1、不等式的解集是（）A．或 B．或C． D．【答案】C2、不等式的解集為____________．【答案】題型二分式不等式求解例2解不等式eq\f(2x－5,3－x)＞0解析：原不等式可化為：eq\f(2x－5,x－3)＜0，即(2x－5)(x－3)＜0.∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3))，∴原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3))鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)求下列不等式的解集：(1)eq\f(x＋2,1－x)＜0(2)eq\f(x＋1,x－2)≤2.解析：(1)由eq\f(x＋2,1－x)＜0，得eq\f(x＋2,x－1)＞0，此不等式等價于(x＋2)(x－1)＞0，∴原不等式的解集為{x|x＜－2或x＞1}．(2)解法一：移項得eq\f(x＋1,x－2)－2≤0，左邊通分并化簡有eq\f(－x＋5,x－2)≤0，即eq\f(x－5,x－2)≥0，它的同解不等式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x－5≥0，,x－2≠0，))∴x＜2或x≥5，∴原不等式的解集為{x|x＜2或x≥5}．題型三帶參數(shù)的一元二次不等式例3解關(guān)于的一元二次不等式【解析】利用十字相乘法進(jìn)行化簡：（1）當(dāng)時，即，解為（2）當(dāng)時，即，解為（3）當(dāng)時，即，解為鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)1、解關(guān)于x的不等式x2－ax－2a2＜0.分析：求出一元二次方程的兩根2a，－a，比較兩根的大?。馕觯悍匠蘹2－ax－2a2＝0的判別式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，得方程兩根x1＝2a，x2＝－a，(1)若a＞0，則－a＜x＜2a，此時不等式的解集為{x|－a＜x＜2a}；(2)若a＜0，則2a＜x＜－a，此時不等式的解集為{x|2a＜x＜－a}；(3)若a＝0，則原不等式即為x2＜0，此時解集為?.綜上所述，原不等式的解集為當(dāng)a＞0時，{x|－a＜x＜2a}；當(dāng)a＜0時，{x|2a＜x＜－a}；當(dāng)a＝0時，?.2、解關(guān)于x的不等式.【答案】答案不唯一，具體見解析.題型四二次項系數(shù)為參數(shù)的一元二次不等式例4設(shè)，解關(guān)于的不等式．【答案】詳見解析鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)1、若不等式的解集為R，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B2、解關(guān)于x的不等式：ax2－2(a＋1)x＋4＜0.解析：(1)當(dāng)a＝0時，原不等式的解集為：{x|x＞2}．(2)當(dāng)a≠0時，原不等式化為：aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x－2)＜0，①當(dāng)a＜0時，原不等式等價于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x－2)＞0，此時原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(2,a)或x＞2))))；②當(dāng)0＜a＜1時，2＜eq\f(2,a)，此時原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2＜x＜\f(2,a)))))；③當(dāng)a＞1時，eq\f(2,a)＜2，此時原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＜x＜2))))；④當(dāng)a＝1時，原不等式的解集為?.題型五參數(shù)求解例5一元二次不等式的解集是，則的值是（）A．10 B．-10 C．14 D．-14【答案】D鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)1、已知不等式的解集為，則不等式的解為（）A． B．或C． D．或【答案】A2、已知不等式的解集為．（1）求和的值；（2）求不等式的解集.【答案】(1)，；(2)題型五恒成立問題例5若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是_____.【答案】鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)1、已知關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】2、對任意的實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】C鞏固提升鞏固提升1、不等式的解集為（）A．或 B．C．或 D．【答案】C2、不等式的解集為（）A．或 B．或C． D．【答案】A3、不等式的解集是，則的值為（）A．14 B．-14 C．10 D．-10【答案】D4、不等式的解集是（）A．或B．或C．D．【答案】C5、不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A6、已知集合，則=A． B． C． D．【答案】C7、已知不等式的解集為，則實數(shù)=．【答案】8、已知不等式對任意實數(shù)恒成立．則取值范圍是（）A．(－1，0) B．[－1，0] C． D．(－1，0]【答案】D9、解下列兩個關(guān)于x的不等式：（1）；（2）【答案】（1）或；（2）．10、已知不等式的解集是．（1）若，求的取值范圍；（2）若，求不等式的解集．【答案】（1）；（2）．11、若不