工程應(yīng)用數(shù)學(xué)第二章 傅立葉級(jí)數(shù)

第二章傅立葉級(jí)數(shù)引子級(jí)數(shù)的概念傅立葉級(jí)數(shù)用Matlab進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)運(yùn)算引子1引例

求半徑為的圓的面積正六邊形面積正十二邊形的面積正邊形面積即

當(dāng)無(wú)限增大，則所求圓面積為2第二章傅立葉級(jí)數(shù)引子級(jí)數(shù)的概念傅立葉級(jí)數(shù)用Matlab進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)運(yùn)算31、級(jí)數(shù)的定義一般項(xiàng)（常數(shù)項(xiàng)）無(wú)窮級(jí)數(shù)特例：正項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列42.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限，即，則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，這時(shí)極限叫級(jí)數(shù)的和.并寫(xiě)成如果沒(méi)有極限，則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散,發(fā)散的級(jí)數(shù)沒(méi)有和.即（常數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)收斂（或發(fā)散）存在（或不存在）余項(xiàng)即誤差為5例

討論等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）的斂散性.解

1）如果級(jí)數(shù)收斂，其和為級(jí)數(shù)發(fā)散6級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)變?yōu)椴淮嬖?，?jí)數(shù)發(fā)散.2）如果綜上7例

討論無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性.解

由于因此，該級(jí)數(shù)的部分和從而所以該級(jí)數(shù)收斂，它的和是183、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念設(shè)是定義在上的函數(shù)則稱為定義在區(qū)間上的（函數(shù)項(xiàng)）無(wú)窮級(jí)數(shù),簡(jiǎn)稱（函數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)

Eg.形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱為的冪級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí),稱為的冪級(jí)數(shù).其中常數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)9小結(jié)1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念2、級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散即（常數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)收斂（或發(fā)散）存在（或不存在）3、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念，冪級(jí)數(shù)的概念10第二章傅立葉級(jí)數(shù)引子級(jí)數(shù)的概念傅立葉級(jí)數(shù)用Matlab進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)運(yùn)算11引例非正弦周期函數(shù):矩形波12不同頻率正弦波逐個(gè)疊加131、函數(shù)系的正交性

三角函數(shù)系任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在區(qū)間上的積分為零.而任何一個(gè)函數(shù)的平方在區(qū)間上的積分都不等零,其中復(fù)指數(shù)函數(shù)系

在區(qū)間內(nèi),具有正交性.其中:為虛數(shù)單位,142、函數(shù)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)

三角傅立葉級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)：任意信號(hào)，在區(qū)間內(nèi)，可用三角函數(shù)系表示為15一般取，則傅立葉系數(shù)表示為利用三角函數(shù)正交性，得到一個(gè)周期的傅立葉系數(shù)16特例

當(dāng)時(shí)，，系數(shù)可表示為17函數(shù)的三角傅立葉級(jí)數(shù)：

三角傅立葉級(jí)數(shù)的另外一種形式：其中18物理意義：

諧波分析，即把一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)看成是許多不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加.的直流分量：一次諧波(基波)：次諧波：次諧波分量：基頻19指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)

的指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)：其中直流分量：一次諧波分量：次諧波分量：20指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)與三角傅立葉級(jí)數(shù)是傅立葉級(jí)數(shù)的兩種表示方式，可以通過(guò)下式轉(zhuǎn)化.或三角傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)與指數(shù)傅立葉系數(shù)之間的關(guān)系式為：或21傅立葉級(jí)數(shù)的收斂條件

被展開(kāi)的函數(shù)需要滿足如下的一組充分條件：條件1

在一周期內(nèi),函數(shù)絕對(duì)可積,即條件2

在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)極大值和極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)是有限個(gè)22條件3

在一個(gè)周期內(nèi)，如果間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè).當(dāng)是的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)當(dāng)是的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)并且該組條件稱為“狄利克雷條件”

23案例【周期矩形信號(hào)】設(shè)是周期為的周期函數(shù),它在上的表達(dá)式將展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù).24解

當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于傅立葉系數(shù)如下：25得到的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于26案例【周期鋸齒脈沖信號(hào)】

寧波波導(dǎo)公司的技術(shù)人員需分析周期脈沖鋸齒波的信號(hào)的特征，現(xiàn)對(duì)信號(hào)進(jìn)行諧波分析,并指出直流分量、基波和次諧波分量.解

信號(hào)的周期為，在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為2728得到的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為29直流分量為基波為其中

為偶數(shù)時(shí)，次諧波分量為為奇數(shù)時(shí)，次諧波分量為30小結(jié)1、函數(shù)系的正交性；2、三角傅立葉級(jí)數(shù)及其傅立葉系數(shù)；

3、指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)及其傅立葉系數(shù)；4、三角傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)和指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系；5、狄利克雷充分條件；6、周期為的周期函數(shù)的三角傅立葉級(jí)數(shù)。313、奇函數(shù)和偶函數(shù)的三角傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的對(duì)稱性與傅立葉系數(shù)的關(guān)系32案例【脈沖矩形波】

寧波春光無(wú)線電廠需分析方波信號(hào)的特征，現(xiàn)對(duì)方波信號(hào)進(jìn)行諧波分析，指出基波和次諧波分量.解

由圖知，為奇函數(shù)33得到的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為:基波為只包含有正弦分量.次（奇次）諧波分量為34案例【半波整流余弦脈沖波】

杭州某研究所需分析周期性半波整流余弦脈沖信號(hào)，現(xiàn)對(duì)余弦信號(hào)進(jìn)行分析.35解

由圖知，為偶函數(shù)36得到的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為374、奇函數(shù)和偶函數(shù)的指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)案例【周期矩形波】

杭州尖峰電子有限公司的技術(shù)人員需分析周期方波信號(hào)特征，其中脈寬為，脈幅為，周期為，現(xiàn)對(duì)方波信號(hào)進(jìn)行諧波分析，并指出次諧波分量（用指數(shù)形式表示）.38解

在周期內(nèi)的表達(dá)式為為偶函數(shù)，取39得到的傅立葉級(jí)數(shù)為次諧波分量為40案例【周期三角脈沖信號(hào)】

浙江某技術(shù)研究所需分析周期三角脈沖信號(hào)的特征，其中振幅為1，周期為2，現(xiàn)對(duì)三角脈沖信號(hào)進(jìn)行諧波分析，并指出次諧波分量（用指數(shù)形式表示）.41解

由圖知，

在區(qū)間的表達(dá)式為由為奇函數(shù)知取，則指數(shù)傅立葉系數(shù)為42所以周期三角脈沖信號(hào)的傅立葉展開(kāi)式為次諧波分量為435、三角傅立葉級(jí)數(shù)和指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)的轉(zhuǎn)化例

已知的三角傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為求它的指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式.44解

45得到的指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為46小結(jié)1、奇函數(shù)和偶函數(shù)的三角傅立葉級(jí)數(shù)；2、奇函數(shù)和偶函數(shù)的指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)；3、三角傅立葉級(jí)數(shù)和指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)的轉(zhuǎn)化.476、非周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)

（1）如果只在區(qū)間上有信號(hào)，并且滿足收斂條件，那么仍可以展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)做法：周期延拓即作周期為的周期函數(shù)，端點(diǎn)處收斂于48例

將函數(shù)在區(qū)間上展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù).解

所給函數(shù)在區(qū)間上滿足收斂條件，并且拓廣為周期函數(shù)時(shí)，它在每一點(diǎn)處都連續(xù)，如圖因此拓廣的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)在上收斂于49傅立葉系數(shù)如下：50于是516、非周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)

（1）如果只在區(qū)間上有信號(hào)，并且滿足收斂條件，那么仍可以展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)做法：周期延拓即作周期為的周期函數(shù)，端點(diǎn)處收斂于52（2）如果只在上有信號(hào)且滿足收斂條件，要得到在上的傅立葉展開(kāi)式且展開(kāi)形式不唯一，常用方法有奇延拓和偶延拓.做法：將延拓成函數(shù)

奇延拓:奇函數(shù)函數(shù)傅立葉正弦級(jí)數(shù):53偶延拓:偶函數(shù)函數(shù)傅立葉余弦級(jí)數(shù):54案例【信號(hào)分析】

將脈沖信號(hào)（1）用正弦分量分析在區(qū)間上的信號(hào)（2）用直流分量和余弦分量分析在區(qū)間上的信號(hào)55得到的傅立葉正弦級(jí)數(shù)為解

（1）求正弦級(jí)數(shù)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行奇延拓，如圖56（2）求余弦級(jí)數(shù)，對(duì)信號(hào)函數(shù)進(jìn)行偶延拓，如圖得到的傅立葉余弦級(jí)數(shù)為57綜合案例

有一水平彈簧振子，，重物的質(zhì)量，靜止在平衡位置上，設(shè)以一水平恒力作用于物體（不計(jì)摩擦），使之從平衡位置向左運(yùn)動(dòng)，此時(shí)撤去力，當(dāng)重物運(yùn)動(dòng)到左方最遠(yuǎn)位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，求運(yùn)動(dòng)方程.58（2）建立數(shù)學(xué)模型：建立坐標(biāo)系，點(diǎn)選在彈簧平衡位置處，水平向右為軸正方向.解

（1）模型假設(shè)：將物體視為質(zhì)點(diǎn)物體受到的合外力：加速度為即：59令得：解微分方程得：其中待定.稱為頻率，振動(dòng)的周期為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的總能量60（3）模型的求解：能量得到由初始條件得物體的運(yùn)動(dòng)方程為：61小結(jié)1、非周期函數(shù)的周期延拓；2、如何把非周期函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)；62第二章傅立葉級(jí)數(shù)引子級(jí)數(shù)的概念傅立葉級(jí)數(shù)用Matlab進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)運(yùn)算63引例用Matlab求的傅立葉系數(shù)symstnfun=t^2an=int(fun*cos(n*pi*t/2),t,-2,2)/2bn=int(fun*sin(n*pi*t/2),t,-2,2)/2641、求函數(shù)在上的傅立葉系數(shù)的Matlab主程序function[a0,an,bn]=fourier(fun,1)symsxna0=int(fun,x,-1,1)/l;an=int(fun*cos(n*pi*x/l),x,-1,1)/l;bn=int(fun*sin(n*pi*x/l),x,-1,1)/l;65functionS=sfourier(fun,a0,an,bn,l,m)symsxnsn=an*cos(n*pi*x/l)+bn*sin(n*pi*x/l);ssn=symsum(sn,n,l,m);S=a0/2+ssn;2、求函數(shù)fun在上的傅立葉級(jí)數(shù)前項(xiàng)的Matlab主程序66例

在閉區(qū)間上將函數(shù)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù).

輸入主程序：>>symsxnfun=x^2+1;l=1;[a0,an,bn]=fourier(fun,l)67運(yùn)行后屏幕顯示在閉區(qū)間上函數(shù)的傅立葉系數(shù)為：a0=8/3an=4*(n^2*pi^2*sin(n*pi)+n*pi*cos(n*pi)-sin(n*pi))/n^3/pi^3bn=068再輸入程序：>>symsxnfun=x^2+1;l=1;a0=8/3;an=4*(n^2*pi^2*sin(n*pi)+n*pi*cos(n*pi)-sin(n*pi))/n^3/pi^3;bn=0;S=sfourier(fun,a0,an,bn,1,9)69例

設(shè)是周期為的周期函數(shù)，它在上的表達(dá)式為，將展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù).解所給函數(shù)滿足收斂的條件，它在點(diǎn)處不連續(xù)，在其他點(diǎn)處連續(xù)，從而的傅立葉級(jí)數(shù)收斂，并且當(dāng)時(shí)收斂于70當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于因?yàn)?，輸入程序?gt;>symsxnfun=x;l=pi;[a0,an,bn]=fourier(fun,l)運(yùn)行后屏幕顯示函數(shù)的傅立葉系數(shù)為：a0=