上海市普陀區(qū)2021-2022學年高三3月份模擬考試數(shù)學試題含解析

2022年高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則的虛部是（）A． B． C． D．2．已知命題：是“直線和直線互相垂直”的充要條件；命題：對任意都有零點；則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．3．已知等式成立，則（）A．0 B．5 C．7 D．134．已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面積是()A． B．2C． D．5．已知點，點在曲線上運動，點為拋物線的焦點，則的最小值為（）A． B． C． D．46．已知數(shù)列滿足：)若正整數(shù)使得成立，則（）A．16 B．17 C．18 D．197．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則（）A． B．2 C．3 D．8．若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）①已知函數(shù)是一次函數(shù)，若數(shù)列通項公式為，則該數(shù)列是等差數(shù)列；②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等，則；③在中，“”是“”的必要不充分條件；④若，則的最大值為2.A．1 B．2 C．3 D．010．已知集合，則()A． B． C． D．11．下圖是民航部門統(tǒng)計的某年春運期間，六個城市售出的往返機票的平均價格（單位元），以及相比于上一年同期價格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖，以下敘述不正確的是（）A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價格最高B．天津的往返機票平均價格變化最大C．上海和廣州的往返機票平均價格基本相當D．相比于上一年同期，其中四個城市的往返機票平均價格在增加12．某學校組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為，若低于60分的人數(shù)是18人，則該班的學生人數(shù)是（）A．45 B．50 C．55 D．60二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若關于的方程在定義域上有四個不同的解，則實數(shù)的取值范圍是_______.14．已知為拋物線：的焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于、兩點，直線與交于、兩點，則的最小值為__________．15．正四面體的各個點在平面同側(cè)，各點到平面的距離分別為1，2，3，4，則正四面體的棱長為__________．16．已知函數(shù)，若關于x的方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是_______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知滿足，且，求的值及的面積.（從①，②，③這三個條件中選一個，補充到上面問題中，并完成解答.）18．（12分）設，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）設函數(shù).①若，試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點；②求證：對任意的，直線都不是的切線；（2）設函數(shù)，試判斷函數(shù)是否存在極小值，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.19．（12分）如圖，在等腰梯形中，AD∥BC，，，，，分別為，，的中點，以為折痕將折起，使點到達點位置（平面）．（1）若為直線上任意一點，證明：MH∥平面；（2）若直線與直線所成角為，求二面角的余弦值．20．（12分）設等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求的前項和及使得最小的的值.21．（12分）已知函數(shù)．（1）解不等式：；（2）求證：．22．（10分）已知函數(shù)，其中.（1）當時，求在的切線方程；（2）求證：的極大值恒大于0.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

通過復數(shù)的乘除運算法則化簡求解復數(shù)為：的形式，即可得到復數(shù)的虛部.【詳解】由題可知，所以的虛部是1.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)的基本概念，屬于基礎題.2．A【解析】

先分別判斷每一個命題的真假，再利用復合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當時，直線和直線，即直線為和直線互相垂直，所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件，當直線和直線互相垂直時，，解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.：“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件，故是假命題．當時，沒有零點，所以命題是假命題．所以是真命題，是假命題，是假命題，是假命題．故選：．【點睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關系，考查二次函數(shù)的圖象，考查學生對這些知識的理解掌握水平.3．D【解析】

根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進行求解即可.【詳解】由可知：令，得；令，得；令，得，得，，而，所以.故選：D【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了特殊值代入法，考查了數(shù)學運算能力.4．A【解析】

先根據(jù)已知求出原△ABC的高為AO＝，再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO＝，∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案為A【點睛】本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計算，意在考察學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.5．D【解析】

如圖所示：過點作垂直準線于，交軸于，則，設，，則，利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示：過點作垂直準線于，交軸于，則，設，，則，當，即時等號成立.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.6．B【解析】

計算，故，解得答案.【詳解】當時，，即，且.故，，故.故選：.【點睛】本題考查了數(shù)列的相關計算，意在考查學生的計算能力和對于數(shù)列公式方法的綜合應用.7．A【解析】

由奇函數(shù)定義求出和．【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，.又當時，，.故選：A．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關鍵．8．B【解析】

轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調(diào)性，求函數(shù)最值，即得解.【詳解】由，可知．設，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．所以．故的取值范圍是．故選：B【點睛】本題考查了導數(shù)在恒成立問題中的應用，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.9．B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義，線面關系，余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可；【詳解】解：①已知函數(shù)是一次函數(shù)，若數(shù)列的通項公式為，可得為一次項系數(shù)），則該數(shù)列是等差數(shù)列，故①正確；②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等，則與可以相交或平行，故②錯誤；③在中，，而余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要條件，故③錯誤；④若，則，所以，當且僅當時取等號，故④正確；綜上可得正確的有①④共2個；故選：B【點睛】本題考查命題的真假判斷，主要是正弦定理的運用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì)，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．10．C【解析】

解不等式得出集合A，根據(jù)交集的定義寫出A∩B．【詳解】集合A＝{x|x2﹣2x﹣30}＝{x|﹣1x3}，，故選C．【點睛】本題考查了解不等式與交集的運算問題，是基礎題．11．D【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項逐一分析，由此得出敘述不正確的選項.【詳解】對于A選項，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價格最高，所以A選項敘述正確.對于B選項，根據(jù)折線圖可知天津的往返機票平均價格變化最大，所以B選項敘述正確.對于C選項，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機票平均價格基本相當，所以C選項敘述正確.對于D選項，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個城市的往返機票平均價格在增加，故D選項敘述錯誤.故選：D【點睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎題.12．D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率＝小矩形的高×組距計算成績低于60分的頻率，再根據(jù)樣本容量求出班級人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴樣本容量（即該班的學生人數(shù)）是60（人）.故選：D.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了頻率的應用問題，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由題意可在定義域上有四個不同的解等價于關于原點對稱的函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，運用參變分離和構(gòu)造函數(shù)，進而借助導數(shù)分析單調(diào)性與極值，畫出函數(shù)圖象，即可得到所求范圍.【詳解】已知定義在上的函數(shù)若在定義域上有四個不同的解等價于關于原點對稱的函數(shù)與函數(shù)f(x)=lnx-x(x>0)的圖象有兩個交點，聯(lián)立可得有兩個解，即可設，則，進而且不恒為零，可得在單調(diào)遞增.由可得時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增，即在處取得極小值且為作出的圖象，可得時，有兩個解.故答案為：【點睛】本題考查利用利用導數(shù)解決方程的根的問題，還考查了等價轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)對稱性的應用，屬于難題.14．16.【解析】由題意可知拋物線的焦點，準線為設直線的解析式為∵直線互相垂直∴的斜率為與拋物線的方程聯(lián)立，消去得設點由跟與系數(shù)的關系得，同理∵根據(jù)拋物線的性質(zhì)，拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離∴，同理∴，當且僅當時取等號.故答案為16點睛：（1）與拋物線有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關．利用定義可將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，可以使運算化繁為簡．“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑；（2）圓錐曲線中的最值問題，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的條件．15．【解析】

不妨設點A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點D，與AB，AC分別相交于點E，F(xiàn)，根據(jù)題意F為中點，E為AB的三等分點（靠近點A），設棱長為a，求得，再用余弦定理求得：，從而求得，再根據(jù)頂點A到面EDF的距離為，得到，然后利用等體積法求解，【詳解】不妨設點A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點D，與AB，AC分別相交于點E，F(xiàn)，如圖所示：由題意得：F為中點，E為AB的三等分點（靠近點A），設棱長為a，，頂點D到面ABC的距離為所以，由余弦定理得：，所以，所以，又頂點A到面EDF的距離為，所以，因為，所以，解得，故答案為：【點睛】本題主要考查幾何體的切割問題以及等體積法的應用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象，運算求解的能力，屬于難題，16．【解析】

畫出函數(shù)的圖象，再畫的圖象，求出一個交點時的的值，然后平行移動可得有兩個交點時的的范圍．【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：因為方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根，所以圖象與直線有且只有兩個交點即可，當過點時兩個函數(shù)有一個交點，即時，與函數(shù)有一個交點，由圖象可知，直線向下平移后有兩個交點，可得，故答案為：．【點睛】本題主要考查了方程的跟與函數(shù)的圖象交點的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．見解析【解析】

選擇①時：,，計算，根據(jù)正弦定理得到，計算面積得到答案；選擇②時，，，故，為鈍角，故無解；選擇③時，，根據(jù)正弦定理解得，，根據(jù)正弦定理得到，計算面積得到答案.【詳解】選擇①時：,，故.根據(jù)正弦定理：，故，故.選擇②時，，，故，為鈍角，故無解.選擇③時，，根據(jù)正弦定理：，故，解得，.根據(jù)正弦定理：，故，故.【點睛】本題考查了三角恒等變換，正弦定理，面積公式，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.18．（1）①函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點；②證明見解析；（2）且；【解析】

（1）①令，結(jié)合函數(shù)零點的判定定理判斷即可；②設切點橫坐標為，求出切線方程，得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；（2）求出的解析式，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定的范圍即可．【詳解】解：（1）①當時，函數(shù)，令，，則，，故，又函數(shù)在區(qū)間上的圖象是不間斷曲線，故函數(shù)在區(qū)間上有零點，故函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點；②證明：假設存在，使得直線是曲線的切線，切點橫坐標為，且，則切線在點切線方程為，即，從而，且，消去，得，故滿足等式，令，所以，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，又函數(shù)在時，故方程有唯一解，又，故不存在，即證；（2）由得，，，令，則，，當時，遞減，故當時，，遞增，當時，，遞減，故在處取得極大值，不合題意；時，則在遞減，在，遞增，①當時，，故在遞減，可得當時，，當時，，，易證，令，，令，故，則，故在遞增，則，即時，，故在，內(nèi)存在，使得，故在，上遞減，在，遞增，故在處取得極小值．②由（1）知，，故在遞減，在遞增，故時，，遞增，不合題意；③當時，，當，時，，遞減，當時，，遞增，故在處取極小值，符合題意，綜上，實數(shù)的范圍是且．【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．19．（1）見解析（2）【解析】

(1)根據(jù)中位線證明平面平面，即可證明MH∥平面；（2）以，，為，，軸建立空間直角坐標系，找到點的坐標代入公式即可計算二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接，∵，，分別為，，的中點，∴，又∵平面，平面，∴平面，同理，平面，∵平面，平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面．（2）連接，在和中，由余弦定理可得，，由與互補，，，可解得，于是，∴，，∵，直線與直線所成角為，∴，又，∴，即，∴平面，∴平面平面，∵為中點，，∴平面，如圖所示，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，．設平面的法向量為，∴，即．令，則，，可得平面的一個法向量為．又平面的一個法向量為，∴，∴二面角的余弦值為．【點睛】此題考查線面平行，建系通過坐標求二面角等