專題14情景探究類-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題分類（全國通用）（解析版）

專題14情景探究類ー、解答題1.（2021?吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級階段練習(xí)）（1）【教材回顧】如圖①,點(diǎn)ハ、E分別是△A8C的邊A8、邊AC的中點(diǎn),連結(jié)。E,則ハE是aABC的一條中位線.則和BC的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是.（2）【提出問題】如圖④，AB是以MN為直徑的。。的一條弦,連結(jié)。4、OB,點(diǎn)M在AB的上方,點(diǎn)N在A8的下方,丄A8于P,NQ丄A8于。，點(diǎn)P、。均在弦A8上.已知MN=5,ZOAB=30°,求MP-NQ的值.為了解決上面的問題，進(jìn)行了如下的探究，先看兩種特殊情況:①如圖②,當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)Q也與點(diǎn)B重合,點(diǎn)尸與點(diǎn)4重合,此時(shí)MP=AM,N0=O（點(diǎn)看成是長度為0的線段）,則MP-NQ=.（寫出具體的數(shù)值）②如圖③,當(dāng)丄AB時(shí)，P、。重合,此時(shí)MP-NQ與OP的數(shù)量關(guān)系是ー,先根據(jù)條件易求。P的長度,則MP-N。:一.（寫出具體的數(shù)值）（3）【解決問題】結(jié)合圖④對應(yīng)的一般情況和你的感知,請用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方法求MP-N。的值.圖① 圖② 圖③ 圖④【答案】(1)DE=；BC；DE〃BC；(2)①2.5；②MP-QN=2OP,2.5；(3)MP-NQ^2.5.【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)定義證明△D4EsZ\BAC,即可;(2)①M(fèi)N為直徑,得出/M4N=90。,OB=OA,得出/O8A=NOAB=30。,在RsMAN中,MN=5,NMNA=3G°,MP=MA丄MN=二252.5,NQ=O,得出MP-NQ=2.5-0=2.5；②MN為。。直徑,得出OA=OB=OM=ON=-MN=-?52.5,在RtムOAP中/Q4P=30。，2 2OA=2.5,得出。P=2OA=丄?2.51.25,QN=ON-OP=2.5-1.25=1.25,2 2MP^OP+OM^1.25+2.5=3.75即可:(3)連結(jié),延長BO交。。于。,延長AO交。。于E,過。作OG丄AB與G,延長GO交。。于C,連結(jié)OE交MP與”,交CG于L,先證△ん。8纟Z\E。。(SAS),再證四邊形HPGL為矩形,PH=LG,根據(jù)三角函數(shù)。い^EsinE=2.5x丄=9,OG=OAsinA=2.5x-=-,24 24LG=OL+OG=-+ソ=9=2.5,得出〃P=2.5,證明△MOD9ANOB(SAS),和4MDH”ANBQ442(SAS)艮卩可.【解析】(1)解:???點(diǎn)。、E分別是△ABC的邊Aタ、邊AC的中點(diǎn),AAD=-AB9AE=-AC2 2.AD1AE_\^AB~2'AC2.AD_AE_\ス萬AC>2'9：ZDAE=ZBAC,:?Z\DAEsABAC,.DEADAE1 “??===—,Z.ADE-/B,BCABAC2:?DE〃BC,：.DE=；BC,DE〃BC,故答案為 =DE//BC；(2)①：MN為直徑,，NMAN=90°,'：OB=OA,：.ZOBA=/OAB=30°,即ZMNA=Z084=30°,在RsMAN中,MN=5,NMNA=30°,：.MP=MA=丄MN=丄?52.5,NgO,MP-NQ=25-0=2.5；故答案為:2.5；②；MN為。。直徑,:.OA=OB=OM=ON=-MN=-?52.5,2 2?；MN丄AB,P、。重合,，ZO以=90°,在RfAO4P中,ZOAP=30°,OA=2.5,：.OP^-OA=-?2.51.25,2 2QN=ON-OP=2.5-1.25=1.25,MP=OP+OM=1.25+2.5=3.75,MP-QN=3.75-1.25=2.5,MP-QN=2OP,故答案為:MP-QN=2OP,2.5；(3)連結(jié),延長BO交。。于ハ,延長AO交。。于E,過〇作OG丄AB與G,延長GO交。。于C,連結(jié)DE交MP與H,交CG于L,設(shè)點(diǎn)M為ハと上任意一點(diǎn)在△ス。8和厶EOD中,OA=OE<ZAOB=NEOD,OB=OD:?△NOBmXEOD(SAS),:.NE;ZA=30°,ZODL=ZOBG,:‘DE"AB,丄AB,：.MP.LDE,:.NHPG=NPHL=90°,VCG±AB,JZt>G4=90。,???四邊形"PGL為矩形,：.PH=LGt15 15?O￡=OEsinE=2.5x—=—,OG=OAsinA=2.5x—=—,24 24LG—OL^'OG——I—=—=2.5,442：.HP=2.5,在AMO。和△N03中,OM=ON/MOD=/NOB,OD=OB:?△MODqANOB(SAS),：.DM=BN,ZMDO=ZNBO,?：NODL=NOBG,

:.ZMDH=ZMDO-ZODL=ZNBO-ZOBG=ZQBN,,:NQLAB,：.NNQB=90o=NMHD,在△MO”和△NBQ中,Z.MDH=ZNBQ：./MHD=NNQB,MD=NB:?△MDHeANBQ(SAS),:?MH=NQ,：.MP?NQ=MP?MH=HP=25.CC【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似判定與性質(zhì),直徑所對圓周角性質(zhì),30。直角三角形性質(zhì),銳角三角函數(shù),矩形的判定與性質(zhì),三角形全等判定與性質(zhì),線段和差,利用輔助線畫出準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵.2.(2020?福建省泉州第一中學(xué)九年級階段練習(xí))定義:如圖1,△ABC是等腰三角形,AB=AC,點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),若ZABP=NPCB(或ZP3C=ZACP),則稱點(diǎn)P為等腰aABC的底角準(zhǔn)卡點(diǎn).A(I)若尸是底角準(zhǔn)卡點(diǎn).求證:/\BPCsKPA；(H)若AP:BP=1:2,求證:點(diǎn)尸是底角準(zhǔn)卡點(diǎn).(2)如圖3,點(diǎn)尸是等腰底角準(zhǔn)卡點(diǎn),AB=AC.過點(diǎn)A作A￡>〃BC交BP延長線于點(diǎn)D,連接CO,M是BC的中點(diǎn),連接PM.求證:NBPM=ZADC.【答案】(1)(I)證明見解析;(II)證明見解析;(2)證明見解析.【分析】(1)(1)由NABP+NBA尸=90。，/(ス2+/區(qū)4尸=90。得ム3/1=/6尸，再由尸是底角準(zhǔn)卡點(diǎn)得/C4P=NPCB,從而得出結(jié)論;(H)將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ADB,連接PO,由條件得△APDs△ハ尸§，再得出N尸BC=NACP從而得到結(jié)論;(2)延長尸M到點(diǎn)N,使得M/V=PM,得出ふBPM纟式NM,再分別找ふABDい*CB,△ADCsKNP,從而得出結(jié)論.證明;(I);AB=AC,：.ZABC=ZACB,厶BP+ZBAP=90°,ZCAP+ZBAP=90°,/.ZABP=ZCAP,,.?尸是底角準(zhǔn)卡點(diǎn),ェZABP=NPCB,NPBC=厶CP:"CAP=/PCB,，ABPCsKPA.(II)如圖4,ZVIPC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△4)3,連接PO,:△APC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ふADB,AAP=AD9/DBA=厶CP.設(shè)AP—a?則AD-a,PD=y/2a，BP=2a,.AP_PD??1=?PDBP又?:ZAPD=NDPB=45°,：.AAPDsQPB,：.ZBDP=ZDAP=90。,：.NDBP=厶EC=45。,：.4DBA=4PBC，丁/DBA=ZACP,：./PBC=ZACP,???點(diǎn)P是底角準(zhǔn)卡點(diǎn).如下圖,延長PM到點(diǎn)N,使得MN=PM,???M是BC的中點(diǎn),:,MB=MC,???在/kB?和aCNM中,MB=MC/PMB=ZNMCMN=PM：./XBPM纟ふCNM,:?PB=CN,4PM=/PNC,ZPBM=ZNCM,:AD//BC,:.ZADB=/DBC,ZDAC=ZACB,；ZABD=NBCP：.AABDsaPCB,,竺ADPC~BP'.ACADPCCN:ZDAC=ZACB=ZPCN,：.aADCsgp,：.ZADC=4PNC,：.ZBPM=ZADC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定以及全等三角形的性質(zhì)和判定,熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.3.(2022.吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級開學(xué)考試)【操作與發(fā)現(xiàn)】如圖①,在正方形ABCD中,點(diǎn)N,M分別在邊BC、CD上.連接AM.AN,MN.ZMAN=45°,將△AMひ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,點(diǎn)。與點(diǎn)B重合,得至リ△ABE.易證:4ANM%4ANE,從而可得:DM+BN=MN.圖③圖③⑴【實(shí)踐探究】在圖①條件下,若CN=6,CM=8,則正方形A8C￡?的邊長是⑵如圖②,在正方形ABCC中，點(diǎn)/、N分別在邊。C、BC上,連接AM、AN、MN,NMAN=45°,若tan/BAN=；,求證:M是C￡＞的中點(diǎn).(3)【拓展】如圖③，在矩形A8C。中，AB=6,AD=8,點(diǎn)、M、N分別在邊。C、BC上,連接AM、AN,已知/MAN=45。,BN=2,則ハM的長是.【答案】(1)12(2)見解析(3)4【分析】(1)證明AAMN^AEAN(SAS),得出MN=EN.證出MN=BN+DM.在/?/△CMN中,由勾股定理得出MN,求得BN+DM,設(shè)正方形A8C。的邊長為X,得出方程,解方程即可求解;(2)設(shè)BN=x,DM=y,由(1)MN=BN+DM=x+y,由三角函數(shù)得出A8=3BN=3x,得出CN=BC-BN=2x,CM=CD-DM=3x-y,在,RmCMN中,由勾股定理得出方程:(2x)2+(3x-y)2=(x+y)2,整理得:3戶2y,得出CM=2”尸y,得出DM=CM,即可得出結(jié)論;(3)延長A8至P,使BP=BN=2,過P作8C的平行線交。。的延長線于Q,延長⑷V交PQ于E,連接EM,則四邊形4PQク是正方形,同樣的方法在m△ 中,由勾股定理得出方程,解方程即可.解:,??四邊形A8CO是正方形,ェAB=CD=AD,ZBAD=ZC=ZD=90°f由旋轉(zhuǎn)得::?BE=DM,ZABE=ZD=90°fAE=AMfNBAE二/DAM,：.ZBAE+ZBAM=ADAMEZ.BAM=ZBAD=90°,BPZEAA/=90°,,/ZMAN=45°9：.NEAN=90°-45°=45。,：.ZMAN=ZEAN,fAM=AE在4人”バ和AAEN中,\ZMAN=ZEAN,[AN=AN:、△AMN^XAEN(SAS),:,MN=EN.,:EN=BE+BN=DM+BN,:?MN=BN+DM.在,RtACMN中,MN=RnヽCM、府+82=13貝リBN+DM=IO,設(shè)正方形A8C。的邊長為ス,貝リ828C-CNr-6,DM=CD-CM=x-8,.\x-6+x-8=10,解得:x=12,即正方形んBC。的邊長是!2；故答案為:12；證明:設(shè)BN=x,DM=y,由(1)得;MN=BN+DM=x+y,VZB=90°,ian/BAN=—，3:?ian/BAN= =一,AB3：.AB=3BN=3x,：.CN=BC-BN=2x,CM=CD-DM=3x-y,在RfACMN中,由勾股定理得:(2x)2+(3x-y)2=(x+y)2,整理得:3x=2y,CM=2y-y=y,：.DM=CM,即M是8的中點(diǎn);解:延長AB至P,使BP=BN=2,過P作BC的平行線交ハ。的延長線于。,延長4N交尸。于E,連接EM,如圖③所示:圖③則四邊形んPQ。是正方形,/.PQ=DQ=AP=AB+BP=8,設(shè)Q腓r則/Q=8?ス,■:PQ〃BC,：.XABNsx、pe,.BNAB63PEAP84'工PE=-BN=-，3 3：.EQ=PQ-PE=S--=—f由（1）得:EM^PE+DM^-+x,在狡△QEM中,由勾股定理得:（手）2+（8メ）2=（；+x）2,解得：x=4,即DM的長是4；故答案為:4.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)定義、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識;本題綜合性強(qiáng),有一定難度,證明三角形全等和由勾股定理得出方

程是解題的關(guān)鍵.4.(2021?甘肅蘭州?中考真題)已知正方形ABCD,E,ド為平面內(nèi)兩點(diǎn).E EE E圖1 圖2【探究建?！?1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊AB上時(shí),DE丄DF,且B,C,尸三點(diǎn)共線.求證:A￡=CF；【類比應(yīng)用】(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在正方形A5CO外部時(shí),DELDF，AELEF,且E,C,ド三點(diǎn)共線.猜想并證明線段AE,CE,Z)E之間的數(shù)量關(guān)系:【拓展遷移】(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABC。外部時(shí),AELEC,AE^AF,DE丄BE,且ハ，F(xiàn),E三點(diǎn)共線，OE與AB交于G點(diǎn).若Z)ド=3,AE=0,求CE的長.【答案】(1)見解析:(2)AE+CE=0DE:理由見解析(3)4忘【分析】(1)根據(jù)正方形性質(zhì)以及題意證明、ADE^JCDF即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)已知條件證明“。E%8尸(ん4S),然后證明ハ￡。尸為等腰直角三角形即可得出結(jié)論:(3)先證明aBAE纟aZMRAAS),得出為等腰直角三角形,根據(jù)勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)求出C”,EH的長度，即可得出結(jié)論.【解析】解:(1),??四邊形48。是正方形,B,C,ド三點(diǎn)共線,/.DC=DA.ZDAE=ZDCF=90°,?；DE丄DF,1,ZADC=/EDF=90。,:?ZADE=/CDF,在“IDE和△CDビ中,ZDAE=ZDCFヽDA=DC,ZADE=^CDF：.^ADE^CDF(ASA),,AE=CF\(2)DEIDF,四邊形ABC。是正方形,JZADC=ZEDF=90°,AD=CD,JZADE=/CDF,VAE±EF,DE丄DF,,ZDEF+ZF=90。,ZAED+NDEF=90。,:.Z4ED=/凡在“僞￡和中,ZADE=ZCDF，AAED=ZF,AD=CD二^ADE^CDF(AAS),二DE=DF,AE=CF,?，△互ジ為等腰直角三角形,丄EF=41DE,艮卩AE+CE=0DEヽ(3)過點(diǎn)。作。”丄CE于點(diǎn)”,連接8Q,,:ZDFA=ZFAE+ZFEA=9(r+ZFEAr,:ZAEB^AFEA+ADEB=9^Q+AFEA,:.ZAEB=ZDFA,ZBAE=9Q°-ZFAB.ZDAF=9Q°-ZFAB,,ZBAE=ZDAF,在ziBAE和/X/MF中,NBAE=NDAF<ムBEA=ZDFA,BA=DA：.aBAE^aDAF(AAS)：?DF=BE=3,FA=EA=y/2,,:ん七=幺=0且B4丄AE;???△E4E為等腰直角三角形,:.EF=42x42=2,在肋△QE8中,DE=3+2=5,BE=3,,,DB=マ52+32=^34,:8。是正方A8CO對角線,:.AD=CD=，ど=,立'：ZFEA=45°：."EC=45。,，△。/花為等腰直角三角形,:.DH=EH=ユ近,2在RsDHC中,CH=y/DC2-DH2=|>/2,:.CE=CH+EH=->/2+-y/2=4y/2.2 2【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，熟知性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵.（2021?江蘇淮安?中考真題）【知識再現(xiàn)】學(xué)完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡稱"ム定理）''是判定直角三角形全等的特有方法.【簡單應(yīng)用】如圖（1）,在△ABC中,ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)ハ、E分別在邊AC、A8上.若CE=BD,則線段AE和線段A。的數(shù)量關(guān)系是 ..【拓展延伸】在△ABC中，NBAC=a（90〇<〇<180〇）,AB=AC=m,點(diǎn)。在邊AC上.（1）若點(diǎn)E在邊AB上,且CE=B。,如圖（2）所示，則線段AE與線段AO相等嗎?如果相等，請給出證明;如果不相等，請說明理由.（2）若點(diǎn)E在BA的延長線上,且CE=BD.試探究線段AE與線段A。的數(shù)量關(guān)系（用含有。、ノ”的式子表示）,并說明理由.【答案】【簡單應(yīng)用】AE=A￡>;【拓展延伸】（1）相等,證明見解析;（2）AE-AO=2AC?cos（180°-a）,理由見解析【分析】簡單應(yīng)用:證明セ△AB。/RfAACE（HL）,可得結(jié)論.拓展延伸:（1）結(jié)論:AE^AD.如圖（2）中,過點(diǎn)C作CM丄84交84的延長線于M,過點(diǎn)N作BNA.CA交CA的延長線于N.證明△CAM絲へBAN（A45）,推出CM=BN,AM=AN,證明RfACME纟RfABM）（/Z丄），推出EM=ON,可得結(jié)論.（2）如圖（3）中,結(jié)論：AE-AD=2nfcos（180°-a）.在AB上取一點(diǎn)￡,使得8。=CE',則A￡）=AE.過點(diǎn)C作CT丄AE于ア.證明TE=TE,求出4T,可得結(jié)論.【解析】簡單應(yīng)用：解:如圖（1）中,結(jié)論：AE=AD.圖⑴理由:VZA=ZA=90°,AB=AC,BD=CE,：,欣△ABD^Rt^ACE(HL),：.AD=AE.故答案為：AE^AD.拓展延伸：（1）結(jié)論：AE=AD.圖⑵理由:如圖(2)中,過點(diǎn)。作CM丄B4交班的延長線于M,過點(diǎn)N作3N丄C4交。的延長線于M?；NM=NN=90。,4CAM=/BAN,CA=BA9，△。/纟△朋N(A4S),:?CM=BN,AM=AN,VZM=ZN=90°,CE=BD,CM=BN,：./?/△CMEすRムBND(HL),：.EM=DN,9：AM=ANt：.AE=AD.(2)如圖(3)中,結(jié)論:AE-AD=2m^cos(180°-a).圖⑶理由:在48上取一點(diǎn)E、使得8O=CE,則AO=AE.過點(diǎn)。作Cア丄4E于ア,?：CE=BD,CE=BD,：.CE=CE,,CT丄EE',

:.ET=TE','：AT=AC?cos(1800-a)=/7I.Cos(180°-?),：.AE-AD^AE-AE'=2AT=2m-cos(180°-a).【點(diǎn)睛】本題主要考査了全等三角形的性質(zhì)與判定,等腰三角形的性質(zhì)與判定,解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練尋找全等三角形解決問題.(2021?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)如圖1,NA=NB=/C=NO=NE=/尸=90。,AB,FE,0c為鉛直方向的邊,AF,ED,BC為水平方向的邊，點(diǎn)E在A8,CD之間,且在A尸,BC之間，我們稱這樣的圖形為乜圖形’‘,記作"L圖形A8C-OEr，.若直線將L圖形分成面積相等的兩個(gè)圖形，則稱這樣的直線為該丄圖形的面積平分線.【活動(dòng)】圖2小華同學(xué)給出了圖1的面積平分線的ー個(gè)作圖方案:如圖2,將這個(gè)ム圖形分成矩形AGE尺矩形G8CQ,這兩個(gè)矩形的對稱中心。，ユ所在直線是該L圖形的面積平分線.請用無刻度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線.(作出ー種即可,不寫作法,保留作圖痕跡)圖2圖1【思考】如圖3,直線O/Q是小華作的面積平分線，它與邊BC,Aド分別交于點(diǎn)M,N,過MN的中點(diǎn)0的直線分別交邊BC,4F于點(diǎn)P,Q,直線PQ(填‘‘是‘‘或"不是")L圖形んBCQEF的面積平分線.0在L圖形A8C￡)￡7;?形中,已知A8=4,BC=6.(1)如圖4,CD=AF=1.①該ム圖形的面積平分線與兩條水平的邊分別相交于點(diǎn)P,Q,求P0長的最大值;②該ム圖形的面積平分線與邊48,8分別相交于點(diǎn)G,H,當(dāng)G”的長取最小值時(shí),BG的長為ー.(2)設(shè)坐=r(r>0),在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中,如果只有與邊AB,CO相交的面積平分線,直接寫出，的取值范圍ー.【答案】【活動(dòng)】見解析;【思考】是;【應(yīng)用】(1)①如:②［；(2)【分析】［活動(dòng)］如圖1,根據(jù)題意把原本圖形分成左右兩個(gè)矩形,這兩個(gè)矩形的對稱中心。,。2所在直線是該ム圖形的面積平分線;［思考］如圖2,證明△OQN冬40PM(AAS),根據(jù)割補(bǔ)法可得直線PQ是L圖形ABCZJEF的面積平分線；［應(yīng)用］(1)①建立平面直角坐標(biāo)系,分兩種情況;如圖3-1和3-2,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式和待定系數(shù)法可得面積平分線的解析式,并計(jì)算P和Q的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)的距離公式可得P。的長,并比較大小可得結(jié)論;②當(dāng)G”丄AB時(shí),G”最小,設(shè)BG=x,根據(jù)面積相等列方程,解出即可;(2)如圖5,由已知得:CD=tAF,直線OE將圖形分成上下兩個(gè)矩形,當(dāng)上矩形面積小于下矩形面積時(shí),在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中,只有與邊AB,CO相交的面積平分線,列不等式可得?的取值.【解析】解:【活動(dòng)】如圖1，直線〇ノ〇2是該ん圖形的面積平分線;【思考】如圖2,VZA=ZB=90°,：.AF//BC,：.ZNQO=ZMPO,?.?點(diǎn)。是MN的中點(diǎn)，：.ON=OM,在△OQN和AOPM中,ZNQO=NMPO?ZNOQ=NMOP,ON=OW.??△〇QN纟△〇PM(A4S),/.SAOQN=S&OPM,'：S隹彩ABMN=SMNFEDC,：.St^ABMN-SAOPM=SMNFEDC-SAOQN,BPSABPON=SCDEFQOM,:.SABPON+S4OQN=SCDEFQOM+S4OPM,即S棒柩ABPQ=SCDEFQP,.?.直線P。是厶圖形A88Eド的面積平分線.故答案為:是;【應(yīng)用】(1)①如圖3,當(dāng)P與B重合時(shí),PQ最大,過點(diǎn)Q作QH丄BC于H,L圖形ABCDEF的面積=4x6-(4-1)x(6-1)=9,VPQ是L圖形ABCDEF的面積平分線,???梯形CDQP的面積=う乂(DQ+BC)xCD=-,上 2即うx(DQ+6)xl=-,2 2ADQ=CH=3,APH=6-3=3,VQH=CD=1,由勾股定理得:PQ=V32+l2=Vio：長的最大值為加;②如圖4,當(dāng)G”丄A8時(shí)G”最短,過點(diǎn)E作EM丄A8于M,圖4設(shè)8G=x,則MG=l-x,根據(jù)上下兩部分面積相等可知,6x=(4-1)xl+(1-x)x6,解得即BG=:;4 4故答案為:フ;4CD(2)*.*=t(z>0),AF：.CD=tAFf在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中,只有與邊4ルC。相交的面積平分線,如圖5,直線OE將圖形分成上下兩個(gè)矩形,當(dāng)上矩形面積小于下矩形面積時(shí),在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中,只有與邊A8,。。相交的面積平分線,即(4-MF)*AF<6MF,4,:.AF>ーー6,tV0<AF<6,4JOV--6V6,t.123 3故答案為:-<t<-.【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題,考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖,矩形的性質(zhì)和判定,四邊形面積的平分,三角形全等的性質(zhì)和判定等知識,并結(jié)合平面直角坐標(biāo)系計(jì)算線段的長,明確面積平分線的畫法,并熟練掌握矩形面積平分線是過對角線交點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7.(2021?山東棗莊?中考真題)如圖1,對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.(1)概念理解:如圖2,在四邊形ABC。中，AB=AD,CB=C￡>,問四邊形ABC。是垂美四邊形嗎?請說明理由;(2)性質(zhì)探究:如圖1,垂美四邊形んBC。的對角線AC,B。交于點(diǎn)。.猜想:AB2+CD2與ス。2+8じ2有什么關(guān)系?并證明你的猜想.(3)解決問題:如圖3,分別以RtZXACB的直角邊AC和斜邊A8為邊向外作正方形ACFG和正方形ん雙応，連結(jié)CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE的長.【答案】（1）四邊形ABC。是垂美四邊形,理由見解析;（2）A庁+C/y=Aが+BC?,證明見解析;（3）GE=x/73.【分析】（1）連接AC,8。,先根據(jù)線段垂直平分線的判定定理可證直線AC是線段B。的垂直平分線,再根據(jù)垂美四邊形的定義即可得證；（2）先根據(jù)垂美四邊形的定義可得AC丄8。,再利用勾股定理解答即可；（3）設(shè)CE分別交AB于點(diǎn)M,交BG于點(diǎn)、N,連接82CG,先證明△GAB=Z\C4E,得到ZABG=ZAEC,再根據(jù)角的和差可證/BNM=90。,即CE丄BG,從而可得四邊形CGEB是垂美四邊形,然后結(jié)合（2）的結(jié)論、利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得.【解析】證明:（1）四邊形A8C。是垂美四邊形，理由如下:如圖，連接ACBO,'/AB=AD,.??點(diǎn)A在線段的垂直平分線上,,:CB=CD,

...點(diǎn)C在線段5。的垂直平分線上,.,.直線AC是線段8。的垂直平分線,即AC丄BD,...四邊形ABC。是垂美四邊形:^AB2+CD2^AD2+BC2.證明如下:?.?四邊形ABC。是垂美四邊形,/.AC±BD,：.ZAOD=ZAOB=ABOC=Z.COD=90°,由勾股定理得:AD2+BC-=OA2+OD2+OB-+OC2,AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2,AB2+CD2=AD2+BC2;(3)如圖，設(shè)CE分別交AB于點(diǎn)”，交BG于點(diǎn)N,連接8E,CG,G???四邊形ACFG和四邊形ABDE都是正方形,/.Z.CAG=NBAE=90°,AG=AC,AB=AE,：.ZCAG+ZfiAC=NBAE+ZBAC,即NGAB=ZC4￡,AG=AC在XGAB和、CAE中，,NG4B=NCAE,AB=AE：.△GABsAC4￡(S45),:.ZABG=ZAEC,又〈NA￡C+NAM￡=90。,ZAME=ZBMN,：.ZABG+^BMN=90P,：.NBNM=90。,即C￡丄BG,???四邊形CG￡B是垂美四邊形,由（2）得:CG2+BE2=CB2+GE2,；AB是R/aACB的斜邊,且AC=4,AB=5,:.BC2=AB2-AC2=9,AG=AC=4,AE=AB=5,在RtcACG中,CG2=AC2+AG2=32,在RfAABE中,BE2=AB2+AE2=5Q,.,.9+GE2=32+50,解得GE=J萬或GE=-J萬（不符題意,舍去），故GE的長為J萬.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、勾股定理等知識點(diǎn),正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵.8.（2021?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?中考真題）旋轉(zhuǎn)是ー種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題.(1)嘗試解決:如圖①,在等腰R/aABC中,ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)M是BC上的一點(diǎn),BM=1cm,。ノ0=2cm,將^ABM繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到AAOV,連接MN,則AM=cm.(2)類比探究:如圖②，在“箏形”四邊形A8C。中,ム8=ん。=48=8,ム3丄3。于點(diǎn)B,4J丄8于點(diǎn)。，點(diǎn)尸、。分別是AB、"＞上的點(diǎn),且/PCB+NQCD=NPCQ,求aAPQ的周長.(結(jié)果用。表示)(3)拓展應(yīng)用：如圖③，已知四邊形ABC￡),AD=CD,ZADC=60°,ZABC=75°,AB=25/2,BC=2,求四邊形 的面積.【答案】(1)巫:(2)2a：(3)5けー22【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AABM絲/XACN,從而得出/MC7V=NACB+NAC7V=9O。，再根據(jù)勾股得出AM的長;(2)將aBCP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后得到△DCM,利用S4S得出△QCP纟△QCM,從而得出aAPQ的周長(3)連接BD,由于/1D=C。，所以可將△8CL＞繞點(diǎn)ハ順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到△D4夕,連接8夕，延長BA,作冊ELBE：易證△AFザ是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理計(jì)算4E=B，E=應(yīng),BB'=2下,求AA8所和△8。タ的面積和即可.【解析】ABAC=90°,AB=AC,：.AB=AACB=45°,將△ABM繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到△4C7V,此時(shí)4B與AC重合,由旋轉(zhuǎn)可得:△ABM冬ふACN,/.ABAM=ACAN,AM=AN,BM=CN=\,NB=NACN=45°,NMCN=AACB+AACN=90°,/MAN=ZABC=90°,:?MN=7CMユ+CN2=V22+12=お二AM=AN=—xy/5=—；2 2VAD1CD,CB=CD,ABJLBC,??將△BCP繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)后得到此時(shí)3c與OC重合,??△BCP會(huì)ヘDCM,??NDCM=NPCB,BP=DM,PC=CM,??/PCB+/QCD=/PCQ,.?./DCM+ZQCD=NPCQ,4QCM=/PCQ,9：PC=CM,QC=QC,エヘQCPmへQCM,：.PQ=QM,：.^PQ的周長=AQ+AP+PQ=AQ+A尸+QM=AQ+AP+DQ+DM=AQ+AP+DQ-^BP=AD+AB,?/AB=AD=a,l.APQ的周長=2。;(3)如圖,連接BD,由于んAC。,所以可將△8。ク繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。,得到△DAB1,連接延長8A,作ダELBE；AD=CD-NCDB=ZADB'BD=B'D:.へBCD纟へB，ADSnnif；ABCD=S四邊"DBA,"：ZABC=15°,NAOC=60°,.\ZBAB'=135°：.NB'AE=45°,BA=BC=2：.B'E=AE^yfi,BE-AB+AE=2忘+嫗=34，BA=オ閭2+(3れピ=2お,.?等邊△0二8所上的高==2栃x，=后,：..S??=-ABB'E=-x2-j2xy/2=2S\BDB=-x275x715=55/3,**?S四邊偌ABCD=S四邊彫BDB，A=S△BDB'-SaABBu=5-^3—2；

B'BB'B【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換,三角形全等,勾股定理,等積代換思想,類比思想等.構(gòu)造直角三角形，求出三角形的髙是解決問題的關(guān)鍵.9.(2021.內(nèi)蒙古赤峰.中考真題)數(shù)學(xué)課上，有這樣一道探究題.如圖,已知aABC中，AB=AC=m,BC=n,/84C=a(0°<a<180°),點(diǎn)尸為平面內(nèi)不與點(diǎn)A、C重合的任意一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得線段PC,E、ド分別是CB、CD的中點(diǎn)，設(shè)直線AP與直線Eド相交所成的較小角為少,探究キ三的值和タ的度數(shù)與機(jī)、〃、a的關(guān)系，請你參與學(xué)習(xí)小組的探究過程,并完成以下任務(wù):(1)填空:【問題發(fā)現(xiàn)】小明研究了￡=60。時(shí),如圖1,求出了る7= ，B= PA小紅研究了a=9O。時(shí),如圖2,求出了蕓= ,P= PA【類比探究】他們又共同研究了a=120。時(shí)，如圖3,也求出了竺:【歸納總結(jié)】

最后他們終于共同探究得出規(guī)律:-= （用含…，的式子表示）ノ=（用含a的式子表示）.【答案】⑴【問題發(fā)現(xiàn)】白6。。;冬45。:【類比探究】見⑵題的解析:【歸納總結(jié)】【分析】（1）當(dāng)a=60°時(shí),AABC和△PDC都是等邊三角形,可證ムACP^/XECF,從而有空=4,AP2NQ=/?=/ACB=60。;當(dāng)ク=90。時(shí),△4和△POC都是等腰直角三角形,同理可證△ACPs^ecド即可解決，依此可得出規(guī)律;（2）當(dāng)a=120°,可證式=正,空=且,從而有孚=CA,由/ECド=/ACP,可得AC2CP2 CFCPAPCA^AFCE即可解決問題.【解析】（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,連接AE,PF,延長EEA尸交于點(diǎn)Q,當(dāng)a=60。時(shí),△ABC和△POC都是等邊三角形,.,.ZPCD=ZACB=60°,PC=CD,AC=CB,E分別是Cハ、BC的中點(diǎn)，.CF\CE_1PC~2'AC2'.CFCEPCAC又「NACP=NECF,：.AACPs/^ECF, =—,ZCEF=ZCAP,AP2Z0=P=ZACB=60。，當(dāng)a=90。時(shí),△ABC和△POC都是等腰直角三角形,如圖2,連接A￡,PF,延長所、AP交于點(diǎn)。，

連接AE,E為8c的中點(diǎn)AE±BC,連接AE,E為8c的中點(diǎn)AE±BC,,.sinhO'延長EF、AP交于點(diǎn)0E分別是Cハ、BC的中點(diǎn)由此,可歸納出EF.CECFAC=CP'.CECA?? =—，CFCP又?；NECF=NACP,???△尸CAs△ドCE,.?.空=生=3,NCEF=NCAP,APAC2：.NQ=P=ZACB=30°.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定與性質(zhì),通過解決本題感受到:圖形在變化但解決問題的方法不變,體會(huì)“變中不變’’的思想.10.(2021?湖北襄陽?中考真題)在aABC中,ZACB=90°,—=/n,D是邊BC上一點(diǎn),BC將7\ABD沿A。折疊得到aAED,連接BE.(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當(dāng)山=1,AE落在直線AC上時(shí),①求證：ZDAC=ZEBC；②填空:豊的值為;CE(2)類比探究:如圖2,當(dāng)mwl,4E與邊BC相交時(shí),在上取一點(diǎn)G,使厶CG=NBCE,CG交AE于點(diǎn)、H.探究要的值(用含m的式子表示),并寫出探究過程;CE(3)拓展運(yùn)用:在(2)的條件下,當(dāng)m=立,。是8c的中點(diǎn)時(shí),若EBEH=6,求CG2的長.

BBBB【答案】(1)①見解析:?1；⑵をS見解析:(3)CGf【分析】(1)①根據(jù)折疊性質(zhì)證明即可；②當(dāng)機(jī)=1,證明aAC/注aBCE,即可得出關(guān)的值；CE(2)延長Aハ交BE于點(diǎn)ド,根據(jù)折疊性質(zhì)證明△ACGs/\BCE,即可得出結(jié)論:(3)由(2)可知四=亞=生=機(jī)=也,設(shè)CG=x,則47=伝,CE=4ix，BE=2x,BECEBC2可得△AG"纟△EC”,再由勾股定理列方程求解即可.【解析】解:(1)①證明:延長A￡＞交5E于點(diǎn)ド.[3由折疊得[3由折疊得/AF3=90。=NAC3./.ZDAC+ZADC=ZBDF+NEBC=90°.*.*ZADC=NBDF,：."AC=NEBC.②當(dāng)〃，=1,即 =1時(shí),BC可知AC=8C,在ム48和十a(chǎn)中,ZDAC=NEBC<NACD=/BCE=9伊,AC=BC/.^ACD^^BCE(AAS),???CD=CEt.??生=1.CE故答案為:1；(2)解:ア總=加.CE理由:延長んO交班于點(diǎn)ド,由折疊得厶れ6=90。=ム6.ZADC+^DAC=ZBDF+ZCBE=90°fZADC=ZBDF,/.ZDAC=ZCBEf'：ZACG=ZBCEfjAACGsAfiCE,,CGAC?? ==.CEBC(3)解:由折疊得/Aド8=90。,BF=FE,V。是BC的中點(diǎn),JDF//CE,/.NBEC=NBFD=90°,ZAGC=ZECG,NGA"=ZCE4,由⑵知△ACGs/^BCE,:.NAGC=N3瓦:=90。，TOC\o"1-5"\h\zAGCGAC 72 ===m=—,\o"CurrentDocument"BECEBC 2QO是8C的中點(diǎn),??.8C=28,CG,0DC1 =tanZ.GAC= =-尸,AG ACV2設(shè)CG=x,則ん?=伝,CE=y/2x^BE=2x,：.AG=CE,-ZGAH=NHEC,ZAHG=4cHE,：.MGH烏4ECH,/.AH=EH.GH=CH,：.GH=-xf2在Rt~4GH中,由勾股定理得A〃=ノんア+6〃2 ,■:EBEH=6,2x-x=6,解得x=±JI(負(fù)值舍去)，二CG=應(yīng).【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題,考查折疊的性質(zhì),全等三角形判定與性質(zhì),相似三角形的判定及性質(zhì),勾股定理等知識點(diǎn),根據(jù)折疊性質(zhì)找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.11.(2021?山東東營?中考真題)已知點(diǎn)。是線段A8的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是直線/上的任意一點(diǎn),分別過點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線，的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)ハ.我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”.(1)［猜想驗(yàn)證］如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí),請你猜想、驗(yàn)證后直接寫出“足中距”。C和OD的數(shù)量關(guān)系是.(2)［探究證明］如圖2,當(dāng)點(diǎn)P是線段A8上的任意一點(diǎn)時(shí),‘‘足中距’’。C和。。的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.(3)［拓展延伸］如圖3,①當(dāng)點(diǎn)尸是線段BA延長線上的任意一點(diǎn)時(shí)，’'足中距"OC和。。的數(shù)量關(guān)系是否依然成立,若成立，請給出證明;若不成立，請說明理由;②若/COC=60。，請直接寫出線段4C、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)OC=OD,(2)仍然成立,證明見解析；(3)①仍然成立,證明見解析；②AC+BD=^OC【分析】(1)根據(jù)三角形全等可得;(2)方法一:過點(diǎn)0作直線EF//CD,交BD于點(diǎn)F,延長AC交Eド于點(diǎn)E,證明VCOE纟V0OF即可,方法二:延長CO交BD于點(diǎn)E,證明AAOCgABOE即可;(3)①方法一:過點(diǎn)〇作直線EF//CD,交BD于點(diǎn)F,延長CA交EF于點(diǎn)E,證明△COE%DO尸,方法二:延長CO交。B的延長線于點(diǎn)E,證明IOC四aBOE；②延長C。交ハB的延長線于點(diǎn)E,證明aAOCgaBOE,根據(jù)已知條件得出0E=>/5CO.【解析】?.,。是線段AB的中點(diǎn):.OA=OB-,-ACll,BD1.1：.ZACO=ZBDO在/iACO和ふBDO中OA=OB■Z.ACO=NBDOZ.AOC=ムBOD：.AACO纟△BDO(AAS)???OC=OD(2)數(shù)量關(guān)系依然成立.證明(方法一):過點(diǎn)。作直線所〃C￡>,交BD于點(diǎn)F,延長4c交EF于點(diǎn)E.D,/EF//CD,ZDCE=ZE=ZCDF=90°???四邊形C￡ドハ為矩形.，NOめ=90。,CE=DF由(1)知,OE=OF<\△COE^aDOF(SAS),???OC=OD.證明(方法二):延長。。交3Q于點(diǎn)上,VACLCD,BDLCD,/.AC/IBD，?"?NA=NA,?.?點(diǎn)。為ん3的中點(diǎn),/.AO=BOf又マZAOC=ZBOE,，△AOC^aBOE(ASA),/.OC=OE,,/NCDE=90。,OD=OC,(3)①數(shù)量關(guān)系依然成立.證明(方法一)：過點(diǎn)〇作直線E/〃CQ,交BD于點(diǎn)、F,延長C4交Eド于點(diǎn)區(qū)丁EF//CD丄ZDCE=NE=NCDF=90。???四邊形CEED為矩形./.ZOFD=90°,CE=DF由（1）知,OE=OF：.△COE^aDOF（SAS）,:,OC=OD.10分證明（方法二）:延長CO交08的延長線于點(diǎn)日VAC±CD,BDLCD,：.AC//BD,工ZACO=ZE,???點(diǎn)。為AB的中點(diǎn),工んO=80,又「ZAOC=ZBOE9：.△AOC^a6O￡(AAS),:.OC=OEf丁ZCDE=90°,/.OD=OC,②如圖,延長co交ハ8的延長線于點(diǎn)區(qū)VACA.CD,BDエCD,/.AC//BD,工ZACO=ZEf，點(diǎn)。為A8的中點(diǎn),AO=BO,又?:ZAOC=ZBOE,：,△/IOC^aBOE(AAS),AC=BE,こAC+BD=BE+BD=DE?/ZCDE=90°,/COD=60°/.OD=OC?.?NCOD=60。.-.ZDCE=60°DF r-—=tanZDCE=tan60°=J3CD:*DE=&DAC+BD^^OC.【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的性質(zhì)與判定,直角三角形的性質(zhì),銳角三角函數(shù),根據(jù)題意找到全等的三角形,證明線段相等,是解題的關(guān)鍵.12.(2021?浙江衢州?中考真題)【推理】如圖1,在正方形A8C。中，點(diǎn)E是C。上ー動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著8E折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)ド處,連結(jié)CF,延長C尸交AO于點(diǎn)G.(1)求證:へBCE/CDG.【運(yùn)用】(2)如圖2,在【推理】條件下，延長Bド交于點(diǎn)Z/.若照=2,CE=9,求線段OEHF5的長.【拓展】(3)將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)C尸,延長C尸,Bド交直線A。于G,兩點(diǎn)，若黑=に黑=:，求段的值(用含え的代數(shù)式表示).BCHF5EC

圖1 圖2圖1 圖2備用圖【答案】(D見解析:(2)DE=3V10；(3)"+、或版y7T【分析】(1)根據(jù)ASA證明△8CE必8G；(2)由(1)得CE=DG=9,由折疊得/BC尸=NB尸C,進(jìn)ー步證明叱=〃G,由勾股定理得“尸2+小ユ=。”2+￡＞庁,代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可:(3)如圖,連結(jié)”E,分點(diǎn)“在ハ點(diǎn)左邊和點(diǎn)H在。點(diǎn)右邊兩種情況,利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出DE的長，再由勾股定理得”尸+圧、?！?+。ズ，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可?【解析】(1)如圖,由a8C￡折疊得到，：.BE±CF,ZECF+ZBEC=90°.又???四邊形ABC。是正方形,.-.ZD=ZBCE=90°,.".ZECF+ZCGD=90°,：.ZBEC=ZCGD,又フ正方形んBC。,BC=CD,,.△BCE^CDG(AAS).(2)如圖,連接后”,由(1)得ふBCE?CDG,:.CE=DG=9、由折疊得6C=8尸,CE=FE=9,?.ABCF=NBFC.??四邊形A3C。是正方形,.?.AD//BC,?.ZBCG=ZHGF9又?:4BFC=NHFG,;.4HFG="GF,?.HF=HG.HD

~HFごZD=ZHFE=90。:.Hド+FEヽDH士+DE".-.52+92=42+DE2,DE=3710（ハE=-3如舍去）.（3）如圖,連結(jié)HE,,—,HD4、 — DE由已知=ニ可設(shè)ハ"=4〃2，HG=5rn,可令二く"二ス,Hr5 EC①當(dāng)點(diǎn)”在ハ點(diǎn)左邊時(shí),如圖,同（2）可得,HF=HG,:.DG=9m,由折疊得5E丄CF,:.ZECF+ZBEC=90°,又?.?ZD=90°,ZECF+ZCGD=90°,:.NBEC=NCGD,又?.?乙BCE=ZD=90°,:&DGs4bCE,DGCDCE~BCCDABt ==K,BCBC9m_kCE1:.CE=—=FEcl9mx：.DE= ???N￡>=4加￡=90。,:.hf、fe2=dh2+de2.②當(dāng)點(diǎn)”在。點(diǎn)右邊時(shí),如圖,同理得HG=Hド,：.DG=m,同理可得△BCEs/\CDG,

b陽グ口m1717 .ncinx可得CE=—=FEf..DE=—j—,HF2+FE：=DH2+DE?，：.(5m)2：.(5m)2+:.x=yj9k2+\(x=-5y號2+1舍去)?後屈+1後屈+1【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì),在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí),要注意三角形間的公共邊和公共角,必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.13.(2021?四川達(dá)州.中考真題)某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對多邊形內(nèi)兩要互相垂直的線段做了如下探究:【觀察與猜想】(1)如圖1,在正方形A8C。中，點(diǎn)E,尸分別是AB,A。上的兩點(diǎn),連接。E,CF,DELCF,(2)如圖2,在矩形ABC￡＞中，AD=1,CO=4,點(diǎn)E是上的一點(diǎn)，連接CE,BD,CF且CE丄8￡),則テス的值為.D1J【類比探究】(3)如圖3,在四邊形ABCZ)中,厶="=90。,點(diǎn)E為AB上一點(diǎn),連接。E,過點(diǎn)C作OE的垂線交a的延長線于點(diǎn)G,交的延長線于點(diǎn)F,求證:DEAB=CFAD^【拓展延伸】(4)如圖4,在他AA8の中,ZBA￡>=90°,A0=9,tanZADB=-,將△48。沿翻折,點(diǎn)A落在點(diǎn)C處得ACB。，點(diǎn)E,ド分別在邊AB, 上，連接￡)E,CF,且。E丄CF.AA①求《ズ的值;②連接班',若AE=1,直接寫出所'的長度.【答案】(1)1;(2)チ(3)證明見解析;(4)①}②8F=g，29.【分析】(1)先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得=厶=N8F=90°,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得NADEu/DCF,然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得0E=C尸,由此即可得出答案;(2)先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得/4=NC￡)E=90。，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得厶DB=NDCE,然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得;(3)如圖(見解析)，先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得AB=CM,NG=ZA=N”=90。,再根據(jù)宜角三角形的性質(zhì)、對頂角相等可得/FC〃=N的,然后根據(jù)相似三角形的判定可得QEA??FH,由此即可得證；(4)①如圖(見解析),先證出?EA?/FG,從而可得會(huì)=2,再分別在RtAABDCFCGCG和陽△4)〃中,解直角三角形可得4"=機(jī)質(zhì),然后根據(jù)翻折的性質(zhì)可得DfflAC,AC=2AH=^y/10,最后利用メOC的面積公式求出CG的長，由此即可得出答案;,可求出ド,可求出ドGつ,再根據(jù)翻折的②先根據(jù)(4)①中,相似三角形的性質(zhì)可得"="=：FGCF3性質(zhì)可得8=4)=9,然后在自△8G中,利用勾股定理可得。G=?,從而可得最后在冊△4?ド中,利用勾股定理即可得.【解析】解:（1）,.?四邊形んBC。是正方形,/.AD=DC,ZA=NCDF=90°,.?.ZAT）E+ZCD￡=90o,???DE1.CF,.*.ZDCF+ZCDE=90°,厶DE=NDCF,Z4=ZC。產(chǎn)=90。在△?1￡）石和△0。ド中,AD=DCNADE=4DCF：.^ADE^^CF（ASA）tDE=CF,,de..=1;CF?.?四邊形ABCQ是矩形,z.ZA=ZCD￡=90°,z.ZADB+ZCDB=90°,-CEA.BD,:.NDCE+/CDB=90。,:?ZADB=/DCE,亠ハ,匚[Z4=ZCD￡=90°在△A￡>8和aDCE中,\[ZADB=ZDCE/.△ADB-aDCE,.CECD4 ==—?BDAD7(3)如圖,過點(diǎn)C作CH丄Aド交瓶的延長線于點(diǎn)”，CG1.EG,ZA=ZB=90°,:.ZG=ZH=ZA=ZB=90°,???四邊形48C4為矩形,/.AB=CH,NFCH+NCFH=/DFG+NFDG=90°,:ZCFH=4DFG,："FCH=/FDG,/Z.EDA-Z.FDG,,ZFCH=ZEDA,[ZEDA=ZFCH在但和△0田中,レ="二無?！疛?EA?EFH,.DEADCF~CH'.DEAD'CFABf：.DEAB=CFAD；

(4)①過。作(4)①過。作CG丄于點(diǎn)G,連接AC交80于點(diǎn)”,?：CFエDE,ZBAD=90°f：.ZFCG+ZCFG=ZCFG+ZEDA=90°,J/FCG=/EDA,"EDA=/FCG在△￡)￡4和△￠7尸G中,く ,[ZE4D=ZFGC=90°**?^DEA?iCFG,.DEADCF~CG'AD3在RtAABO中,tanZAO3=「=二,AD=9,:.AB=AD3在RIYADH中,tanZADH=——=-,DH3設(shè)A"=a,則OH=3a,AH1+DH2=AD2?即イ+(3af=92,a=或a=一而>/?5(舍去)，AH=—>/i0,DH=ム1。,由翻折的性質(zhì)得:DH1AC,AC=2AH=^4W,?：sAnr=-ACDH=-ADCG,A-x-ViOx—5A0=-x9CG,25 10 2解得CG二三,DEAD9 5 -=.—=-CFCG273;TDE5②由（4）①已證:QEA?tCFG、—CF3AE_DE_5?FGCF~3'???AE=1,5 3= 解得ドG=g,FG3 5由翻折的性質(zhì)得:CO=AD=9,在Rt衛(wèi)DG中,DG=ylCD2-CG2=y,/.AF=AD-FG-DG=9---—=~,555在RmABF中,BF=Jab2+AF2=ネ+（1）2=2,29.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、解直角三角形等知識點(diǎn),較難的是題（4）①,通過作輔助線,構(gòu)造直角三角形和相似三角形是解題關(guān)鍵.14.（2021?吉林長春?中考真題）實(shí)踐與探究操作ー：如圖①,已知正方形紙片48CD,將正方形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊,使點(diǎn)B落在正方形ABC。的內(nèi)部,點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,折痕為AE,再將紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊,使A。與AM重合,折痕為4凡則㈤ド=度.操作二:如圖②，將正方形紙片沿Eド繼續(xù)折疊,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N.我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)E的位置不同時(shí)，點(diǎn)N的位置也不同.當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的某ー位置時(shí)，點(diǎn)N恰好落在折痕4E上,則NA肝=度.在圖②中,運(yùn)用以上操作所得結(jié)論,解答下列問題:(1)設(shè)4M與Nド的交點(diǎn)為點(diǎn)P.求證△ANg△尸NE：.(2)若ん8=け，則線段AP的長為.【答案】操作ー:45°,操作二:60°；(1)證明見解析;(2)2ホー2【分析】操作ー:直接利用折疊的性質(zhì),得出兩組全等三角形，從而得出㈤E=NE4M,,?MAF?反。,從而得出』以ド的值;操作二:根據(jù)折疊的性質(zhì)得出及VCEF@/NEF,從而得出?BEA?AEF?FEC,即可求得/A￡ド的度數(shù);(1)首先利用ム叱=60°,得出?MAP30靶PAF=15?廁464F=45。,從而得出AAA不為等腰宜角三角形,即可證得/VW陰X/WE；(2)利用三角函數(shù)或者勾股定理求出BE的長，則=設(shè)ハド=羽那么ドC=6-x,在RfAE尸C中,利用勾股定理得出。F的長，也就是/ド的長，即可求得所的長,進(jìn)而可得結(jié)果.【解析】操作一:45°,證明如下:;ハ記ム折疊得到△んWE,^ADF折疊得到aAAZ廠,：.7ABE@AMENADF@AMF,/.?BAE?MAE丄彳物M,MAF=?DAF-1MAD,2 2?EAF?EAM?MAF-1BAM-IMAD-(!BAM?MAD)=1x90°=45°,2故填：45°；操作二:60°.證明如下：:\ABE@JAME,：.?BEA?AEM,又マACEF沿著EF折疊得到ふENF,,NCEF@NEF,/.?NEF?FEC,?BEA?AEF?FEC-?BEC60?,3故填：60°；(1)證明:由上述證明得7CEF@JNEF,?NEC?CEF60?,/.?NFE?CFE,?C?ENF,.?四邊形ABC。為正方形,.,.ZC=ZD=90°,/.?CFE2NFE30?,?ENF?ANF90?,又,：YADF誣AMF,ェ2D?AMF90?,在和中,V?ANP?PMF90?,?NPA?MPF,：.?NAP?MFP30?,：.?BAE?NAP30?,：.?MAF?FAD15?,:.?NAF2NAP?PAF30?15?45?,???△4Vド為等腰直角三角形,即AN=NF,在△んVP和VEVE中:NNAP=/NFE;彳AN=N尸ZANP=NENF：./^ANP^FNE(ASA)(2)由題可知△AB七是直角三角形,NBAE=30。,.,?R.?BE_BE不??tan?BAE =='——,AB網(wǎng)3解得8E=1,：.BE=EM=\,EC=5/3-1,設(shè)。ド=x,則MF=x,CF=6-x,在Rt4CEF中,CE2+CF2=EF2

(6-1)2+(けーX)2=(1+X)2解得ア26-3,則EF=x+1=273-2,:AANP^^FNE(ASA).'.AP=EF=2?有-2.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),全等三角形的判定,勾股定理,解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)，找出全等三角形.15.(2021?山東槐蔭?二模)如圖1.在邊長為I個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,AABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.(1)【操作發(fā)現(xiàn)】圖1圖2圖圖1圖2圖3①請按要求畫圖:將AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。,點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)ダ,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。.連接B夕;②在①中所畫圖形中，ZAB'B=°.(2)【問題解決】如圖2,在RfAABC中，BC=\,延長CA到。，使C￡>=1,斜邊順時(shí)針90。到AE,連接DE,求/ADE的度數(shù).(3)【拓展延伸】如圖3,在四邊形ABC。中，AE丄BC,NBAE=NADC,BE=CE=\,CD=3,AD=kAB(k為常數(shù))，求B。的長(用含ん的式子表示).【答案】(1)①見解析;②45；NAOE=135°;(3)8。=，4爐+9【分析】(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)角,旋轉(zhuǎn)方向畫出圖形即可.②只要證明△ABタ是等腰直角三角形即可.(2)如圖2,過點(diǎn)E作E"丄Cハ交C。的延長線于”.證明即可解決問題.(3)如圖3中,由AE丄BC,8E=EC,推出A8=4C,將△繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG,連接。G.則B3=CG,只要證明/GOC=90。,可得CG貝DG?+CD2,由此即可解決問題.①如圖1中,△ABC即為所求.②由作圖可知，△ABB，是等腰直角三角形,故答案為45.如圖2中,過點(diǎn)E作EHLCD交CD的延長線于H.B,:ZC=ZBAE=Z//=90°,???Z3+ZC43=90。,ZC48+ZE4"=90。,:.ZB=NEAH,\*AB=AE,:.XABC9XEAH(AAS),：.BC=AH,EH=ACf?；BC=CD,：.CD=AH,工DH=AC=EH,:?/EDH=45°,：.ZADE=135°.如圖3中,連接AC,?；AE丄BC,BE=EC,：.AB=AC,將△43。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AACG,連接。G,G圖3VZBAD=ZCAG,：.ZBAC=ZDAGf*：AB=AC9AD=AG,：.ZABC=ZACB=ZA￡>G=ZAGO,:.AABCs^ADG,,:AD=kAB,:?DG=kBC=2k,VZBAE+ZAfiC=90°,NBAE=NADC,：.ZAOG+ZADC=90。,，ZGDC=90°,---CG=VdG2+CD2="4標(biāo)+32=>/4公+9,,BD—CG="k?+9?【點(diǎn)睛】本題考查了幾何問題中應(yīng)用旋轉(zhuǎn)的創(chuàng)新性題型,考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理,相似三角形的性質(zhì)和判定等,正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.16.（2021?山東臺(tái)兒莊?二模）問題探究:小紅遇到這樣ー個(gè)問題:如圖1,ZkABC中,AB=69AC=4,A。是中線,求AO的取值范圍.她的做法是:延長到E,使。E=AO,連接BE,證明△纟△CA3;請回答:(1)小紅證明△BEハ絲△。。的判定定理是:；(2)AD的取值范圍是；(3)方法運(yùn)用:如圖2,4。是△4BC的中線,在A。上取一點(diǎn)尸,連接Bド并延長交AC于點(diǎn)E,使AE=EF,求證:BF=AC.(4)如圖3,在矩形A8C。中，—=-,1￠B。上取一點(diǎn)F,以ジ為斜邊作RtABEF,且一BC2 BE=1,點(diǎn)G是。ド的中點(diǎn),連接EG,CG,求證:EG=CG.【答案】(DSAS(2)1<AD<5(3)見解析(4)見解析【分析】(1)由“SAS'可證ムBED纟ふCAD；(2)由全等三角形的性質(zhì)可得AC=BE=4,由三角形的三邊關(guān)系可求解;(3)延長A。至H,使人。=。冃，連接BH,由“SAS’可證△BH。絲△￠4。,可得AC=BH,NCAD=NH,由等腰三角形的性質(zhì)可得ノ//=N8ド”，可得8ド=5"=AC；(4)延長CG至N,使NG=CG,連接EN,CE,NF,由“SAS'可證△NGド絲Z\CG。，可得CD=NF,NCDB=NNFG,通過證明△BECs△尸EM可得/BEC=NFEN,可得/BE尸=/NEC=90°,由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.解:.?エハ是中線,:.BD=CD,又?：NADC=NBDE,AD=DE,纟△CAO(SAS),故答案為:SAS；■:4BED出ACAD,：.AC=BE=4,在AABE中,48-BE<AE<AB+BE,：.2<2AD<IO,：.1<AD<5,故答案為:1<AO<5；如圖2,延長A￡>至“，使連接8”,H:?BD=CD,又,：/ADC=NBDH,AD=DH,：./^ADC^AHDB(SAS),:?AC=BH,/CAD=/H,■:AE=EF,：.ZEAF=NAFE,:?/H=NBFH,:?BF=BH,：.AC=BF；(4)如圖3,延長CG至N,使NG=CG,NA D上B C圖3?.?點(diǎn)G是。尸的中點(diǎn),:.DG=GF,又,：NNGF=NDGC,CG=NG,連接EN,NF,?レ。是△A8C的中線,???△NG尸纟/XCG。(SA5),:,CD=NF,/CDB=/NFG,1-2

=

B-c4萬

=

里DA一A:.tanZADB=—,tanZ.EBF=—,2 2:.NADB=NEBF,?:AD"BC,：./ADB=/DBC,：.NEBF=/DBC,:?/EBC=2/DBC,?：NEBF+NEFB=9伊,ZDBC+ZBDC=90°,:.NEFB=NBDC=NNFG,ZEBF+ZEFB+ZDBC^ZBDC=180°,:.2NDBC+ZEFB+ZNFG=180°,又?:NNFSNBFE+NEFN=180°,：.ZEFN=2ZDBC,:"EBC=/EFN,..ABCD1EFサハ_詆BCBC2BE.BEEFBC~NF:.△BECsAFEN,：.NBEC=NFEN,：.NBEF=NNEC=90。,又?:CG=NG,JEG=、NC,2：.EG=GC.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,相似三角形的性質(zhì)和判定,直角三角形的性質(zhì),延長三角形的中線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.17.（2021?山東章丘?二模）（1）問題:如圖①，在ROABC中，AB=AC,。為BC邊上ー點(diǎn)（不與點(diǎn)8,C重合）,將線段A。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連接EC,則線段BC,DC,EC之間滿足的等量關(guān)系式為圖①（2）探索:如圖②，在放AABC與中,AB=AC,AD=AE,將ハAOE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。落在8c邊上，試探索線段AO,BD,C。之間滿足的等量關(guān)系,并證明結(jié)論;圖②（3）應(yīng)用:如圖3,在四邊形ABC。中，NA8C=NACB=NAOC=45。.若8。=12,CD=4,求A￡＞的長.圖③【答案】(1)BC=CD+CE；(2)CD2+BD2=2AD2,理由見解析;(3)8【解析】解:(1)?.?將線段AO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,AZDAE=90°,AD=AE,又/BAC=90°,，NBAC=NDAE,：.ZBAD=ZCAE,在△ABO和△ACE中,AB=AC，ZBAD=ZCAEAD=AE：.AABD^AAC￡(SAS),：.CE=BD,又BC=CD+BD,；.BC=CD+CE：故答案為:BC=CD+CE.(2)CD2+BD2=2AD2,理由如下:連接CE,BD c圖②由(1)題同理可證△AB。纟△ACE,：.CE=BD,NACE=NB,又/BAC=90°,N4CB+NB=90。,ZDCE=ZACB+ZACE=90°,，CD2+CE2=DE2,在Z?，△?!￡)￡?中,AD2+AE2=DE2>又AD=AE,二DE2=2AD1：-CD2+BD2=2AD2;(3)作AE丄AO,取AE=AO,連接CE,DE,由（1）同理可證△84。纟△CAE,：.BD=CE=\2,,：ZADC=ZEDA=45°,：.NEDC=90。,DE=y/cE2~CD2=V122-42=8^>VZDA￡=90°,AE=AD,2AD2=DE2=128,\'AD>0,：.AD=S.【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),垂線段最短,以及勾股定理等知識,證明△84。纟△C4E是解題的關(guān)鍵.18.（2021?山東歷城?二模）（1）［感知］如圖I,在正△ABC的外角/CA”內(nèi)引射線AM,作點(diǎn)C關(guān)于AM的對稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在/。H內(nèi)）,連接BE,BE、CE分別交AM于點(diǎn)F、G,求NFEG的度數(shù).(2)［探究］把(1)中的‘‘正△ABC’改為“正方形4BZ5C,其余條件不變,如圖2,類比探究,可得:①NFEG=°；②猜想線段Bド、AF.FG之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(3)［拓展］如圖3,點(diǎn)A在射線8”上，AB=AC,ZBAC=a(0°<a<180°),在/CA”內(nèi)引射線4M,作點(diǎn)C關(guān)于AM的對稱點(diǎn)E(點(diǎn)E在/CA”內(nèi))，連接BE,BE、CE分別交AM于點(diǎn)尸.G.則線段BEAド、Gド之間的數(shù)量關(guān)系為.FG【答案】(1)30°；(2)①45；②BF=4iAF+近FG,見解析:(3)BF=2AF?siny2a【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理解決問題即可.(2)①作出AECB的外接圓。A,利用圓周角定理解決問題即可.②猜想:BF=41AF+y［2FG.連接C尸,在陽上取一點(diǎn)7,使得/連接C7.證明△BCT^^ACF,推出——=——=嫗，推出8r=JJAFAFAC可得結(jié)論.(3)連接CF,BC,在B尸上取一點(diǎn)T,使得ウ=(7尸.構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可.【解析】解(1)如圖1,,Z點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于AM的對稱點(diǎn),/.ZAGE=90°,AE=AC,Z1=Z2.,.?正△ABC中,/BAC=60。，AB=AC,：.AE^AB,得/3=N4.在AABE中,Zl+Z2+60°+Z3+Z4=180°,?,.Zl+Z3=60°.在△AEG中，ZFEG+Z3+Z1=9O°,二ZFEG=30°.(2)①