2023學年浙江省寧波市重點中學高三第三次測評數(shù)學試卷（含解析）

2023學年高考數(shù)學模擬測試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．明代數(shù)學家程大位（1533~1606年），有感于當時籌算方法的不便，用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》，可謂集成計算的鼻祖．如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題．執(zhí)行該程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值為（）A． B． C． D．2．有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計），底面直徑為cm，高度為cm，現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球，在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（）（附：）A．個 B．個 C．個 D．個3．過圓外一點引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程是（）．A． B． C． D．4．劉徽是我國魏晉時期偉大的數(shù)學家，他在《九章算術(shù)》中對勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也.合成弦方之冪，開方除之，即弦也”.已知圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，其中“正方形為朱方，正方形為青方”，則在五邊形內(nèi)隨機取一個點，此點取自朱方的概率為（）A． B． C． D．5．已知復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則在復平面內(nèi)復數(shù)z對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知命題：R，；命題：R，，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．7．若函數(shù)（）的圖象過點，則（）A．函數(shù)的值域是 B．點是的一個對稱中心C．函數(shù)的最小正周期是 D．直線是的一條對稱軸8．雙曲線的一條漸近線方程為，那么它的離心率為（）A． B． C． D．9．正三棱柱中，，是的中點，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．10．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點，在橢圓上，其中，，若，，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B．C． D．11．拋物線的焦點為，則經(jīng)過點與點且與拋物線的準線相切的圓的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．0個 D．無數(shù)個12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是______cm2，體積是_____14．為激發(fā)學生團結(jié)協(xié)作，敢于拼搏，不言放棄的精神，某校高三5個班進行班級間的拔河比賽．每兩班之間只比賽1場，目前（—）班已賽了4場，（二）班已賽了3場，（三）班已賽了2場，（四）班已賽了1場．則目前（五）班已經(jīng)參加比賽的場次為__________．15．設(shè)，則除以的余數(shù)是______.16．（5分）如圖是一個算法的流程圖，若輸出的值是，則輸入的值為____________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線：（）的焦點到點的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，點、分別在第一和第二象限內(nèi)，求的面積.18．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求在點處的切線方程；（Ⅱ）求證：在上存在唯一的極大值；（Ⅲ）直接寫出函數(shù)在上的零點個數(shù)．19．（12分）已知實數(shù)x，y，z滿足，證明：.20．（12分）已知直線與橢圓恰有一個公共點，與圓相交于兩點.（I）求與的關(guān)系式；（II）點與點關(guān)于坐標原點對稱.若當時，的面積取到最大值，求橢圓的離心率.21．（12分）已知變換將平面上的點，分別變換為點，．設(shè)變換對應的矩陣為．（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值．22．（10分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓的方程為.(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程；(2)若點坐標為，圓與直線交于兩點，求的值．

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【答案解析】

根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.【題目詳解】，；，；，；，；，此時不滿足，跳出循環(huán)，輸出結(jié)果為，由題意，得．故選:【答案點睛】本題考查了程序框圖的計算，意在考查學生的理解能力和計算能力.2、C【答案解析】

計算球心連線形成的正四面體相對棱的距離為cm，得到最上層球面上的點距離桶底最遠為cm，得到不等式，計算得到答案.【題目詳解】由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個球兩兩相切，這樣，相鄰的四個球的球心連線構(gòu)成棱長為cm的正面體，易求正四面體相對棱的距離為cm，每裝兩個球稱為“一層”，這樣裝層球，則最上層球面上的點距離桶底最遠為cm，若想要蓋上蓋子，則需要滿足，解得，所以最多可以裝層球，即最多可以裝個球．故選：【答案點睛】本題考查了圓柱和球的綜合問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.3、A【答案解析】過圓外一點，引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程為，故選．4、C【答案解析】

首先明確這是一個幾何概型面積類型，然后求得總事件的面積和所研究事件的面積，代入概率公式求解.【題目詳解】因為正方形為朱方，其面積為9，五邊形的面積為，所以此點取自朱方的概率為.故選：C【答案點睛】本題主要考查了幾何概型的概率求法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【答案解析】

根據(jù)復數(shù)運算，求得，再求其對應點即可判斷.【題目詳解】，故其對應點的坐標為.其位于第四象限.故選：D.【答案點睛】本題考查復數(shù)的運算，以及復數(shù)對應點的坐標，屬綜合基礎(chǔ)題.6、B【答案解析】

根據(jù)，可知命題的真假，然后對取值，可得命題的真假，最后根據(jù)真值表，可得結(jié)果.【題目詳解】對命題：可知，所以R，故命題為假命題命題：取，可知所以R，故命題為真命題所以為真命題故選：B【答案點睛】本題主要考查對命題真假的判斷以及真值表的應用，識記真值表，屬基礎(chǔ)題.7、A【答案解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像過點，求出，可得，再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，得出結(jié)論.【題目詳解】由函數(shù)（）的圖象過點，可得，即，，，故，對于A，由，則，故A正確；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，當時，，故D錯誤；故選：A【答案點睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需熟記性質(zhì)與公式，屬于基礎(chǔ)題.8、D【答案解析】

根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為，列出方程，求出的值即可.【題目詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為，可得，∴，∴雙曲線的離心率.故選：D.【答案點睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.9、C【答案解析】

取中點，連接，，根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，得出//，則即為異面直線與所成角，求出，即可得出結(jié)果.【題目詳解】解：如圖，取中點，連接，，由于正三棱柱，則底面，而底面，所以，由正三棱柱的性質(zhì)可知，為等邊三角形，所以，且,所以平面，而平面，則，則//，，∴即為異面直線與所成角，設(shè)，則，，，則，∴.故選：C.【答案點睛】本題考查通過幾何法求異面直線的夾角，考查計算能力.10、C【答案解析】

根據(jù)可得四邊形為矩形,設(shè),,根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進而求得再求離心率的范圍即可.【題目詳解】設(shè),,由,,知,因為,在橢圓上,,所以四邊形為矩形,；由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得；令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選：C【答案點睛】本題主要考查了橢圓的定義運用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.11、B【答案解析】

圓心在的中垂線上，經(jīng)過點，且與相切的圓的圓心到準線的距離與到焦點的距離相等，圓心在拋物線上，直線與拋物線交于2個點，得到2個圓．【題目詳解】因為點在拋物線上，又焦點，，由拋物線的定義知，過點、且與相切的圓的圓心即為線段的垂直平分線與拋物線的交點，這樣的交點共有2個，故過點、且與相切的圓的不同情況種數(shù)是2種．故選：．【答案點睛】本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是求出圓心的位置，看出圓心必須在拋物線上，且在垂直平分線上．12、C【答案解析】

根據(jù)程序框圖程序運算即可得.【題目詳解】依程序運算可得：，故選：C【答案點睛】本題主要考查了程序框圖的計算，解題的關(guān)鍵是理解程序框圖運行的過程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20+45，8【答案解析】試題分析：由題意得，該幾何體為三棱柱，故其表面積S=2×1體積V=12×4×2×2=8，故填：20+4考點：1.三視圖；2.空間幾何體的表面積與體積.14、2【答案解析】

根據(jù)比賽場次，分析，畫出圖象，計算結(jié)果.【題目詳解】畫圖所示，可知目前（五）班已經(jīng)賽了2場．故答案為：2【答案點睛】本題考查推理，計數(shù)原理的圖形表示，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題型.15、1【答案解析】

利用二項式定理得到，將89寫成1+88，然后再利用二項式定理展開即可.【題目詳解】，因展開式中后面10項均有88這個因式，所以除以的余數(shù)為1.故答案為：1【答案點睛】本題考查二項式定理的綜合應用，涉及余數(shù)的問題，解決此類問題的關(guān)鍵是靈活構(gòu)造二項式，并將它展開分析，本題是一道基礎(chǔ)題.16、或【答案解析】

依題意，當時，由，即，解得；當時，由，解得或(舍去)．綜上，得或．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【答案解析】

（1）因為，可得，即可求得答案；（2）分別設(shè)、的斜率為和，切點，，可得過點的拋物線的切線方程為：，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，得到關(guān)于一元二次方程，根據(jù)，求得，，進而求得切點，坐標，根據(jù)兩點間距離公式求得，根據(jù)點到直線距離公式求得點到切線的距離，進而求得的面積.【題目詳解】（1），，解得，拋物線的方程為.（2）由題意可知，、的斜率都存在，分別設(shè)為和，切點，，過點的拋物線的切線：，由,消掉,可得，，即，解得，，又由，得，，，同理可得，，，，，切線的方程為，點到切線的距離為，，即的面積為.【答案點睛】本題主要考查了求拋物線方程和拋物線中三角形面積問題，解題關(guān)鍵是掌握拋物線定義和圓錐曲線與直線交點問題時,通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過韋達定理建立起目標的關(guān)系式18、（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）函數(shù)在有3個零點．【答案解析】

（Ⅰ）求出導數(shù)，寫出切線方程；（Ⅱ）二次求導，判斷單調(diào)遞減，結(jié)合零點存在性定理，判斷即可；（Ⅲ），數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論．【題目詳解】解：（Ⅰ），，，故在點，處的切線方程為，即；（Ⅱ）證明：，，，故在遞減，又，，由零點存在性定理，存在唯一一個零點，，當時，遞增；當時，遞減，故在只有唯一的一個極大值；（Ⅲ）函數(shù)在有3個零點．【答案點睛】本題主要考查利用導數(shù)求切線方程，考查零點存在性定理的應用，關(guān)鍵是能夠通過導函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定理確定導函數(shù)的零點個數(shù)，進而確定函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．19、見解析【答案解析】

已知條件，需要證明的是，要想利用柯西不等式，需要的值，發(fā)現(xiàn)，則可以用柯西不等式.【題目詳解】，.由柯西不等式得，...【答案點睛】本題考查柯西不等式的應用，屬于基礎(chǔ)題.20、（Ⅰ）（II）【答案解析】

（I）聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)判別式等于0，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）因點與點關(guān)于坐標原點對稱，可得的面積是的面積的兩倍，再由當時，的面積取到最大值，可得，進而可得原點到直線的距離，再由點到直線的距離公式，以及（I）的結(jié)果，即可求解.【題目詳解】（I）由，得，則化簡整理，得；（Ⅱ）因點與點關(guān)于坐標原點對稱，故的面積是的面積的兩倍.所以當時，的面積取到最大值，此時，從而原點到直線的距離，又，故.再由（I），得，則.又，故，即，從而，即.【答案點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，以及橢圓的簡單性質(zhì)，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理、判別式等求解，屬于中檔試題.21、（1）（2）1或6【答案解析】

（1）設(shè)，根據(jù)變換可得關(guān)于的方程，解方程即可得到答案；（2）求出特征多項式，再解方程，即可得答案；【題目詳解】（1）設(shè)，則，，即，解得，則．（2）設(shè)矩陣的特征多項式為，可得，令，可得或．【答案點睛】本題考查矩陣的求解、矩陣的特征值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力.22、（1）（2）【答案解析】試題分析：（1）由加減消元得直線的普通方程,由得