傳熱學(xué)-第四章

§4-0

引言求解導(dǎo)熱問題的三種基本方法：(1)理論分析法；(2)數(shù)值計(jì)算法；(3)實(shí)驗(yàn)法三種方法的基本求解過程所謂理論分析方法，就是在理論分析的基礎(chǔ)上，直接對(duì)微分方程在給定的定解條件下進(jìn)行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解；數(shù)值計(jì)算法，把原來在時(shí)間和空間連續(xù)的物理量的場(chǎng)，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解；2第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法3第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(3)實(shí)驗(yàn)法就是在傳熱學(xué)基本理論的指導(dǎo)下，采用對(duì)所研究對(duì)象的傳熱過程所求量的方法3

三種方法的特點(diǎn)(1)分析法a

能獲得所研究問題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算提供比較依據(jù)；b

局限性很大，對(duì)復(fù)雜的問題無法求解；c

分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見4第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法數(shù)值法：在很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特別對(duì)于復(fù)雜問題更顯其優(yōu)越性；與實(shí)驗(yàn)法相比成本低實(shí)驗(yàn)法:是傳熱學(xué)的基本研究方法，a

適應(yīng)性不好；b費(fèi)用昂貴數(shù)值解法：有限差分法（finite-difference）、有限元法（finite-element）、邊界元法（boundary-element）、分子動(dòng)力學(xué)模擬（MD）§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想及

節(jié)點(diǎn)離散方程的建立1物理問題的數(shù)值求解過程建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場(chǎng)的迭代初值求解代數(shù)方程是否收斂解的分析改進(jìn)初場(chǎng)是否5第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法06第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法t2

fh

th1t

fx2

例題條件yh3

t

f二維矩形域內(nèi)

穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱

問題xyxynm(m,n)7第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法MN3

基本概念：控制容積、網(wǎng)格線、節(jié)點(diǎn)、界面線、步長(zhǎng)二維矩形

域內(nèi)穩(wěn)態(tài)

無內(nèi)熱源，常物性的

導(dǎo)熱問題8第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法4

建立離散方程的常用方法：Taylor（泰勒）級(jí)數(shù)展開法；多項(xiàng)式擬合法；控制容積積分法；控制容積平衡法(也稱為熱平衡法)(1)

泰勒級(jí)數(shù)展開法根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開式，用節(jié)點(diǎn)(i,j)的溫度ti,j來表示節(jié)點(diǎn)(i+1,j)而溫度ti+1,j用節(jié)點(diǎn)(i,j)的溫度ti,j來表示節(jié)點(diǎn)(i-1,j)的溫度ti-1,j2!x

x2m,n

m,n

m,ntm1,n

tm,n

x2!

x3

3!

x2

3t

x3x

x2t

2tm,nm,nm,ntm1,n

tm,n

x9第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法若取上面式右邊的前三項(xiàng)，并將式①和式③相加移項(xiàng)整理即得二階導(dǎo)數(shù)的中心差分：同樣可得：2

o(x

)m,nx2

x22t

2tm,n

tm1,n

tm1,n2

o(y

)y2

tm,n1

2tm,n

tm,n1m,ny22t截?cái)嗾`差未明確寫出的級(jí)數(shù)余項(xiàng)中的ΔX的最低階數(shù)為210第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法對(duì)于二

態(tài)導(dǎo)熱問題，在直角坐標(biāo)中，其導(dǎo)熱微分方程為：其節(jié)點(diǎn)方程為：

0

v2t

2tx2

y2

0i1,i2j,itj1t,tjx2y2i,ji12,itj,tjt1

v,i,j11第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法12第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(2)

控制容積平衡法(熱平衡法)基本思想：對(duì)每個(gè)有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場(chǎng)的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。能量守恒：流入控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝流出控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)能的增量即：?jiǎn)挝唬篬W]i

v

o

i

(o

)

v

i

v

o

即：從所有方向流入控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝控制體內(nèi)能的增量注意：上面的公式對(duì)

節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)均適用13第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法

ΦmΦm1,n

n

Φm

n

Φm

n1,11,,0穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源時(shí)：從所有方向流入控制體的總熱流量＝0節(jié)點(diǎn)：左下上Φ

Φ(m,

n)oy(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxxyy(m,n+1)14第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法態(tài)、有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問題為例以二此時(shí)：Φ上

Φ下

Φ左＋Φ右

Φv

0dx

dx

A

dt

y

dt左可見：當(dāng)溫度場(chǎng)還沒有求出來之前，所以，必須假設(shè)相鄰節(jié)點(diǎn)間的溫度分布形式，這里假定溫度呈分段線性分布，并不知道dt

dx15第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(m-1,n)(m,n)

(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,nxdx

y

dt

ytm1,n左可見，節(jié)點(diǎn)越多，假設(shè)的分段線性分布越接近真實(shí)的溫度布。此時(shí)：

tm,nx

y

tm1,n

tm,n右y

xtm,n1

tm,n上y16第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法

xtm,n1

tm,n下內(nèi)熱源：Φv

Φ

V

Φ

xyΦ上

Φ下

Φ左＋Φ右

Φv

0y

tm1,n

tm,n

y

tm1,n

tm,n

xtm,n1

tm,nx

x

y

Φ

xy

0y

xtm,n1

tm,nx

y時(shí)：x2tm1,n

tm1,n

tm,n1

tm,n1

4tm,n

Φ

0Φ17第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法x2m,n14tm,n

tm1,n

tm1,n

tm,n1

tΦ18第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法x24tm,n

tm1,n

tm1,n

tm,n1

tm,n1無內(nèi)熱源時(shí)：變?yōu)椋?tm,n

tm1,n

tm1,n

tm,n1

tm,n1重要說明：所求節(jié)點(diǎn)的溫度前的系數(shù)一定等于其他所有相鄰節(jié)點(diǎn)溫度前的系數(shù)之和。這一結(jié)論也適用于邊界節(jié)點(diǎn)。但這里不包括熱流(或熱流密度)前的系數(shù)。4-2邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解對(duì)于第一類邊界條件的熱傳導(dǎo)問題，處理比較簡(jiǎn)單，因?yàn)橐阎吔绲臏囟?，可將其以?shù)值的形式加入到內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。而對(duì)于第二類邊界條件或第三類邊界條件的熱傳導(dǎo)問題，就必須用熱平衡的方法，建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程，邊界節(jié)點(diǎn)與內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程一起組成封閉的代數(shù)方程組，才能求解。為了求解方便，這里

第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。用Φ表示內(nèi)熱源強(qiáng)度。19第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法qwxy邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立：qw平直邊界上的節(jié)點(diǎn)x2m,n4tm,n

2tm1,n2x

qw

tm,n1

t

Φm,n1220第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法

x

tm,n1

tm,n2

y2

ym,n

Φ

x

y

0

yqx

x

tm,n1

tm,ny

tm1,n

tm,nwx

y

(2)外部角點(diǎn)x22m,nqw

Φ2x2tm,n

tm1,n

tm,n1

x

y

02

22

y2m,n

Φ

x

q2

x

x

tm,n1

tm,n

y

tm1,n

tm,n

yq2

wwx

y

xyqw21第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法(3)角點(diǎn)

2t6m,n1m,nqw

)3x2

2x2

2t

1

(2tm1,n

t

tm,n1m1,n3xy

0422

y2m,n

Φy

tm,1n,

xtm

n

qx

t

t

x

q

y

t

t

yw

m

n

m,1n,w

m

n

m1n,,2

xxy

t

m

n

tm1n,,x

y

xyqw22第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法qw的情況：(1)

第二類邊界條件：將

，帶入上面各式即可絕熱或?qū)ΨQ邊界條件？(2)第三類邊界條件：將即可qw

constqw

h(t

f

tm,n

)

，帶入上面各式？23第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法課堂作業(yè)：將

qw

h(t

f

tm,n

)帶入外部角點(diǎn)的溫度離散方程，并化簡(jiǎn)到最后的形式m,n4fwq

(T

T

4)

或其他w(3)

輻射邊界條件：q

const24第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法2.節(jié)點(diǎn)方程組的求解寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程n個(gè)未知節(jié)點(diǎn)溫度，n個(gè)代數(shù)方程式：t1

a11t1

a12t2

......

a1ntn

b1t2

a21t1

a22t2

......

a2ntn

b2........................................tn

an1t1

an2t2

......

anntn

bn代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法25第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法直接解法：通過有限次運(yùn)算獲得代數(shù)方程精確解;矩陣求逆、高斯消元法缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時(shí)不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中的系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計(jì)算過程中要相應(yīng)地不斷更新）迭代解法：先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)、在迭代計(jì)算過程中不斷予以改進(jìn)、直到計(jì)算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計(jì)算已經(jīng)收斂。迭代解法有多種：簡(jiǎn)單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等高斯-賽德爾迭代的特點(diǎn)：每次迭代時(shí)總是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值在計(jì)算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)應(yīng)按下式（采用1值）例如：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值可以求得節(jié)點(diǎn)溫度：n1

2t(k)、t(k)....t(k)1

1

21n

nt

k

1)(

a11t

k

)(

a12t

k

)(

......

a t

k

)(

b

k

)n2

2(1k)n3......

a3tbnn()k

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(1k)31

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......1(1k)21atat