微專題5 數(shù)學(xué)工具-平面向量在解題中的應(yīng)用

微專題5數(shù)學(xué)工具——平面向量在解題中的應(yīng)用對應(yīng)學(xué)生用書第103頁一、平面向量與平面幾何的綜合已知O是△ABC所在平面內(nèi)的一點,若動點P滿足=+λ(+),λ∈(0,+∞),則點P的軌跡一定通過△ABC的(

).A.內(nèi)心

B.外心

C.重心

D.垂心答案C解析由原等式,得-=λ(+),即=λ(+),根據(jù)平行四邊形法則,知+是△ABC的中線AD(D為BC的中點)所對應(yīng)向量的2倍,所以點P的軌跡必過△ABC的重心.點撥1.設(shè)O為△ABC所在平面內(nèi)一點,則(1)O為△ABC的外心?||=||=||;(2)O為△ABC的重心?++=0;(3)O為△ABC的垂心?·=·=·.2.用向量方法解決平面幾何問題的步驟:平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題.【微點練1】(一題多解)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點,則·(+)的最小值是(

).A.-2

B.-

C.-

D.-1答案B解析(法一:解析法)①建立平面直角坐標(biāo)系如圖①所示,則A,B,C三點的坐標(biāo)分別為A(0,),B(-1,0),C(1,0).設(shè)P點的坐標(biāo)為(x,y),則=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),∴·(+)=(-x,-y)·(-2x,-2y)=2(x2+y2-y)=2≥2×=-.當(dāng)且僅當(dāng)x=0,y=時,·(+)取得最小值,最小值為-.故選B.(法二:幾何法)②如圖②所示,+=2(D為BC的中點),則·(+)=2·.要使·最小,則與方向相反,即點P在線段AD上,則(2·)min=-2||||,問題轉(zhuǎn)化為求||||的最大值.又||+||=||=2×=,∴||||≤==,∴[·(+)]min=(2·)min=-2×=-.故選B.二、平面向量與解析幾何的綜合(一題多解)(2018年浙江卷)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為,向量b滿足b2-4e·b+3=0,則|a-b|的最小值是(

).A.-1

B.+1

C.2

D.2-答案A解析(法一)設(shè)=a,=b,=e,以O(shè)為原點,的方向為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),則E(1,0).不妨設(shè)A點在第一象限,∵a與e的夾角為,∴點A在射線y=x(x≥0)上.設(shè)B(x,y),由b2-4e·b+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即點B在圓(x-2)2+y2=1上運動.∵=a-b,∴|a-b|的最小值即點B到射線OA的距離的最小值,為圓心(2,0)到射線y=x(x≥0)的距離減去圓的半徑,∴|a-b|min=-1,故選A.(法二)將b2-4e·b+3=0轉(zhuǎn)化為b2-4e·b+3e2=0,即(b-e)·(b-3e)=0,∴(b-e)⊥(b-3e).設(shè)=e,=a,=b,=3e,=2e,則⊥,∴點B在以M為圓心,1為半徑的圓上運動.∵|a-b|=||,∴|a-b|的最小值即點B到射線OA的距離的最小值,為圓心M到射線OA的距離減去圓的半徑.∵||=2,∠AOM=,∴|a-b|min=2sin-1=-1.點撥向量在解析幾何中的作用:(1)載體作用:向量在解析幾何問題中出現(xiàn),多用于“包裝”,解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”,導(dǎo)出曲線上點的坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.(2)工具作用:利用a⊥b?a·b=0,a∥b?a=λb(b≠0),可解決垂直、平行問題,特別是向量垂直、平行的坐標(biāo)表示在解決解析幾何中的垂直、平行問題時經(jīng)常用到.【微點練2】若點O和點F分別為橢圓+=1的中心和左焦點,點P為橢圓上的任意一點,則·的最大值為

.

答案6解析由題意,得F(-1,0),設(shè)P(x0,y0),則+=1,即=3.因為=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+1)+=+x0+3=+x0+3=(x0+2)2+2,因為-2≤x0≤2,所以當(dāng)x0=2時,·取得最大值,最大值為6.三、平面向量與三角函數(shù)的綜合(2017年江蘇卷)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)記f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值.解析(1)因為a=(cosx,sinx),b=(3,-),a∥b,所以-cosx=3sinx.若cosx=0,則sinx=0,這與sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0.于是tanx=-.又x∈[0,π],所以x=.(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-)=3cosx-sinx=2cos.因為x∈[0,π],所以x+∈,從而-1≤cos≤,所以當(dāng)x+=,即x=0時,f(x)取到最大值,最大值為3;當(dāng)x+=π,即x=時,f(x)取到最小值,最小值為-2.點撥破解平面向量與三角函數(shù)綜合問題的常用方法是“化簡轉(zhuǎn)化法”,即先把以向量共線、向量垂直形式出現(xiàn)的條件轉(zhuǎn)化為對應(yīng)坐標(biāo)乘積之間的關(guān)系,再活用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、倍角公式、輔助角公式等對三角函數(shù)進行巧化簡.平面向量與三角函數(shù)綜合問題求解的關(guān)鍵是利用向量的知識將條件“脫去向量外衣”,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,再利用相關(guān)知識進行求解.【微點練3】在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,已知點A(1,0)和點B(-1,0),||=1,且∠AOC=θ,其中O為坐標(biāo)原點.(1)若θ=,設(shè)點D為線段OA上的動點,求|+|的最小值;(2)若θ∈,向量m=,n=(1-cosθ,sinθ-2cosθ),求m·n的最小值及對應(yīng)的θ的值.解析(1)設(shè)D(t,0)(0≤t≤1),由題意知C,所以+=,所以|+|2=+,所以當(dāng)t=時,|+|有最小值,最小值為.(2)由題意得C(cosθ,sinθ),m==(cosθ+1,sinθ),則