矩陣的運算-滬教版課件

P14-11.2矩陣的運算一、同型矩陣

若矩陣A=(aij)和B=(bij)的行數(shù)和列數(shù)分別相等,則稱A與B

為同型矩陣

可得x=3,y=2,z=-8

設(shè)矩陣A=(aij)和B=(bij)為同型矩陣,若它們的對應(yīng)元素相等,

即aij=bij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n),就稱A和B相等,記作A=B二、矩陣相等如P14-11.2矩陣的運算一、同型矩陣P14-21)設(shè)A=(aij)和B=(bij)是兩個mn矩陣,規(guī)定并稱A+B為A與B之和.只有行數(shù)與列數(shù)都相同的矩陣(即同型矩陣)才能相加.兩個矩陣的加法實質(zhì)是對應(yīng)元素相加三、矩陣的運算1.矩陣的加法P14-21)設(shè)A=(aij)和B=(bij)是兩個mnP14-31)設(shè)A=(aij)和B=(bij)是兩個mn矩陣,規(guī)定1.矩陣的加法2)矩陣的加法滿足下列運算律:

(1)交換律:A+B=B+A;

(2)結(jié)合律:(A+B)+C=A+(B+C);

(3)零矩陣滿足:A+O=A;

(4)存在矩陣(-A)滿足:A+(-A)=O，其中P14-31)設(shè)A=(aij)和B=(bij)是兩個mnP14-41.矩陣的加法2)矩陣的加法滿足下列運算律:

(1)交換律:A+B=B+A;

(2)結(jié)合律:(A+B)+C=A+(B+C);

(3)零矩陣滿足:A+O=A;

(4)存在矩陣(-A)滿足:A+(-A)=O，其中稱－A為A的負矩陣.還可定義矩陣的減法A－B=A+(－B)P14-41.矩陣的加法2)矩陣的加法滿足下列運算律:

P14-51)設(shè)k是實數(shù),A=(aij)是一個mn矩陣,規(guī)定并稱矩陣kA為數(shù)k與矩陣A的乘積1.矩陣的加法2.數(shù)與矩陣的乘法

(1)(kl)A=k(lA);(2)(k+l)A=kA+lA;

(3)k(A+B)=kA+kB;

其中k,l是實數(shù).注意：數(shù)k與一個矩陣A相乘,實質(zhì)是遍乘2)數(shù)與矩陣的乘法滿足下列運算律:

P14-51)設(shè)k是實數(shù),A=(aij)是一個mn矩P14-61)設(shè)A是一個ms矩陣,B是一個sn矩陣則A與B之乘積AB，記作C=(cij)，是一個mn矩陣,且3.矩陣的乘法

矩陣C的第i行第j列元素cij,是A的第i行元素與B的第j列元素對應(yīng)相乘相加兩個矩陣能夠進行乘法運算的條件是什么？P14-61)設(shè)A是一個ms矩陣,B是一個snP14-73.矩陣的乘法

矩陣乘法運算舉例一般情況下，矩陣的乘法不滿足交換律和消去律2)若矩陣A，B滿足AB=BA，則稱矩陣A和B可交換注P14-73.矩陣的乘法

矩陣乘法運算舉例一般情況下，矩陣P14-83.矩陣的乘法

(3)左分配律A(B+C)=AB+AC

3)

矩陣乘法滿足下列運算律:(1)結(jié)合律 (AB)C=A(BC)

(2)數(shù)乘結(jié)合律k(AB)=(kA)B=A(kB),其中k是實數(shù)左提？右提？右分配律(B+C)A=BA+CA(4)設(shè)A

是m×n

矩陣，Em

是

m

階的單位矩陣，

En是n階單位矩陣，則EmA=AEn

=A單位陣相當(dāng)于數(shù)1P14-83.矩陣的乘法

(3)左分配律A(B+P14-9設(shè)A是n階矩陣,k個A的連乘積稱為A的k次冪,方陣的冪滿足下列性質(zhì)：（m,k為正整數(shù)）

(1)AmAk=Am+k

(2)(Am)k=Amk

判斷:(k為大于1的整數(shù))(1)設(shè)A，B為n階方陣，則(AB)k=AkBk

(2)

若Ak=o

，則

A=o

4)方陣的冪()()3.矩陣的乘法記作Ak

，即P14-9設(shè)A是n階矩陣,k個A的連乘積稱為A的kP14-10設(shè)A

是n階矩陣,規(guī)定A0

＝E4)方陣的冪3.矩陣的乘法例2設(shè)A與B為同階方陣，A=(1/2)(B+E)，證明:A2=A

B2=EP14-10設(shè)A是n階矩陣,規(guī)定A0＝E4)P14-114.矩陣的轉(zhuǎn)置1)把一個mn矩陣的行列互換得到的一個nm矩陣,稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT,即P14-114.矩陣的轉(zhuǎn)置1)把一個mn矩陣的行P14-124.矩陣的轉(zhuǎn)置2)矩陣的轉(zhuǎn)置運算滿足以下運算律:

3)A為對稱陣AT

=A

A為反對稱陣AT

=－A

注意:對稱矩陣的乘積不一定是對稱矩陣.

(A1A2…Ak)T=AkT…A2TA1T

(1)(AT)T=A

(2)(B+C)T=BT+CT

(3)(kA)T=kAT(4)(AB)T=BTAT

P14-124.矩陣的轉(zhuǎn)置2)矩陣的轉(zhuǎn)置運算滿足以下運P14-134.矩陣的轉(zhuǎn)置例1

設(shè)B是一個mn矩陣,則BTB和BBT都是

對稱矩陣.

例2

設(shè)A是n階反對稱矩陣,B是n階對稱矩陣,

則AB+BA是反對稱矩陣.

例3

設(shè)A

為n×1矩陣,且ATA=1,En

為n階單位矩陣,B=En-2AAT,證明:B

為對稱矩陣,且B2=En.P14-134.矩陣的轉(zhuǎn)置例1設(shè)B是一個mn矩陣,P14-14作業(yè)：P16:第2題；P17:第4題之(1)、(4)、(5)、(7)；P18:第7題之(2);

第9題之(1)、(2)P14-14作業(yè)：P14-151.2矩陣的運算一、同型矩陣

若矩陣A=(aij)和B=(bij)的行數(shù)和列數(shù)分別相等,則稱A與B

為同型矩陣

可得x=3,y=2,z=-8

設(shè)矩陣A=(aij)和B=(bij)為同型矩陣,若它們的對應(yīng)元素相等,

即aij=bij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n),就稱A和B相等,記作A=B二、矩陣相等如P14-11.2矩陣的運算一、同型矩陣P14-161)設(shè)A=(aij)和B=(bij)是兩個mn矩陣,規(guī)定并稱A+B為A與B之和.只有行數(shù)與列數(shù)都相同的矩陣(即同型矩陣)才能相加.兩個矩陣的加法實質(zhì)是對應(yīng)元素相加三、矩陣的運算1.矩陣的加法P14-21)設(shè)A=(aij)和B=(bij)是兩個mnP14-171)設(shè)A=(aij)和B=(bij)是兩個mn矩陣,規(guī)定1.矩陣的加法2)矩陣的加法滿足下列運算律:

(1)交換律:A+B=B+A;

(2)結(jié)合律:(A+B)+C=A+(B+C);

(3)零矩陣滿足:A+O=A;

(4)存在矩陣(-A)滿足:A+(-A)=O，其中P14-31)設(shè)A=(aij)和B=(bij)是兩個mnP14-181.矩陣的加法2)矩陣的加法滿足下列運算律:

(1)交換律:A+B=B+A;

(2)結(jié)合律:(A+B)+C=A+(B+C);

(3)零矩陣滿足:A+O=A;

(4)存在矩陣(-A)滿足:A+(-A)=O，其中稱－A為A的負矩陣.還可定義矩陣的減法A－B=A+(－B)P14-41.矩陣的加法2)矩陣的加法滿足下列運算律:

P14-191)設(shè)k是實數(shù),A=(aij)是一個mn矩陣,規(guī)定并稱矩陣kA為數(shù)k與矩陣A的乘積1.矩陣的加法2.數(shù)與矩陣的乘法

(1)(kl)A=k(lA);(2)(k+l)A=kA+lA;

(3)k(A+B)=kA+kB;

其中k,l是實數(shù).注意：數(shù)k與一個矩陣A相乘,實質(zhì)是遍乘2)數(shù)與矩陣的乘法滿足下列運算律:

P14-51)設(shè)k是實數(shù),A=(aij)是一個mn矩P14-201)設(shè)A是一個ms矩陣,B是一個sn矩陣則A與B之乘積AB，記作C=(cij)，是一個mn矩陣,且3.矩陣的乘法

矩陣C的第i行第j列元素cij,是A的第i行元素與B的第j列元素對應(yīng)相乘相加兩個矩陣能夠進行乘法運算的條件是什么？P14-61)設(shè)A是一個ms矩陣,B是一個snP14-213.矩陣的乘法

矩陣乘法運算舉例一般情況下，矩陣的乘法不滿足交換律和消去律2)若矩陣A，B滿足AB=BA，則稱矩陣A和B可交換注P14-73.矩陣的乘法

矩陣乘法運算舉例一般情況下，矩陣P14-223.矩陣的乘法

(3)左分配律A(B+C)=AB+AC

3)

矩陣乘法滿足下列運算律:(1)結(jié)合律 (AB)C=A(BC)

(2)數(shù)乘結(jié)合律k(AB)=(kA)B=A(kB),其中k是實數(shù)左提？右提？右分配律(B+C)A=BA+CA(4)設(shè)A

是m×n

矩陣，Em

是

m

階的單位矩陣，

En是n階單位矩陣，則EmA=AEn

=A單位陣相當(dāng)于數(shù)1P14-83.矩陣的乘法

(3)左分配律A(B+P14-23設(shè)A是n階矩陣,k個A的連乘積稱為A的k次冪,方陣的冪滿足下列性質(zhì)：（m,k為正整數(shù)）

(1)AmAk=Am+k

(2)(Am)k=Amk

判斷:(k為大于1的整數(shù))(1)設(shè)A，B為n階方陣，則(AB)k=AkBk

(2)

若Ak=o

，則

A=o

4)方陣的冪()()3.矩陣的乘法記作Ak

，即P14-9設(shè)A是n階矩陣,k個A的連乘積稱為A的kP14-24設(shè)A

是n階矩陣,規(guī)定A0

＝E4)方陣的冪3.矩陣的乘法例2設(shè)A與B為同階方陣，A=(1/2)(B+E)，證明:A2=A

B2=EP14-10設(shè)A是n階矩陣,規(guī)定A0＝E4)P14-254.矩陣的轉(zhuǎn)置1)把一個mn矩陣的行列互換得到的一個nm矩陣,稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT,即P14-114.矩陣的轉(zhuǎn)置1)把一個mn矩陣的行P14-264.矩陣的轉(zhuǎn)置2)矩陣的轉(zhuǎn)置運算滿足以下運算律:

3)A為對稱陣AT

=A