2021年江蘇省南京市百家湖中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2021年江蘇省南京市百家湖中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)集合，集合＝正實數(shù)集，則從集合到集合的映射只可能是（

）A．

B．C．

D．參考答案：C2.在等差數(shù)列{an}中，，，則（

）A.10 B.12 C.14 D.16參考答案：C【分析】由題列出關(guān)于的方程組求解，即可求得【詳解】由題知,解得,故故選：C【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式，熟記公式，準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題3.一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500g，按每年10%衰減．則這種放射性元素的半衰期為(注：剩留量為最初質(zhì)量的一半所需的時間叫做半衰期)．(精確到0.1．已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)(

)A．5.2

B．6.6

C．7.1

D．8.3參考答案：B略4.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是（

）Ａ． Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：C略5.若不等式的解集是R，則m的范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.定義在R上的函數(shù)滿足當(dāng)（

）

A.335

B.338

C.1678

D.2012參考答案：B略7.已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸正半軸重合，終邊在直線上，則等于

A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.若直線和直線互相垂直，則k=(

)A.－3或－1 B.3或1 C.－3或1 D.－1或3參考答案：C【分析】直接利用兩直線垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因為直線和直線互相垂直，所以，解方程可得或，故選C.【點睛】本題主要考查直線與直線垂直的充要條件，屬于基礎(chǔ)題.對直線位置關(guān)系的考查是熱點命題方向之一，這類問題以簡單題為主，主要考查兩直線垂直與兩直線平行兩種特殊關(guān)系：在斜率存在的前提下，（1）（）；（2）（），這類問題盡管簡單卻容易出錯，特別是容易遺忘斜率不存在的情況，這一點一定不能掉以輕心.9.直線y+2=k（x+1）恒過點（）A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）參考答案：C【考點】恒過定點的直線．【分析】直接由直線的點斜式方程可得．【解答】解：∵直線y+2=k（x+1），∴由直線的點斜式方程可知直線恒過點（﹣1，﹣2）．故選：C．10.（3分）函數(shù)f（x）=2sin（﹣x）是（） A． 最小正周期為2π的奇函數(shù) B． 最小正周期為2π的偶函數(shù) C． 最小正周期為π的奇函數(shù) D． 最小正周期為4π的偶函數(shù)參考答案：B考點： 正弦函數(shù)的圖象．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 由f（x）=2sin（﹣x）=2cosx，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知函數(shù)為最小正周期為2π的偶函數(shù)．解答： ∵f（x）=2sin（﹣x）=2cosx∴由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知函數(shù)為最小正周期為2π的偶函數(shù)．．故選：B點評： 本題主要考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，和余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對實數(shù)a和b，定義運算“?”：a?b=設(shè)函數(shù)f（x）=（x2﹣2）?（x﹣x2），x∈R，若函數(shù)y=f（x）﹣c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是．參考答案：c≤﹣2，或﹣1＜c＜﹣考點：函數(shù)的圖象．專題：計算題；壓軸題．分析：化簡函數(shù)f（x）的解析式，作出函數(shù)y=f（x）的圖象，由題意可得，函數(shù)y=f（x）與y=c的圖象有2個交點，結(jié)合圖象求得結(jié)果．解答：解：由題意可得f（x）==，函數(shù)y=f（x）的圖象如右圖所示：函數(shù)y=f（x）﹣c的圖象與x軸恰有兩個公共點，即函數(shù)y=f（x）與y=c的圖象有2個交點．由圖象可得c≤﹣2，或﹣1＜c＜﹣．故答案為c≤﹣2，或﹣1＜c＜﹣．點評：本題主要考查根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．12.若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝__________.參考答案：4略13.函數(shù)y=2sinx﹣cosx的最大值為．參考答案：【考點】HW：三角函數(shù)的最值．【分析】利用輔角公式對函數(shù)解析式化簡整理，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得其最大值．【解答】解：y=2sinx﹣cosx=sin（x+φ）≤故答案為：14.已知正四面體的棱長為2，則該四面體的內(nèi)切球的表面積為

．參考答案：15.的最大值是____________.參考答案：16.若變量x，y滿足約束條件，則的最小值為

．參考答案：

－6

17.方程的解個數(shù)為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在銳角△ABC中，若角，求的值域.參考答案：（1），；（2）【分析】（1）利用二倍角、輔助角公式化簡，然后利用單調(diào)區(qū)間公式求解單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)條件求解出的范圍，然后再求解的值域.【詳解】（1），令，解得：，所以單調(diào)減區(qū)間為：，；（2）由銳角三角形可知：，所以，則，又，所以，，則.【點睛】本題考查三角恒等變換以及三角函數(shù)值域問題，難度較易.根據(jù)三角形形狀求解角范圍的時候，要注意到隱含條件的使用.19.已知函數(shù),．（1）若,解不等式；（2）當(dāng)時，若對任意的，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)(2)【分析】（1）將代入函數(shù)得，分兩種情況，當(dāng)和時，解不等式即得；（2）根據(jù)題意可得不等式，對任恒成立，分情況去絕對值進行討論：①當(dāng)時，去絕對值得，由x的范圍結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得此時a的范圍；②當(dāng)時，不等式為，在①的條件下進一步得出a的范圍；③當(dāng)時，可得，由②中a的范圍最后確定a的范圍即得?！驹斀狻拷猓海?）時，由得:，當(dāng)時，，無解；當(dāng)時，，解得：.解集為：（2）由已知得即（*）對任恒成立，①當(dāng)時，不等式（*）可化為對恒成立，因為在（0，a]為單調(diào)遞增，只需，解得；②當(dāng)時，將不等式（*）可化為對上恒成立，由①可知，因為在為單調(diào)遞減，只需解得：或，所以；③當(dāng)時，將不等式（*）可化為恒成立因為在為單調(diào)遞增，由②可知都滿足要求．綜上實數(shù)a的取值范圍為：．【點睛】本題考查解不等式，和恒成立情況下不等式中參數(shù)的取值范圍，屬于?？碱}型。20.已知，，，為坐標原點.（1），求的值；（2）若，且，求與的夾角.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.（Ⅰ）,，，………3分∴，.

……5分（Ⅱ）∵,,，，即，，又，，

……7分又，，， ∴.

……10分21.已知數(shù)列{an}的前n項和為，，數(shù)列{bn}滿足，點在直線上．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項an和bn；（2）令，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn；（3）若，求對所有的正整數(shù)n都有成立的k的范圍．參考答案：（1），；（2）試題分析：（1）通過與作差，進而整理可知數(shù)列是首項為、公比為2的等比數(shù)列，通過將點代入直線計算可知，進而整理即得結(jié)論；（2）利用錯位相減法計算即得結(jié)論；（3）通過（1）及作差法計算可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，進而問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，利用基本不等式計算即得結(jié)論.試題解析：(1)解:∵，∴,當(dāng)時，，∴，∴，∴是首項為，公比為2的等比數(shù)列，因此，當(dāng)時，滿足，所以，因為在直線上，所以，而，所以.(2)∵，∴③，因此④，③-④得：，∴(3)證明:由(1)知，，∵，∴數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；∴當(dāng)時，即最大值為1，由可得，，而當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴.點睛：本題主要考查的是等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式以及數(shù)列的前項和與作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性；解題中，在利用的同時一定要注意和兩種情況，常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項相消法類似于，錯位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等.22.（14分）已知集合A={x|x＜﹣2或3＜x≤4}，B={x|x2﹣2x﹣15≤0}．求：（1）A∩B；（2）若C={x|x≥a}，且B∩C=B，求a的范圍．參考答案：考點： 交集及其運算；集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題．專題： 計算題．分析： （1）把集合B中的一元二次不等式的左邊分解因式，根據(jù)兩數(shù)相乘異號得負的取符號法則轉(zhuǎn)化為兩個不等式組，求出兩不等式組解集的并集得到原不等式的解集，確定出集合B，找出A和B的公共部分即可得到兩集合的交集；（2）由B和C的交集為集合B，得到集合B是集合C的子集，根據(jù)集合B及C中不等式解集的特點，列出關(guān)于a的不等式，得到a的范