專題04 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值（講義）（教師版）

專題04導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值【重難點知識點網(wǎng)絡(luò)】：1．函數(shù)極值的概念若函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其他點的函數(shù)值都小，；而且在點附近的左側(cè)________，右側(cè)________，就把點叫做函數(shù)的極小值點，叫做函數(shù)的極小值．若函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其他點的函數(shù)值都大，；而且在點附近的左側(cè)________，右側(cè)________，就把點叫做函數(shù)的極大值點，叫做函數(shù)的極大值．極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．2．可導(dǎo)函數(shù)在某點處取得極值的必要條件和充分條件必要條件：可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值的必要條件是________．充分條件：可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值的充分條件是在兩側(cè)異號．3．函數(shù)極值的求法一般地，求函數(shù)的極值的方法是：解方程．當(dāng)時：（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是________；（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是_________．【重難點題型突破】：一、求函數(shù)的極值（1）求函數(shù)的極值首先要求函數(shù)的定義域，然后求的實數(shù)根，當(dāng)實數(shù)根較多時，要充分利用表格，使極值點的確定一目了然．（2）利用導(dǎo)數(shù)求極值時，一定要討論函數(shù)的單調(diào)性，涉及參數(shù)時，必須對參數(shù)的取值情況進行討論（可從導(dǎo)數(shù)值為0的幾個x值的大小入手）．

例1．（1）（2021·遼寧高三其他模擬）（多選題）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．當(dāng)時，函數(shù)有兩個不同零點D．有兩個極值點【答案】AD【分析】根據(jù)時，解析式，利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)遞減區(qū)間，根據(jù)的奇偶性即可判定A、B的正誤；在同一坐標(biāo)系種畫出與的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可判定C的正誤；根據(jù)的圖象，即可判定D的正誤，即可得答案.【詳解】當(dāng)時，,令得,時,,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,再根據(jù)奇函數(shù)知在區(qū)間上單調(diào)遞減，故A正確;因為,所以在區(qū)間單調(diào)遞減，故B錯誤;因為又為奇函數(shù)，所以,如圖與有兩個交點,則-且,故C錯誤;函數(shù)的兩個極值點為土，故D正確.故選：AD【點睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)奇偶性的應(yīng)用等知識，考查分析理解，數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題.（2）．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)()有兩個極值點?()，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得，設(shè)，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根?，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，結(jié)合二次函數(shù)根與系數(shù)關(guān)系和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且，設(shè)，因為函數(shù)()有兩個極值點?()，即在內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根?()，可得，解得，又因為?，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為.故選：D.（3）．（2021·吳縣中學(xué)高二月考）函數(shù)的極大值為（）A．18 B．21 C．26 D．28【答案】D【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定在哪個點取得極值，進而得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)，令，解得：，極大值極小值所以當(dāng)時，函數(shù)有極大值故選：D.（4）．已知，則（）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．有極大值，無極小值 D．有極小值，無極大值【答案】C【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負，導(dǎo)函數(shù)的零點判斷各選項．【詳解】由題意，當(dāng)時，，遞增，時，，遞減，是函數(shù)的極大值，也是最大值，函數(shù)無極小值．故選：C．【變式訓(xùn)練1-1】、（2021·吳縣中學(xué)高二月考）（多選題）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項中錯誤的是（）A．是函數(shù)的極值點 B．函數(shù)在處取得極小值C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．的圖象在處的切線斜率小于零【答案】AB【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識對選項逐一分析，由此確定選項.【詳解】對于A選項，由圖可知，左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)都為負數(shù)，故不是的極值點，A選項錯誤.對于B選項，由圖可知，左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)都為負數(shù)，故不是的極值點，B選項錯誤.對于C選項，由圖可知，時，遞減，所以C選項正確.對于D選項，由圖可知，，所以D選項正確.故選：AB.【變式訓(xùn)練2-1】、（2021·全國高三其他模擬）關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．是的極大值點B．函數(shù)有且只有1個零點C．存在正實數(shù)，使得恒成立D．對任意兩個正實數(shù)，，且，若，則【答案】BD【分析】對于A，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點即可；對于B，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點存在性定理即得結(jié)論；對于C，參變分離得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最小值的情況；對于D，利用的單調(diào)性，由得到，令，由得，所以要證，即證，構(gòu)造函數(shù)即得．【詳解】A：函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點，故A錯誤．B：，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．又，，所以函數(shù)有且只有1個零點，故B正確．C：若，即，則．令，則．令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，所以不存在正實數(shù)，使得恒成立，故C錯誤．D：因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴是的極小值點．∵對任意兩個正實數(shù)，，且，若，則．令，則，由，得，∴，即，即，解得，，所以．故要證，需證，需證，需證．∵，則，∴證．令，，，所以在上是增函數(shù)．因為時，，則，所以在上是增函數(shù)．因為時，，則，所以，∴，故D正確．故選：BD．【變式訓(xùn)練2-2】、（2020·浙江紹興市·紹興一中高二期中）若函數(shù)，則__________，的極大值點為__________．【答案】【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，則，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故為函數(shù)的極大值點，且極大值為．故答案為：；．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題．二、函數(shù)極值的應(yīng)用解決利用函數(shù)的極值確定函數(shù)解析式中參數(shù)的值的問題時，通常是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點處的取值等于零來建立關(guān)于參數(shù)的方程，從而求出參數(shù)的值．需注意的是，可導(dǎo)函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)值等于零只是函數(shù)在該點處取得極值的必要條件，所以必須對求出的參數(shù)的值進行檢驗，看是否符合函數(shù)取得極值的條件．例2．（2021·河南高二月考（理））已知函數(shù)在處取得極值，則（）A．4 B．3 C．2 D．【答案】B【分析】依題意，即可求出參數(shù)的值；【詳解】解:因為，所以，由條件知，是方程的實數(shù)根，．所以，，令，解得或，即在和上單調(diào)遞增，令，解得，即在上單調(diào)遞減，故在取得極大值，滿足條件；故選：B【變式訓(xùn)練2-1】、（2021·甘肅蘭州市·高三其他模擬（文））已知函數(shù)的一個極值點為，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)找到的關(guān)系，再根據(jù)基本不等式即可求出．【詳解】因為，依題意有，即，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最大值為．故選：D．【變式訓(xùn)練2-2】、（2021·全國高二課時練習(xí)）函數(shù)在上的極大值點為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析導(dǎo)數(shù)在上的符號變化，由此可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，因為，由，可得，解得.當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以使得函數(shù)取得極大值的的值為，故選：C.【點睛】思路點睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟如下：（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)；（3）解方程，當(dāng)；（4）列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，求極值：①如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值；②如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值.【變式訓(xùn)練2-3】、（2021·鹽城市伍佑中學(xué)高三期末）（多選題）已知函數(shù)，則（）A．的周期為 B．的圖象關(guān)于點對稱C．在上為增函數(shù) D．在區(qū)間上所有的極值之和為10【答案】BCD【分析】計算，可判斷A錯；構(gòu)造函數(shù)，判斷其是奇函數(shù)，得出對稱中心，即可判斷的對稱中心，得B正確；當(dāng)時，對函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，即可得出C正確；利用導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)在給定區(qū)間的極值點，結(jié)合函數(shù)對稱性，即可得出結(jié)果.【詳解】A選項，因為，所以，因此不是的周期；即A錯；B選項，令，定義域為，則，所以圖象關(guān)于原點對稱；因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；C選項，當(dāng)時，，則，因為，則，所以，即，故在上為增函數(shù)，即C正確；D選項，當(dāng)時，，，令可得，所以，由可得，極值點為；當(dāng)時，，則，令，可得，則，由可得，極值點為，由B選項，可知，即，所以在區(qū)間上所有的極值之和為，即D正確；故選：BCD.【點睛】思路點睛：利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性求極值時，需要先對函數(shù)求導(dǎo)，求解導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)的不等式，判斷出單調(diào)性，進而可得出極值，即可求解.例3．（2021·浙江溫州市·高三二模）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)沒有極值點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若對任意的恒成立，求實數(shù)和所滿足的關(guān)系式，并求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）當(dāng)時，對任意的，恒成立【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得無解或有重根，對分兩種情況討論，計算可得；（2）依題意得：對任意的，恒成立，令，則恒成立，求出導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可得到的關(guān)系，再證對任意的，恒有；【詳解】解：（1）因為，所以，因為函數(shù)沒有極值點，所以無解或有重根；即無解或有重根；①時，不滿足條件；②時，，解得或；綜上可得，函數(shù)沒有極值點，則或；（2）依題意得：對任意的，恒成立，令，則恒成立，因為，所以是的極小值點，所以，所以，所以對任意的，恒有，①當(dāng)時，，，，矛盾；②當(dāng)時，顯然有，因為函數(shù)即函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方，是函數(shù)在處的切線，下證：，令，，令，解得，即在上單調(diào)遞增，令，解得，即在上單調(diào)遞減，所以，即成立；所以綜上所述：當(dāng)時，對任意的，恒成立；【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．例4．（2020·寧夏長慶高級中學(xué)高二月考（理））已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）若是的極大值點，求．【答案】（1）見解析（2）【詳解】分析：（1）求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性證明即可．（2）分類討論和,構(gòu)造函數(shù),討論的性質(zhì)即可得到a的范圍．詳解：（1）當(dāng)時，，.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.故當(dāng)時，，且僅當(dāng)時，，從而，且僅當(dāng)時，.所以在單調(diào)遞增.又，故當(dāng)時，；當(dāng)時，.（2）（i）若，由（1）知，當(dāng)時，，這與是的極大值點矛盾.（ii）若，設(shè)函數(shù).由于當(dāng)時，，故與符號相同.又，故是的極大值點當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點..如果，則當(dāng)，且時，，故不是的極大值點.如果，則存在根，故當(dāng)，且時，，所以不是的極大值點.如果，則.則當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以是的極大值點，從而是的極大值點綜上，.點睛：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值證明不等式，第二問分類討論和,當(dāng)時構(gòu)造函數(shù)時關(guān)鍵，討論函數(shù)的性質(zhì)，本題難度較大．例5．（2020·全國高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù).證明：（1）存在唯一的極值點；（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到存在唯一，使得，進而可得判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可確定其極值點個數(shù)，證明出結(jié)論成立；（2）先由（1）的結(jié)果，得到，，得到在內(nèi)存在唯一實根，記作，再求出，即可結(jié)合題意，說明結(jié)論成立.【詳解】（1）由題意可得，的定義域為，由，得，顯然單調(diào)遞增；又，，故存在唯一，使得；又當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；因此，存在唯一的極值點；（2）由（1）知，，又，所以在內(nèi)存在唯一實根，記作.由得，又，故是方程在內(nèi)的唯一實根；綜上，有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、以及函數(shù)零點的問題，屬于?？碱}型.例6．（2020·全國高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù).（1）求證：當(dāng)時，函數(shù)存在唯一的極小值點；（2）若函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)的值.【答案】（1）證明見解析；（2）的值為0.【分析】（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得，再研究函數(shù)單調(diào)性與零點即可證明；（2）根據(jù)題意設(shè)切點為，故結(jié)合切點在切線上，也在曲線上，且切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率列方程求解即可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，.因為，所以在R上為增函數(shù)，又因為，所以由零點存在性定理得，存在，使得，當(dāng)