2021年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽全州中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2021年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽全州中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若函數(shù)的圖象總在直線的上方，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．(－∞,0)

B．(0,+∞)

C．(1,+∞)

D．(－∞,1)參考答案：D由題意得在區(qū)間上恒成立，，令函數(shù)所以函數(shù)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，選D.

2.若方程表示焦點在y軸上的橢圓,則實數(shù)k的取值范圍是(

)A.(0,1)

B.(0,2)

C.(1,4)

D.(0,+∞)參考答案：A略3.某初級中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項調(diào)查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1，2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時，將學(xué)生統(tǒng)一隨機編號1，2，…，270，并將整個編號依次分為10段．如果抽得號碼有下列四種情況：①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265，②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；④11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是（）A．②、④都可能為分層抽樣 B．①、③都不能為分層抽樣C．①、④都可能為系統(tǒng)抽樣 D．②、③都不能為系統(tǒng)抽樣參考答案：A【考點】系統(tǒng)抽樣方法．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三種抽樣方法得到數(shù)據(jù)的特點是：系統(tǒng)抽樣方法得到的數(shù)據(jù)每個數(shù)據(jù)與前一個的差都為27，分層抽樣方法得到的數(shù)據(jù)在1﹣﹣108之間的有4個，109﹣﹣189之間的有3個，190到270之間的有3個；依次分析四組數(shù)據(jù)，判斷其可能的情況，即可得答案．【解答】解：①在1﹣﹣108之間的有4個，109﹣﹣189之間的有3個，190到270之間的有3個；符合分層抽樣的規(guī)律，可能是分層抽樣得到的；②在1﹣﹣108之間的有4個，109﹣﹣189之間的有3個，190到270之間的有3個；符合分層抽樣的規(guī)律，可能是分層抽樣得到的；同時，每個數(shù)據(jù)與前一個的差都為27，符合系統(tǒng)抽樣的規(guī)律，可能是系統(tǒng)抽樣得到的；③一定不是系統(tǒng)抽樣和分層抽樣；④在1﹣﹣108之間的有4個，109﹣﹣189之間的有3個，190到270之間的有3個；符合分層抽樣的規(guī)律，可能是分層抽樣得到的；同時，每個數(shù)據(jù)與前一個的差都為27，符合系統(tǒng)抽樣的規(guī)律，可能是系統(tǒng)抽樣得到的；故選A．【點評】本題考查了抽樣方法的判定問題，解題時應(yīng)熟悉常用的幾種抽樣方法是什么，各種抽樣方法的特點是什么，是基礎(chǔ)題．4.拋物線關(guān)于直線對稱的拋物線的焦點坐標是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知函數(shù)則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A6.曲線在點處切線的傾斜角為

（

）A．30°

B．45°

C．60°

D．120°參考答案：B7.已知向量a＝(m－2,m＋3),b＝(2m＋1,m－2),且a與b的夾角大于900,則實數(shù)m的取值范圍是(

)A.m＞２或m＜－

B.－＜m＜２C.m≠２

D.m≠２且m≠－參考答案：B8.a＝0是復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的（）A.必要但不充分條件 B.充分但不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：B試題分析：復(fù)數(shù)純虛數(shù)，一定推出a=0，但a=0時，不一定是純虛數(shù)，因為有可能b=0，故選B?？键c：本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、充要條件的概念。點評：充要條件的判斷，主要利用定義法，也可以利用等價命題法、集合關(guān)系法。9.已知集合A=則AB= (

)A．{1,2}

B．{1，2，3}

C．{1，2，3，4}

D．參考答案：D略10.若實數(shù)滿足條件，則的最大值為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知球的半徑為2，則球的體積為

參考答案：略12.設(shè)曲線在點處的切線與軸的交點的橫坐標為，則的值為

。參考答案：13.直線被圓（為參數(shù)）截得的弦長為______.參考答案：【分析】根據(jù)圓C的參數(shù)方程得出圓C的圓心坐標和半徑，計算出圓心到直線的距離，再利用勾股定理計算出直線截圓C所得的弦長.【詳解】由參數(shù)方程可知，圓C的圓心坐標為，半徑長為4，圓心到直線的距離為，因此，直線截圓C所得弦長為，故答案為：.【點睛】本題考查直線截圓所得弦長的計算，考查了點到直線的距離公式以及勾股定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.14.已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若a+i=2﹣bi，則|a+bi|=．參考答案：【考點】A8：復(fù)數(shù)求模．【分析】利用復(fù)數(shù)相等可得a，b，再利用復(fù)數(shù)模的計算公式即可得出．【解答】解：∵a，b∈R，i是虛數(shù)單位，a+i=2﹣bi，∴a=2，1=﹣b，即a=2，b=﹣1．則|a+bi|=|2﹣i|==．故答案為：．15.點P是曲線上任意一點，則點P到直線的距離的最小值是

.參考答案：略16.兩條直線相交，最多有1個交點;三條直線相交，最多有3個交點;四條直線相交，最多有6個交點；則五條直線相交，最多有___________個交點；推廣到n()條直線相交,最多有____________個交點.

參考答案：10，略17.下表是降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程=0.7x+0.35，那么表中m的值為．x3456y2.5m44.5參考答案：3【考點】線性回歸方程．【分析】根據(jù)表格中所給的數(shù)據(jù)，求出這組數(shù)據(jù)的橫標和縱標的平均值，表示出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點，根據(jù)樣本中心點在線性回歸直線上，代入得到關(guān)于m的方程，解方程即可．【解答】解：∵根據(jù)所給的表格可以求出，∵這組數(shù)據(jù)的樣本中心點在線性回歸直線上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故答案為：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}是遞減的等差數(shù)列，滿足.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．參考答案：(1)由題意知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2－n.（2）19.設(shè)a＞0，b＞0，且a+b=+．證明：（1）設(shè)M=+，N=+，求證M=N（2）a2+a＜2與b2+b＜2不可能同時成立．參考答案：【分析】（1）利用已知條件求出ab=1，然后利用1的代換，化簡N推出等于M即可．（2）利用反證法，假設(shè)a2+a＜2與b2+b＜2同時成立，推出ab＜1，這與ab=1矛盾，說明不等式成立．【解答】證明：（1）由a+b=+=，a＞0，b＞0，得ab=1．===M

所以得證M=N…（2）假設(shè)a2+a＜2與b2+b＜2同時成立，則由a2+a＜2及a＞0得0＜a＜1；同理，0＜b＜1，從而ab＜1，這與ab=1矛盾．故a2+a＜2與b2+b＜2不可能同時成立…20.是否存在常數(shù)a，b，c使等式1?（n2﹣1）+2?（n2﹣22）+…+n?（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c對一切n∈N*都成立？并證明的結(jié)論．參考答案：【考點】數(shù)學(xué)歸納法．【分析】可假設(shè)存在常數(shù)a，b使等式1?（n2﹣1）+2?（n2﹣22）+…+n?（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c對于任意的n∈N+總成立，令n=1與n=2，n=3列方程解得a，b，c再用數(shù)學(xué)歸納法證明．【解答】解：n=1時，a﹣b+c=0，n=2時，16a﹣4b+c=3，n=3時，81a﹣9b+c=18解得c=0，證明（1）當(dāng)n=1是左邊=0，右邊=0左邊=右邊，等式成立．（2）假設(shè)n=k時（k≥1，k∈N*）等式成立，即，則當(dāng)n=k+1時1?[（k+1）2﹣1]+2?[（k+1）2﹣22]+…+k?[（k+1）2﹣k2]+（k+1）[（k+1）2﹣（k+1）2]，=1?（k2﹣1）+2?（k2﹣22）+…+k?（k2﹣k2）+（1+2+…+k）（2k+1），=，===所以當(dāng)n=k+1時等式也成立．綜上（1）（2）對于k≥1，k∈N*所有正整數(shù)都成立．21.為了緩解日益擁堵的交通狀況，不少城市實施車牌競價策略，以控制車輛數(shù)量．某地車牌競價的基本規(guī)則是：①“盲拍”，即所有參與競拍的人都是網(wǎng)絡(luò)報價，每個人并不知曉其他人的報價，也不知道參與當(dāng)期競拍的總?cè)藬?shù)；②競價時間截止后，系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)期車牌配額，按照競拍人的出價從高到低分配名額．某人擬參加2018年4月份的車牌競拍，他為了預(yù)測最低成交價，根據(jù)競拍網(wǎng)站的公告，統(tǒng)計了最近5個月參與競拍的人數(shù)（如表）：

月份2017.112017.122018.012018.022018.03月份編號t12345競拍人數(shù)y（萬人）0.50.611.41.7

（1）由收集數(shù)據(jù)的散點圖發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合競拍人數(shù)y（萬人）與月份編號t之間的相關(guān)關(guān)系．請用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程：，并預(yù)測2018年4月份參與競拍的人數(shù)；（2）某市場調(diào)研機構(gòu)對200位擬參加2018年4月份車牌競拍人員的報價價格進行了一個抽樣調(diào)查，得到如表一份頻數(shù)表：

報價區(qū)間（萬元）[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)[6,7]頻數(shù)206060302010

（i）求這200位競拍人員報價X的平均值和樣本方差（同一區(qū)間的報價可用該價格區(qū)間的中點值代替）；（ii）假設(shè)所有參與競價人員的報價X可視為服從正態(tài)分布，且與可分別由（i）中所求的樣本平均數(shù)及估值．若2018年4月份實際發(fā)放車牌數(shù)量為3174，請你合理預(yù)測（需說明理由）競拍的最低成交價．參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程，其中，；②，，；③若隨機變量Z服從正態(tài)分布，則，，．參考答案：22.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為AB中點，F(xiàn)為正方形BCC1B1的中心．（1）求直線EF與平面ABCD所成角的正切值；（2）求異面直線A1C與EF所成角的余弦值．參考答案：【考點】直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角．【專題】空間角．【分析】解法一：（1）取BC中點H，連結(jié)FH，EH，證明∠FEH為直線EF與平面ABCD所成角，即可得出結(jié)論；（2）取A1C中點O，連接OF，OA，則∠AOA1為異面直線A1C與EF所成角，由余弦定理，可得結(jié)論；解法二：設(shè)正方體棱長為2，以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量的夾角公式，即可求出結(jié)論．【解答】解法一：（1）取BC中點H，連結(jié)FH，EH，設(shè)正方體棱長為2．∵F為BCC1B1中心，E為AB中點．∴FH⊥平面ABCD，F(xiàn)H=1，EH=．∴∠FEH為直線EF與平面ABCD所成角，且FH⊥EH．∴tan∠FEH===．…（2）取A1C中點O，連接OF，OA，則OF∥AE，且OF=AE．∴四邊形AEFO為平行四邊形．∴AO∥EF．∴∠AOA1為異面直線A1C與EF所成角．∵A1A=2，AO=A1O=．∴△AOA1中，由余弦定理得cos∠A1OA=．…解法二：設(shè)正方體棱長為