幾何與代數(shù)：第一章 行列式和線(xiàn)性方程組的求解

幾何與代數(shù)

東南大學(xué)線(xiàn)性代數(shù)課程溫故而知新第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.1二階,三階行列式a11a12a21a22記D=,b1

a12b2a22D1=,a11b1a21

b2D2=,則當(dāng)D=a11a22a12a210時(shí),,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21有唯一確定的解x2=a11a22a12a21a11b2b1a21

=a11a22a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13

a22

a31

.第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.1二階,三階行列式對(duì)角線(xiàn)法則a11a12a21a22=a11a22

a12a21

a11

a12

a13

a21

a22

a23a31

a32

a33a13

a21

a32a11a22a33a12

a23

a31a11

a23

a32a12

a21

a33

a13

a22

a31

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.1二階,三階行列式a11

a12

a13

a21a22

a23

a31

a32

a33

記D=,則當(dāng)D0時(shí),a11x1+a12x2+a13x3

=b1

a21x1

+a22x2+a23x3

=b2

a31x1

+a32x2+a33x3

=b3

,D1Dx1

=有唯一確定的解b1

a12

a13

b2a22

a23

b3

a32

a33

D1=,a11

b1

a13

a21

b2

a23

a31

b3

a33

D2=,a11

a12

b1a21

a22

b2a31

a32

b3D3=,,D2Dx2

=.D3Dx3

=

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

§1.2n階行列式的概念

1

1001

200001

1

001

2仿照三階行列式的對(duì)角線(xiàn)法則可得1212

11(1)1

=4+1=5.3

1005

200001

1

301

23212

15(1)1

=12+5=17.但方程組x1+x2=3x1+2x2=5x3x4=0x3+2x4=3有唯一解x1=1x2=2x3=1x4=1175

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33j1

j2

j3的逆序數(shù)對(duì)所有不同的三級(jí)排列j1

j2

j3求和a11a12a21a22

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

2.n階行列式的定義a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann注:當(dāng)n=1時(shí),一階行列式|a11|=a11,這與絕對(duì)值符號(hào)的意義是不一樣的.

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

3.幾個(gè)特殊的行列式10…00

2…0…………00…n0…010

…2

0…………n…00=12…n

,(1)對(duì)角行列式12…n

.=(1)n(n1)2

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

(2)上(下)三角形行列式a11a12…a1(n-1)a1n

0a22…a2(n-1)a2n……………0

0

…a(n-1)(n-1)a(n-1)n0

0

…0ann=a11a22…ann

.

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

例2.確定四階行列式中a

a

a

a

前面的符號(hào).i4

j4

i3

j3

i2

j2

i1

j1

a

a

a

a

a

a

a

a

i4

j4

i3

j3

i2

j2

i1

j1

1j1

2

j2

3

j3

4

j4

(i1i2i3i4)+(j1j2j3j4)=(1)(j1j2j3j4)(1)第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

4.n階行列式的另外一種定義a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

性質(zhì)1.DT=D.記D=a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…anna11

a21…an1

a12

a22

…an2…………a1n

a2n

…ann,DT=5.行列式的轉(zhuǎn)置

第一章

行列式和線(xiàn)性方程組的求解

第一節(jié)

二階,三階行列式

第二節(jié)

n階行列式的概念

第三節(jié)

行列式的性質(zhì)

第四節(jié)

線(xiàn)性方程組的求解

行列式的性質(zhì)計(jì)算方法一：化成三角形行列式行列式的按行（列）展開(kāi)計(jì)算方法二：降階本次課內(nèi)容概要第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

§1.3行列式的性質(zhì)

一.行列式的基本性質(zhì)a11a12…a1n

ka21

ka22…ka2n…………an1

an2…anna11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

§1.3行列式的性質(zhì)

一.行列式的基本性質(zhì)a11a12…a1n

ka21

ka22…ka2n…………an1

an2…anna11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=k性質(zhì)2.行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式記號(hào)外.a11ka12…a1n

a21

ka22…a2n…………an1

kan2…ann.a11

a21…an1

ka12

ka22…kan2…………a1n

a2n

…ann=a11

a21…an1

a12a22…an2…………a1n

a2n

…ann__ka11

a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann例ka11ka12…ka1n

ka21

ka22…ka2n…………kan1

kan2…kanna11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=___.kn

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

a11+b11

a12…a1n

a21+b21a22…a2n…………an1+bn1

an2…ann

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

a11+b11

a12…a1n

a21+b21a22…a2n…………an1+bn1

an2…annb11

a12…a1n

b21a22…a2n…………bn1

an2…ann+.a11

a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=

性質(zhì)3.行列式可按某一行(列)拆成兩個(gè)行列式之和.第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

a+u

b

+v

c

+

x

d+y

=[].+a

b

c

d

(A)u

v

x

y

例3.+u

b

x

d

(B)u

v

x

y

+a

b

c

d

a

v

c

y

+a

b

+vc

d+yu

b+v

x

d+y

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

a31

a32

a33a21a22

a23

a11a12

a13a11a12

a13

a21a22

a23

a31

a32

a33b11

b12

b13b21b22

b23

b31b32

b33

:======第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

a31

a32

a33a21a22

a23

a11a12

a13a11a12

a13

a21a22

a23

a31

a32

a33b11

b12

b13b21b22

b23

b31b32

b33

:======性質(zhì)4.互換行列式中的兩行(列),值變號(hào).第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

3210156201733210例4.=_____.3210

156201733210

3210

156201733210

=3210321032103210推論.若行列式D中有兩行(列)完全相同,

則D=0.

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

6420156201733210例5.=_____.3210

156201733210

=2性質(zhì)5.若行列式D中有兩行(列)成比例,

則D=0.

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

ka11

a12

a13

a21a22

a23

a31+ka11

a32+ka12

a33+ka13

=a11

a12

a13

a21a22

a23

a31

a32

a33

+0=a11

a12

a13

a21a22

a23

a31

a32

a33

+a11

a12

a13

a21a22

a23

ka11

ka12

ka13

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

性質(zhì)6.將行列式中某一行(列)的k倍加到另一行(列),所得的行列式與原行列式的值相等.a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

k=a11

a12

a13

a21a22

a23

a31+ka11

a32+ka12

a33+ka13

注:通常將上述轉(zhuǎn)化過(guò)程用

rkrj

,

ckcj

,

ri+krj,

ci+kcj

等記號(hào)表示,并寫(xiě)在等號(hào)的上方或下方.第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

例6(1)552353

21=2(21-53)=-64.2253

211153

21=2r1-

r2=(2)123456789=123333789=123333666=0.r2-

r1r3-

r1化成容易求解的行列式第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

(3)1+x1y11+x1y21+x1y31+x2y11+x2y21+x2y3

1+x3y11+x3y21+x3y3

解法一D=11+x1y21+x1y311+x2y21+x2y3

1

1+x3y21+x3y3

x11+x1y21+x1y3x21+x2y21+x2y3

x31+x3y21+x3y3

+y1

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

11+x1y21+x1y311+x2y21+x2y3

1

1+x3y21+x3y3

=1x1y2x1y31x2y2

x2y3

1

x3y2

x3y3

c2-c1c3-c1=0x11+x1y21+x1y3x21+x2y21+x2y3

x31+x3y21+x3y3

c2–y2c1c3–y3c1=x11

1

x21

1x31

1=0D=0+y10=0第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

(3)1+x1y11+x1y21+x1y31+x2y11+x2y21+x2y3

1+x3y11+x3y21+x3y3

解法二D=r2-r1r3-r11+x1y11+x1y21+x1y3(x2-x1)y1(x2-x1)y2(x2-x1)y3

(x3-x1)y1(x3-x1)y2(x3-x1)y3

=1+x1y11+x1y21+x1y3y1

y2

y3

y1y2

y3

(x2-x1)(x3-x1)=0第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

(4)111121113=111010113=111010002=2.r2-

r1r3-

r1化成上（下）三角行列式(5)023440-1134022340r1

r2=40-11023434022340r1-r3=1-4-1-102340163501162r3-3r1=r4-2r1(-1)(-1)1-4-1-1023434022340(-1)第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

r3–r2=r4–2r21-1-4-1032400141007-6r3

r4=1-4-1-102340163501162c2

c3=1-1-4-103240316506112(-1)1-1-4-10324007-600141r4–2r3=1-1-4-10324007-600013=-273(-1)第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

(6)3125+2310+110+15+23312=

r1r310+10+25+2312=

r2

+5r1r3

+(3)r110+10+25+2012+2+1=第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

10+10+25+2012+2+1=

=3.

10+1012+2+10+25+2=r2r310+1012+2+1003

=r3

+(2)r2第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

(7)11…11a…1

11…a

=(a+n1)…………a+n1a+n

1

…

a+n1

1a…1

11…a

…………nn

a1…11a…1

11…a

…………本解法參見(jiàn)教材14頁(yè)，還有另外的解法。

1

1

…10a-1

…0

0

0…a-1

(a+n1)

…………=r1+rii=2,…,nri-r1i=2,…,n=第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

(參見(jiàn)教材20頁(yè))

Dn=

a11

1…11a2

1

a3

1

an(8)

計(jì)算n階行列式(其中a1a2…an

0).

解：Dn

=0a2

0

a3

0

ani=2nai1cic1

-

nai1i=2a1-1

1…1………i=2n=(a1-)ai1…第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

Dn=

a1c

c…cba2

b

a3

b

an思考:

計(jì)算n階行列式“傘形”行列式=

ri–r1i=2,3,…,na1…11-a

a-1

1-a

a-1

…………例:

第(4)題的另一種解法a1…11a…1

11…a

……第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

(其中a1a2…an

0).Dn=1+a11…111+a2…1…………11…1+an(9)

計(jì)算n階行列式解:

Dn=1+a11…111+a2…1…………11…1+an

ri

–r1

i=2,3,,n=…第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

解:

Dn=1+a11…111+a2…1…………11…1+an1+a111…1a1

a20…0a10a3…0……………a100…anIlveit!=

ri

–r1

i=2,3,,n…

“傘形”行列式第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

=(1+a1)+(a1/ai)11…10

a20…000a3…0……………000…an=[1+(1/ai)]a1a2

an.

…i=1ni=2nc1

+(a1/ai

)cjj=2,3,…,n第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

注:為了不引起混淆,開(kāi)始的時(shí)候，每步最好只進(jìn)行一個(gè)操作.例如:abcda+cb+dcda+cb+d

abr1+r2abcdabcadbcdcadbr1+r2r2r1r2r1

熟練了以后，可以寫(xiě)成如下形式：abcda+cb+d

abr1+r2abcdcdcadbr2r1r2r1r1+r2第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

一般地,在n階行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列劃去,留下來(lái)的n1階行列式叫做元素aij的余子式,記作Mij.中a32的余子式為a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44a11

a13

a14

a21

a23

a24

a41

a43

a44M32=,代數(shù)余子式A32

=(1)3+2M32=M32.令A(yù)ij

=(1)i+jMij,并稱(chēng)之為aij的代數(shù)余子式.例如,四階階行列式

二.行列式按行(列)展開(kāi)

例假設(shè)D=,求

M21,A21,M24,A24.第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

023440-1134022340M21=解234402340A21=-M21M24=A24=M24023340234第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

定理1.2.n階行列式D等于它的任意一行(列)

的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.即

D

=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a21A21+a22A22+…+a2nA2n

=…=an1An1+an2An2+…+annAnn

=a11A11+a21A21+…+an1An1

=a12A12+a22A22+…+an2An2

=…=a1nA1n+a2nA2n+…+annAnn.

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.4線(xiàn)性方程組的求解

det(aij)4×4

=

a11a12

a13

a14a21a22

a23

a14a31a32

a33

a340

0

0

a44證明：以四階行列式為例，證明四階行列式的按行展開(kāi)定理，即對(duì)任意的1≤i≤4,

det(aij)4×4=ai1

Ai1+ai2

Ai2+···+ai4

Ai4

,其中

Aij

為aij的代數(shù)余子式。證明分為三種情形：

(1)i=4，并且

a41=a42=a43=0.此時(shí)det(aij)4×4=

a11a12

a13

a14a21a22

a23

a14a31a32

a33

a340

0

0

a44由行列式的定義，

det(aij)4×4=第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.4線(xiàn)性方程組的求解

(2)在行列式的第i行，除了一個(gè)元素aij外，其余3個(gè)元素均為零。例如，det(aij)4×4=

a11a12

a13

a1400

a230

a31a32

a33

a34a41a42

a43

a44a11a12

a14

a13a31a32

a34

a33a41a42

a44

a4300

0

a23a11a12

a13

a14a31a32

a33

a34a41

a42

a43

a4400

a230

==(-1)將第二行逐次與其下面一行進(jìn)行調(diào)換，直至第二行被調(diào)至最后一行將第三列逐次與其后面一列進(jìn)行調(diào)換，直至第三列被調(diào)至最后一列由情形(1)=

(-a23)

a11a12

a14

a31a32

a34

a41a42

a44

=a23

A23

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.4線(xiàn)性方程組的求解

類(lèi)似可證，如果在行列式的第i行，除了一個(gè)元素aij外，其余3個(gè)元素均為零，那么有det(aij)4×4

=

aij

Aij.det(aij)4×4=∑

a11a1j

a140

a2j

0

a31a3j

a34a41a4j

a44……………………j=14∑a2j

A2j.=由情形(2)j=14(3)一般情形。將det(aij)4×4

的第i行元素ai1,ai2,ai3,ai4中的每個(gè)元素改寫(xiě)成4個(gè)數(shù)之和(

以i=2為例

)

a21+0+0+0，

0+a22+0+0，0+0+a23+0，0+0+0+a24

。由行列式的性質(zhì)1.3，det(aij)4×4

可寫(xiě)成4個(gè)行列式之和。第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.4線(xiàn)性方程組的求解

推論1.3

n階行列式的任一行（列）的元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零，即當(dāng)i≠j時(shí)，

ai1

Aj1+ai2

Aj2+···+ain

Ajn

=0,

(1.8)

a1i

A1j+a2i

A2j+···+ani

Anj

=0.(1.9)a11

a12

…a1n

…

…

……ai1ai2…ain…

………ai1ai2…ain…

………

an1

an2

…

ann第i行第j行=(1.8)式左端（注:按第j行展開(kāi)）0=因?yàn)橛袃尚邢嗤谝徽滦辛惺胶途€(xiàn)性方程組的求解§1.4線(xiàn)性方程組的求解

例求D=。第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

023440-1134022340解274422340=a21A21+a24A24027342234D=0274400134222340c3+c4=(-4)+例求D=。第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

023440-1134022340或者，-1627-542234D=0274400134222340c3+c4=

=-162740001-54222340c1-4c4例求10213-12201314212-31043-14-25D=§1.3行列式的性質(zhì)

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解例7(1)

計(jì)算n階三對(duì)角行列式(參見(jiàn)教材18頁(yè))Dn=21

12

1

1

2

1,

1

2

1

1

2

D3=21

12

1

，

1

2D2=

21

12

，

…其中D1=2,§1.3行列式的性質(zhì)

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解解：按第一行展開(kāi)得Dn=21

12

1

1

2

1

1

2

1

1

2

=

2Dn-111

02

1

1

2

1

1

2

1

1

2

+

(-1)2+1=2

Dn-1

-

Dn-2,

因此，

Dn

-

Dn-1=

Dn-1

-

Dn-2=…=D2

-

D1=1,即

Dn

=

Dn-1+

1，即

Dn

=

Dn-1+

1=

Dn-2

+

2

=…=D1

+

n-1=n+1.思考:按第一列展開(kāi)呢？§1.3行列式的性質(zhì)

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解(2)計(jì)算n階行列式（參見(jiàn)教材24頁(yè)）Dn=53

2

5

3

2

5

3

2

5

3

2

5思考：

Dn=

a+bb

a

a+b

b

a

a+b

b

a

a+b

b

a

a+b第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

注:三對(duì)角行列式

Dn=pDn1+qDn2

按第一行展開(kāi)得令Dn+xDn1=y(Dn1+xDn2),則y

x

=p,xy=q.

§1.3行列式的性質(zhì)

第一章行列式和線(xiàn)性方程組的求解(3)計(jì)算n階行列式(n≥2)Dn=

a+bab

1a+b

ab

1a+b

ab,