幾何與代數(shù)：第10周第1-2次-極大無關(guān)組-基與坐標(biāo)-內(nèi)積-正交

向量組1,2,…,s線性相關(guān)存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks,使得k11+k22+…+

kss=方程組(1,2,…,s)

x=

有非零解xr

(1,2,…,s)=

r{1,2,…,s}<s§4.2向量組的線性相關(guān)性第四章n維向量有一個(gè)向量i可以被其他的向量線性表示行列式|1,2,…,s|=0(若向量組是s維的)另外，還有一些特殊的情形

向量組1,2,…,s線性無關(guān)由k11+k22+…+

kss=可推得k1=k2=…=ks=0

方程組(1,2,…,s)

x=

只有零解r

(1,2,…,s)=

r{1,2,…,s}=

s§4.2向量組的線性相關(guān)性第四章n維向量行列式|1,2,…,s|≠0(若向量組是s維的)極大無關(guān)組的內(nèi)容見上周PPT關(guān)于極大無關(guān)組的總結(jié)：1.兩個(gè)等價(jià)的定義；3.如何求極大無關(guān)組2.不唯一性；等價(jià)性；

等量性=>向量組的秩(=矩陣的秩)例如果向量組

1,2,…,

s的秩為r,證明:

1,2,…,

s中的任意r個(gè)線性無關(guān)的向量

都是其極大無關(guān)組.§4.2向量組的線性相關(guān)性第四章n維向量1,2,…,s極大無關(guān)組極小生成元：子空間V基極小生成元：一維空間：{x|x∈R}二維空間：{(x,y)|x,y∈R}三維空間：{(x,y,z)|x,y,z∈R}x=x·1(x,y)=x·(1,0)+y·(0,1)(x,y,z)=x·(1,0,0)+y·(0,1,0)+z(0,0,1)(x,y)=m+n

(只要,不共線)(x,y,z)=k1+k2+k3(只要,,不共面)第四章n維向量§4.3基和維數(shù)

第四章

n維向量第3節(jié)子空間的基和維數(shù)Basis,dimension一.向量空間的基與維數(shù)(basis,dimension)稱1,2,…,r

為子空間V的一組基,如果:稱r為V的維數(shù).記為r=dim(V).①1,2,…,r線性無關(guān),②V都能由1,2,…,r線性表示.定義第四章n維向量§4.3基和維數(shù)一.向量空間的基與維數(shù)(basis,dimension)n維基本單位向量組就是Rn的一組基,dim{Rn}=n;注(3)零空間沒有基,規(guī)定dim{0}=0.注(2)注(1)子空間的基就是這個(gè)子空間的極小

生成元集。并且基之間是等價(jià)的。第四章n維向量§4.3基和維數(shù)例求R3

的子空間

V=xyx+2y-3z=0z的一組基及維數(shù).第四章n維向量§4.3基和維數(shù)注1我們還將會(huì)介紹更一般的求齊次方程組解空間的基的方法.注2上述子空間V對(duì)應(yīng)一個(gè)平面，該平面上的任意兩個(gè)不共線的向量都是基.定理4.7.1,2,…,s的極大無關(guān)組即為子空間

L(1,2,…,s)的基，并且dimL(1,…,s)=r(1,…,s).第四章n維向量§4.3基和維數(shù)例

假設(shè)向量組

1

=(1,2,-1)T,

2

=(2,-1,3)T,3

=(3,1,2)T,試求子空間L(1,2,3)的一組基及維數(shù).例

假設(shè)向量組

1

=(1,2,-1),

2

=(2,-1,3),3

=(3,1,2),試求子空間L(1,2,3)的一組基及維數(shù).第四章n維向量§4.3基和維數(shù)上面兩道例題，一個(gè)是列向量組，一個(gè)是行向量組，但本質(zhì)是一樣的。例

假設(shè)矩陣試求矩陣A的列空間的一組基及維數(shù).23-11-132A=.聯(lián)系上面例子，即可得答案.第四章n維向量§4.3基和維數(shù)三.向量在基下的坐標(biāo)(coordinates)設(shè)1,2,…,r是V的一組基,由定義,V,唯一的一組有序?qū)崝?shù)k1,k2,…,kr使得

=k11+k22+…+krr.稱(k1,k2,…,kr)T為

在1,2,…,r

這組基下的坐標(biāo).第四章n維向量§4.3基和維數(shù)定義例

假設(shè)向量組

1

=(1,2,-1)T,

2

=(2,-1,3)T,

3=(3,1,2)T,試求子空間L(1,2,3)的一組基，并求3

在所求基下的坐標(biāo).例

假設(shè)向量組

1

=(1,2,-1),

2

=(2,-1,3),3

=(3,1,2),試求子空間L(1,2,3)的一組

基，并求3

在所求基下的坐標(biāo).第四章n維向量§4.3基和維數(shù)

對(duì)于行向量組，可以將其轉(zhuǎn)化為列向量組來考慮。通常不交代時(shí)，認(rèn)為是列向量組.求

在基1,2,…,r

下的坐標(biāo)(k1,k2,…,kr)T第四章n維向量§4.3基和維數(shù)求(k1,k2,…,kr)T使得

=k11+k22+…+krr

求解方程組(1,2,…,r)x=

如何求坐標(biāo)？四.基變換與坐標(biāo)變換(changeofbasis/coordinates)設(shè)1,2,…,s和1,2,…,s是V的兩組基,則存在ss矩陣C使定義第四章n維向量§4.3基和維數(shù)1=

c111+

c212+…+

cs1s,2=c121+

c222+…+

cs2s,……s=

c1s1+

c2s2+…+

csss,稱為從基1,2,…,s到1,2,…,s的過渡矩陣C=

c11,c12,…,

c1s

c21,c22,…,

c2s……

cs1,cs2,…,

css

設(shè)1,2,…,s和1,2,…,s是V的兩組基,

ss矩陣C是從1,2,…,s到1,2,…,s的過渡矩陣.則有(1,2,…,s)=(1,2,…,s)C.注1：第四章n維向量§4.3基和維數(shù)注2：過渡矩陣一定可逆設(shè)1,2,…,n和1,2,…,n是Rn的兩組基,

nn矩陣C是從1,2,…,n到1,2,…,n的過渡矩陣.若兩組基是列向量組，則有(1,2,…,n)=(1,2,…,n)C.注3：第四章n維向量§4.3基和維數(shù)C=(1,2,…,n)-1(1,2,…,n).定理4.8

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換(一般情形)(1)設(shè)列向量1,2,…,s和1,2,…,s是Rn子空間V的兩組基(s未必等于n),Rn在這兩組基下的坐標(biāo)分別為x,y,則

=(1,2,…,s)x,=(1,2,…,s)y.(1,2,…,s)x=

(1,2,…,s)yx=Cy或者

y=C-1x第四章n維向量§4.3基和維數(shù)(1,2,…,s)x=

(1,2,…,s)C

y定理4.8坐標(biāo)轉(zhuǎn)換(

2維情形)(2)設(shè)列向量1,2和1,2

是R2的兩組基(若不是列向量，看做列向量),V

在這兩組基下的坐標(biāo)分別為x,y,則

=(1,2)x,=(1,2)y.

(1,2)x=(1,2)yx=(1,2)-1

(1,2)y第四章n維向量§4.3基和維數(shù)從1,2到1,2的過渡矩陣定理4.8坐標(biāo)轉(zhuǎn)換(

3維情形)(3)設(shè)列向量1,2,3和1,2,3是R3的兩組基,V

在這兩組基下的坐標(biāo)分別為x,y,則

=(1,2,3)x,=(1,2,3)y.(1,2,3)x=(1,2,3)yx=(1,2,3)-1

(1,2,3)y第四章n維向量§4.3基和維數(shù)從1,2,3到1,2,3的過渡矩陣?yán)?/p>

R3

有一組基e1,e2,e3以及另外一組基1

=(1,0,0)T,

2

=(1,1,0)T,3=(1,1,1)T.(1)設(shè)在基e1,e2,e3下的坐標(biāo)為(3,2,1),求在基1,2,3下的坐標(biāo)；(2)設(shè)在基1,2,3下的坐標(biāo)為(1,2,3),求在基e1,e2,e3下的坐標(biāo).第四章n維向量§4.3基和維數(shù)如果已知一個(gè)子空間的維數(shù)是n,那么該子空間中任意n個(gè)線性無關(guān)的向量必定是一組基.如果已知一個(gè)子空間的維數(shù)是n,那么該子空間中任意向量組的秩≤n.

如果一個(gè)向量組中含有它所在子空間的一組基,那么這組基必是該向量組的一個(gè)極大無關(guān)組.關(guān)于基的幾個(gè)常用結(jié)論第四章n維向量§4.3基和維數(shù)作業(yè)習(xí)題四（B）

20,21,22,23;上交時(shí)間：11月27日（周二）

思考：Rn

有沒有一個(gè)真子集構(gòu)成一個(gè)

n維子空間?

第四章

n維向量第4節(jié)向量的內(nèi)積Innerproduct§4.4向量的內(nèi)積三維向量的內(nèi)積長(zhǎng)度\夾角問：n維空間中向量的長(zhǎng)度是什么？

向量之間的夾角又是什么？向量的坐標(biāo)第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積一.Rn中向量的內(nèi)積,長(zhǎng)度和夾角1.設(shè)

=(a1,a2,…,an),

=(b1,b2,…,bn),記為<,>,即則稱實(shí)數(shù)aibi

為向量與的內(nèi)積

.n

i=1<,>=aibi=T.

n

i=1第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積若

=(a1,a2,…,an)T,

=(b1,b2,…,bn)T,<,>=aibi=T.

n

i=1稱實(shí)數(shù)aibi

為向量與的內(nèi)積,則n

i=12.內(nèi)積的基本性質(zhì)

對(duì)稱性:

<,>=<,>;(2)線性性:<k11+k22,>=k1<1,>+k2<2,>;(3)<,>0;且<,>=0

=

0.(4)(Cauchy-Schwartz不等式)

|<,>|<,><,>.第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積考察y

=<,>x2+2<,>x+<,>.n=(xai+bi)2

0i=1=(2<,>)24<,><,>0<,>2

<,><,>.第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積(4)(Cauchy-Schwartz不等式)

|<,>|<,><,>.3.對(duì)于n維實(shí)向量,稱

<,>為的長(zhǎng)度

或模,

記為||||,即4.長(zhǎng)度的基本性質(zhì)(3)三角不等式:<,>||||==ai2

n

i=1(1)正定性:||||0;且||||=0=;(2)齊次性:||k||=|k|·||||(kR);||+||||||+||||.第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積Cauchy-Schwartz不等式的重新表述

|<,>|||||||||.5.長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量.對(duì)于非零向量,||||1是一個(gè)單位向量.——單位化/標(biāo)準(zhǔn)化.第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積8.勾股定理

⊥<=>6.設(shè),Rn,若0,0,則定義,的7.若<,>=0,則稱與正交(orthogonal),記為⊥.

夾角為=arccos<,>||||·||||,0

||+||2=||||2+||||2(,

≠).第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積例1.設(shè),Rn,且與線性無關(guān),求常數(shù)k使

+k與正交.二.正交向量組和Schmidt正交化方法

(orthogonalvectors,Gram-Schmidtprocess)正交向量組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基1.概念第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積發(fā)現(xiàn)的結(jié)論

設(shè)1,2,…,s是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組,

且

=k11+k22+…+kss,

則ki=<,i>,i=1,2,…,s.2.結(jié)論定理4.10.非零1,2,…,s正交線性無關(guān).定理4.11每個(gè)非零的向量空間V

都有標(biāo)準(zhǔn)

正交基.第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積1=1,………Schmidt正交化方法(務(wù)必掌握)：2=2<2,1><1,1>1,s=s<s,1><1,1>1…<s,s1><s1,s1>s1再將1,2,…,s單位化得:1=1

||1||,2=2

||2||,…,s=s

||s||.第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積另外，從上述構(gòu)造可總結(jié)：

設(shè)1,2,…,s線性無關(guān)(s2),則存在一個(gè)正交向量組1,2,…,s使得

1,2,…,t與1,2,…,t等價(jià)