101分類計數(shù)與分步計數(shù)

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各位專家老師蒞臨我班指導(dǎo)教育教學(xué)工作!10.1兩個計數(shù)原理要點梳理1.分類加法計數(shù)原理

完成一件事有n類不同的方案,在第一類方案中有m1種不同的方法,在第二類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法,則完成這件事情,共有N=

種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事情需要分成n個不同的步驟,完成第一步m1種不同的方法,完成第二步有m2種不同的方法,……,完成第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事情共有N=

種不同的方法.㈠幾種分類問題的解決方法

1.探索法:對情況復(fù)雜,不易發(fā)現(xiàn)規(guī)律的問題,要仔細分析,探索其中規(guī)律,再予以解決.eg1.從1到10的整數(shù)中,每次取兩個不同數(shù),使它們的和大于10,問不同的取法有多少種?分析:此題數(shù)字較多,情況不一樣.需要分析摸索其規(guī)律.為方便,我們設(shè)兩個加數(shù)中較大的為x,兩個加數(shù)中較小的為y,即x+y>10當x=10時,y=9,8,7,6,5,4,3,2,1(有9種);當x=9時,y=8,7,6,5,4,3,2(有7種);當x=8時,y=7,6,5,4,3(有5種);當x=7時,y=6,5,4(有3種);當x=6時,y=5(有1種);共有9+7+5+3+1=25種訓(xùn)練題1:從0到9的數(shù)字構(gòu)成的兩位數(shù)中,問其中十位數(shù)字小于各位數(shù)字有多少個?答案:8+7+6+5+4+3+2+1=36個想一想⑴:從0到9的數(shù)字構(gòu)成的兩位數(shù)中,問其中十位數(shù)字大于各位數(shù)字有多少個?2.直排枚舉法:也稱“窮舉法或列舉法”.當題目中的附加條件增多,結(jié)果數(shù)目不大,解決它的方法又不一般,采用窮舉法有時能取得意想不到的效果。eg2某用戶計劃用不超過500元的資金購買單價分別為60元,70元的磁盤A和B,其中要求A磁盤至少3個,B磁盤至少2個,問有多少種不同的選購方法?分析:設(shè)選購A磁盤x個,B磁盤y個,則有當x=3時,y=2,3,4(3種)當x=4時,y=2,3(2種)當x=5時,y=2(1種)當x=6時,y=2(1種)共有7種訓(xùn)練:1.某人欲用拾元,伍元,貳元,壹元幣若干張去支付15元車費,問有多少種不同的支付方法?答案:22種3.對應(yīng):有些時候,一個事件與一個結(jié)果之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系。eg1.在100名選手之間抽簽進行單循環(huán)淘汰賽(即一場比賽后,失敗者永久退出比賽.無人抽簽的選手和比賽后的勝者競爭),問到最后產(chǎn)生一名冠軍,需舉行多少場比賽?分析:要產(chǎn)生一名冠軍,需要淘汰99名選手.要淘汰掉一名選手,必須舉行一場比賽;反之,每場比賽恰淘汰一名選手.兩者之間一一對應(yīng).故要淘汰99名選手,應(yīng)舉行99場比賽,從而產(chǎn)生一名冠軍.答案:99場.1.“樹形”圖:對某些分步進行的問題,可依次對每步可能出現(xiàn)的情況用“樹”狀圖形表示

eg1.四人各寫出一張賀卡,先集中起來,然后每人從中拿一張別人送出的賀卡,則四張賀卡的不同分配方式有多少種?㈡幾種分類問題的解決方法1.“樹形”圖:對某些分步進行的問題,可依次對每步可能出現(xiàn)的情況用“樹”狀圖形表示

㈡幾種分類問題的解決方法分析:將四張賀卡分別記為A,B,C,D.由題意,某人（不妨設(shè)為A卡的供卡人）取卡有3種情況.因此將卡的不同分配方式分為三類,對于每一類,其它人依次取卡分步進行.為避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象,可用樹狀圖表示.ABCDABCDABCD↗A→D→C↗A→D→B↗A→B→CB→C→D→AC→D→A→BD→C→A→B↘D→A→C↘D→B→A↘C→B→A所以共有9種不同的分配方式.2.住店法:解決允許重復(fù)排列問題要注意區(qū)分兩類元素:一類元素可以重復(fù),另一類不能重復(fù).把不能重復(fù)的元素看成“旅客”,能重復(fù)的元素看成“旅店”.在利用乘法原理直接求解的方法稱為“住店法”.想一想:m個旅客投宿到n旅店,有多少種投宿方法?有種eg2.有5名運動員爭奪3個項目的冠軍(沒有并列),問所有可能的結(jié)果有多少種?分析:因為同一運動員可以同時奪得幾項冠軍,故運動員可以重復(fù)排列,將5名運動員看作五個信箱,3項冠軍看成3封信,每封信可以投進五個信箱,有5種投遞方法.由乘法原理知有5×5×5=125種.練習(xí):1.有4名學(xué)生報名參加跳高、跳遠、跳繩三項比賽,每人限報一項,問有多少種不同的報名方法?2.有4名學(xué)生爭奪跳高、跳遠、跳繩三項比賽的冠軍,每項只有一個冠軍,問有多少種不同的冠軍結(jié)果?3.三個班欲到5個風(fēng)景點去游覽,每班只能選一個景點,問有多少種不同的選法?練習(xí):1.有4名學(xué)生報名參加跳高、跳遠、跳繩三項比賽,每人限報一項,問有多少種不同的報名方法?2.有4名學(xué)生爭奪跳高、跳遠、跳繩三項比賽的冠軍,每項只有一個冠軍,問有多少種不同的冠軍結(jié)果?2.有4名學(xué)生爭奪跳高、跳遠、跳繩三項比賽的冠軍,每項只有一個冠軍,問有多少種不同的冠軍結(jié)果?練習(xí):1.有4名學(xué)生報名參加跳高、跳遠、跳繩三項比賽,每人限報一項,問有多少種不同的報名方法?2.有4名學(xué)生爭奪跳高、跳遠、跳繩三項比賽的冠軍,每項只有一個冠軍,問有多少種不同的冠軍結(jié)果?3.三個班欲到5個風(fēng)景點去游覽,每班只能選一個景點,問有多少種不同的選法?練習(xí):1.有4名學(xué)生報名參加跳高、跳遠、跳繩三項比賽,每人限報一項,問有多少種不同的報名方法?2.有4名學(xué)生爭奪跳高、跳遠、跳繩三項比賽的冠軍,每項只有一個冠軍,問有多少種不同的冠軍結(jié)果?4.若某三角形的三邊長均為整數(shù),問最長邊為8的三角形有多少個?練習(xí):1.

答:81種練習(xí):2.答:64種練習(xí):3.答:125種練習(xí)題答案練習(xí):1.

答:81種練習(xí)題答案練習(xí):1.

答:81種練習(xí)題答案練習(xí):1.

答:81種練習(xí)題答案練習(xí):2.答:64種練習(xí):1.

答:81種練習(xí)題答案練習(xí):3.答:125種練習(xí):2.答:64種練習(xí):1.

答:81種練習(xí)題答案練習(xí):3.分析:另兩邊用字母x、y表示,且不妨設(shè)1≤x≤y≤8,x+y≥9,x-y＜8當y=8時,x=1,