第6章iir濾波器設(shè)計(jì)-引言常用模擬方法

6.1引言6.2常用模擬濾波器簡(jiǎn)介和設(shè)計(jì)概述6.3用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器6.4頻率變換法6.5IIR濾波器的直接設(shè)計(jì)法6.6簡(jiǎn)單形式的濾波器26.1.1

濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)ωpωωsπα2通帶過(guò)渡帶阻帶|H(ejω

)|11-α10實(shí)際數(shù)字濾波器幅頻特性（以低通濾波器為例）四個(gè)頻率點(diǎn)：0、p

、s

、π頻響誤差：1：通帶誤差容限(δ1,dB)2：阻帶誤差容限(δ2,dB)3間接設(shè)計(jì)法：從模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)換、S域→Z域的

、頻率變換(模擬、數(shù)字)6.1.2

IIR濾波器的間接設(shè)計(jì)法46.1引言6.2常用模擬濾波器簡(jiǎn)介和設(shè)計(jì)概述6.3用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器6.4頻率變換法6.5IIR濾波器的直接設(shè)計(jì)法6.6簡(jiǎn)單形式的濾波器56.2

常用模擬濾波器簡(jiǎn)介和設(shè)計(jì)概述*0

Ωp

Ωsα211-α11

20

lg

20

lg

Ha

(

j

p

)

20

lg(1

1

)Ha

(

j0)Ha

(

j

p)22Ha

(

j0)

20

lg

20

lg

Ha

(

js

)

20

lgHa

(

js

)模擬濾波器幅頻響應(yīng)的主要指標(biāo)主要設(shè)計(jì)指標(biāo)：?p、?s、α1、α2、(δ1、δ2)6當(dāng)系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)ha(t)為實(shí)函數(shù)時(shí)7H

(

j)

2

H

(

j)H

*(

j)

H

(

j)H

(

j)

H

(s)H

(s)a

a

a

a

a

a

as

jHa(s)的求解步驟：確定|Ha(s)|2；將|Ha(s)|2分解因式，得到所有零點(diǎn)和極點(diǎn)；將s左邊平面的極點(diǎn)歸于Ha(s)，s右半平面的極點(diǎn)歸于Ha(-s)

；零點(diǎn)劃分較靈活，根據(jù)實(shí)際需要，如要求最小相位系統(tǒng)，則將s左邊平面的極點(diǎn)歸于Ha(s)確定增益常數(shù)6.2.1

由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)6.2.2

沃思(Butterworth)低通濾波器a11

(

)2

NH

(

j)

2

8沃思

近又稱(chēng)為最平幅度

近。沃思濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是無(wú)波紋，單調(diào)衰減的幅度平方函數(shù)122a

ca

cH

(

j

)

2

H

(

j )

c(1)當(dāng)=0時(shí)，|Ha(jΩ)|2=0，無(wú)衰減；

c稱(chēng)為截止頻率,1當(dāng)=c時(shí)有又稱(chēng)c為沃思低通濾波器的3dB截止頻率(6)注意3dB截止頻率與通帶截止頻率的區(qū)別！(3)幅度平方響應(yīng)函數(shù)隨增加而單調(diào)遞減；當(dāng)<c時(shí),濾波器的幅頻特性曲線(xiàn)很平坦，并且當(dāng)N越大時(shí)，衰減得越慢，曲線(xiàn)越平坦當(dāng)>c時(shí),曲線(xiàn)迅速下降，并且當(dāng)N越大時(shí)，衰減得越快，曲線(xiàn)越陡峭0.511.522.5300.100.20.30.50.40.60.70.80.91N=29N=4N=82|Ha(j)|幅度平方函數(shù)的零極點(diǎn)分布k2

2

N2

N1k

1,2,...,2Njc

c

e

，極點(diǎn)：s

(1)j

2k

1

ja

a2

N1sjc1

()H

(s)

2

H

(

j)

2

s3

222N

2k

12H

(s)

:a沃思濾波器為全極點(diǎn)濾波器；2N個(gè)極點(diǎn)均勻分布于Ωc圓上，間隔的相角為π/N弧度；虛軸上無(wú)極點(diǎn)，N為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上無(wú)極點(diǎn)，N為奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有極點(diǎn)s左半平面的極點(diǎn)歸于Ha(s)

1

k

N

12

2即:k

1,2,...,N10設(shè)計(jì)方法2

a

s

2

N

20

lg

H

(

j

)

10

lg

1

s

c

a1c1

(

)2

NH

(

j)

2

1

a

p

2

N

20lg

H

(

j )

10

lg

1

p

c

沃思濾波器的性能參數(shù)有階數(shù)N和截止頻率Ωc給定設(shè)計(jì)指標(biāo)：Ωp、Ωs、α1、α2、(δ1、δ2)如何求N和?c？階數(shù)N的確定：212

Ns

/10

/10

10

110

1

p

111

a

p

2

N

20

lg

H

(

j )

10

lg

1

p

c

2

a

s

s

2

N

20lg

H

(

j

)

10

lg

1

c

1pc2

N

/10

10

1c22

N

/10s

10

13dB截止頻率?c的確定：根據(jù)δ1和δ2定義都能確定?c根據(jù)δ1定義確定，根據(jù)δ2定義確定，12ca

anH

(s)

H

(

s

)查表法工程應(yīng)用中常將截止頻率Ωc歸一化為1，作為原型濾波器，用表格的方式給出濾波器的系數(shù)或極點(diǎn)，不同截止頻率的濾波器可根據(jù)原型濾波器求出。具體的變換方法：(1)設(shè)Han

(s)為歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)

c為所求濾波器的3dB截止頻率(3)所求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為Ha

(s)，則13求濾波器階數(shù)N求3dB截止頻率Ωc查表得歸一化的N階系統(tǒng)函數(shù)

Han(s)根據(jù)極點(diǎn)分布規(guī)律求出N個(gè)極點(diǎn)將歸一化系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)Ωc的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)求出系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)沃思濾波器設(shè)計(jì)步驟1411/10lg2

lg

2s

/10

102

/10

1030/101

1

lg

10

1

2

N

N

10

1

5.94691

101

/101

sp

2

lg

p212

101/10crad

/

s2

N

101

/10

p

2.238411412

1030/10crad

/

s2

N

102

/10s

2.249611例6.1

設(shè)計(jì)如下指標(biāo)要求

模擬低通濾波器

p

2rad

/

s,1

1dB;

s

4rad

/

s,2

30dB解：210

/10取N=6，根據(jù)δ1定義式：根據(jù)δ2定義式：151

3.8637s5

7.4641s4

9.1416s3

7.4641s2

3.8637s

1s6H

(s)

anca

anH

(s)

H

(

s

)s6125.7745

8.6484s5

37.3974s4

102.5226s3

187.3726s2

217.1022s

125.7745H

(s)

a1s6129.5917

8.6916s5

37.772s4

104.0667s3

191.1447s2

222.5793s

129.5917H

(s)

a

2方法1：查表法當(dāng)Ωc=2.2384當(dāng)Ωc=2.2496016ad

125.7745

H

(0)

1d0

129.5917幅頻平方響應(yīng)曲線(xiàn)12456-700-20-30-40-50-60-1003

(rad/s)20log(|H

a(j)|)a217H

(s)a1H

(s)方法2：零極點(diǎn)分布1

k

1,2,...,6s

(1)2 2

Njc

c

e2

Nk，j

2k

1

sk

-0.5793

2.1621i-1.5828

1.5828i-

2.1621

0.5793i取Ωc=2.2384018da(s)Ha

(s)

a(s)

s6

8.6485s5

37.3984s4

102.5265s3187.3822s2

217.1162s

125.78420

d

125.7842

Ha

(0)

16.2.3

切比

(Chebyshev)低通濾波器19沃思濾波器的特點(diǎn)：通帶阻帶內(nèi)都是單調(diào)下降的。若保證通帶邊緣滿(mǎn)足設(shè)計(jì)指標(biāo)，在通帶內(nèi)有很大裕量→可能是一種浪費(fèi)切比

濾波器：通帶或阻帶內(nèi)具備等波紋特性Chebyshev濾波器和Butterworth濾波器幅頻特性比較（N=6）0246810-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50

(rad/s)20log(|H(j)|)

(dB)Chebyshev

N=6Butterworth

N=6c=51=3dB切比

濾波器分為I型和II型I型幅頻特性在通帶內(nèi)等波紋，在阻帶內(nèi)單調(diào)下降II型幅頻特性在阻帶內(nèi)等波紋，在通帶內(nèi)單調(diào)下降012345678-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50N=6012345678910-80-30-40-50-60-70-20-10020切比濾波器的幅度特性描述*0

Ωp

Ωs111

20

lg

Ha

(

j

p

)

20

lg

20

lg1

21/

1

22

a

sA

20

lg

H

(

j

)

20

lg

1

20

lg

A21I型切比1aNH

(

j)

2

1

C2

2p

CN

(x)

ch(Narcch(x))

x

1I型切比濾波器的特點(diǎn)濾波器幅度平方函數(shù)參數(shù)ε：控制波紋的大小參數(shù)Ωp：通帶截止頻率（不一定是3dB截止頻率）CN(x)：切比

多項(xiàng)式cos(N

arccos(x))

x

122NCN

(x)011x22x2

134x3

3x48x4

8x2

1CN

1

(x)

(x)

CN

1(x)切比

多項(xiàng)式及其遞推關(guān)系式CN(1)=1CN(0):(奇數(shù)過(guò)零偶數(shù)過(guò)1)23幅度函數(shù)的特點(diǎn)(1)在?=0處：N為偶數(shù)時(shí)，|Ha(j0)|=1/(1+ε2)1/2；N為奇數(shù)時(shí)，|Ha(j0)|=1；(奇數(shù)過(guò)零偶數(shù)過(guò)1)(2)在?

=

?p處：

|Ha(j

?p)|=1/(1+ε2)1/2

，并且所有階切比

濾波器的幅頻特性曲線(xiàn)都通過(guò)這一點(diǎn)；?<?p時(shí)：為通帶，|Ha(j?)|在1~1/(1+ε)1/2，間等波紋起伏，且最大最小值點(diǎn)的數(shù)量為N；?>?p時(shí)：|Ha(j?)|迅速減小，并趨近于零。1aNH

(

j)

2

1

C2

2p

2411

20

lg

20

lg

1

21/

1

2101

/101p、s、1、2

參數(shù)ε的確定：根據(jù)通帶最大波紋的定義（設(shè)δ1為等波紋值）

階數(shù)N的確定：可由阻帶最小衰減δ2和截止頻率?s確定1/

A12

20

lg

A

20

lg

A

102

/

20

A2

102

/10251A2H

(

j

)

2

a

s

1

s1

2C

2N

p

sA21

1

CN

p

s

s

N

ch

Narcch

p

p

C21

sch

Narcch

A

1A2102

/10

p

arcch

11

arcch

11

N

arcch

sarcch

sp

p

26求階數(shù)N求參數(shù)ε查表得原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)

Han(s)直接求N個(gè)極點(diǎn)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)Ωc的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)導(dǎo)出系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)切比濾波器設(shè)計(jì)步驟27例題1

0.5088101

/10

1sparcch

1.5385102

/10arcch

11

arcch

102

1

0.5088N

3.6803

arcch

取N=4?p=6.5

π,

?s=10

π例6.2

設(shè)計(jì)滿(mǎn)足如下指標(biāo)的切比

濾波器?≤6.5πrad/s的通帶內(nèi)幅度下降小于1dB，在?≥10πrad/s的阻帶范圍內(nèi)衰減大于20dB。解：

求參數(shù)：28s4and0H

(s)

0.9528s3

1.4539s2

0.7426s

0.27560000ada

1

a

dN為奇數(shù)時(shí)，H

(

j0)

Nana s

N

ad0s

N

1

...

a

s

a1

0N

1

H

(s)001

2ad

1aN為偶數(shù)時(shí)，H

(

j0)

029

0.24571

2a0

d

歸一化原型濾波器：d0的確定方法：s430)19.46s3

6.0627

102

s2

6.3235103

s

4.7926

1044.2715104s6.5H

(s)

H

(

s

)

H

(anca

anChebyshev濾波器系統(tǒng)函數(shù)：幅頻特性：024681012-35-25-30-20-5-10-150X:10Y:

-22.74

(rad/s)20log|Ha(j)|(dB)X:6.5Y:

-131

c

a2

2N21H

(

j)

1

UU

(x):N階雅可比橢圓函數(shù)N幅度平方函數(shù)：6.2.4

其它模擬濾波器橢圓濾波器：參數(shù)ε：控制波紋的大小參數(shù)Ωc：通帶截止頻率特點(diǎn)：幅頻響應(yīng)在通帶和阻帶都是非平坦且等波紋的32三種低通濾波器幅頻特性比較（N=6，δ1＝3dB，?c=5rad/s）1235678-800-70-600-10-20-30-40-504

(rad/s)33(j)|)

(dB)20log(|H

aButterworthChebyshevEllipses

NNa10b0A

(s)H

(s)

b0

a s

N

1

...

a

a

sN

1