(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第59講《離散型隨機(jī)變量及其分布列》達(dá)標(biāo)檢測(cè)(解析版)

《離散型隨機(jī)變量及其分布列》達(dá)標(biāo)檢測(cè)[A組]—應(yīng)知應(yīng)會(huì)1．（2019春?金鳳區(qū)校級(jí)期末）下列表格可以作為ξ的分布列的是（）A． ξ013Pa1﹣aB． ξ123P﹣1C． ξ45P01D．ξ﹣112P2aa2+2【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)0≤P≤1以及各概率之和等于1，能求出正確結(jié)果．【解答】解：根據(jù)分布列的性質(zhì)0≤P≤1以及各概率之和等于1，在A中，各概率之和為＞1，故A錯(cuò)誤；在B中，﹣，故B錯(cuò)誤；在C中，滿足分布列的性質(zhì)0≤P≤1以及各概率之和等于1，故C正確；在D中，＝（a+1）2+＞1，故D錯(cuò)誤．故選：C．2．（春?越秀區(qū)期末）若隨機(jī)變量X的分布列為X123P0.2a3a則a的值為（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【分析】根據(jù)概率之和等于1計(jì)算．【解答】解：∵0.2+a+0.3a＝1，∴a＝0.2．故選：B．3．（春?寧德期末）若隨機(jī)變量η的分布列如表：η﹣2﹣10123P0.10.20.20.30.10.1則P（η＜1）＝（）A．0.8 B．0.5 C．0.3 D．0.2【分析】P（η＜1）＝P（η＝0）+P（η＝﹣1）+P（η＝﹣2），由隨機(jī)變量η的分布列能求出結(jié)果．【解答】解：由隨機(jī)變量η的分布列知：P（η＜1）＝P（η＝0）+P（η＝﹣1）+P（η＝﹣2）＝0.2+0.2+0.1＝0.5．故選：B．4．（春?桂林期末）已知隨機(jī)變量X的分布列是X123Pab則a+b＝（）A． B． C．1 D．【分析】由隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)直接求解．【解答】解：由隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)得：＝1，解得a+b＝．故選：A．5．（春?順義區(qū)期末）已知隨機(jī)變量X的分布列如表（其中a為常數(shù)）X012345P0.10.1a0.30.20.1則P（1≤X≤3）等于（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7【分析】根據(jù)概率之和為1計(jì)算a，再計(jì)算P（1≤X≤3）．【解答】解：由概率之和等于1可知a＝0.2，∴P（1≤X≤3）＝0.1+0.2+0.3＝0.6．故選：C．6．（春?渭濱區(qū)期末）設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為，則等于（）A． B． C． D．【分析】隨機(jī)變量ξ的分布列的性質(zhì)求出a＝0.1，由此根據(jù)＝P（ξ＝）+P（ξ＝），能求出結(jié)果．【解答】解：∵隨機(jī)變量ξ的分布列為，∴a+2a+3a+4a＝1，解得a＝0.1，∴＝P（ξ＝）+P（ξ＝）＝2×0.1+3×0.1＝．故選：D．7．（春?鄭州期末）隨機(jī)變量X的分布列如下：X﹣101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P（|X|＝1）＝（）A． B． C． D．【分析】由隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)得a+b+c＝1，且a，b，c∈[0，1]．由a，b，c成等差數(shù)列，得2b＝a+c，從而能求出P（|x|＝1）＝P（X＝﹣1）+P（X＝1）的值．【解答】解：∵隨機(jī)變量X的分布列如下：X﹣101Pabc∴a+b+c＝1，且a，b，c∈[0，1]．①∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a+c，②聯(lián)立①②，得b＝，a+c＝，∴P（|x|＝1）＝P（X＝﹣1）+P（X＝1）＝a+c＝．故選：D．8．（2019春?白山期末）隨機(jī)變量X的分布列如表，其中a，b，c成等差數(shù)列，且，X246Pabc則P（X＝2）＝（）A． B． C． D．【分析】由a，b，c成等差數(shù)列，且，利用隨機(jī)變量X的分布列和性質(zhì)列出方程組，能求出a，b，c，由此能求出P（X＝2）的值．【解答】解：∵a，b，c成等差數(shù)列，且，∴由隨機(jī)變量X的分布列得：，解得a＝，b＝，c＝，∴P（X＝2）＝a＝．故選：C．9．（2019春?鄒城市期中）已知隨機(jī)變量X的概率分布為P（X＝n）＝（n＝0，1，2），其中a是常數(shù)，則P（0≤X＜2）的值等于（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)條件，由概率分布的性質(zhì)概率之和為1，分析即可求出a的值，再由P（0≤X＜2）＝p（X＝0）+P（X＝1），即可求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意，隨機(jī)變量X的概率分布為P（X＝n）＝（n＝0，1，2），則有P（X＝0）+P（X＝1）+P（X＝2）＝++＝1，解可得：a＝，則P（0≤X＜2）＝p（X＝0）+P（X＝1）＝+＝，故選：D．10．（2019?曲靖二模）已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ﹣2﹣10123P若，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A．4＜x≤9 B．4≤x＜9 C．x＜4或x≥9 D．x≤4或x＞9【分析】由隨機(jī)變量ξ的分布列，知ξ2的可能取值為0，1，4，9，分別求出相應(yīng)的概率，由此利用P（ξ2＜x）＝，求出實(shí)數(shù)x的取值范圍．【解答】解：由隨機(jī)變量ξ的分布列，知：ξ2的可能取值為0，1，4，9，且P（ξ2＝0）＝，P（ξ2＝1）＝+＝，P（ξ2＝4）＝+＝，P（ξ2＝9）＝，∵P（ξ2＜x）＝，∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是4＜x≤9．故選：A．11．（春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）某地7個(gè)貧困村中有3個(gè)村是深度貧困，現(xiàn)從中任意選3個(gè)村，下列事件中概率等于的是（）A．至少有1個(gè)深度貧困村 B．有1個(gè)或2個(gè)深度貧困村 C．有2個(gè)或3個(gè)深度貧困村 D．恰有2個(gè)深度貧困村【分析】用X表示這3個(gè)村莊中深度貧困村數(shù)，則X服從超幾何分布，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值即可得出結(jié)論．【解答】解：用X表示這3個(gè)村莊中深度貧困村數(shù)，則X服從超幾何分布，所以，計(jì)算，，，，所以，即有1個(gè)或2個(gè)深度貧困村的概率為．故選：B．12．（春?吉林期末）已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如表所示，則表中p值等于．ξ012P0.4p0.3【分析】由離散型隨機(jī)變量ξ的分布列的性質(zhì)能求出p．【解答】解：由離散型隨機(jī)變量ξ的分布列得：0.4+p+0.3＝1，解得p＝0.3．故答案為：0.3．13．（春?淮安期末）已知隨機(jī)變量X的概率分布為：X0123456P0.160.220.24？0.100.060.01則P（X≥3）＝．【分析】由隨機(jī)變量X的概率分布求出P（X＝3），再由P（X≥3）＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）+P（X＝6），能求出結(jié)果．【解答】解：由隨機(jī)變量X的概率分布知：P（X＝3）＝1﹣0.16﹣0.22﹣0.24﹣0.10﹣0.06﹣0.01＝0.21，P（X≥3）＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）+P（X＝6）＝0.21+0.10+0.06+0.01＝0.38．故答案為：0.38．14．（2019春?渭濱區(qū)期末）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如表，則P（|x﹣2|＝1）＝．x1234Pm【分析】由|x﹣2|＝1，解得x．即可得出P（|x﹣2|＝1）＝P（X＝1或3）．【解答】解：由|x﹣2|＝1，解得x＝1，3．∴P（|x﹣2|＝1）＝P（X＝1或3）＝+＝．故答案為：．15．（春?順德區(qū)期末）已知隨機(jī)變量X的分布列如表，X123p其中a是常數(shù)，則的值為．【分析】由隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)求出a＝，再由＝P（X＝1），能求出結(jié)果．【解答】解：由隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)得：＝1，解得a＝，∴＝P（X＝1）＝＝．故答案為：．16．（春?豐臺(tái)區(qū)校級(jí)月考）已知隨機(jī)變量X的分布列為，則P（2＜X≤4）等于．【分析】由隨機(jī)變量X的分布列為，列方程求出a＝5，從而利用P（2＜X≤4）＝P（X＝3）+P（X＝4），能求出結(jié)果．【解答】解：∵隨機(jī)變量X的分布列為，∴＝1，解得a＝5，∴P（2＜X≤4）＝P（X＝3）+P（X＝4）＝＝．故答案為：．17．（2019春?河南期末）設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列為：P（ξ＝k）＝，k＝0，1，2，3，則P（ξ＝2）＝．【分析】由題意可得P（ξ＝0）+P（ξ＝1）+P（ξ＝2）+P（ξ＝3）＝1，所以c＝，所以P（ξ＝k）＝，進(jìn)而求出答案．【解答】解：因?yàn)樗惺录l(fā)生的概率之和為1，即P（ξ＝0）+P（ξ＝1）+P（ξ＝2）+P（ξ＝3）＝1，所以，所以c＝．所以P（ξ＝k）＝，所以P（ξ＝2）＝．故答案為：．18．（春?越秀區(qū)期末）在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為2000元，此作物的市場(chǎng)價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如表：作物產(chǎn)量（kg）400500概率0.60.4作物市場(chǎng)價(jià)格（元/kg）810概率0.50.5（1）設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤(rùn)，求X的分布列；（2）若在這塊地上連續(xù)4季種植此作物，求這4季中至少有2季利潤(rùn)不少于2000的概率．【分析】（1）計(jì)算利潤(rùn)的各種可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率得出分布列；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算．【解答】解：（1）X的可能取值有1200，2000，3000，且P（X＝1200）＝0.6×0.5＝0.3，P（X＝2000）＝0.6×0.5+0.4×0.5＝0.5，P（X＝3000）＝0.4×0.5＝0.2．故X的分布列為：X120020003000P0.30.50.2（2）由（1）可知種植1季作物，利潤(rùn)不少于2000的概率為0.5+0.2＝0.7，∴這4季中至少有2季利潤(rùn)不少于2000的概率為：?（0.7）2?（0.3）2+?（0.7）3?0.3+（0.7）4＝0.9163．19．（春?濟(jì)寧期末）在某校舉辦的“國(guó)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽”決賽中，甲、乙兩隊(duì)各派出3名同學(xué)參加比賽．規(guī)則是：每名同學(xué)回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)為本隊(duì)贏得1分，答錯(cuò)得0分．假設(shè)甲隊(duì)中每名同學(xué)答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中3名同學(xué)答對(duì)的概率分別是，，，且每名同學(xué)答題正確與否互不影響．用X表示乙隊(duì)的總得分．（1）求隨機(jī)變量X的分布列；（2）設(shè)事件A表示“甲隊(duì)得2分，乙隊(duì)得1分”，求P（A）．【分析】（1）用X表示乙隊(duì)的總得分，由X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列．（2）設(shè)事件A表示“甲隊(duì)得2分，乙隊(duì)得1分”，事件A表示甲隊(duì)3名同學(xué)中有2人答對(duì)，乙隊(duì)中名同學(xué)中有1人答對(duì)，設(shè)事件B表示“甲隊(duì)3名同學(xué)中有2人答對(duì)”，事件C表示“乙隊(duì)3名同學(xué)中有1人答對(duì)”，P（A）＝P（BC）＝P（B）P（C），由此能求出結(jié)果．【解答】解：（1）用X表示乙隊(duì)的總得分，由X的可能取值為0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝+＝，P（X＝2）＝+＝，P（X＝3）＝＝，∴隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P（2）設(shè)事件A表示“甲隊(duì)得2分，乙隊(duì)得1分”，∴事件A表示甲隊(duì)3名同學(xué)中有2人答對(duì)，乙隊(duì)中名同學(xué)中有1人答對(duì)，設(shè)事件B表示“甲隊(duì)3名同學(xué)中有2人答對(duì)”，事件C表示“乙隊(duì)3名同學(xué)中有1人答對(duì)”，則P（B）＝＝，P（C）＝P（X＝1）＝+＝，∴P（A）＝P（BC）＝P（B）P（C）＝＝．20．（秋?仁壽縣校級(jí)月考）某校組織一次冬令營(yíng)活動(dòng)，有8名同學(xué)參加，其中有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)，為了活動(dòng)的需要，要從這8名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)去執(zhí)行一項(xiàng)特殊任務(wù)，記其中有X名男同學(xué)．（1）求X的概率分布；（2）求去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率．【分析】（1）確定X的可能取值，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式求概率，從而可得X的概率分布列；（2）去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率為P（X＝1）+P（X＝2），從而可得結(jié)論．【解答】解：（1）X的可能取值為0，1，2，3，則P（X＝0）＝＝；P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝3）＝＝即X的概率分布列為X0123P（2）去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率為P（X＝1）+P（X＝2）＝+＝．21．（?江蘇模擬）廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品．（1）若廠家?guī)旆恐校ㄒ暈閿?shù)量足夠多）的每件產(chǎn)品合格的概率為0.7，從中任意取出3件進(jìn)行檢驗(yàn)，求至少有2件是合格品的概率；（2）若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有4件不合格，按合同規(guī)定商家從這20件產(chǎn)品中任取2件，都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，否則拒收．求該商家可能檢驗(yàn)出的不合格產(chǎn)品的件數(shù)ξ的分布列，并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率．【分析】（1）“從中任意取出3件進(jìn)行檢驗(yàn)，至少有2件是合格品”記為事件A，其中包含兩個(gè)基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，由此能求出至少有2件是合格品的概率．（2）該商家可能檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品數(shù)ξ，ξ可能的取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列；只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，從而商家拒收這批產(chǎn)品的對(duì)立事件為商家任取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)都合格，由此能求出商家拒收這批產(chǎn)品的概率．【解答】解：（1）“從中任意取出3件進(jìn)行檢驗(yàn)，至少有2件是合格品”記為事件A，其中包含兩個(gè)基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，∴．（2）該商家可能檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品數(shù)ξ，ξ可能的取值為0，1，2，，，，∴ξ的分布列為：ξ012P因?yàn)橹挥?件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，故商家拒收這批產(chǎn)品的對(duì)立事件為商家任取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)都合格，記“商家拒收”為事件B，則，∴商家拒收這批產(chǎn)品的概率為．22．（?蕪湖模擬）學(xué)號(hào)為1，2，3的三位小學(xué)生，在課余時(shí)間一起玩“擲骰子爬樓梯”游戲，規(guī)則如下：投擲一顆骰子，將每次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)除以3，若學(xué)號(hào)與之同余（同除以3余數(shù)相同），則該小學(xué)生可以上2階樓梯，另外兩位只能上1階樓梯，假定他們都是從平地（0階樓梯）開(kāi)始向上爬，且樓梯數(shù)足夠多．（Ⅰ）經(jīng)過(guò)2次投擲骰子后，學(xué)號(hào)為1的同學(xué)站在第X階樓梯上，試求X的分布列；（Ⅱ）經(jīng)過(guò)多次投擲后，學(xué)號(hào)為3的小學(xué)生能站在第n階樓梯的概率記為Pn，試求P1，P2，P3的值，并探究數(shù)列{Pn}可能滿足的一個(gè)遞推關(guān)系和通項(xiàng)公式．【分析】（Ⅰ）由題意得X的可能取值為2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）P1表示學(xué)號(hào)為3的小朋友能站在第1階樓梯的概率，推導(dǎo)出，，．由于學(xué)號(hào)為3的小朋友能夠站在第n階樓梯，有兩種可能：從第n﹣2階樓梯贏得比賽（投擲點(diǎn)數(shù)為3或6）直接蹬2個(gè)臺(tái)階上來(lái)．或從第n﹣1階樓梯“輸?shù)舯荣悺鄙现坏?個(gè)臺(tái)階上來(lái)．根據(jù)骰子投擲規(guī)則，贏得比賽的概率是，輸?shù)舯荣惖母怕适?，故Pn＝（n≥3且n∈N*），由此可探究數(shù)列{Pn}可能滿足的一個(gè)遞推關(guān)系和通項(xiàng)公式．【解答】解：（Ⅰ）由題意得X的可能取值為2，3，4．P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝．∴X的分布列為X234P（Ⅱ）P1表示學(xué)號(hào)為3的小朋友能站在第1階樓梯的概率，根據(jù)投擲骰子的規(guī)則，若出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3或6，則他直接站在第2階樓梯，否則站在第1階樓梯．故，同理可得：，．由于學(xué)號(hào)為3的小朋友能夠站在第n階樓梯，有兩種可能：從第n﹣2階樓梯贏得比賽（投擲點(diǎn)數(shù)為3或6）直接蹬2個(gè)臺(tái)階上來(lái)．或從第n﹣1階樓梯“輸?shù)舯荣悺鄙现坏?個(gè)臺(tái)階上來(lái)．根據(jù)骰子投擲規(guī)則，贏得比賽的概率是，輸?shù)舯荣惖母怕适?，故Pn＝（n≥3且n∈N*）（*）將（*）式可變形為．從而知：數(shù)列{Pn﹣Pn﹣1}是以P2﹣P1＝為首項(xiàng)，以﹣為公比的等比數(shù)列，則有Pn﹣Pn﹣1＝＝（﹣）n．進(jìn)而可得：Pn＝（Pn﹣Pn﹣1）+（Pn﹣1﹣Pn﹣2）+…+（P2﹣P1）+P1＝（﹣）n+（﹣）n﹣1+…+（﹣）2+＝＝[1﹣（﹣）n+1]．（n∈N*）．[B組]—強(qiáng)基必備(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))2012年12月18日，作為全國(guó)首批開(kāi)展空氣質(zhì)量新標(biāo)準(zhǔn)監(jiān)測(cè)的74個(gè)城市之一，鄭州市正式發(fā)布PM2.5數(shù)據(jù)．資料表明，近幾年來(lái)，鄭州市霧霾治理取得了很大成效，空氣質(zhì)量與前幾年相比得到了很大改善．鄭州市設(shè)有9個(gè)監(jiān)測(cè)站點(diǎn)監(jiān)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)，其中在輕度污染區(qū)、中度污染區(qū)、重度污染區(qū)分別設(shè)有2,5,2個(gè)監(jiān)測(cè)站點(diǎn)，以9個(gè)站點(diǎn)測(cè)得的AQI的平均值為依據(jù)，播報(bào)我市的空氣質(zhì)量．(1)若某日播報(bào)的AQI為118，已知輕度污染區(qū)AQI的平均值為74，中度污染區(qū)AQI的平均值為114，求重度污染區(qū)AQI的平均值；(2)下表是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份僅有一天AQI在[170,180)內(nèi)．組數(shù)分組天數(shù)第一組[50,80)3第二組[80,110)4第三組[110,140)4第四組[140,170)6第五組[170,200)5第六組[200,230)4第七組[230,260)3第八組[260,290)1①鄭州市某中學(xué)利用每周日的時(shí)間進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，以分布的AQI為標(biāo)準(zhǔn)，如果AQI小于180，則去進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，以統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中的頻率為概率，求該校周日去進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的概率；②在“創(chuàng)建文明城