高等數(shù)學(xué)概率隨機(jī)變量函數(shù)的分布

高等數(shù)學(xué)概率隨機(jī)變量函數(shù)的分布第1頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四一、問題的提出

在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣.例如，已知圓軸截面直徑

d

的分布，求截面面積A=的分布第2頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四又如：已知t=t0

時(shí)刻噪聲電壓

V的分布，

求功率

W=V2/R

(R為電阻）的分布等.定義（課本50頁定義2.10）：設(shè)f(x)是定義在隨機(jī)變量的一切可能值x的集合上的函數(shù)。如果對(duì)于的每一可能取值x，有另一個(gè)隨機(jī)變量的相應(yīng)取值y=f(x)則稱為的函數(shù)，記作。第3頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四

這個(gè)問題無論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的.

由定義可知，隨機(jī)變量的函數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量，而且后者的分布由前者的分布完全確定。那么如何從的分布求出它的函數(shù)的分布呢？第4頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

解：

當(dāng)

取值－1，0，1，2

時(shí)，

取對(duì)應(yīng)值－2，－1，0，1。而且取某值與取其對(duì)應(yīng)值是兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率.

例1、設(shè)r.v.

的分布列如下，求和的分布列。第5頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四故的分布列為同理，當(dāng)

以概率取值－1，0，1，2

時(shí)，

以相同概率取對(duì)應(yīng)值4，1，0，1。注意：相當(dāng)于或者即

第6頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四故的分布列為第7頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四如果有一些f(xk)是相同的，把它們作適當(dāng)?shù)牟㈨?xiàng)即可，并項(xiàng)后的概率為它們的相應(yīng)概率之和.一般，若是離散型

r.v，其分布列為則也是離散型r.v，其分布列為第8頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四例2、設(shè)r.v.

的分布列如下，求和的分布列。第9頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四例3、一個(gè)儀器由兩個(gè)主要部件組成，其總長(zhǎng)度為此二部件長(zhǎng)度之和。這兩個(gè)部件的長(zhǎng)度、為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布列如下。求此儀器長(zhǎng)度的分布列。解：設(shè)儀器的總長(zhǎng)度為

，則第10頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四而的所有可能取值為15，16，17，18。同理可求得，

，獨(dú)立第11頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四故的分布列為第12頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四例4、將兩封信隨機(jī)地往編號(hào)為1，2，3，4的郵筒內(nèi)投，表示第個(gè)郵筒內(nèi)信的數(shù)目。求的分布。解：的所有可能取值為0，1，2。第13頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四故的分布列為第14頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例5、設(shè)r.v.

的概率密度為，求的概率密度。解：分布函數(shù)法（1）求的分布函數(shù)關(guān)鍵一步第15頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四（2）兩端對(duì)y

求導(dǎo)第16頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四例6、設(shè)r.v.

的概率密度為，求的概率密度。解：分布函數(shù)法（1）求的分布函數(shù)注意：因y為任意實(shí)數(shù)，而，所以當(dāng)時(shí)，。第17頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四（2）兩端對(duì)y

求導(dǎo)第18頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四在這幾個(gè)例子中，我們使用了一種求連續(xù)型r.v的函數(shù)的分布的常用方法：分法布函數(shù)步驟一：求的分布函數(shù)。步驟二：兩端對(duì)y求導(dǎo)得。用的分布函數(shù)來表示第19頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四例7、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為

求的概率密度。第20頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)29分，星期四例8、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為

求的概率密度。第21頁，共23頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)2