2022版?zhèn)鋺?zhàn)老高考一輪復習理科數(shù)學第7節(jié) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 教案

第七節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)[最新考綱]1.理解對數(shù)的概念及其運算性質，知道用換底公式將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點，會畫底數(shù)為2，10，eq\f(1,2)的對數(shù)函數(shù)的圖象.3.體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)．1．對數(shù)的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．2．對數(shù)的性質、換底公式與運算性質(1)對數(shù)的性質：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．(2)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．(3)對數(shù)的運算性質：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．對數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質定義函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)圖象a＞10＜a＜1性質定義域：(0，＋∞)值域：R當x＝1時，y＝0，即過定點(1，0)當0＜x＜1時，y＜0；當x＞1時，y＞0當0＜x＜1時，y＞0；當x＞1時，y＜0在(0，＋∞)上為增函數(shù)在(0，＋∞)上為減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線y＝x對稱．eq\a\vs4\al([常用結論])1．換底公式的兩個重要結論(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab．其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R，m≠0.2．對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標為相應的底數(shù)，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大．一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝log2(x＋1)是對數(shù)函數(shù)．()(2)log2x2＝2log2x.()(3)函數(shù)y＝lneq\f(1＋x,1－x)與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同．()(4)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)的圖象過定點(1，0)，且過點(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函數(shù)圖象不在第二、三象限．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改編1．(log29)·(log34)＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4D[(log29)·(log34)＝eq\f(lg9,lg2)×eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3,lg2)×eq\f(2lg2,lg3)＝4.故選D.]2．已知a＝2eq\s\up5(－\f(1,3))，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\s\up-5(\f(1,2))eq\f(1,3)，則()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞bD[因為0＜a＜1，b＜0，c＝logeq\s\up-5(\f(1,2))eq\f(1,3)＝log23＞1.所以c＞a＞b.故選D.]3．函數(shù)y＝eq\r(logeq\s\up-5(\f(2,3))（2x－1）)的定義域是________．(eq\f(1,2)，1][由logeq\s\up-5(\f(2,3))(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1.∴eq\f(1,2)＜x≤1.∴函數(shù)y＝eq\r(logeq\s\up-5(\f(2,3))（2x－1）)的定義域是(eq\f(1,2)，1]．]4．函數(shù)y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的圖象恒過點________．(3，1)[當4－x＝1即x＝3時，y＝loga1＋1＝1.所以函數(shù)的圖象恒過點(3，1)．]考點1對數(shù)式的化簡與求值對數(shù)運算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運算性質化簡合并．(2)合：將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質，轉化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算．1.設2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m等于()A.eq\r(10) B．10C．20 D．100A[由已知，得a＝log2m，b＝log5則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝eq\r(10).]2．計算：(lgeq\f(1,4)－lg25)÷100eq\s\up5(－\f(1,2))＝________．－20[原式＝(lg2－2－lg52)×100eq\s\up5(\f(1,2))＝lg(eq\f(1,22×52))×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.]3．計算：eq\f(（1－log63）2＋log62·log618,log64)＝________．1[原式＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋log6\f(6,3)·log6（6×3）,log64)＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2,log64)＝eq\f(2（1－log63）,2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.]4．已知log23＝a，3b＝7，則log3eq\r(7)2eq\r(21)的值為________．eq\f(2＋a＋ab,2a＋ab)[由題意3b＝7，所以log37＝b.所以log3eq\r(7)2eq\r(21)＝logeq\r(63)eq\r(84)＝eq\f(log284,log263)＝eq\f(log2（22×3×7）,log2（32×7）)＝eq\f(2＋log23＋log23·log37,2log23＋log23·log37)＝eq\f(2＋a＋ab,2a＋ab).]對數(shù)運算法則是在化為同底的情況下進行的，因此經(jīng)常會用到換底公式及其推論．在對含有字母的對數(shù)式進行化簡時，必須保證恒等變形．考點2對數(shù)函數(shù)的圖象及應用對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應用方法(1)在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結合法求解．(1)(2019·浙江高考)在同一直角坐標系中，函數(shù)y＝eq\f(1,ax)，y＝loga(x＋eq\f(1,2))(a＞0，且a≠1)的圖象可能是()ABCD(2)當0＜x≤eq\f(1,2)時，4x＜logax，則a的取值范圍是()A．(0，eq\f(\r(2),2)) B．(eq\f(\r(2),2)，1)C．(1，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，2)(1)D(2)B[(1)對于函數(shù)y＝loga(x＋eq\f(1,2))，當y＝0時，有x＋eq\f(1,2)＝1，得x＝eq\f(1,2)，即y＝loga(x＋eq\f(1,2))的圖象恒過定點(eq\f(1,2)，0)，排除選項A、C；函數(shù)y＝eq\f(1,ax)與y＝loga(x＋eq\f(1,2))在各自定義域上單調(diào)性相反，排除選項B，故選D.(2)構造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝logax，當a＞1時不滿足條件，當0＜a＜1時，畫出兩個函數(shù)在(0，eq\f(1,2)]上的圖象，可知f(eq\f(1,2))＜g(eq\f(1,2))，即2＜logaeq\f(1,2)，則a＞eq\f(\r(2),2)，所以a的取值范圍為(eq\f(\r(2),2)，1)．][母題探究]1．(變條件)若本例(2)變?yōu)椋喝舨坏仁絰2－logax＜0對x∈(0，eq\f(1,2))恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．[解]由x2－logax＜0得x2＜logax，設f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈(0，eq\f(1,2))時，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在(0，eq\f(1,2))上的圖象在f2(x)＝logax圖象的下方即可．當a＞1時，顯然不成立；當0＜a＜1時，如圖所示．要使x2＜logax在x∈(0，eq\f(1,2))上恒成立，需f1(eq\f(1,2))≤f2(eq\f(1,2))，所以有(eq\f(1,2))2≤logaeq\f(1,2)，解得a≥eq\f(1,16)，所以eq\f(1,16)≤a＜1.即實數(shù)a的取值范圍是[eq\f(1,16)，1)．2．(變條件)若本例(2)變?yōu)椋寒?＜x≤eq\f(1,4)時，eq\r(x)＜logax，求實數(shù)a的取值范圍．[解]若eq\r(x)＜logax在x∈(0，eq\f(1,4)]成立，則0＜a＜1，且y＝eq\r(x)的圖象在y＝logax圖象的下方，如圖所示，由圖象知eq\r(\f(1,4))＜logaeq\f(1,4)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,aeq\s\up5(\f(1,2))＞\f(1,4)，))解得eq\f(1,16)＜a＜1.即實數(shù)a的取值范圍是(eq\f(1,16)，1)．1.(2019·合肥模擬)函數(shù)y＝ln(2－|x|)的大致圖象為()ABCDA[令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函數(shù)f(x)的定義域為{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除選項C，D.當x＝eq\f(3,2)時，f(eq\f(3,2))＝lneq\f(1,2)＜0，排除選項B，故選A.]2．已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a＞0，a≠1)的圖象如圖，則下列結論成立的是()A．a(chǎn)＞1，c＞1 B．a(chǎn)＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1D[由對數(shù)函數(shù)的圖象和性質及函數(shù)圖象的平移變換知0＜a＜1，0＜c＜1.]3．設方程10x＝|lg(－x)|的兩個根分別為x1，x2，則()A．x1x2＜0 B．x1x2＝0C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1D[作出y＝10x與y＝|lg(－x)|的大致圖象，如圖．顯然x1＜0，x2＜0.不妨令x1＜x2，則x1＜－1＜x2＜0，所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，此時10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故選D.]考點3對數(shù)函數(shù)的性質及應用解與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)性質問題的3個關注點(1)定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論．(2)底數(shù)與1的大小關系．(3)復合函數(shù)的構成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的．比較大小(1)(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，則a，A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b(2)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝logeq\s\up-5(\f(1,2))eq\f(1,3)，則a，b，c的大小關系為()A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b(1)A(2)D[(1)因為a＝log52＜log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.50.2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,5))＞eq\f(1,2)，0.50.2＜1，所以a＜c＜b，故選A.(2)因為a＝log2e＞1，b＝ln2∈(0，1)，c＝logeq\s\up-5(\f(1,2))eq\f(1,3)＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b，故選D.]對數(shù)值大小比較的主要方法(1)化同底數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性．(2)化同真數(shù)后利用圖象比較．(3)借用中間量(0或1等)進行估值比較．解簡單對數(shù)不等式(1)若logaeq\f(3,4)＜1(a＞0且a≠1)，則實數(shù)a的取值范圍是________．(2)若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，則a的取值范圍是________(1)(0，eq\f(3,4))∪(1，＋∞)(2)(eq\f(1,2)，1)[(1)當0＜a＜1時，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴0＜a＜eq\f(3,4)；當a＞1時，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴a＞1.∴實數(shù)a的取值范圍是(0，eq\f(3,4))∪(1，＋∞)．(2)由題意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1同時2a＞1，所以a＞eq\f(1,2).綜上，a∈(eq\f(1,2)，1)．]對于形如logaf(x)＞b的不等式，一般轉化為logaf(x)＞logaab，再根據(jù)底數(shù)的范圍轉化為f(x)＞ab或0＜f(x)＜ab.而對于形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，一般要轉化為同底的不等式來解．和對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)解決與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的單調(diào)性問題的步驟已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax)．(1)當x∈[0，2]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．[解](1)因為a＞0且a≠1，設t(x)＝3－ax，則t(x)＝3－ax為減函數(shù)，x∈[0，2]時，t(x)的最小值為3－2a當x∈[0，2]時，f(x)恒有意義，即x∈[0，2]時，3－ax＞0恒成立．所以3－2a＞0.所以a＜eq\f(3,2).又a＞0且a≠1，所以a∈(0，1)∪(1，eq\f(3,2))．(2)t(x)＝3－ax，因為a＞0，所以函數(shù)t(x)為減函數(shù)．因為f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，所以y＝logat為增函數(shù)，所以a＞1，當x∈[1，2]時，t(x)最小值為3－2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3－a)所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2a＞0，,loga（3－a）＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜\f(3,2)，,a＝\f(3,2).))故不存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1.利用對數(shù)函數(shù)的性質，求與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)值域、最值和復合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所